专题：圆锥曲线的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

（决战高考）专题：圆锥曲线的方程-2027年高三数学复习题 一、选择题 1．过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 6．已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（　　） A．6 B．3 C． D．2 7．双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（　　） A． B． C． D． 8．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知抛物线 斜率k（k>0)的直线l过点（1，0)， △ABC为等边三角形， A在y轴上， B，C在l上，则（　　) A．抛物线准线方程为x =-2 B．l与y轴交点为（0，-k) C．若l与E相交于唯一点，则抛物线焦点在直线AB上 D．k=2时， △ABC面积最小值为 10．已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 11．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C． D．当直线斜率都存在时， 三、填空题 12．已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为　 　. 13．设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为　 　 14．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于　 　． 四、解答题 15．矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． （1）求的方程； （2）若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 16．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. （1）求双曲线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 17．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）. （1）当时，求的准线方程. （2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上. （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围. 18．已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）若的面积为24，求点的坐标． （3）已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 19．已知椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，的短轴长比的长轴长小2. （1）分别求，的方程； （2）直线与交于，两点，与相切于点. （i）若为的中点，求的方程； （ii）直线过交于，两点，，证明：. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A,B,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,C 12．【答案】​​​​​​​ 13．【答案】 14．【答案】​​​​​​​ 15．【答案】（1）解：依题意，，，则，，半焦距， 所以椭圆的方程为. （2）证明：依题意，以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时； 当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线， 由消去得：， 由， 化简得， 设直线的方程为，同理得：， 于是是关于的一元二次方程的两根， 则，， 又，因此，则，即， 所以是直角三角形. 16．【答案】（1）解：由双曲线，得，则， 因为双曲线的离心率为​​，得， 由双曲线关系，得， 则双曲线的方程为. （2）解：由，得， 设，， 则向量，， 由​​，得， 解得​​， 代入双曲线方程，得​​或， 则直线的斜率， 所以，直线PQ方程为​或. （3）解：设直线，， 则，圆与轴相切， 所以，圆的半径， 联立直线方程与双曲线方程， 整理得， 由两点在双曲线左支，得， 设，中点， 由韦达定理，得， 则， 所以， 则， ，， 设， 由切线性质，则， 令，代入得， 由，得， 设， 代入上式，得， 可知二次函数在内单调递增， 所以，则， 由切线性质，可知是直角三角形， 所以是锐角，则， 所以​​， 则的取值范围. 17．【答案】（1）解：当时，点的坐标为，则的准线方程为； （2）解：（ⅰ）因为的两个焦点均在轴上，且经过，，，， 由对称性可知，的中心为线段的中点，即，实半轴长为，设的方程为（）， 的横坐标为，，均在上，则的横坐标为， 设，因为点在上，所以，代入的方程得，解得， 故的方程为； （ⅱ）由题知，，设，则，， 当时，过，，三点不能作双曲线， 当时，线段中点的横坐标与的横坐标相等， 过，，三点不能作双曲线，则且， 因为的两个焦点均在轴上，所以设的方程为（，）， 将，，的坐标代入的方程，得①，②，③， ②－③得，因为，所以， 由①得，， 由③得，，而， 则，代入， 得，， 由且，得且， 故的离心率的取值范围为. 18．【答案】（1）解：由题可知，，则， 因为三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）解：设，因为的面积为24，所以，得， 由，得， 因为是的重心，所以或或或； （3）解：由题可知的斜率存在，可设的方程为， 由，得， 则，得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 则， 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 19．【答案】（1）解：由题意，得椭圆， 所以，椭圆的离心率为， 因为椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍， 所以， 整理得①， 又因为椭圆的短轴长比椭圆的长轴长小2， 所以②， 联立①②，解得，， 所以，椭圆的方程为，椭圆的方程为. （2）（i）解：联立 得， 所以， 化简得，且， 所以， 则，即， 设，， 联立 得， 所以， 化简得，且，， 所以， 则， 所以的中点坐标为， 则 解得 则此时直线或. （ii）证明： 当时，为的短轴端点，为的短轴， 所以，， 则； 当时，由（ⅰ）可得： ， 设直线， 因为点在上， 所以， 解得， 同理可得： ， 所以 因为， 所以， 则，当且仅当时取等号， 所以， 则. 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $