压轴题的方法体系（三）圆锥曲线（一）方程·弦·面积专项训练-2027届高三数学一轮复习

压轴题的方法体系（三） 圆锥曲线（一）方程·弦·面积 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 一、定义与标准方程 圆锥曲线只有三种：椭圆、双曲线、抛物线。它们的区别全在「到定点的距离」上：椭圆是到两个定点的距离之和为常数，双曲线是距离之差的绝对值为常数，抛物线是到定点与到定直线的距离相等。这三句话就是三种曲线的定义，也是判断类型的唯一依据。 椭圆的标准方程有两种：焦点在 轴上时是 ，焦点在 轴上时把两个分母的位置换一下。其中要求 ，三个量满足 ，而 是两个焦点之间距离的一半。 双曲线的标准方程是 或 ，这里只要求 、，谁大谁小没有限制。三个量的关系是 ，也就是双曲线中 最大，与椭圆恰好相反，这一点最容易记混。 判断焦点在哪条轴上，三种曲线各有各的看法。椭圆看两个分母谁大，大者所在的那条轴就是焦点所在轴；双曲线看哪一项带负号，正号那一项所在的轴就是焦点所在轴；抛物线看一次项是 还是 。位置判断错了，方程里的 与 就要对调。 抛物线有四种标准形式，要能互相换算： 的焦点是 、准线是 ； 的焦点在负半轴上； 的焦点是 、准线是 。真正要记住的是「焦点与准线分居顶点两侧、到顶点的距离相等」。 抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，这条性质叫焦半径，是抛物线题里出现次数最多的一句话。例如 在 上时，它到准线的距离是 ，所以 ，一条等式把长度换成了坐标。 椭圆与双曲线也有对应的说法：椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于 ；双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差等于 ，换成左支则要加绝对值。凡是题目里同时出现焦点与曲线上的点，先把这两个等式写出来，它常常是整道题的突破口。 离心率 刻画曲线的扁平程度。椭圆的离心率在 与 之间，越接近 越扁；双曲线的离心率大于 ，越接近 开口越窄；抛物线的离心率恒等于 。记住这三句话，遇到「求离心率的范围」就有了方向。 求离心率不必分别求出 与 ，只要凑出 的平方就够了。凑的办法有两个：一是用 、、 之间的平方关系把多余的字母消掉，二是用定义写出关于三条边的等式。算出 之后再开方，注意只取正值。 例如双曲线 ：由 得 ，离心率 ，两个焦点是 ，两条渐近线是 。四个量全都从 与 这两个数里推出来。 求标准方程的流程是三步：先定型，判断是椭圆、双曲线还是抛物线；再定位，判断焦点在哪条轴上；最后定量，把已知点代入解出待定系数。定型或定位出错，后面算得再准也没有意义，所以动笔前先在草稿上把这两件事写清楚。 「定型」常常要借助定义来完成。动点到两定点的距离之和为定值，那是椭圆；距离之差的绝对值为定值，那是双曲线；到定点与到定直线的距离相等，那是抛物线。先把这个几何条件读成三个句子中的一句，再落笔写方程，思路就不会跑偏。 双曲线的渐近线是它独有的特征。 的两条渐近线是 ，把它们画出来，双曲线张开的角度与走向就一目了然。还有一条常用结论：焦点到渐近线的距离恰好等于 ，用它可以把一大段计算直接省掉。 抛物线上的点用纵坐标作参数最省事。把点写成 ，或记 写成 ，切线与弦的方程都会变成纵坐标的一次式。相比之下，设成 还要额外记住 ，多出一层负担。 二、联立与位置关系 圆锥曲线的解答题有一条贯穿始终的主线索：设直线、联立、用韦达定理。把直线方程代入曲线方程，得到一个一元二次方程；判别式判断交点个数，两根之和与两根之积提供后续计算所需的全部数据。这一步做熟，后面就只是代数变形。 代入之前先想清楚直线设成什么形状。设成 要额外讨论斜率不存在的情形，而斜率不存在的那条直线往往恰好是题目里的特殊位置；设成 则自动包含竖直线。题目中焦点在 轴上时，用后一种写法通常更省事。 抛物线 上的弦设成 最方便。代入后得到 ，两根之和是 、积是 ，形式最简单，弦长也能直接写成关于 的式子，不必再绕到横坐标上去算。 判别式决定位置关系：大于零有两个公共点，等于零相切，小于零相离。但要留意，判别式为正只说明有「两个公共点」，这两个点未必都在题目要求的那一支上。双曲线题里解完方程要回头看横坐标的符号，确认交点确实落在右支。 切线有现成公式，不必求导。椭圆 在点 处的切线是 ，双曲线把中间的加号换成减号，抛物线 在 处的切线是 。把切点坐标代进去就能读出斜率。 抛物线还有一个更省事的说法：以 为斜率的切线方程是 。要证某条直线与抛物线相切，只要把它整理成这个形状再逐项对照，一句话就够，连切点的坐标都不必求出来。 把几何条件翻译成坐标，是这一节最需要练的功夫。垂直写成两个向量的数量积为零，或两条直线斜率之积为 ；共线或平行写成斜率相等；线段相等写成两点间距离相等；角相等写成两个角的正切值相等。翻译对了，题目就成了一道代数题。 角平分线有两个等价说法：角平分线上的点到两边距离相等；两条边与角平分线的夹角相等。从同一点出发的两条边与角平分线的夹角相等时，把三条斜率记作 、、，则 与 互为相反数，展开后是关于斜率的对称式。 证明直线过定点，做法是把参数提出来。化简到最后如果能写成 或 这样的形状，那么无论参数取什么值，直线都经过 或 ，定点就到手了。 证明动点在定直线上，语言要换一种说法：把动点的坐标写成某个参数（斜率、截距或某点的纵坐标）的表达式。如果横坐标化简后不含参数，它就恒在竖直线 上；如果纵坐标化成常数，则恒在一条水平线上。 定值问题的做法是先算后化简：把待求的量用韦达定理写成两根之和与积的组合，代入后若参数恰好消掉，定值就出现了。若参数消不掉，题目问的往往就是「是否为定值」，这时用两个特殊位置算出不同的值，就能说明它不是定值。 化简时优先把横坐标换成纵坐标。直线写成 之后，，直接代入韦达定理即可。这个式子里经常出现两项恰好抵消的情形，是定值与定点题的关键机关。 直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，这是圆题里最常用的判据。四点共圆可以设圆的一般方程 ，把已知点逐一代入求三个系数，比用「到圆心距离相等」列出多个根式方便得多。 存在性问题的一般写法是：先假设存在，把条件翻译成关于参数的方程或不等式，解出来再验证是否落在允许范围内。如果题目问「这样的图形有几个」，就看这个方程有几个符合范围的解，答案要写成具体的个数。 三、弦长与中点弦 弦长有两条公式，用哪一条取决于直线设成什么形状。两点横坐标之差为 时用 ；纵坐标之差为 时用 ，两条公式的来路都是两点间距离公式。 公式里的 不必真的把两根解出来，用韦达定理改写即可：。先把两根之和与积算出来，再开方。这是弦长题的标准动作，几乎每道题都要走一遍。 抛物线里的焦点弦长有更简单的结果：过焦点 的弦与抛物线交于 、 两点时，。其中最短的一条是通径，长度为 。这条结论在求弦长的范围或最值时经常一步到位，不必再套两个根号。 例如 ：通径长是 ，过焦点的弦长记作 。把直线写成 代入得 ，于是 ，弦长是 ，随 增大而增大，最小值恰好就是通径的长度。 圆里的弦长另有公式：圆心到弦的距离为 、半径为 时，弦长等于 。所以「弦长最小」与「圆心到弦的距离最大」是同一件事。把这个说法换一换，题目常常从求弦长最值变成求距离最值，计算量也跟着减下来。 中点弦的标准工具是点差法：把两个端点分别代入曲线方程，两式相减，再用平方差公式，就能凑出 与中点坐标的关系。这一步不要跳过去直接背结论，它是后面所有中点性质的来源，也是题目要求「证明」时唯一能写的推理过程。 点差法在椭圆上给出一个漂亮的结论：弦 的中点为 、原点为 时，两条直线的斜率满足 。双曲线对应的是 ，只差一个符号，用之前要看清曲线是哪一种。 例如椭圆 内一点 是弦 的中点：由 与 得 ，弦所在直线的方程随即写出，两个端点的坐标完全不必求。 抛物线上的弦还有一个好用的性质：两点纵坐标为 、 时，所在直线的斜率等于 。把斜率换成两纵坐标之和，很多题里烦人的根式就消失了，这也是「用纵坐标作参数」最直接的好处。 抛物线上两点所在直线的方程也有现成写法：纵坐标为 、 的两点所在直线是 。把已知点代进去就能得到两个纵坐标的关系式。特别地，这条直线过焦点等价于 ，这是很常用的一个结论。 中点常常和三角形的中位线连在一起。题目里同时出现两个中点时，先去图形里找中位线，把待求的线段换成另一条边的长度或它的一半，往往比直接算坐标快得多，也更容易看出定值究竟藏在哪里。 弦的中点落在曲线内部，这条看似普通的事实是求参数范围的主要工具。把中点坐标代回曲线方程，等号改成不等号，例如椭圆就是 ，范围随之确定。要注意原条件是不取等的，结论的括号也应当是开的。 中垂线问题回到两件事上：中垂线上的点到线段两端距离相等，且中垂线与原线段垂直。把中点的坐标与垂直条件都写出来，中垂线的方程就定了，再与题目给出的直线联立求交点，或者用它来证明某个点在定直线上。 弦长的最值与范围，多半化成含一个参数的函数再求最值。换元时优先把 或 记成一个新字母，这样绝对值和偶次项都好处理；能凑成 形状的就用均值不等式，落不到这个形状的再求导。 最后别忘了检查范围：弦的两个端点是否都在曲线上、是否都在指定的那一支上、中点是否真的落在曲线内部。这三条限制决定参数能取到哪里，也决定答案里的括号是圆的还是方的，写答案之前逐一核对。 四、面积问题 三角形的面积有三种常用算法：底乘高的一半最直观；已知两边及其夹角时用 ；三个顶点的坐标都已知时用 这类写法。圆锥曲线的题里选择哪一种，取决于题目已知的是什么。 圆锥曲线里的三角形多半有一个顶点是原点或焦点，另外两个顶点在曲线上，这时用坐标法最快。把面积写成 ，再把直线方程代进去，式子会自然地简化成只含一个参数的函数。 如果三角形的底恰好落在坐标轴上，计算会更省。以 为底、两个交点的纵坐标之差为高，面积是 ，而 用韦达定理就能算出，不必求出点的坐标。 例如抛物线的焦点弦 与原点围成的三角形：以 为底、 为高，面积等于 。把两个纵坐标用韦达定理代入，面积就随弦的方向一起变化，最值也有了着落。 四边形的面积有两条路。一条是拆成两个三角形分别算再相加，好处是不必判断图形形状；另一条是用两条对角线写成 ，其中 是两条对角线的夹角。两条路哪个快就用哪个，一般说来已知对角线交点时用第二条。 用对角线算面积之前，先确认哪两条是对角线。顶点按题目给出的字母顺序连线，交叉的两条就是对对角线。把两组向量写出来做叉积再取绝对值即可；题目中那个已知点常常恰好是两条对角线的交点，求交点这一步也可以省掉。 面积比的问题几乎都能简化：两个三角形同底不同高时，面积比等于高的比；同高不同底时，面积比等于底的比。所以先找公共的底或公共的高，把比值还原成线段之比，题目往往就变成了弦长或中点的问题。 两条弦交于同一点时，交点把每条弦分成两段，线段之间存在倍数关系。把这个倍数求出来，大块的面积就能写成小面积的倍数，而小面积的三个顶点常常是已知点与两个交点，坐标早已在手，算起来轻得多。 接下来把面积化成一个单变量的函数。参数可以取直线的斜率、截距，也可以取某个交点的坐标，哪种写法能让式子最短就取哪种。抛物线题里用纵坐标作参数效果最好，一般能让根号少掉一半。 函数出来之后求最值：能凑成 形状的用均值不等式，含 一类式子的求导。求导时把偶次项记成一个新字母，导数的零点通常只剩一个，整理后是关于 的二次方程。 对称性能省掉一半计算。图形关于坐标轴对称时，可以只算一半再翻倍；两条直线倾斜角互补时，它们的交点关于坐标轴对称，某些交点甚至直接落在坐标轴上，面积的表达式也跟着简化。 写答案前检查两件事：求导得到的驻点是否落在参数的允许范围内；用均值不等式时等号能否取到。驻点在范围之外，最值只能从端点处找；等号取不到，得出的就不是最大值或最小值，而只能写成一个范围。 面积的范围问题与最值问题不同。范围通常由一个不等式给出，例如「点在某条曲线内部」，再配合函数的单调性，把参数的区间映射成面积的区间。此时结论的开闭要看原条件的开闭，来不得半点含糊。 算完面积别急着收笔，用图形大致估一下量级：面积不可能是负数，也不可能超过外接矩形的面积。若算出的结果明显离奇，多半是中间某个坐标或符号抄错了，把关键的那一步重算一遍即可。 这一节的题计算量大，动笔前先把式子简化到位比什么都重要。该用的公式先写出来，能消的字母先消掉，再开始代入参数。一步一步慢慢算、每步回头对一眼，比手忙脚乱地重来要快得多。 二、方法突破 定义与标准方程 圆锥曲线的解答题，第一问几乎都在求方程。这一问看似简单，却是整道题的地基：标准方程错了，后面两问全部作废。所以要把「定型、定位、定量」这三步做成习惯动作，动笔前先在草稿上写清楚，再开始计算。 定型是判断这是椭圆、双曲线还是抛物线，依据就是三种曲线的定义。题目给出动点轨迹时，先把条件读成「到两定点距离之和为常数」「距离之差的绝对值为常数」或者「到定点与到定直线距离相等」三句话中的一句，类型随即确定。 定位是判断焦点在哪条轴上。椭圆看两个分母谁大，双曲线看哪一项带负号，抛物线看一次项是 还是 。焦点位置定错，方程里的 与 就要对调，后面的计算会一直错下去，所以这一步值得多花一分钟。 定量是把已知点代进去解出待定系数。解出的候选值可能不止一个，要用各系数的取值范围把不合题意的舍掉：椭圆要求 ，双曲线只要求 、，抛物线要求 ，这些限制一个都不能忘。 离心率是这一节的高频考点。求离心率不必分别求出 与 ，只要能凑出 的平方就行。凑的办法有两个：一是用 、、 之间的平方关系消元，二是用定义写出关于三条边的等式，最后开方时只取正值。 焦点三角形也常出现。椭圆上一点与两个焦点构成的三角形里，；双曲线右支上一点则是到两焦点的距离之差为 。把这两句话写出来，三角形里的三条边就齐全了。 抛物线的看家本领是焦半径：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。所以已知某点到焦点的距离时，可以直接写出它的横坐标（或纵坐标），一条等式定出一个未知数，比设出坐标再解方程组快得多。 双曲线的渐近线要顺手用起来。除了 的渐近线是 之外，还有一条常用结论：焦点到渐近线的距离等于 。它在求离心率或证定值时能省下不少功夫。 抛物线上的点用纵坐标作参数最省事。把 写成 ，切线与弦的方程都能写成 的简单式子；若设成 ，还要额外带上 这个条件，多出一层负担。 求轨迹方程时，最后一步是回到定义检查。解出的方程可能多出一些点，例如把双曲线的两支都写上了而题目只要一支；也可能漏掉一些点，例如参数取不到的范围。把范围写在方程后面，答案才算完整。 这一节也常出现定值与最值。处理的办法是先借助定义把式子简化，再用几何不等式收尾：两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，以及 这类均值不等式，都是常用的工具。 动手前把所有已知条件翻译成坐标的等式，一条也别落下。圆锥曲线的题条件多，漏掉一条（例如「点在第一象限」或「直线的斜率存在」）就可能让最后一步出错。列清单是个笨办法，但确实管用。 例题 例 1-1 【解答】已知双曲线：的一个焦点与抛物线 ：的焦点重合.（1）求抛物线 的方程；（2）若直线：交抛物线 于A、B两点，O为原点，求证：以 为直径的圆经过原点O. 【解析】 第 1 步　先把双曲线的焦点算出来 ◈ ，与 无关； 保证了两个分母都为正，不必分类讨论。 第 2 步　 用 与 表示 ◈ 设 后 ，把韦达定理代进去就出现了 的抵消，这是整道题的机关。 第 3 步　证圆过原点就是证垂直 ◈ 以 为直径的圆经过原点 ，等价于 ，写成坐标就是 。 答　(1) ；(2) 证明见解析 例 1-2 【解答】已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点．（1）求椭圆的离心率；（2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】 第 1 步　过 轴上定点的直线设成 ◈ 这样设能一并覆盖直线竖直的情形，而且代入椭圆后关于 的二次式最整齐，韦达定理只要算两个对称式。 第 2 步　利用 落在弦上拆面积 ◈ 在椭圆内部且在弦 上，所以 ，再由 、 异号写成 。 第 3 步　两个面积都化成 的倍数 ◈ ，而 由 、 纵坐标之差算出，也含 ；两边一比，这个因子正好约掉，只剩关于 的方程。 答　(1) ；(2) 存在， 或 例 1-3 【解答】已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为.（i）求的最小值；（ii）求的值. 【解析】 第 1 步　焦点到渐近线的距离等于 ◈ 右焦点 到渐近线 的距离是 ，这是双曲线的一条常用性质，记住它可以省掉一大段计算。 第 2 步　三角形面积先化成 ◈ 因为 、 都在 上， 中的 项会抵消，只剩 ；再用弦长公式把 用韦达定理表示。 第 3 步　两个倾斜角之和用 的加法公式 ◈ 先算出 与 ，再代 ；最后由乘积为负判断两角分别在直角两侧，把和的范围锁在 ，从而排除 。 答　(1) ；(2) （ⅰ），（ⅱ） 例 1-4 【解答】已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点.（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【解析】 第 1 步　先由离心率把 写成 的倍数 ◈ 给出 ，再把 代进方程，两个未知量一次解出。 第 2 步　 化成韦达定理的对称式 ◈ 由 把纵坐标之差也换成横坐标，点积最终整理成 ；别忘了用判别式排除只有一个交点的 。 第 3 步　外心是两条垂直平分线的交点 ◈ 弦 的垂直平分线给出 ；再由 、 两式相加（不是相减）消去二次项，代入上面的关系即可解出 ，最后发现 是常数。 答　(1) ；(2) ；(3) 证明见解析 练习 1-1. 【解答】设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．（1）若点的坐标为，求．（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．（ⅰ）证明：的周长为定值．（ⅱ）证明：的离心率大于． 1-2. 【解答】已知双曲线的左、右顶点分别为 ，在上，．（1）求的方程；（2）过的直线交于另一点（异于 ），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 1-3. 【解答】已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程. 1-4. 【解答】已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标；（3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 1-5. 【解答】已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．（1）求的方程：（2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ii）证明：直线ME过定点． 1-6. 【解答】已知是椭圆上的两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 联立与位置关系 圆锥曲线的解答题有一条主线索：设直线、联立、用韦达定理。这一节的所有题目都是这条线索的展开，彼此的区别只在「几何条件怎么翻译成代数式」。把这套流程做熟，看到新题也不会慌。 设直线之前先想清楚形状。设成 要额外讨论斜率不存在的情形，而斜率不存在的那条直线往往恰好是题目里的特殊位置；设成 则自动包含竖直线，讨论起来少一层麻烦。 题目里出现焦点时，把直线设成过焦点的形式常能简化运算。例如抛物线 的焦点是 ，过焦点的弦就写成 ，代入后一次项整齐、常数项也简单。 联立之后先看判别式，判断这条直线与曲线到底有几个公共点。但判别式为正只说有「两个公共点」，双曲线题里还要检查它们是否都在同一支上，办法是看两根之和与积的符号，或者干脆把两根解出来判断。 切线不必求导。椭圆、双曲线、抛物线在点 处的切线都有现成公式，把切点坐标直接代进去就能读出斜率，比先求导再代入省掉一半计算，也避免了求导时算错符号。 把几何条件翻译成坐标，是这一节最需要练的功夫。垂直写成数量积为零或斜率之积为 ；共线写成斜率相等；线段相等写成距离相等；角相等写成两个角的正切值相等或互为相反数。翻译这一步做对了，题目就成了一道纯粹的代数题。 角平分线的两种说法各有各的用处。从同一点出发的两条边与角平分线的夹角相等时，把三条斜率记作 、、，则 与 互为相反数，展开后是关于斜率的对称式，正好能用韦达定理代入。 定点问题的写法是把参数提出来。化简到最后若能写成 或 这样的形状，无论参数取什么值直线都经过那个定点，答案不用猜，直接读出来即可。 定值问题的要点是参数必须消掉。把待求量用韦达定理写成两根之和与积的组合，代入后若参数消失，定值就出现了。常见的机关是 与 中出现能互相抵消的项。 化简时优先把 换成 。直线写成 之后， 可以完全用 与 表达，直接代入韦达定理即可，不必真的把两个交点的坐标解出来。 要特别警惕退化情形：直线恰好过曲线上的某个已知点、两条直线重合、斜率不存在、分母为零。这些情形往往对应条件里的一个特解，必须单独验证并说明为什么要舍去，否则答案会平白多出一组解。 最后回头检查一遍：直线与曲线是否真的有两个交点？要求的点是否落在指定范围内，例如第一象限、右支或曲线内部？这些边界条件决定了答案里哪些值要保留、哪些要去掉。 例题 例 2-1 【解答】已知椭圆：，为右顶点，为下焦点，延长交椭圆于另一点．（1）求点的坐标；（2）设椭圆在点处的切线为直线，求直线与所夹锐角的正切值；（3）若直线与椭圆交于，两点（异于），使得，求证：直线过定点． 【解析】 第 1 步　切线不必求导，用切点式更快 ◈ 椭圆 在点 处的切线是 ，把切点坐标代进去就能读出斜率，比先求导再代入省一半计算。 第 2 步　把「异于 」翻译成换元 ◈ 直线 与椭圆的两个交点都要绕开 ，换成 之后 恰是 ，而 这个式子里的 一出现在分母上，条件就自然进了分母。 第 3 步　角相等用两个正切值互为相反数 ◈ 就是 平分 。因为 、 在 两侧， 与 恰好一正一负，相加为零就得到对称式 。 答　(1) ；(2) ；(3) 直线 过定点 例 2-2 【解答】已知椭圆（）的左焦点为F，点在椭圆上，且轴.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆相切于点P，且点P在第一象限，过原点与直线l平行的直线与直线PF交于点Q，求的值. 【解析】 第 1 步　 轴就直接给出了 ◈ 的横坐标 与左焦距相等，所以 、，不必再去设未知数解 的坐标。 第 2 步　用 把 配成完全平方 ◈ 把 换成 之后， 恰好等于 ，分母上的 与 的分母一模一样，最后一约就只剩常数。 第 3 步　交点 用参数 写，不去解方程组 ◈ 在直线 上，直接令 ，只要定出 就有 ，把两式联立的功夫全变成了长度的乘法。 答　(1) ；(2) 例 2-3 【解答】已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值． 【解析】 第 1 步　两条切线的斜率是二次方程的两根，不必解出来 ◈ 把「到圆心距离等于半径」平方之后，切线的斜率 满足一个二次方程， 只用到 与 ，直接用韦达定理就行。 第 2 步　用 把根式整理干净 ◈ 与 里的 都要换成 ，前一个恰好化成 、后一个化成 ，开方约分后 只剩 。 第 3 步　切线长等于 ，把周长变成两根之比 ◈ 由抛物线的性质 ，切线长 正好是 ；再用相似得 ，于是周长只与两个切点的纵坐标有关。 答　(1) 一个，理由见解析；(2) ；(3) 例 2-4 【解答】已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且.（1）求C的方程；（2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H.（ⅰ）当时，求点P的坐标；（ⅱ）求的最大值. 【解析】 第 1 步　焦半径一步定出 ◈ 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离， 的纵坐标是 、准线是 ，所以 ， 直接算出来，不必设 的坐标去解方程。 第 2 步　垂足 用参数 写， 是隐藏结论 ◈ 令 ，由 解出 ，这个式子把 恰好约掉，于是 对任意 都成立。 第 3 步　 的最大值用三角不等式 ◈ 既然 恒在圆 上，那么 ，再把取等的 反解回 ，验证它确实在抛物线上，最大值就到手了。 答　(1) ；(2) （ⅰ） 或 ，（ⅱ） 练习 2-1. 【解答】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 2-2. 【解答】已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心．（1）求圆的标准方程．（2）设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于．（3）为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 2-3. 【解答】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.（1）求的方程.（2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.（3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由. 2-4. 【解答】已知点，是直线上的一点，过作的垂线，线段的垂直平分线交于点．当在上运动时，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）证明：直线是的切线；（3）已知圆的圆心在第一象限内，与有唯一的公共点，且与轴相切于点，求圆的方程． 2-5. 【解答】已知抛物线，，点在上．（1）求的最小值；（2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．（ⅰ）求直线斜率的取值范围；（ⅱ）证明直线过定点． 2-6. 【解答】已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求；（2）若点的纵坐标为，求；（3）求证：直线与抛物线相切． 弦长与中点弦 弦长与中点是圆锥曲线解答题里出现最密的两样东西。这一节把它们的常用公式集中起来：弦长看两条公式，中点想点差法，抛物线的弦则优先用纵坐标作参数。三者配合起来，多数题都能顺利走完。 弦长的第一条公式是 ，适用于直线设成 的情形；第二条是 ，适用于 。用哪一条，取决于代入后剩下的变量是 还是 。 公式里的 一律用韦达定理写成 ，不要试图把两根解出来。这条改写是弦长题的固定动作，也是把计算限制在两根之和与积上的关键。 抛物线里的焦点弦长有更简单的结果：过焦点的弦长等于 ，其中最短的一条是通径，长度为 。这条结论在求弦长范围或最值时经常一步到位，省去了套两层根号的麻烦。 抛物线还可以用纵坐标把弦的斜率写出来：纵坐标为 、 的两点，所在直线的斜率是 ；而这条直线过焦点等价于 。把它们当工具用，运算量能减掉一半。 中点弦的标准工具是点差法：两个端点各代一次方程再相减，平方差公式会把 与中点的坐标联系起来。这一步不要跳过去，它是后面所有中点结论的来源，也是证明题里唯一能写的推理。 由此得到椭圆的中点弦性质：弦的中点 与原点连线的斜率 与弦的斜率 满足 ；双曲线对应的是 ，用之前要看清楚是哪种曲线。 这个性质反过来也能用：已知中点的位置就能立刻写出弦所在直线的方向，不必再设两个端点、也不必解方程组。它是「中点弦」三个字的全部含义，也是这一节题目的主要得分点。 中点还常常出现在几何关系里。题目同时给出两个中点时，先去找三角形的中位线，把待求的线段换成另一条边的长度，往往比硬算坐标快得多，也更容易看出定值究竟藏在哪里。 中垂线问题回到两个条件：点到线段两端距离相等、且与原线段垂直。把中点的坐标与垂直条件都写出来，中垂线的方程就定了，再与题目给出的直线求交点，或者用它来证明某个点在定直线上。 弦的中点落在曲线内部，这条看似普通的事实是求参数范围的主要工具。把中点坐标代入曲线方程，等号改成不等号，范围就出来了。范围的开闭由原来的条件决定，通常是不取等的。 弦长的最值问题化成单变量函数后，优先试换元（把 记为 ），能凑成 就用均值不等式，凑不成再求导。算出最值后，别忘了回头确认等号能在允许的范围内取到。 例题 例 3-1 【解答】已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N.（1）求的最大值；（2）证明：直线QN经过AB的中点；（3）若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 【解析】 第 1 步　把 设成 ，一条参数走到底 ◈ 抛物线 上的点写成 之后，切线、平行线、交点的坐标全都能用 表示，最后才回代求 ，比设 少背一层 。 第 2 步　 化成一除以 ◈ 两直线斜率分别是 与 ，夹角公式整理后恰好是 ，于是最值直接由均值不等式给出，等号位置也一并到手。 第 3 步　四点共圆用圆的一般式 ◈ 圆过 就说明常数项为 ，再过 就定出 ，剩下一个待定系数 ；把 、 分别代进去得到两个 ，让它们相等即得 。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 例 3-2 【解答】已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点．（1）求的方程；（2）证明：是定值；（3）是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 第 1 步　 用中位线，不必算坐标 ◈ 、 是 两边的中点，所以 是中位线，；把中点坐标代进距离公式再开方，是白费力气。 第 2 步　 来自两次轴对称 ◈ 与 关于 轴对称， 与左焦点 也关于 轴对称，所以把 、 同时换成镜像的 、，距离不变。 第 3 步　 就是两个向量点积为零 ◈ 把 、、 的坐标都写成 、 的式子，点积为零整理成 ，再与椭圆方程联立即可。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 存在， 的坐标为 （共 个） 例 3-3 【解答】已知的三个顶点都在抛物线上，其中．（1）当是直角三角形且时，证明直线过定点；（2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 【解析】 第 1 步　抛物线里的弦设成 ◈ 抛物线 的开口朝右，用 可以表示竖直方向的直线，而且代入后 的二次方程韦达定理形式最简单；同时 也顺手。 第 2 步　 化成 ◈ 两条直线的斜率分别是 与 ，相乘得 之后，留下来的正好是 与 的组合，直接换成 、。 第 3 步　底边条件就是 在中垂线上 ◈ 等价于 （ 为中点），所以只要把中点坐标写出来做一次点积，问题就变成一个关于 的三次方程。 答　(1) 直线 过定点 ；(2) 存在，且这样的三角形有 个 例 3-4 【解答】已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上两点满足．（ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程；（ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【解析】 第 1 步　「相切于点 」直接给出 ◈ 切点在圆上，所以 就是半径 ，即 ；再用与半径垂直验证 的坐标，比设 求切线省事。 第 2 步　 整理成能因式分解的方程 ◈ 把两条斜率的乘积写成 并代入韦达定理，最后得到一个能分解成两个一次因式的等式 —— 其中一个因式正好对应「 过 」的退化情形。 第 3 步　弦长最小等价于圆心到弦的距离最大 ◈ 圆内弦长是 （半径 ），它随 增大而减小，所以只要把 关于 的表达式求一次最大值，最小值就出来了；退化情形要单独核对一遍。 答　(1) ；(2) （ⅰ），（ⅱ） 练习 3-1. 【解答】已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点．（1）求椭圆C和圆M的标准方程；（2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 3-2. 【解答】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且．（1）若点为的中点，求的长度；（2）过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程． 3-3. 【解答】已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.（1）证明：圆与的准线相切；（2）证明：；（3）求. 3-4. 【解答】已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 3-5. 【解答】已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过的直线与有且只有一个公共点，且与交于两点．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 3-6. 【解答】已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）证明：；（3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于． 面积问题 面积是圆锥曲线压轴题的常见收尾。它看起来计算量大，但只要选对了算法、把表达式化简到位，工作量并不比前几节多。关键是别急着代入数字，先把式子化简再说。 选算法的依据是图形的形状。有一个顶点在原点或焦点、另外两个顶点在曲线上时，用 最快；底边恰好落在坐标轴上时，底乘高的一半更直接。 抛物线的焦点弦与原点围成的三角形最典型。以 为底、两个交点纵坐标之差为高，面积是 ，而 用韦达定理就能算，参数只剩一个。 四边形的面积有两条路：拆成两个三角形相加，或者用两条对角线写成 。当题目里那个已知点恰好是对角线的交点时，第二条路会快很多，因为求交点这一步可以省掉。 用对角线算面积前先确认哪两条是对角线。顶点按题目给出的字母顺序连线，交叉的两条就是对对角线，写出来做叉积取绝对值即可。顺序看清了，就不会把邻边误当成对角线。 面积比的问题一定要先找公共的底或公共的高。同底的两个三角形面积比等于高的比，同高的等于底的比。把比值还原成线段之比之后，题目往往就变成了弦长或中点问题。 两条弦交于同一点时，线段之间存在倍数关系。把这个倍数求出来，大面积就可以写成小面积的倍数，而小面积的三个顶点恰好是已知点与两个交点，坐标早就在手，算起来轻得多。 接下来就是把面积化成一个单变量函数。参数可以取斜率、截距，也可以取某个交点的坐标，哪种能让式子最短就取哪种，通常用纵坐标作参数效果最好，能让根号少掉一半。 函数出来之后求最值：能凑成 形状的用均值不等式，含 一类式子的求导。求导时把偶次项记成一个新字母，导数的零点常常只有一个，整理后是关于 的二次方程。 对称性能省掉一半计算。图形关于坐标轴对称时只算一半再翻倍；两条直线倾斜角互补时交点互为对称点，甚至能直接判断某些交点在坐标轴上，面积表达式也跟着简化。 写答案前检查两件事：驻点是否落在参数的允许范围内，以及均值不等式的等号能否取到。能取到就是最大值或最小值，取不到就只能是取值范围，括号也随之改变。 面积的范围问题还要注意不等号的来源。由「点在曲线内部」得到的是严格不等式，由「弦与曲线有两个交点」得到的通常也是严格的，这些决定了最终区间的开闭，来不得半点含糊。 例题 例 4-1 【解答】已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．（1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；（2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 【解析】 第 1 步　等差条件化成 与 的组合 ◈ 把 通分，分子里的 用 换掉，就只剩 与 ，代韦达定理即可；顺带发现 是「 过 」的退化情形。 第 2 步　等比条件不要用 的方程，改用「过 的弦」参数 ◈ 若仍设 ，等比条件会解出 ，与 、 非顶点矛盾 —— 这说明满足条件的 是竖直的，用「直线 的斜率 」作参数才看得见这一点。 第 3 步　面积关于 与 对称 ◈ 把 换成 只是把 、 互换，面积不变，所以只需讨论 ，这样绝对值可以去掉，求导也简单。 答　(1) 证明见解析（直线 过定点 ）；(2) 例 4-2 【解答】过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 【解析】 第 1 步　过焦点的弦设成 ， 的坐标立刻出来 ◈ 令 得 ，这是后面所有计算的起点；第 (2) 问里「切点」也是用切线斜率推出来的，不必解方程组。 第 2 步　抛物线的切线方程当工具用 ◈ 上以 为斜率的切线是 。把 的斜率代进去，逐项与 对照，一句就证完相切。 第 3 步　面积写成 后一步求导 ◈ 弦长 与距离 相乘再乘 ， 恰好约掉一部分，剩下的函数求导后只有 一个零点。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 4-3 【解答】已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，．（1）求点坐标；（2）求证：直线的斜率为定值；（3）求四边形面积的最大值． 【解析】 第 1 步　把 写成 ，用椭圆方程解 ◈ 因为 已经在椭圆上，代入后 的二次式没有常数项，一根是 （对应 ），另一根就是 ；、 用的是同一个 ，这是全题的关键。 第 2 步　 的分子分母只差一个倍数 ◈ 与 都含因子 ，约掉后只剩常数 ； 由「 在椭圆内部」保证。 第 3 步　四边形面积化成 ◈ 两条对角线交于 ，而 、，于是面积等于 的 倍，剩下的只是一个单变量函数的最值。 答　(1) ；(2) 定值 ；(3) 例 4-4 【解答】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．（1）求的方程；（2）证明：点在定直线上；（3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【解析】 第 1 步　用「弦的纵坐标」作参数 ◈ 把 、 写成 、，弦 的方程是 ，过 一步给出 。 第 2 步　 在定直线上只用了 ◈ 直线 的斜率是 ，与 联立得 ，所以 的横坐标是常数，纵坐标随 而变。 第 3 步　四边形面积用两条对角线的叉积，最后化成 ◈ 、 在抛物线上、、 在直线 上，两组对角线的叉积整理后恰好是一个完全立方，于是最小值由均值不等式直接给出。 答　(1) ；(2) 点 在定直线 上；(3) 练习 4-1. 【解答】已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值． 4-2. 【解答】设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．（1）求抛物线E的标准方程；（2）若直线l过点T，求的面积；（3）若直线平分，求直线l的斜率． 4-3. 【解答】已知椭圆的右焦点，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为.（i）求证：直线恒过定点；（ii）求面积的取值范围. 4-4. 【解答】已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．（1）当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；（2）当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围． 4-5. 【解答】抛物线的焦点为，且过点．（1）求的方程；（2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标． 4-6. 【解答】在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为．（1）若，且轴，求；（2）求关于的表达式；（3）当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴题的方法体系（三） 圆锥曲线（一）方程·弦·面积 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 一、定义与标准方程 圆锥曲线只有三种：椭圆、双曲线、抛物线。它们的区别全在「到定点的距离」上：椭圆是到两个定点的距离之和为常数，双曲线是距离之差的绝对值为常数，抛物线是到定点与到定直线的距离相等。这三句话就是三种曲线的定义，也是判断类型的唯一依据。 椭圆的标准方程有两种：焦点在 轴上时是 ，焦点在 轴上时把两个分母的位置换一下。其中要求 ，三个量满足 ，而 是两个焦点之间距离的一半。 双曲线的标准方程是 或 ，这里只要求 、，谁大谁小没有限制。三个量的关系是 ，也就是双曲线中 最大，与椭圆恰好相反，这一点最容易记混。 判断焦点在哪条轴上，三种曲线各有各的看法。椭圆看两个分母谁大，大者所在的那条轴就是焦点所在轴；双曲线看哪一项带负号，正号那一项所在的轴就是焦点所在轴；抛物线看一次项是 还是 。位置判断错了，方程里的 与 就要对调。 抛物线有四种标准形式，要能互相换算： 的焦点是 、准线是 ； 的焦点在负半轴上； 的焦点是 、准线是 。真正要记住的是「焦点与准线分居顶点两侧、到顶点的距离相等」。 抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，这条性质叫焦半径，是抛物线题里出现次数最多的一句话。例如 在 上时，它到准线的距离是 ，所以 ，一条等式把长度换成了坐标。 椭圆与双曲线也有对应的说法：椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于 ；双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差等于 ，换成左支则要加绝对值。凡是题目里同时出现焦点与曲线上的点，先把这两个等式写出来，它常常是整道题的突破口。 离心率 刻画曲线的扁平程度。椭圆的离心率在 与 之间，越接近 越扁；双曲线的离心率大于 ，越接近 开口越窄；抛物线的离心率恒等于 。记住这三句话，遇到「求离心率的范围」就有了方向。 求离心率不必分别求出 与 ，只要凑出 的平方就够了。凑的办法有两个：一是用 、、 之间的平方关系把多余的字母消掉，二是用定义写出关于三条边的等式。算出 之后再开方，注意只取正值。 例如双曲线 ：由 得 ，离心率 ，两个焦点是 ，两条渐近线是 。四个量全都从 与 这两个数里推出来。 求标准方程的流程是三步：先定型，判断是椭圆、双曲线还是抛物线；再定位，判断焦点在哪条轴上；最后定量，把已知点代入解出待定系数。定型或定位出错，后面算得再准也没有意义，所以动笔前先在草稿上把这两件事写清楚。 「定型」常常要借助定义来完成。动点到两定点的距离之和为定值，那是椭圆；距离之差的绝对值为定值，那是双曲线；到定点与到定直线的距离相等，那是抛物线。先把这个几何条件读成三个句子中的一句，再落笔写方程，思路就不会跑偏。 双曲线的渐近线是它独有的特征。 的两条渐近线是 ，把它们画出来，双曲线张开的角度与走向就一目了然。还有一条常用结论：焦点到渐近线的距离恰好等于 ，用它可以把一大段计算直接省掉。 抛物线上的点用纵坐标作参数最省事。把点写成 ，或记 写成 ，切线与弦的方程都会变成纵坐标的一次式。相比之下，设成 还要额外记住 ，多出一层负担。 二、联立与位置关系 圆锥曲线的解答题有一条贯穿始终的主线索：设直线、联立、用韦达定理。把直线方程代入曲线方程，得到一个一元二次方程；判别式判断交点个数，两根之和与两根之积提供后续计算所需的全部数据。这一步做熟，后面就只是代数变形。 代入之前先想清楚直线设成什么形状。设成 要额外讨论斜率不存在的情形，而斜率不存在的那条直线往往恰好是题目里的特殊位置；设成 则自动包含竖直线。题目中焦点在 轴上时，用后一种写法通常更省事。 抛物线 上的弦设成 最方便。代入后得到 ，两根之和是 、积是 ，形式最简单，弦长也能直接写成关于 的式子，不必再绕到横坐标上去算。 判别式决定位置关系：大于零有两个公共点，等于零相切，小于零相离。但要留意，判别式为正只说明有「两个公共点」，这两个点未必都在题目要求的那一支上。双曲线题里解完方程要回头看横坐标的符号，确认交点确实落在右支。 切线有现成公式，不必求导。椭圆 在点 处的切线是 ，双曲线把中间的加号换成减号，抛物线 在 处的切线是 。把切点坐标代进去就能读出斜率。 抛物线还有一个更省事的说法：以 为斜率的切线方程是 。要证某条直线与抛物线相切，只要把它整理成这个形状再逐项对照，一句话就够，连切点的坐标都不必求出来。 把几何条件翻译成坐标，是这一节最需要练的功夫。垂直写成两个向量的数量积为零，或两条直线斜率之积为 ；共线或平行写成斜率相等；线段相等写成两点间距离相等；角相等写成两个角的正切值相等。翻译对了，题目就成了一道代数题。 角平分线有两个等价说法：角平分线上的点到两边距离相等；两条边与角平分线的夹角相等。从同一点出发的两条边与角平分线的夹角相等时，把三条斜率记作 、、，则 与 互为相反数，展开后是关于斜率的对称式。 证明直线过定点，做法是把参数提出来。化简到最后如果能写成 或 这样的形状，那么无论参数取什么值，直线都经过 或 ，定点就到手了。 证明动点在定直线上，语言要换一种说法：把动点的坐标写成某个参数（斜率、截距或某点的纵坐标）的表达式。如果横坐标化简后不含参数，它就恒在竖直线 上；如果纵坐标化成常数，则恒在一条水平线上。 定值问题的做法是先算后化简：把待求的量用韦达定理写成两根之和与积的组合，代入后若参数恰好消掉，定值就出现了。若参数消不掉，题目问的往往就是「是否为定值」，这时用两个特殊位置算出不同的值，就能说明它不是定值。 化简时优先把横坐标换成纵坐标。直线写成 之后，，直接代入韦达定理即可。这个式子里经常出现两项恰好抵消的情形，是定值与定点题的关键机关。 直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，这是圆题里最常用的判据。四点共圆可以设圆的一般方程 ，把已知点逐一代入求三个系数，比用「到圆心距离相等」列出多个根式方便得多。 存在性问题的一般写法是：先假设存在，把条件翻译成关于参数的方程或不等式，解出来再验证是否落在允许范围内。如果题目问「这样的图形有几个」，就看这个方程有几个符合范围的解，答案要写成具体的个数。 三、弦长与中点弦 弦长有两条公式，用哪一条取决于直线设成什么形状。两点横坐标之差为 时用 ；纵坐标之差为 时用 ，两条公式的来路都是两点间距离公式。 公式里的 不必真的把两根解出来，用韦达定理改写即可：。先把两根之和与积算出来，再开方。这是弦长题的标准动作，几乎每道题都要走一遍。 抛物线里的焦点弦长有更简单的结果：过焦点 的弦与抛物线交于 、 两点时，。其中最短的一条是通径，长度为 。这条结论在求弦长的范围或最值时经常一步到位，不必再套两个根号。 例如 ：通径长是 ，过焦点的弦长记作 。把直线写成 代入得 ，于是 ，弦长是 ，随 增大而增大，最小值恰好就是通径的长度。 圆里的弦长另有公式：圆心到弦的距离为 、半径为 时，弦长等于 。所以「弦长最小」与「圆心到弦的距离最大」是同一件事。把这个说法换一换，题目常常从求弦长最值变成求距离最值，计算量也跟着减下来。 中点弦的标准工具是点差法：把两个端点分别代入曲线方程，两式相减，再用平方差公式，就能凑出 与中点坐标的关系。这一步不要跳过去直接背结论，它是后面所有中点性质的来源，也是题目要求「证明」时唯一能写的推理过程。 点差法在椭圆上给出一个漂亮的结论：弦 的中点为 、原点为 时，两条直线的斜率满足 。双曲线对应的是 ，只差一个符号，用之前要看清曲线是哪一种。 例如椭圆 内一点 是弦 的中点：由 与 得 ，弦所在直线的方程随即写出，两个端点的坐标完全不必求。 抛物线上的弦还有一个好用的性质：两点纵坐标为 、 时，所在直线的斜率等于 。把斜率换成两纵坐标之和，很多题里烦人的根式就消失了，这也是「用纵坐标作参数」最直接的好处。 抛物线上两点所在直线的方程也有现成写法：纵坐标为 、 的两点所在直线是 。把已知点代进去就能得到两个纵坐标的关系式。特别地，这条直线过焦点等价于 ，这是很常用的一个结论。 中点常常和三角形的中位线连在一起。题目里同时出现两个中点时，先去图形里找中位线，把待求的线段换成另一条边的长度或它的一半，往往比直接算坐标快得多，也更容易看出定值究竟藏在哪里。 弦的中点落在曲线内部，这条看似普通的事实是求参数范围的主要工具。把中点坐标代回曲线方程，等号改成不等号，例如椭圆就是 ，范围随之确定。要注意原条件是不取等的，结论的括号也应当是开的。 中垂线问题回到两件事上：中垂线上的点到线段两端距离相等，且中垂线与原线段垂直。把中点的坐标与垂直条件都写出来，中垂线的方程就定了，再与题目给出的直线联立求交点，或者用它来证明某个点在定直线上。 弦长的最值与范围，多半化成含一个参数的函数再求最值。换元时优先把 或 记成一个新字母，这样绝对值和偶次项都好处理；能凑成 形状的就用均值不等式，落不到这个形状的再求导。 最后别忘了检查范围：弦的两个端点是否都在曲线上、是否都在指定的那一支上、中点是否真的落在曲线内部。这三条限制决定参数能取到哪里，也决定答案里的括号是圆的还是方的，写答案之前逐一核对。 四、面积问题 三角形的面积有三种常用算法：底乘高的一半最直观；已知两边及其夹角时用 ；三个顶点的坐标都已知时用 这类写法。圆锥曲线的题里选择哪一种，取决于题目已知的是什么。 圆锥曲线里的三角形多半有一个顶点是原点或焦点，另外两个顶点在曲线上，这时用坐标法最快。把面积写成 ，再把直线方程代进去，式子会自然地简化成只含一个参数的函数。 如果三角形的底恰好落在坐标轴上，计算会更省。以 为底、两个交点的纵坐标之差为高，面积是 ，而 用韦达定理就能算出，不必求出点的坐标。 例如抛物线的焦点弦 与原点围成的三角形：以 为底、 为高，面积等于 。把两个纵坐标用韦达定理代入，面积就随弦的方向一起变化，最值也有了着落。 四边形的面积有两条路。一条是拆成两个三角形分别算再相加，好处是不必判断图形形状；另一条是用两条对角线写成 ，其中 是两条对角线的夹角。两条路哪个快就用哪个，一般说来已知对角线交点时用第二条。 用对角线算面积之前，先确认哪两条是对角线。顶点按题目给出的字母顺序连线，交叉的两条就是对对角线。把两组向量写出来做叉积再取绝对值即可；题目中那个已知点常常恰好是两条对角线的交点，求交点这一步也可以省掉。 面积比的问题几乎都能简化：两个三角形同底不同高时，面积比等于高的比；同高不同底时，面积比等于底的比。所以先找公共的底或公共的高，把比值还原成线段之比，题目往往就变成了弦长或中点的问题。 两条弦交于同一点时，交点把每条弦分成两段，线段之间存在倍数关系。把这个倍数求出来，大块的面积就能写成小面积的倍数，而小面积的三个顶点常常是已知点与两个交点，坐标早已在手，算起来轻得多。 接下来把面积化成一个单变量的函数。参数可以取直线的斜率、截距，也可以取某个交点的坐标，哪种写法能让式子最短就取哪种。抛物线题里用纵坐标作参数效果最好，一般能让根号少掉一半。 函数出来之后求最值：能凑成 形状的用均值不等式，含 一类式子的求导。求导时把偶次项记成一个新字母，导数的零点通常只剩一个，整理后是关于 的二次方程。 对称性能省掉一半计算。图形关于坐标轴对称时，可以只算一半再翻倍；两条直线倾斜角互补时，它们的交点关于坐标轴对称，某些交点甚至直接落在坐标轴上，面积的表达式也跟着简化。 写答案前检查两件事：求导得到的驻点是否落在参数的允许范围内；用均值不等式时等号能否取到。驻点在范围之外，最值只能从端点处找；等号取不到，得出的就不是最大值或最小值，而只能写成一个范围。 面积的范围问题与最值问题不同。范围通常由一个不等式给出，例如「点在某条曲线内部」，再配合函数的单调性，把参数的区间映射成面积的区间。此时结论的开闭要看原条件的开闭，来不得半点含糊。 算完面积别急着收笔，用图形大致估一下量级：面积不可能是负数，也不可能超过外接矩形的面积。若算出的结果明显离奇，多半是中间某个坐标或符号抄错了，把关键的那一步重算一遍即可。 这一节的题计算量大，动笔前先把式子简化到位比什么都重要。该用的公式先写出来，能消的字母先消掉，再开始代入参数。一步一步慢慢算、每步回头对一眼，比手忙脚乱地重来要快得多。 二、方法突破 定义与标准方程 圆锥曲线的解答题，第一问几乎都在求方程。这一问看似简单，却是整道题的地基：标准方程错了，后面两问全部作废。所以要把「定型、定位、定量」这三步做成习惯动作，动笔前先在草稿上写清楚，再开始计算。 定型是判断这是椭圆、双曲线还是抛物线，依据就是三种曲线的定义。题目给出动点轨迹时，先把条件读成「到两定点距离之和为常数」「距离之差的绝对值为常数」或者「到定点与到定直线距离相等」三句话中的一句，类型随即确定。 定位是判断焦点在哪条轴上。椭圆看两个分母谁大，双曲线看哪一项带负号，抛物线看一次项是 还是 。焦点位置定错，方程里的 与 就要对调，后面的计算会一直错下去，所以这一步值得多花一分钟。 定量是把已知点代进去解出待定系数。解出的候选值可能不止一个，要用各系数的取值范围把不合题意的舍掉：椭圆要求 ，双曲线只要求 、，抛物线要求 ，这些限制一个都不能忘。 离心率是这一节的高频考点。求离心率不必分别求出 与 ，只要能凑出 的平方就行。凑的办法有两个：一是用 、、 之间的平方关系消元，二是用定义写出关于三条边的等式，最后开方时只取正值。 焦点三角形也常出现。椭圆上一点与两个焦点构成的三角形里，；双曲线右支上一点则是到两焦点的距离之差为 。把这两句话写出来，三角形里的三条边就齐全了。 抛物线的看家本领是焦半径：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。所以已知某点到焦点的距离时，可以直接写出它的横坐标（或纵坐标），一条等式定出一个未知数，比设出坐标再解方程组快得多。 双曲线的渐近线要顺手用起来。除了 的渐近线是 之外，还有一条常用结论：焦点到渐近线的距离等于 。它在求离心率或证定值时能省下不少功夫。 抛物线上的点用纵坐标作参数最省事。把 写成 ，切线与弦的方程都能写成 的简单式子；若设成 ，还要额外带上 这个条件，多出一层负担。 求轨迹方程时，最后一步是回到定义检查。解出的方程可能多出一些点，例如把双曲线的两支都写上了而题目只要一支；也可能漏掉一些点，例如参数取不到的范围。把范围写在方程后面，答案才算完整。 这一节也常出现定值与最值。处理的办法是先借助定义把式子简化，再用几何不等式收尾：两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，以及 这类均值不等式，都是常用的工具。 动手前把所有已知条件翻译成坐标的等式，一条也别落下。圆锥曲线的题条件多，漏掉一条（例如「点在第一象限」或「直线的斜率存在」）就可能让最后一步出错。列清单是个笨办法，但确实管用。 例题 例 1-1 【解答】已知双曲线：的一个焦点与抛物线 ：的焦点重合.（1）求抛物线 的方程；（2）若直线：交抛物线 于A、B两点，O为原点，求证：以 为直径的圆经过原点O. 【解析】 （1）因为 ，所以 、，双曲线焦点在 轴上， 半焦距满足 ，即 ，两个焦点分别是 与 。 抛物线 的焦点是 ，它在 轴正半轴上， 所以只能是 ，，故 的方程为 。 （2）设 、。把 代入 得 ，所以 ，。 又 、，于是 。 所以 ， 即 。以 为直径的圆经过点 。 第 1 步　先把双曲线的焦点算出来 ◈ ，与 无关； 保证了两个分母都为正，不必分类讨论。 第 2 步　 用 与 表示 ◈ 设 后 ，把韦达定理代进去就出现了 的抵消，这是整道题的机关。 第 3 步　证圆过原点就是证垂直 ◈ 以 为直径的圆经过原点 ，等价于 ，写成坐标就是 。 答　(1) ；(2) 证明见解析 例 1-2 【解答】已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点．（1）求椭圆的离心率；（2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）、，所以 ，，， 离心率 。 （2）设 。代入 得 ，所以 ，。 因为 在椭圆内部、落在弦 上，所以 、 在 两侧， 与 异号。 于是 。 直线 交 轴于 ：由 得 ，同理 。 所以 。 而 ， 所以 。 又 到 轴的距离为 2，所以 。 令两个三角形面积相等：，即 。 若 ，则 ，；若 ，则 ，无解。 所以 ，直线 的方程为 或 ， 即 或 。 第 1 步　过 轴上定点的直线设成 ◈ 这样设能一并覆盖直线竖直的情形，而且代入椭圆后关于 的二次式最整齐，韦达定理只要算两个对称式。 第 2 步　利用 落在弦上拆面积 ◈ 在椭圆内部且在弦 上，所以 ，再由 、 异号写成 。 第 3 步　两个面积都化成 的倍数 ◈ ，而 由 、 纵坐标之差算出，也含 ；两边一比，这个因子正好约掉，只剩关于 的方程。 答　(1) ；(2) 存在， 或 例 1-3 【解答】已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为.（i）求的最小值；（ii）求的值. 【解析】 （1）实轴长为 2，所以 ，。 双曲线的渐近线为 ，即 ；右焦点为 ， 它到渐近线的距离为 。又 ， 所以这个距离等于 。由题设 ，故 的标准方程为 。 （2）设 ，代入 得 。 （ⅰ） 与左右两支各交一点，说明两个根异号，即 ， 所以 ，即 。 记 、，由 得 。 而 ， 所以 。 记 ，则 ， 求导得 ， 所以 在 上单调递增， 时取最小值，。 （ⅱ）记直线 、 的斜率分别为 、，倾斜角分别为 、。 ， 把 、 代入， 分子为 ，分母为 ，所以 ； 同理 。 所以 。 由 知两个倾斜角一个在 、一个在 ， 所以 ，其中正切值为 1 的角只有 ， 故 。 第 1 步　焦点到渐近线的距离等于 ◈ 右焦点 到渐近线 的距离是 ，这是双曲线的一条常用性质，记住它可以省掉一大段计算。 第 2 步　三角形面积先化成 ◈ 因为 、 都在 上， 中的 项会抵消，只剩 ；再用弦长公式把 用韦达定理表示。 第 3 步　两个倾斜角之和用 的加法公式 ◈ 先算出 与 ，再代 ；最后由乘积为负判断两角分别在直角两侧，把和的范围锁在 ，从而排除 。 答　(1) ；(2) （ⅰ），（ⅱ） 例 1-4 【解答】已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点.（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【解析】 （1）由 得 ， 又 ，所以 。 把 代入得 ，即 ， 解得 ，，所以 的方程为 。 （2）设 ，代入 得 ，整理得 ， 所以 ，。 由 得 ， 于是 。 由 得 或 。 与 有两个交点需要判别式为正：， 即 ，所以 舍去， 的方程为 。 （3）设 、 的中点为 ，外心 。 的坐标为 。 弦 的斜率为 ，所以它的垂直平分线斜率为 1 且过 ，即 。 由 、 得 ， 。 两式相加并整理得 。 其中 ； 又 ，， 所以 。 代入得 ， 再把 代入并化简：， 即 ， 从而 ，所以 。 故外心 在定直线 上。 第 1 步　先由离心率把 写成 的倍数 ◈ 给出 ，再把 代进方程，两个未知量一次解出。 第 2 步　 化成韦达定理的对称式 ◈ 由 把纵坐标之差也换成横坐标，点积最终整理成 ；别忘了用判别式排除只有一个交点的 。 第 3 步　外心是两条垂直平分线的交点 ◈ 弦 的垂直平分线给出 ；再由 、 两式相加（不是相减）消去二次项，代入上面的关系即可解出 ，最后发现 是常数。 答　(1) ；(2) ；(3) 证明见解析 练习 1-1. 【解答】设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．（1）若点的坐标为，求．（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．（ⅰ）证明：的周长为定值．（ⅱ）证明：的离心率大于． 解析　答：(1) ；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 （1）把 代入 得 ，所以 ， 抛物线为 ，焦点 ，准线 。 过 作 的垂线，垂足为 ， 所以 。 （2）设 （，，），则 。 设椭圆 的中心为 ，半长轴、半短轴分别为 、。 因为 、 的纵坐标相同且都在椭圆上，所以 与 同时成立， 两式相减得 。由 知 ， 所以仍取正号：，即 。 又 在椭圆上且纵坐标为 0，所以 到中心的距离就是 ， 即 。 （ⅰ）由抛物线定义， 到焦点与到准线的距离相等，所以 。 设 轴负半轴上的那个焦点为 ，则 。 又 、，而 、 的纵坐标都是 ，所以 ，。 由 得 ， 而 ，所以 ， 于是 ，从而 。 所以 的周长 ，是定值。 （ⅱ）由 在椭圆上得 。 椭圆要求 ，即 。 而 ， 代入得 ，即 ，所以 。 因为 在 轴正半轴上，所以 ，即 ， 于是离心率 。 而 ， 恰好与上面得到的条件一致，所以 。 1-2. 【解答】已知双曲线的左、右顶点分别为 ，在上，．（1）求的方程；（2）过的直线交于另一点（异于 ），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 解析　答：(1) ；(2) 证明见解析，定点为 （1）设 的左、右顶点分别为 、。 由 在 上得 。 又 ， 所以 ，。代回得 ，解得 ， 故 的方程为 。 （2）设 是 上的点（），则 。 由 、 得直线 。 直线 与 轴交于点 ：由 、 两点确定直线，令 解得 。 直线 的方程为 ，与 联立， 得 ，解得 。 下面算 。把 的分子分母同乘 ，整理得 。 把两边的乘积展开，并用 代掉 ，即得 ， 两边约去分母，所以 。 由 在 上得 。要证 、、 共线， 只需比较两个斜率：， 。 由 得 ， 所以 ，、、 三点共线，即直线 过定点 。 1-3. 【解答】已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程. 解析　答：(1) ；(2) 或 （1）设椭圆上一点为 ，它到 的距离的平方为 。 记 ，则 开口向下， 对称轴 。因为 ，所以 ，最大值取在对称轴处： 。 由题意 ，两边乘 得 ， 解得 或 ，由 得 ，所以 的方程为 。 （2）设直线 。代入 得 ， 所以 ，。 与椭圆有两个交点需要判别式为正：，即 。 直线 的斜率为 ，它与 的交点横坐标为 ； 直线 的斜率为 ，它与 的交点横坐标为 。 题设这两个交点重合，所以 ， 交叉相乘并约去 6 得 。 把 代入，得 ， 所以 ，进而 。 再代回 ：，解得 ， 与 一致。所以 ， 直线 的方程为 或 。 1-4. 【解答】已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标；（3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 解析　答：(1) ；(2) 证明见解析，定点 ；(3) 点 在定圆 上 （1）由 得 ，即 。 把 代入 得 ，，， 所以 的方程为 ，即 。 （2）设 ，、。代入 得 ，所以 ，。 由 得 。 把 代入，上式化为 。 把韦达定理代进去并两边乘 ，整理得 ， 因式分解得 。 若 ，则 ， 过点 ， 与 、 异于 矛盾，舍去。 所以 ，即 ，此时 ， 故直线 恒过定点 。 （3）由（2）知 恒过 ，而 在 上且 ，所以 ， 即点 在以 为直径的圆上。 与 的中点即圆心为 ， 半径 。 所以圆方程为 ， 展开整理为 。 1-5. 【解答】已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．（1）求的方程：（2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ii）证明：直线ME过定点． 解析　答：(1) ；(2) （ⅰ）不为定值，（ⅱ）证明见解析，定点为 （1）由 得 ，所以 。 直线 与椭圆交于 ，由 得 ， 截得的弦长为 ，所以 。 把 代入得 ，，，所以 。 （2）设 ，代入 得 。 E、F 都在 轴下方，所以两根都小于 0，，得 ； 再由判别式 得 。 记 （ 对应 ， 对应 ），则 ，。 由 与 得直线 ，它与 的交点 的纵坐标为 。 （ⅰ）不为定值。取 ：此时 ，两根为 ， 代入得 ，于是 ，， 所以 。 而当 无限增大时 、，从而 、、， 此时 。两值不相等，所以 不是定值。 （ⅱ）要证 、、 三点共线。以 为基准， 共线等价于 ， 即 。 把 的表达式代入并两边乘 ，左端化为 的形式， 右端化为 的相反数乘以 ； 再把 换成 ，两端含 的系数都是 ，恰好抵消， 剩下的常数项为 。 把 、 代入， 它等于 ， 所以三点共线，直线 过定点 。 1-6. 【解答】已知是椭圆上的两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 解析　答：(1) ；(2) ，轨迹为 且 （1） 在椭圆上且 ，所以 ，。 把 代入得 ，解得 ， 所以 的标准方程为 。 （2）设 、，， 的中点为 。 记 。由 、 都在椭圆上，两式相减得 ， 所以 的斜率 （需 ）。 是 的中垂线，所以 。 又 ，所以 与 平行， 在过 且斜率为 的直线上。 记 ，则 、，且 满足 。 两边乘 得 ， 整理得 ， 解得 ，代回得 。 于是 ， 而分子等于 ， 所以 ，即 在圆 上。 再看范围。 的中点 在椭圆内部，所以 ， 即 。记 ，则 ， 求导得 ，所以 随 单调递增。 由 得 。 所以 的轨迹方程是 且 。 联立与位置关系 圆锥曲线的解答题有一条主线索：设直线、联立、用韦达定理。这一节的所有题目都是这条线索的展开，彼此的区别只在「几何条件怎么翻译成代数式」。把这套流程做熟，看到新题也不会慌。 设直线之前先想清楚形状。设成 要额外讨论斜率不存在的情形，而斜率不存在的那条直线往往恰好是题目里的特殊位置；设成 则自动包含竖直线，讨论起来少一层麻烦。 题目里出现焦点时，把直线设成过焦点的形式常能简化运算。例如抛物线 的焦点是 ，过焦点的弦就写成 ，代入后一次项整齐、常数项也简单。 联立之后先看判别式，判断这条直线与曲线到底有几个公共点。但判别式为正只说有「两个公共点」，双曲线题里还要检查它们是否都在同一支上，办法是看两根之和与积的符号，或者干脆把两根解出来判断。 切线不必求导。椭圆、双曲线、抛物线在点 处的切线都有现成公式，把切点坐标直接代进去就能读出斜率，比先求导再代入省掉一半计算，也避免了求导时算错符号。 把几何条件翻译成坐标，是这一节最需要练的功夫。垂直写成数量积为零或斜率之积为 ；共线写成斜率相等；线段相等写成距离相等；角相等写成两个角的正切值相等或互为相反数。翻译这一步做对了，题目就成了一道纯粹的代数题。 角平分线的两种说法各有各的用处。从同一点出发的两条边与角平分线的夹角相等时，把三条斜率记作 、、，则 与 互为相反数，展开后是关于斜率的对称式，正好能用韦达定理代入。 定点问题的写法是把参数提出来。化简到最后若能写成 或 这样的形状，无论参数取什么值直线都经过那个定点，答案不用猜，直接读出来即可。 定值问题的要点是参数必须消掉。把待求量用韦达定理写成两根之和与积的组合，代入后若参数消失，定值就出现了。常见的机关是 与 中出现能互相抵消的项。 化简时优先把 换成 。直线写成 之后， 可以完全用 与 表达，直接代入韦达定理即可，不必真的把两个交点的坐标解出来。 要特别警惕退化情形：直线恰好过曲线上的某个已知点、两条直线重合、斜率不存在、分母为零。这些情形往往对应条件里的一个特解，必须单独验证并说明为什么要舍去，否则答案会平白多出一组解。 最后回头检查一遍：直线与曲线是否真的有两个交点？要求的点是否落在指定范围内，例如第一象限、右支或曲线内部？这些边界条件决定了答案里哪些值要保留、哪些要去掉。 例题 例 2-1 【解答】已知椭圆：，为右顶点，为下焦点，延长交椭圆于另一点．（1）求点的坐标；（2）设椭圆在点处的切线为直线，求直线与所夹锐角的正切值；（3）若直线与椭圆交于，两点（异于），使得，求证：直线过定点． 【解析】 （1）椭圆方程即 ，所以 、， ，。右顶点是 ，下焦点是 。 直线 的斜率是 ，方程为 。 代入 得 ，解得 （这就是点 ）或 ， 此时 ，故 。 （2）椭圆在点 处的切线方程是 ， 把 代进去得 ，即 ，斜率 。 直线 的斜率是 ，设两直线夹角为 ，则 。 （3）设直线 ，交椭圆于 、， 且 、 都不与 重合。记 ，则 ，。 把 代入 得 ， 所以 ，。 于是 ， 记 ，则 。 又 ，所以 。 同理 。 直线 的斜率是 。 说明 是 的平分线， 两个角的正切值相等、符号相反，即 ， 展开得 。 把上面的两式代入：， 即 ，两边乘 得 ， 也就是 ，即 。 所以 ，它对任意实数 都过定点 。 第 1 步　切线不必求导，用切点式更快 ◈ 椭圆 在点 处的切线是 ，把切点坐标代进去就能读出斜率，比先求导再代入省一半计算。 第 2 步　把「异于 」翻译成换元 ◈ 直线 与椭圆的两个交点都要绕开 ，换成 之后 恰是 ，而 这个式子里的 一出现在分母上，条件就自然进了分母。 第 3 步　角相等用两个正切值互为相反数 ◈ 就是 平分 。因为 、 在 两侧， 与 恰好一正一负，相加为零就得到对称式 。 答　(1) ；(2) ；(3) 直线 过定点 例 2-2 【解答】已知椭圆（）的左焦点为F，点在椭圆上，且轴.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆相切于点P，且点P在第一象限，过原点与直线l平行的直线与直线PF交于点Q，求的值. 【解析】 （1）因为 轴，且 在椭圆上，所以左焦点是 ，。 把 代入椭圆方程得 ，再由 得 ，即 ，解得 或 。 因为 ，所以 ，，椭圆方程为 。 （2）设 ，其中 、，则 。 椭圆在 处的切线为 ，它的斜率是 ， 所以过原点且与 平行的直线是 。 直线 上的点写成 的形式，把 的这个坐标代入上面那条直线， 得 ，两边乘 整理得 。 由 得 ，所以 。 于是 。 又 ， 所以 ，代入得 ，与点 的位置无关。 第 1 步　 轴就直接给出了 ◈ 的横坐标 与左焦距相等，所以 、，不必再去设未知数解 的坐标。 第 2 步　用 把 配成完全平方 ◈ 把 换成 之后， 恰好等于 ，分母上的 与 的分母一模一样，最后一约就只剩常数。 第 3 步　交点 用参数 写，不去解方程组 ◈ 在直线 上，直接令 ，只要定出 就有 ，把两式联立的功夫全变成了长度的乘法。 答　(1) ；(2) 例 2-3 【解答】已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值． 【解析】 （1）把 代入圆 的方程 ，得 ， 整理得 ，所以 （二重根），此时 。两曲线只交于点 ， 而 是二重根，说明它们在原点处相切，交点个数为 。 （2）设过 且与圆 相切的直线为 ，即 。 圆心 到它的距离等于半径 ，所以 ， 两边平方并记 ，整理得 ， 它的两根就是两条切线的斜率 、。 切线与 轴的交点横坐标由 得 ， 所以 。 由韦达定理，。 因为 在抛物线上，，所以 ，。 于是 。 由 得 ，所以 ， ，即 的取值范围是 。 （3）设两条切线的切点分别为 、，纵坐标为 、。 由 得切线长 。 因为 、、 共线， 在 轴上， 到 轴的距离是 ，所以 ， 再由 解得 ， 于是 ，同理 。 下面求 与 。切点 、 是圆 与圆 的交点， 两式相减得 ，把 代入得 。 把它代入 ，整理得 ， 所以 ，。 于是 ， 。 所以 。 而 ， 故 的周长 。 记 ，则 ， ， 等号当且仅当 即 、 时成立，此时 在抛物线上。 所以 周长的最小值是 。 第 1 步　两条切线的斜率是二次方程的两根，不必解出来 ◈ 把「到圆心距离等于半径」平方之后，切线的斜率 满足一个二次方程， 只用到 与 ，直接用韦达定理就行。 第 2 步　用 把根式整理干净 ◈ 与 里的 都要换成 ，前一个恰好化成 、后一个化成 ，开方约分后 只剩 。 第 3 步　切线长等于 ，把周长变成两根之比 ◈ 由抛物线的性质 ，切线长 正好是 ；再用相似得 ，于是周长只与两个切点的纵坐标有关。 答　(1) 一个，理由见解析；(2) ；(3) 例 2-4 【解答】已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且.（1）求C的方程；（2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H.（ⅰ）当时，求点P的坐标；（ⅱ）求的最大值. 【解析】 （1）把 代入 得 。抛物线 的准线是 ， 所以焦半径 ，解得 ，，故 的方程是 。 （2）（ⅰ）设 ，则 ，焦点 。 由 得 ，所以点 处的切线斜率为 ， 切线方程为 。令 得 ， 即 。 直线 的方向向量取 ，把 写成 。 由 得 ， 其中分子 ， 分母 ， 所以 ，于是 。 由 得 ，所以 ，，， 即 或 。 （ⅱ）把 代入 ，得 ，即 。 记 ，则 ，， 所以 ，即 。 这说明 在以 为圆心、半径为 的圆上，也就是 恒成立。 由三角不等式 ，而 ， 所以 。 取等需要 落在射线 上，此时 。 它确实可以取到：由 得 、， 取 就有 ，与上面的 吻合。 所以 的最大值为 。 第 1 步　焦半径一步定出 ◈ 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离， 的纵坐标是 、准线是 ，所以 ， 直接算出来，不必设 的坐标去解方程。 第 2 步　垂足 用参数 写， 是隐藏结论 ◈ 令 ，由 解出 ，这个式子把 恰好约掉，于是 对任意 都成立。 第 3 步　 的最大值用三角不等式 ◈ 既然 恒在圆 上，那么 ，再把取等的 反解回 ，验证它确实在抛物线上，最大值就到手了。 答　(1) ；(2) （ⅰ） 或 ，（ⅱ） 练习 2-1. 【解答】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 解析　答：(1) ；(2) （1）设 、。因为 、， 而 ，所以 ，即 ，。 由 、 相减得 。 再由 得 。 两式比较，若 就有 ，但抛物线上的点 ，矛盾， 所以 ，从而 。由 得 ， 再代入 得 ，即 、。 把 代入 得 ，，故 的方程是 。 （2）设 。抛物线 的斜率为 的切线为 ， 它过 当且仅当 ，设两根为 、，则 ，，且判别式 。 、 是两条切线的切点，所以 就是两切线的夹角， 。 由 在圆 上得 ，， 所以 。 方程 的两根是 ，它们在 之外， 所以 恒成立，判别式为正，两条切线总存在。 又 ，所以 。 记 ，则 。 由 知：当 时 ，当 时 ， 所以 在 处取最小值 ， 此时 取到最大值 ， 的最大值为 。 再看两端： 时 ； 时 。因为 ， 所以 的取值范围是 。 2-2. 【解答】已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心．（1）求圆的标准方程．（2）设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于．（3）为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 解析　答：(1) ；(2) 证明见解析；(3) （1）圆 与两坐标轴都相切、圆心在第一象限，所以圆心为 、半径为 （）， 即圆 。 把圆心 代入 得 ，由 得 ， 所以圆 的标准方程是 。 （2）把 代入圆 的方程，并记 ，则 ， 此时 、，方程化为 ，即 。 展开得 。若 ，则 、、，左边大于 ，无解； 若 ，则 、、， 左边不小于 ，也无解。 所以两个交点的纵坐标都满足 ，即 、 到 轴的距离均不小于 。 （3）圆心 满足 ，所以 本身也在 上。 设过 的直线 ，即 （）， 代入 得 。 其中一根是 （对应 ），所以另一根 。 又 ，焦点 ， 。 因为 在 上，所以 ，于是 ，， 所以 。 于是 。 因为 ，所以上式不小于 ，且当 （即 ，此时 为原点）时取到等号， 故所求的最小值是 。 2-3. 【解答】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.（1）求的方程.（2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.（3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由. 解析　答：(1) ；(2) ；(3) 存在，圆 （1）过焦点 的弦中，最短的是通径，其长度为 ，所以 ，， 故 的方程是 。 （2）设 ，则 （）。 抛物线 在 处的切线为 ，斜率为 。 所以过 且与 垂直的直线的斜率为 ，取它的方向向量为 。 该直线上的点写成 ，代入 得 ，即 ， 整理得 。 对应点 ，所以另一点 对应 ，于是 。 记 （），则 。 所以 在 上单调递减、在 上单调递增， 的最小值为 。 （3）设过焦点 的直线为 ，代入 得 ， 所以 ，。 由 得 ， 弦长 。 以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 。 若存在满足条件的定圆 、半径为 ，由于 随 增大而增大，只能是 。记 ，由 得 。 它对一切 成立，所以 、， 解得 、，此时 确实成立。 所以存在定圆 ，使得以 为直径的圆始终与它内切。 2-4. 【解答】已知点，是直线上的一点，过作的垂线，线段的垂直平分线交于点．当在上运动时，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）证明：直线是的切线；（3）已知圆的圆心在第一象限内，与有唯一的公共点，且与轴相切于点，求圆的方程． 解析　答：(1) ；(2) 证明见解析；(3) （1）设 。因为 是水平线，所以过 的垂线 是竖直线 。 线段 的中点为 ，而 ， 所以 的垂直平分线 的斜率为 ，方程是 。 它与 交于点 ，把 代入得 ， 所以 ，即 ，故 的方程是 。 （2）由 得 ，所以 在点 处的切线斜率为 ， 切线方程为 ，即 ，这正是直线 。 所以直线 是 的切线，切点就是 。 （3）圆 与 轴相切于点 ，所以圆心在 上，设为 且 ， 半径等于 ，即 。 设 与 的唯一公共点为 ，则 ，且两曲线在该点相切。 在 处切线的斜率是 ； 在 处的半径方向为 ， 切线斜率是 ，所以 ， 整理得 ，即 。 又 在 上，所以 ，即 。 把 代入得 ， 即 。再由 得 ， 整理得 ，解得 （另一根 舍去）。 所以 ，。由 得 ，即 ， 此时 ，半径也是 ， 故圆 的方程是 。 2-5. 【解答】已知抛物线，，点在上．（1）求的最小值；（2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．（ⅰ）求直线斜率的取值范围；（ⅱ）证明直线过定点． 解析　答：(1) ；(2) （ⅰ），（ⅱ）直线 过定点 （1）设 在 上，则 ，圆心 。 。记 ， 则 ，它的对称轴是 ， 所以最小值为 ， 即 的最小值是 。 （2）横坐标为 的点是 。设过 的切线为 ，即 ， 由圆心 到它的距离等于 得 ， 两边平方整理得 ，它的两根为 、， 所以 ，。 （ⅰ）切线 与 的公共点满足 ，即 ， 其中 对应点 ，所以另一个交点的横坐标是 。 设 、 的横坐标为 、，则直线 的斜率 。 由 得 ，所以 ， ，从而 。 （ⅱ）记 ，则 。由 得 ，于是直线 在 轴上的截距 。 由 得 ，所以 。 故直线 的方程为 ，即 ， 它对一切 都过点 ，所以直线 过定点 。 2-6. 【解答】已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求；（2）若点的纵坐标为，求；（3）求证：直线与抛物线相切． 解析　答：(1) ；(2) ；(3) 证明见解析 （1）把 代入 得 。直线与抛物线相切，所以 ，由 得 。 （2）由（1）知 。 与 关于 对称，把 、 互换即得 。 设 （它满足 ，在 上）。 上斜率为 的切线为 ，它过 当且仅当 ， 即 ，所以 ，。 该切线与 的公共点满足 ，即 ， 其中 对应点 ，所以另一个交点的横坐标是 。 由 得 ，纵坐标为 ， 所以 、。 当 的纵坐标为 时，，，于是 、， ，。 此时 、 的横坐标之差为 、纵坐标之差为 ， 所以 。 （3）由 、 的坐标得直线 的斜率 ， 所以 的方程为 ， 展开并约去含 的项得 。 而 上斜率为 的切线为 ，与 的方程完全相同， 所以直线 与抛物线 相切。 弦长与中点弦 弦长与中点是圆锥曲线解答题里出现最密的两样东西。这一节把它们的常用公式集中起来：弦长看两条公式，中点想点差法，抛物线的弦则优先用纵坐标作参数。三者配合起来，多数题都能顺利走完。 弦长的第一条公式是 ，适用于直线设成 的情形；第二条是 ，适用于 。用哪一条，取决于代入后剩下的变量是 还是 。 公式里的 一律用韦达定理写成 ，不要试图把两根解出来。这条改写是弦长题的固定动作，也是把计算限制在两根之和与积上的关键。 抛物线里的焦点弦长有更简单的结果：过焦点的弦长等于 ，其中最短的一条是通径，长度为 。这条结论在求弦长范围或最值时经常一步到位，省去了套两层根号的麻烦。 抛物线还可以用纵坐标把弦的斜率写出来：纵坐标为 、 的两点，所在直线的斜率是 ；而这条直线过焦点等价于 。把它们当工具用，运算量能减掉一半。 中点弦的标准工具是点差法：两个端点各代一次方程再相减，平方差公式会把 与中点的坐标联系起来。这一步不要跳过去，它是后面所有中点结论的来源，也是证明题里唯一能写的推理。 由此得到椭圆的中点弦性质：弦的中点 与原点连线的斜率 与弦的斜率 满足 ；双曲线对应的是 ，用之前要看清楚是哪种曲线。 这个性质反过来也能用：已知中点的位置就能立刻写出弦所在直线的方向，不必再设两个端点、也不必解方程组。它是「中点弦」三个字的全部含义，也是这一节题目的主要得分点。 中点还常常出现在几何关系里。题目同时给出两个中点时，先去找三角形的中位线，把待求的线段换成另一条边的长度，往往比硬算坐标快得多，也更容易看出定值究竟藏在哪里。 中垂线问题回到两个条件：点到线段两端距离相等、且与原线段垂直。把中点的坐标与垂直条件都写出来，中垂线的方程就定了，再与题目给出的直线求交点，或者用它来证明某个点在定直线上。 弦的中点落在曲线内部，这条看似普通的事实是求参数范围的主要工具。把中点坐标代入曲线方程，等号改成不等号，范围就出来了。范围的开闭由原来的条件决定，通常是不取等的。 弦长的最值问题化成单变量函数后，优先试换元（把 记为 ），能凑成 就用均值不等式，凑不成再求导。算出最值后，别忘了回头确认等号能在允许的范围内取到。 例题 例 3-1 【解答】已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N.（1）求的最大值；（2）证明：直线QN经过AB的中点；（3）若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 【解析】 （1）设 （）。抛物线 在 处的切线为 ，即 ，它与 轴交于 。 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，所以 。 由 得 ， 等号在 时成立，所以 的最大值是 。 （2）过 且平行于 的直线为 ，代入 得 、， 即 。直线 的斜率为 ，设 在 上， 则 ，由 得 ， 所以 。 直线 是竖直线 ，直线 ，两线交于 。 的中点为 ，即 。 而 与 的纵坐标都是 ，所以直线 就是 ， 点 也在它上面，即直线 经过 的中点。 （3）设过 、、、 的圆为 。 把 代入得常数项为 ，再把 代入得 ，即 。 把 代入：，约去 得 。 把 代入：，约去 得 。 两式相等，，解得 ，由 得 ， 所以 点的坐标为 。 第 1 步　把 设成 ，一条参数走到底 ◈ 抛物线 上的点写成 之后，切线、平行线、交点的坐标全都能用 表示，最后才回代求 ，比设 少背一层 。 第 2 步　 化成一除以 ◈ 两直线斜率分别是 与 ，夹角公式整理后恰好是 ，于是最值直接由均值不等式给出，等号位置也一并到手。 第 3 步　四点共圆用圆的一般式 ◈ 圆过 就说明常数项为 ，再过 就定出 ，剩下一个待定系数 ；把 、 分别代进去得到两个 ，让它们相等即得 。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 例 3-2 【解答】已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点．（1）求的方程；（2）证明：是定值；（3）是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）椭圆 的右焦点为 ，所以 ， 由 得 ，即 ，故 的方程是 。 （2）设 ，由 、 关于 轴对称得 ， 于是 是 的中点，；又 是 的中点，。 在 中，、 分别是 、 的中点，所以 是中位线， 且 。 设椭圆的左焦点为 。因为 与 关于 轴对称，而 与 也关于 轴对称， 所以 ，于是 。 又 ，所以 ，是定值。 （3） 即 。由前面的坐标得 ，， 所以 ， 即 ，也就是 ， 故 。 又 在 上，，即 。 把 代入得 ，，， 此时 ，。 所以存在满足条件的点 ，坐标为 、、 、，共 个。 第 1 步　 用中位线，不必算坐标 ◈ 、 是 两边的中点，所以 是中位线，；把中点坐标代进距离公式再开方，是白费力气。 第 2 步　 来自两次轴对称 ◈ 与 关于 轴对称， 与左焦点 也关于 轴对称，所以把 、 同时换成镜像的 、，距离不变。 第 3 步　 就是两个向量点积为零 ◈ 把 、、 的坐标都写成 、 的式子，点积为零整理成 ，再与椭圆方程联立即可。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 存在， 的坐标为 （共 个） 例 3-3 【解答】已知的三个顶点都在抛物线上，其中．（1）当是直角三角形且时，证明直线过定点；（2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）设直线 ，、。 代入 得 ，所以 ，。 由 得 ，同理 。 因为 ，所以 ，即 。 展开得 ，把韦达定理代入： ，即 。 所以 ，它对任意实数 都过定点 。 （2） 过 时仍有 。 以 为底边的等腰三角形 等价于 ，而 不在直线 上，这又等价于 在 的垂直平分线上。 设 的中点为 ，则 、。 由 得 ， 所以 。 直线 的方向向量取 ， 即 ，整理得 。 记 ，则 ， 而 的判别式为 ，所以 恒成立， 严格递增。 又 、，所以方程在 内有且只有一个实根， 记这个根为 。此时 ，直线与抛物线的判别式 ， 确实交于两点。所以存在满足条件的等腰 ，且这样的三角形有 个。 第 1 步　抛物线里的弦设成 ◈ 抛物线 的开口朝右，用 可以表示竖直方向的直线，而且代入后 的二次方程韦达定理形式最简单；同时 也顺手。 第 2 步　 化成 ◈ 两条直线的斜率分别是 与 ，相乘得 之后，留下来的正好是 与 的组合，直接换成 、。 第 3 步　底边条件就是 在中垂线上 ◈ 等价于 （ 为中点），所以只要把中点坐标写出来做一次点积，问题就变成一个关于 的三次方程。 答　(1) 直线 过定点 ；(2) 存在，且这样的三角形有 个 例 3-4 【解答】已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上两点满足．（ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程；（ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【解析】 （1）设右焦点 。因为直线 与圆 相切于点 ， 所以 在圆上，，且 。 由 得 ，与 垂直当且仅当 ， 结合 可知条件成立。于是 ，即 。 把 代入椭圆：，代入 得 ，即 ，解得 或 。 由 得 、，所以 的标准方程是 。 （2）（ⅰ）当直线 的斜率不存在时，设 ，、。 由 得 ， 即 。又 在 上，， 所以 ，整理得 ，解得 或 。 当 时 ，， 或 与 重合，舍去。 所以直线 的方程是 。 （ⅱ）设 （斜率存在）。代入 得 ，所以 ，。 由 得 ， 把 代入并整理，得 ， 它恰好分解为 。 若 ，则直线 过点 ，而 在椭圆上， 于是 或 与 重合，舍去；所以只能是 ，即 。 圆心 到 的距离 。 记 ，则 ， 所以 在 处取最大值 ， 的最大值为 。 当 时 ，满足 ，直线与椭圆确有两个交点。 圆 的半径为 ，直线 被圆 截得的弦长为 ，它随 的增大而减小， 所以弦长最小值为 。 而（ⅰ）中 对应 、弦长 ，故最小值确为 。 第 1 步　「相切于点 」直接给出 ◈ 切点在圆上，所以 就是半径 ，即 ；再用与半径垂直验证 的坐标，比设 求切线省事。 第 2 步　 整理成能因式分解的方程 ◈ 把两条斜率的乘积写成 并代入韦达定理，最后得到一个能分解成两个一次因式的等式 —— 其中一个因式正好对应「 过 」的退化情形。 第 3 步　弦长最小等价于圆心到弦的距离最大 ◈ 圆内弦长是 （半径 ），它随 增大而减小，所以只要把 关于 的表达式求一次最大值，最小值就出来了；退化情形要单独核对一遍。 答　(1) ；(2) （ⅰ），（ⅱ） 练习 3-1. 【解答】已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点．（1）求椭圆C和圆M的标准方程；（2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 解析　答：(1) 椭圆 ，圆 ；(2) （1）由 得 ，所以 。 把 代入椭圆得 ，而 ， 所以 ，，，椭圆 。 圆 的标准方程是 。 （2）设 （），代入 得 ，所以 。 为 的中点，故 ， 。 由 得 ， 即 ；又 在圆 上，， 即 。两式相减得 。 代回圆方程得 ，所以 。 由 得 ，于是 。 由 得 ，结合 得 。 3-2. 【解答】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且．（1）若点为的中点，求的长度；（2）过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程． 解析　答：(1) ；(2) 或 （1）双曲线 中 、，所以 ，， 右焦点 。设 在右支上。 由 得 ，即 ； 又 ，所以 ，，，。 为 的中点，所以 ， 。 （2）设过 的直线 ，代入 得 ，所以 ，。 的面积 。 而 ， 所以 。 由 得 ， 两边平方并记 ：，即 ， 解得 或 。 当 时，，，两根同号；以 为例， 的两根为 ，而 要求 ， 其中 ，对应点在左支，不合题意； 同理。 当 时，，，两根异号， 方程化为 ，取 得 ， 对应的 分别为 与 ，都大于 ，两点都在右支上。 所以直线 的方程为 或 。 3-3. 【解答】已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.（1）证明：圆与的准线相切；（2）证明：；（3）求. 解析　答：(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) （1）设过 的直线为 （），代入 得 ，所以 ， 。 于是 ，圆的半径 。 抛物线 的准线是 ，点 到它的距离为 ， 所以圆 与准线相切。 （2）记 、，由 得 。 把 用 换成 的式子，可得 ，， 而 在 右边且 轴，所以 。 把 代入 的坐标，可得 ， 再由 、 得 。 抛物线 上两点 、 连线的斜率是 ， 所以 ，解得 。 同理 ，。 于是 ，直线 的斜率为 ， 所以 。 （3）由 得 ，。 因为 ，所以 ，即 。 3-4. 【解答】已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 解析　答：（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 （Ⅰ）因为 是椭圆的下顶点，所以 ； 由 得 ，于是 ， 椭圆的方程为 。 （Ⅱ）右焦点 ，由 得 。 设 在椭圆上且异于顶点，则 的中点 。 因为 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ，即 ， 两边乘 得 。 又 在椭圆上，，即 ，代入上式得 ，即 。 把它代回 ，并记 ，得 ，即 ，解得 或 。 当 时 ， 是椭圆的顶点，与「 异于顶点」矛盾，舍去； 当 时 ，，即 或 。 若 ，直线 的斜率为 ，方程为 ； 若 ，斜率为 ，方程为 。 所以直线 的方程为 或 。 3-5. 【解答】已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过的直线与有且只有一个公共点，且与交于两点．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 解析　答：(1) ；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 （1）设 ，则 。过 作 轴的垂线，垂足为 ； 过 作 轴的垂线，垂足为 。 所以 的中点 ，即 、， 代入 得 ，即 ， 故 的方程为 。 （2）（ⅰ）直线 的斜率 。 双曲线 在 处的切线为 ， 它的斜率为 ，于是 ，所以 。 （ⅱ）由 得 ，代入 得 。由 得 ， 所以 ，从而 。 又 ， 而 ，所以 ，。 于是 的中点坐标为 ，正是点 ， 所以 。 3-6. 【解答】已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）证明：；（3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于． 解析　答：(1) ；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 （1）双曲线的左顶点为 ，所以 ；离心率 ，所以 ， ，故 的方程是 。 （2）右焦点 。设 在 的右支上且 ， 记直线 的倾斜角为 、直线 的倾斜角为 。 因为射线 指向 轴负方向，所以 ；而射线 指向 轴正方向，。 ，，要证 ，即证 ， 也就是 。 把正切值代入右边：， 所以只需检验 ，即 ， 也就是 。而由 得 ，恰好成立。 又 与 都是 内的角，正切值相等即两角相等， 所以 。 （3）设 ，因为 与右支交于两点，所以 。 代入 得 ，所以 ，， ，直线 。 直线 过 且与 垂直，方程为 ； 与 联立得 ，即 ，，。 ， 所以 。 点 到直线 的距离 。 所以 的面积 。 记 。， 所以 ，即 ， 故 。 面积问题 面积是圆锥曲线压轴题的常见收尾。它看起来计算量大，但只要选对了算法、把表达式化简到位，工作量并不比前几节多。关键是别急着代入数字，先把式子化简再说。 选算法的依据是图形的形状。有一个顶点在原点或焦点、另外两个顶点在曲线上时，用 最快；底边恰好落在坐标轴上时，底乘高的一半更直接。 抛物线的焦点弦与原点围成的三角形最典型。以 为底、两个交点纵坐标之差为高，面积是 ，而 用韦达定理就能算，参数只剩一个。 四边形的面积有两条路：拆成两个三角形相加，或者用两条对角线写成 。当题目里那个已知点恰好是对角线的交点时，第二条路会快很多，因为求交点这一步可以省掉。 用对角线算面积前先确认哪两条是对角线。顶点按题目给出的字母顺序连线，交叉的两条就是对对角线，写出来做叉积取绝对值即可。顺序看清了，就不会把邻边误当成对角线。 面积比的问题一定要先找公共的底或公共的高。同底的两个三角形面积比等于高的比，同高的等于底的比。把比值还原成线段之比之后，题目往往就变成了弦长或中点问题。 两条弦交于同一点时，线段之间存在倍数关系。把这个倍数求出来，大面积就可以写成小面积的倍数，而小面积的三个顶点恰好是已知点与两个交点，坐标早就在手，算起来轻得多。 接下来就是把面积化成一个单变量函数。参数可以取斜率、截距，也可以取某个交点的坐标，哪种能让式子最短就取哪种，通常用纵坐标作参数效果最好，能让根号少掉一半。 函数出来之后求最值：能凑成 形状的用均值不等式，含 一类式子的求导。求导时把偶次项记成一个新字母，导数的零点常常只有一个，整理后是关于 的二次方程。 对称性能省掉一半计算。图形关于坐标轴对称时只算一半再翻倍；两条直线倾斜角互补时交点互为对称点，甚至能直接判断某些交点在坐标轴上，面积表达式也跟着简化。 写答案前检查两件事：驻点是否落在参数的允许范围内，以及均值不等式的等号能否取到。能取到就是最大值或最小值，取不到就只能是取值范围，括号也随之改变。 面积的范围问题还要注意不等号的来源。由「点在曲线内部」得到的是严格不等式，由「弦与曲线有两个交点」得到的通常也是严格的，这些决定了最终区间的开闭，来不得半点含糊。 例题 例 4-1 【解答】已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．（1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；（2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 【解析】 （1）椭圆 的左顶点是 ，上顶点是 ， 所以 。 设 ，、，且 、 都不与顶点重合。 代入 得 ，所以 ，。 由 得 ， 去分母并代入 ：。 把韦达定理代入并两边乘 ，得 ，即 。 若 ，则 过点 ，、 中必有一个是顶点，不合题意，所以 ，整理得 。 于是 ，它对任意实数 都过定点 。 （2）由 、、 成等比数列得 。 设 （），则直线 ，代入 得 ，其中一个根 对应点 ，所以 ，。 同理 ，把 换成 得 ， 。 所以 是竖直线 ，。 记 ，点 到 的距离为 ，所以 。 把 换成 时 、 互换、面积不变，所以不妨设 ， 此时 ，求导得 。 令 ，得 （另一根小于 ，舍去）， 此时 ，，，， 代入得 。 所以 面积的最大值为 ，此时 ，即 。 第 1 步　等差条件化成 与 的组合 ◈ 把 通分，分子里的 用 换掉，就只剩 与 ，代韦达定理即可；顺带发现 是「 过 」的退化情形。 第 2 步　等比条件不要用 的方程，改用「过 的弦」参数 ◈ 若仍设 ，等比条件会解出 ，与 、 非顶点矛盾 —— 这说明满足条件的 是竖直的，用「直线 的斜率 」作参数才看得见这一点。 第 3 步　面积关于 与 对称 ◈ 把 换成 只是把 、 互换，面积不变，所以只需讨论 ，这样绝对值可以去掉，求导也简单。 答　(1) 证明见解析（直线 过定点 ）；(2) 例 4-2 【解答】过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 【解析】 （1）抛物线 的焦点为 。设过 的直线 的斜率为 （）， 则 ，令 得 ，即 。 过 且与 垂直的直线 的斜率为 ，所以 。 另一方面，抛物线 上以 为斜率的切线方程为 ， 把 代入得 ，与 的方程完全一致， 所以直线 与 相切。 （2）当 时 ，，（）。 与 联立得 ，所以 ，弦长 。 再由（1）知切线 的斜率为 ，设切点为 。 在 处的切线斜率为 ，所以 ，， ，即 。 点 到直线 的距离为 。 所以 。 记 ，，求导得 ， 所以 在 上递减、在 上递增。 当 时 ， 所以 面积的最小值为 。 第 1 步　过焦点的弦设成 ， 的坐标立刻出来 ◈ 令 得 ，这是后面所有计算的起点；第 (2) 问里「切点」也是用切线斜率推出来的，不必解方程组。 第 2 步　抛物线的切线方程当工具用 ◈ 上以 为斜率的切线是 。把 的斜率代进去，逐项与 对照，一句就证完相切。 第 3 步　面积写成 后一步求导 ◈ 弦长 与距离 相乘再乘 ， 恰好约掉一部分，剩下的函数求导后只有 一个零点。 答　(1) 证明见解析；(2) 例 4-3 【解答】已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，．（1）求点坐标；（2）求证：直线的斜率为定值；（3）求四边形面积的最大值． 【解析】 （1）把 代入 得 ，所以 。 点 在第一象限，故 ，。 （2）设 在椭圆上且 、、 三点共线。把 写成 ， 即 ，。 代入 。因为 在椭圆上，展开后不含常数项，得 ， 其中 、。 计算得 ， ， 所以 （另一个根 对应点 ）。 同理 ，用的是同一个 。 于是 ， ， 而 （否则 ，与 在椭圆内部矛盾），所以 ，为定值。 （3）四边形 的两条对角线 、 交于点 ，所以 。 由 得 ，同理 ， 所以 。 而 ， 所以 。 记 。由 在椭圆内部得 ，即 。 求导得 ， 所以 在 处取最大值， 。 所以四边形 面积的最大值为 。 第 1 步　把 写成 ，用椭圆方程解 ◈ 因为 已经在椭圆上，代入后 的二次式没有常数项，一根是 （对应 ），另一根就是 ；、 用的是同一个 ，这是全题的关键。 第 2 步　 的分子分母只差一个倍数 ◈ 与 都含因子 ，约掉后只剩常数 ； 由「 在椭圆内部」保证。 第 3 步　四边形面积化成 ◈ 两条对角线交于 ，而 、，于是面积等于 的 倍，剩下的只是一个单变量函数的最值。 答　(1) ；(2) 定值 ；(3) 例 4-4 【解答】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．（1）求的方程；（2）证明：点在定直线上；（3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【解析】 （1）抛物线 的顶点为原点、焦点为 ，所以 ，， 的方程是 。 （2）设 、，则直线 的方程为 。它过 ，所以 ，即 。 过 作 轴的垂线，得水平线 ；直线 的斜率为 ，方程为 。 由 得 ，所以 恒在定直线 上。 （3）直线 的斜率为 ，方程为 ，它与 的交点为 。 四边形 的两条对角线为 与 ，其面积为 。 把 代入并整理，可得 ， 所以 。 由均值不等式 得 ， 等号当且仅当 时成立， 所以四边形 面积的最小值为 。 第 1 步　用「弦的纵坐标」作参数 ◈ 把 、 写成 、，弦 的方程是 ，过 一步给出 。 第 2 步　 在定直线上只用了 ◈ 直线 的斜率是 ，与 联立得 ，所以 的横坐标是常数，纵坐标随 而变。 第 3 步　四边形面积用两条对角线的叉积，最后化成 ◈ 、 在抛物线上、、 在直线 上，两组对角线的叉积整理后恰好是一个完全立方，于是最小值由均值不等式直接给出。 答　(1) ；(2) 点 在定直线 上；(3) 练习 4-1. 【解答】已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值． 解析　答：(1) ；(2) 的轨迹为直线 ，点 到直线 距离的最小值为 （1）设正三角形 的边长为 ，则 ，，。 因为抛物线 关于 轴对称，而 ，所以 轴。 设 （）、，则 ，。 点 到 的距离就是正三角形的高 ，所以 。 把 代入 得 ，，故 的方程是 。 （2）设 、。抛物线 在 、 处的切线分别为 与 ，两式相减得 ，即交点 的纵坐标为 ； 把它代回并整理得 的横坐标为 。 直线 的方程为 ，它过 ，所以 ， 于是 ，即动点 的轨迹为直线 。 点 到直线 的距离为 ， 所以 ，等号在 时成立，即点 到直线 距离的最小值为 。 4-2. 【解答】设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．（1）求抛物线E的标准方程；（2）若直线l过点T，求的面积；（3）若直线平分，求直线l的斜率． 解析　答：(1) ；(2) ；(3) （1）当直线 垂直于 轴时， 与 的横坐标相同，都是 。 把 代入 得 ，取 （ 在 轴上方），即 。 由焦半径公式 得 ，所以 的标准方程是 。 （2）直线 过 与 ，斜率 ，所以 。 代入 得 ，即 ，所以 。 焦点 到 的距离 ， 所以 。 （3）设 （它过 ），代入 得 ，所以 ，。记 、，则 ，（因为 ）。 于是 ， 。 直线 的斜率为 。由 平分 得 ，即 。 把上面的两式代入：， 两边乘 得 ，解得 或 。 当 时， 与 的交点之一是 ，它与 的横坐标相同， 此时 或 竖直、斜率不存在，且 与 的交点位于线段 之外，不合题意； 当 时， 与 的交点纵坐标为 ，确实在线段 上。 所以 ，直线 的斜率 。 4-3. 【解答】已知椭圆的右焦点，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为.（i）求证：直线恒过定点；（ii）求面积的取值范围. 解析　答：(1) ；(2) （ⅰ）直线 过定点 ，（ⅱ） （1）右焦点为 ，所以 ；短轴长为 ，所以 ， ，椭圆 的方程为 。 （2）直线 即 ，它过点 。代入 得 ，所以 ，。 （ⅰ）点 的坐标为 ，直线 的斜率为 。 由上面两式消去 得 ，所以 ， 于是 。 直线 的方程为 ，即 ， 它对任意实数 都过点 ，所以直线 恒过定点 。 （ⅱ） 的面积 。 整理得 。由 把 换掉， 并利用 ，可得 。 而 是方程 较大的根，所以 ，， 于是 。 记 ，，求导得 ， 所以 在 上单调递减，最大值为 ， 而当 时 ，故 面积的取值范围是 。 4-4. 【解答】已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．（1）当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；（2）当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围． 解析　答：(1) 或 ；(2) （1）当 垂直于 轴时，，它与 交于 、。 设 ，代入 得 ，所以 。 四边形 的两条对角线 、 交于点 ， ，两条对角线的夹角正弦为 ，所以 。 由 得 ，解得 ，， 故直线 的方程为 或 。 （2）设 （）、，两直线关于 轴对称。 设 与 交于 （上方）、（下方）， 则由对称性， 与 的交点为 （上方）、（下方）。 直线 与 也关于 轴对称，所以交点 在 轴上。 设 、，由 得 、。 在直线 上取参数，由纵坐标为 解得 ， 所以 。 记 ，则 、， 、，于是 ，，。 设 的内切圆圆心为 ，由内心的坐标公式 ， 把三个长度代入并化简（其中 ），得 。 记 ，则 。 由 知 随 增大而减小， 时 、； 时 、， 所以内切圆圆心横坐标的取值范围是 。 4-5. 【解答】抛物线的焦点为，且过点．（1）求的方程；（2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标． 解析　答：(1) ；(2) ①证明见解析，② （1）把 代入 得 ，，所以 的方程是 。 （2），，线段 是竖直线段 （）。 设过 的直线 ，它与 交于点 。 因为 在线段 上，所以 。 把 代入 得 ， 所以 ，且 、（焦半径）。 ① 到直线 的距离等于 。因为 竖直， ，而 ，所以 ，同理 。 由 得 ， 所以 ，即点 到 和 的距离相等。 ② 由 、 得 ， 。 两面积相等，所以 。 由 、 得 ， 而 （否则 ，、 的纵坐标同为 ，与 只交于两点不符）， 故 ，即 。 又 在 上，，把 代入得 ， 解得 ，所以 ，， 即 。 4-6. 【解答】在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为．（1）若，且轴，求；（2）求关于的表达式；（3）当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 解析　答：(1) ；(2) ；(3) ，定值为 （1）当 且 轴时，，它与 交于 、， 所以 ，点 到 的距离为 ， 。 （2）设直线 ，代入 得 ， 所以 ，。 直线 上的点可写成 的形式，点 对应 ，所以 ，， 。 点 到 的距离 ，， 所以 。 （3） 的面积 。 而 ， 所以 ， 。 要使 与 无关，必须且只需 为常数， 即 。此时 ，， 所以当 时 为定值 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $