第十一章平面直角坐标系（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

第11章 平面直角坐标系 知识清单 一、知识体系总览 本章学习如何刻画点在平面内的位置以及点在平面内的平移，整体框架如下： 层级 内容 要点 11.1 平面内点的坐标 平面直角坐标系的建立；点的坐标；象限；建立坐标系确定位置 平面内的点与有序实数对一一对应；象限符号特征；方位角 11.2 图形在坐标系中的平移 用坐标的变化表示平移 左右平移改横坐标、上下平移改纵坐标；左减右加、上加下减 核心思想：类比“数轴上的点与实数一一对应”，用一对有序实数（坐标）确定平面内点的位置；再借助坐标的变化刻画图形在平面内的平移。 二、11.1 平面内点的坐标 1. 平面直角坐标系的建立 数轴坐标：　建立数轴后，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每一个点对应的实数叫作这个点在数轴上的坐标。 坐标系建立：　在平面内画两条互相垂直（通常一条水平、一条竖直）且原点重合的数轴。水平的数轴叫 x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 O 为原点。这样就建立了平面直角坐标系，记作平面直角坐标系 xOy，这个平面叫作坐标平面。 2. 点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对有序实数来表示。由点 P 向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上的坐标就是点 P 的横坐标；由点 P 向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上的坐标就是点 P 的纵坐标。横坐标写在纵坐标的前面，记作 (横坐标，纵坐标)。 点的坐标：　如果点 P 的横坐标为 x、纵坐标为 y，则有序实数对 (x, y) 是点 P 的坐标，记作 P(x, y)。 一一对应：　建立坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应——对平面内任意一点 P，都有唯一的有序实数对 (x, y) 与之对应；对任意一个有序实数对 (x, y)，坐标平面内都有唯一的点与之对应。 有序性：　点的坐标是有序实数对，(4, 2) 与 (2, 4) 表示的是两个不同的点。 3. 象限与坐标轴上点的符号特征 建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成四个部分，分别叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴（即 x 轴、y 轴）上的点不属于任何一个象限。 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 + + 第二象限 － + 第三象限 － － 第四象限 + － x 轴正半轴 + 0 x 轴负半轴 － 0 y 轴正半轴 0 + y 轴负半轴 0 － 原点 0 0 各象限点的坐标符号依次为 (＋，＋)、(－，＋)、(－，－)、(＋，－)。 4. 建立坐标系确定位置 在平面内确定点的位置，除利用平面直角坐标系外，还可以用方向（方位角）加距离来确定两物体的相对位置。 方位角：　“南偏西60°方向50 n mile”中，“南偏西60°”表示一个物体相对于另一个物体的方向的角，叫作方位角；“50 n mile”表示两物体间的距离。 表述方法：　方位角一般以观测者位置为中心，将正北或正南方向线作为起始方向旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表达为“北偏东××度”“北偏西××度”“南偏东××度”“南偏西××度”。 45°情形：　当所成角为 45° 时，可以说成“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”。 确定相对位置的两要素：　方向（方位角）和距离。 三、11.2 图形在坐标系中的平移 1. 用坐标的变化表示平移 在平面直角坐标系中，描述图形平移的一个方法是：用图形上任一点坐标的变化来表示。例如，右移 2 个单位长度、上移 3 个单位长度的平移，记作 (x, y) → (x＋2, y＋3)。 示例：将三角形 ABC 先向右平移 6 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度。若 A(－2, 6)，则对应点 A₁ 的坐标为 (－2＋6, 6－2)＝(4, 4)。 2. 平移规律 平移方式 坐标变化 记作 向右平移 a（a>0）个单位 横坐标加 a，纵坐标不变 (x, y) → (x＋a, y) 向左平移 a（a>0）个单位 横坐标减 a，纵坐标不变 (x, y) → (x－a, y) 向上平移 b（b>0）个单位 纵坐标加 b，横坐标不变 (x, y) → (x, y＋b) 向下平移 b（b>0）个单位 纵坐标减 b，横坐标不变 (x, y) → (x, y－b) 记忆口诀：左右平移，横坐标“左减右加”；上下平移，纵坐标“上加下减”。先左右后上下时，先改横坐标，再改纵坐标，两次变化互不影响。 四、典型题型与解题要点 题型 解题要点 写出/描出点的坐标 由点向 x 轴、y 轴作垂线，读垂足的坐标，横坐标在前、纵坐标在后 判断点所在象限 看横、纵坐标的符号，对照（＋，＋）（－，＋）（－，－）（＋，－）判断；坐标轴上的点不在任何象限 点到坐标轴的距离 点到 x 轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离等于其横坐标的绝对值 建立坐标系确定位置 确定原点、单位长度后建立坐标系；用方位角加距离刻画相对位置 图形平移求坐标 对每个顶点按平移方向对横、纵坐标作相应加减（左减右加、上加下减） 由平移后的点求原平移 比较对应点横、纵坐标的变化量，确定平移方向与距离 已知象限求参数范围 由点所在象限写出横、纵坐标的符号，列不等式（组）求解 五、易错点提醒 点的坐标是有序实数对，(4, 2) 与 (2, 4) 表示两个不同的点，横、纵坐标位置不能颠倒。 坐标轴上的点（x 轴、y 轴上的点）不属于任何象限；原点既在 x 轴上又在 y 轴上。 点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离是横坐标的绝对值，不要混淆。 平移方向与坐标符号：向右、向上取正；向左、向下取负，即“左减右加、上加下减”，勿弄反。 用方位角描述位置时，方向与距离缺一不可；对方是“南偏东”，反方向应说“北偏西”，角度不变。 求图形平移后的坐标，要对每个顶点分别计算，不能只平移其中一个点。 六、复习记忆要点 数轴上的点与实数一一对应；坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 坐标：P(x, y)，横坐标在前、纵坐标在后；四个象限符号为（＋，＋）（－，＋）（－，－）（＋，－）。 确定位置的方法：平面直角坐标系，或“方向（方位角）＋距离”。 平移的坐标规律：左右平移改横坐标（左减右加），上下平移改纵坐标（上加下减）。 图形平移的实质：图形上每一个点的坐标都按同一规则变化，图形形状、大小不变。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $