专题02 函数与一次函数（4知识&8题型&4易错&4方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02函数与一次函数(4知识&8题型&4易错&4方法清单) 知识图谱 函数的定义 函数的概念 一次函数 次函数的表达式 正比例函数 函数与一次函数 正比例函数的图象和性质 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 成本利润问题 次函数的实际应用 方案选择问题 知识清单 清单01函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那 么就说y是x的函数，x是自变量。 清单02一次函数的表达式 形如y=a+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=(k≠0)叫做正比例函数。 清单03一次函数的图象与性质 一次函数y=a:+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0，b)和（光，0）)画出。当0时，y随x的增大 而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 清单04一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合 图象或性质求解。 期中常考题型清单 1/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型一】函数的概念 【例1】(24-25八年级下·云南昆明期中)下列图象中，不能表示y是x的函数的是() ∠： 【变式1-1】(24-25八年级下·湖南衡阳期中)下列图象中，表示y是x的函数的是( B 【变式1-2】(24-25八年级下·北京期中)下列曲线中表示y是x的函数的是() VA D 【题型二】一次函数的定义 【例2】(24-25八年级下·上海期中)下列函数中，为一次函数的是() A.y=+1 B.y=-2x x C.y=x2+1 D.y=c+1(k是任意常数). 【变式2-1】(24-25八年级下湖南衡阳期中)）下列函数：①y=x,②y=2x+5,③y=6,④y=+1 1 ,其中一次函数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2-2】(2425八年级上宁夏中卫期中)在下列函数关系式中，①y=；②y=3,®y=名x;④ 2 31 y=x2-(x-1)(x+2);⑤y=4-x,，一定是一次函数的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【题型三】一次函数的图象和性质 2/16 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【例3】(24-25八年级下·北京·期中)己知一次函数y=-x+2,那么下列结论正确的是() A.图象经过第一、二、三象限 B.图象经过点(1,1) C.当x>2时，y>0 D.直线y=-x+2是由直线y=-x向下平移2个单位长度得到的 【变式3-1】(24-25八年级下.北京·期中)关于x的一次函数y=2x-1,下列说法正确的是() A.一次函数的图象过点(-0.5,0 B.y随x的增大而减小 C.一次函数的图象过第一、二、三象限D.自变量x可以为任意实数 【变式3-2】(24-25八年级上四川成都期中)已知一次函数y=-3x+6,那么下列结论正确的是() A.y的值随x的值增大而增大 B.图象经过第一、二、三象限 C.图象必经过点1,3 D.与y轴交于(0，-6 【题型四】利用一次函数的性质求解 【例4】(24-25八年级下·四川成都期中)已知正比例函数y=(3m-10)x,若y随x的增大而减小，则m 的取值范围是 【变式4-1】(24-25八年级下·北京昌平.期中)若点A-2,y),B(4,y2)在一次函数y=-3x+5图象上，则 乃（填<，>或=） 【变式4-2】(24-25八年级下·四川宜宾期中)一次函数y=(2a+1x+32a的图象经过第一、二、三象限， 则a的取值范围是_， 【题型五】求一次函数的表达式 【例5】(24-25八年级下江苏南通·阶段练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,B的坐标分别为 2,0,0,4). 3/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求直线AB的函数表达式： (2)若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标. 【变式5-1】(24-25八年级下·广东东莞期中)水果店张三以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销 售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示。 y/元 260-- A 160--- 40 80x/千克 (1)分别求出0<x≤40，x>40时销售额y(元)与销售量x(千克)之间的函数表达式； (②)当销售量为30千克时，张三销售这种水果的销售额为 元； (3)当销售量为多少千克时，张三销售这种水果的利润为150元. 【变式5-2】(24-25九年级下·吉林期中)用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如 图①)，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单 位：h)的函数图象分别为图②中的线段AB,AC,根据以上信息，回答下列问题： yA 100--- 80 60 ☐ 40 206 目前电量20% A 0 123456x/h 图① 图② (I)求线段AB对应的函数表达式. (②)先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h,请在图②中画出电量y(单位： %)与充电时间x(单位：h)的函数图象，并标注出a所对应的值. 4/16 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型六】画一次函数的图象 【例6】(24-25八年级下·福建福州期中)在直角坐标系中画出一次函数y=-2x+4的图象，并完成下列问 题： 3 5-4-3-2-1 012345 2 3 5 (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 (2)观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 (3)将直线y=-2x+4沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式. 【变式6-1】(24-25八年级上·河北邯郸期中)请画出函数y=2x-3的图象： (1)列表为： + y=2x-3 (2)描点、连线后画出该函数图象为： 5 4 3 -5-4-3-219 1.23.45 -2 3 5 (3)结合图象，写出该函数的两条性质， -1 0 12 5/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 y=2x-3 1 【变式6-2】(24-25八年级下·北京·期中)在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=x+2的图象与x轴交于 点A,与y轴交于点B. 4 3 2 -4-3-2-10 1234 1 2 3 (I)写出A,B两点的坐标： (2)画出该函数图象； (3)当0<y<3时，直接写出x的取值范围. (4)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=mx+3的值大于一次函数y=x+2的值，直接写出m的取值范 围 【题型七】一次函数与二元一次方程组 【例7】(24-25八年级下·福建福州期中)已知直线y=-x+4与直线y=2x+1相交于点A1,3),则关于 -x-y+4=0 x、y的方程组 2r-y+1=0的解是 y-3x=1 【变式7-1】(24-25八年级下·湖南衡阳·期中)若关于x、y的二元一次方程组 :-y=O的解是r=1 y=41 则一次函数y=3x+1与y=x(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是 【变式7-2】(24-25八年级下·广东佛山期中)一次函数y=kx+b与y2=x+a的图象，如图，则 kx+b>x+a的解集是」 6/16 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 y,=十b y,=x+a 【题型八】一次函数的实际应用 【例8】(25-26八年级上·全国期中)某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示，14,13分别表示每 月通话费y（元)与通话时间x(min之间的关系.根据图象解答下列问题： y/元 32 25 12 100 200 x/min (I)当通话时间是100mi时，A,B两类收费方式的话费分别是_元和_元，直线l4的函数表达式是_， (②)求直线g的函数表达式，并写出la对应的一次函数yB=x+b中k的实际意义. (3)如果你是电信公司业务员，你如何指导客户选择通信业务方案？ 【变式8-1】(24-25八年级上甘肃兰州期中)某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长， 每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元/min计算，B套餐收费标准如下：没有月租费， 但通话费按0.25元/min计算： (I)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为160min,他应缴费多少元： (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为200min,你觉得使用哪种套餐更划算？ 【变式8-2】(25-26八年级上·全国·期中)应用意识某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案 如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 7/16 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身次数为x,按照方案一所需费用为y(单位：元)，且，=kx+b;按照方案二所需费用 为（单位：元），且y2=kxy,2与x的函数图象如下图所示。 yl元A 180 30 0 10x (1)k= ,b= (②)求打折前的每次健身费用和k的值. (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由. 高频易错归因清单 【题型一】由函数图象获取信息 【例1】(24-25八年级下·云南昆明期中)昆明某学校准备从学校前往植物园春游，学生乘坐大巴车前往， 刘老师因事耽误，晚半小时乘坐小轿车前往，汽车离开学校的距离y与时间的对应关系如图所示，下列结 论，错误的是() 个y/km 小轿车大巴车 8:008:309:009:3010:0010:307 A.学校和植物园相距30km B.行程中大巴车和小轿车的速度比为3：5 C.小轿车于9：30追上大巴车 D.10:00时，两车相距6km 8/16 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25九年级下·河南周口期中)纯电动汽车(BEV)续航里程取决于车载动力电池容量的 大小.某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电 速度会明显降低并保持匀速充电模式.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y随充电时间 xmi)变化的函数图象，据图下列说法错误的是() y 90% 80% 10% 40 120 分钟 A.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B.汽车电池含电率达到80%时充电用时40min C.本次充电持续时间是120min D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 【变式1-2】(24-25八年级下·河北秦皇岛·期末)随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.如图1 是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持 不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x($,聪聪和慧慧行走的路程 分别为(Cm),y(Cm),,2与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的个数是：() y/cm 450 310 30x2- B O 1517 m n 图1 图2 ①客人距离厨房门口450cm;②慧慧比聪聪晚出发15s;③m=31,n=45;④聪聪的速度为15cm/s；⑤从聪 聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm; A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【题型二】利用一次函数的定义忽略“k0”致错 【例2】(24-25八年级下·湖北恩施期中)若函数y=(m-3)xm2-5是一次函数，则m的值为」 9/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25八年级上宁夏银川期中)若函数y=(m-3)xm-8+1是关于x的一次函数，则 m=-, 【变式2-2】(24-25八年级上河北保定期中)函数y=(m-2)xm+6是y关于x的一次函数，则 1m= 【题型三】一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 【例3】(24-25八年级下·上海奉贤·期中)已知直线y=x+2与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值 为 【变式3-1】(24-25八年级下·北京·期中)在平面直角坐标系x0y中，直线y=k-4(k≠0)与x轴的交点为 A,与y轴的交点为B,且S△4OB=4,则k的值为 【变式3-2】(24-25八年级下·上海期中)函数y=x+b和y=-x+b的图象与坐标轴围成的图形的面积为2， 则b的值为 【题型四】对正比例函数的定义理解不透彻致错 【例4】(25-26八年级上全国期中)已知y-2与x+1成正比例，当x=7时，y=6. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当y=-2时，求x的值； (3)若点P(-6,m+4)在该函数图象上，求m的值。 【变式4-1】(24-25八年级下福建福州期中)已知y与x-2成正比例，且x=4时，y=4. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)设点P(a,2)在(1)中的函数图象上，求点P的坐标. 【变式4-2】(24-25八年级下·湖北十堰期中)已知y+2与x-1成正比例，且当x=3时，y=4. ()求y与x之间的函数解析式； (2)若点(a,y),(a+2,y2)在该函数图象上，直接写出片与2的大小关系. 10/16 专题02 函数与一次函数（4知识&8题型&4易错&4方法清单） 清单01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 清单02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 清单03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 清单04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 【题型一】函数的概念 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于每个x的确定值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此求解即可． 【详解】解：由函数的定义可知，A、B、C三个选项中的图象能表示y是x的函数， D选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故C选项符合题意； D、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）下列曲线中表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．根据函数的定义，逐项判断即可求解， 【详解】解：A、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； B、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； C、满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，y是x的函数，符合题意； D、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； 故选：C． 【题型二】一次函数的定义 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）下列函数中，为一次函数的是（    ） A． B． C． D．（是任意常数）． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义对各项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A．中，自变量在分母上，不是一次函数，故此选项不符合题意； B．是一次函数，故此选项符合题意； C．中，自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D．（是任意常数），当时，是一次函数，时，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合该定义即可． 【详解】解：可整理为，其中，，符合一次函数定义，故①符合题意； 直接满足的形式，，，符合一次函数定义，故②符合题意； 不符合一次函数中次数为1的要求，故不是一次函数，故③不符合题意； 不符合一次函数中次数为1的要求，故不是一次函数，故④不符合题意； 综上，①和②为一次函数，共2个． 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在下列函数关系式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义：解析式形如（为常数）的函数叫做y关于x的一次函数，解题的关键是：熟练掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，不是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，是一次函数， 综上所述，③④⑤是一次函数，共3个， 故选：B． 【题型三】一次函数的图象和性质 【例3】（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过点 C．当时， D．直线是由直线向下平移2个单位长度得到的 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握一次函数图象分布、平移是解题的关键．根据一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵，， ∴图象经过第一、二，四象限，故A不符合题意； ∵， 当时，， ∴图象过点，故B符合题意； 当时，， ∴一次函数与x轴交于点 ∵， ∴y随x的增大而减小 ∴当时，，故C不符合题意； 直线是由直线向上平移2个单位长度得到的，故D不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）关于的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．一次函数的图象过点 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象过第一、二、三象限 D．自变量可以为任意实数 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、将点代入函数，得，故图象不经过该点，原说法错误，不符合题意； B、一次项系数，因此随的增大而增大，而非减小，原说法错误，不符合题意； C、函数的斜率，截距，图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，原说法错误，不符合题意；   D、一次函数的自变量可取任意实数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．y的值随x的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象必经过点 D．与y轴交于 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的，故随增大而减小，原选项不符合题意； B、的，，图象经过第一、二、四象限，原选项不符合题意； C、当时，，故点在图象上，原选项符合题意； D、当时，，与轴交于，原选项不符合题意． 故选：C 【题型四】利用一次函数的性质求解 【例4】（24-25八年级下·四川成都·期中）已知正比例函数，若随的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．根据正比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵在正比例函数中，随的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·北京昌平·期中）若点在一次函数图象上， 则 (填或) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由一次函数得， ， ∴随的增大而减小， 由得，， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的系数的几何意义，根据一次函数的图象，列出关于a的一元一次不等式组，是解题的关键． 根据一次函数解析式的系数的几何意义，可知，，列出关于a的一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴且， 解得：且， ∴， 故答案为：． 【题型五】求一次函数的表达式 【例5】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)求直线的函数表达式； (2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 【变式5-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）水果店张三以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． (1)分别求出，时销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； (2)当销售量为30千克时，张三销售这种水果的销售额为______元； (3)当销售量为多少千克时，张三销售这种水果的利润为150元． 【答案】(1)当时，；当时， (2)120 (3)销售量为180千克时，张三销售这种水果的利润为150元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用； （1）当时，函数图象是过原点的直线，是正比例函数图象，利用待定系数法即可求解；当时，函数图象是不过原点的直线，利用待定系数法即可求解； （2）根据销售量小于40千克，代入中求函数值即可； （3）根据“销售额减成本是利润”列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当时，函数图象是过原点的直线，是正比例函数图象， 设，函数图象过点， 把此点代入中，得，解得， 即； 当时，函数图象是不过原点的直线， 设，由图象知，函数图象过点及点， 把这两点代入中，得，解得， ∴； 综上，当时，；当时，； （2）解：由于，当时，（元）； 即此时的销售额为120元； 故答案为：120； （3）解：设销售量为x千克时，利润为150元， 则有：， 解得：； 答：当销售量为180千克时，张三销售这种水果的利润为150元． 【变式5-2】（24-25九年级下·吉林·期中）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式． (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据慢充和快充所充的电量加上原本的电量等于充满的电量建立方程求出a的值，再画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴线段对应的函数表达式为； （2）解：， 解得， 如图所示，即为所求： 【题型六】画一次函数的图象 【例6】（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为， ∴平移后的直线的函数解析式为或． 【变式6-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）请画出函数的图象： (1)列表为： (2)描点、连线后画出该函数图象为： (3)结合图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)；；；；； (2)描点、连线见详解； (3)该函数图象经过第一、三、四象限；随的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据的值求出的值即可； （）描点、连线即可作出的图象； （）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：列表为： （2）解：描点、连线如图， （3）解：该函数的性质该函数图象经过第一、三、四象限； 随的增大而增大． 【变式6-2】（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A，B两点的坐标； (2)画出该函数图象； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数的性质，利用数形结合思想是解答的关键． （1）分别令、求解即可； （2）利用描点、连线即可画出图象； （3）先分别求得和对应的x值，再根据一次函数的增减性可得答案； （4）先求得，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，由得，则； （2）解：描点、连线可得函数图象如图： （3）解：当时，由得， 当时，由得， 由图象得当时，x的取值范围为； （4）解：将代入，得， 将代入中，得，解得， ∴直线和直线相交于点， 又直线过点， 如图， 由图象得：当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，即当时，直线一直位于直线上方， 则m的取值范围为． 【题型七】一次函数与二元一次方程组 【例7】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据两条直线的交点的意义，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 方程组即的解是， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的交点坐标与对应方程组的解的关系，理解两个函数图象的交点坐标就是联立这两个函数解析式构成方程组的解，数形结合，熟记这个知识点是解决问题的关键． 【详解】解：关于、的二元一次方程组可化为， 关于、的二元一次方程组的解是， 则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）一次函数与的图象，如图，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 根据函数交点即可确定不等式组的解集． 【详解】解：由图象得：不等式组的解集是． 故答案为：． 【题型八】一次函数的实际应用 【例8】（25-26八年级上·全国·期中）某电信公司手机的，两类收费方式如图所示，，分别表示每月通话费（元）与通话时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是时，，两类收费方式的话费分别是 元和 元，直线的函数表达式是 ． (2)求直线的函数表达式，并写出对应的一次函数中的实际意义． (3)如果你是电信公司业务员，你如何指导客户选择通信业务方案？ 【答案】(1)，， (2)直线函数表达式是．   通话时间的手机通话费是元 (3)若通话时间小于，应选择类手机收费方式；若通话时间大于，应选择类手机收费方式；若通话时间等于，选择类或类的话费相同 【分析】本题考查了一次函数的应用、求函数解析式、求函数值： （1）从图中获取信息，利用待定系数法求函数解析式即可求解； （2）利用待定系数法求函数解析式即可求解； （3）当时，分别计算出两种收费方式进行比较即可； （4）联立方程求出交点坐标，再根据图象即可求解； 获取图中信息，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得： 当通话时间是时，，两类收费方式的话费分别是25元和32元， 设直线的函数表达式为：， 当时，， 则， 解得：， 故答案为：，，． （2）解：把和代入，得： ， 解得：， 所以直线函数表达式是， 的实际意义是：通话时间的手机通话费是元． （3）解：， 解得：， 两直线的交点横坐标为240， 结合函数图象可知：若通话时间小于，应选择类手机收费方式； 若通话时间大于，应选择类手机收费方式； 若通话时间等于，选择类或类的话费相同． 收费方式都可以． 【变式8-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 【答案】(1)A类套餐每月应缴费用，B类套餐每月应缴费用； (2)47元 (3) (4)使用B套餐更划算 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据套餐收费标准写出解析式即可； （2）将代入，求得的值即可； （3）将代入，求得的值即可； （4）分别将代入和求解比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A类套餐每月应缴费用， B类套餐每月应缴费用； （2）解：当时，（元）； 答：他应缴费47元． （3）解：当时，， 解得：． 答：该用户使用B套餐本月可通话； （4）解：当时，（元），（元）， ∵ ∴使用B套餐更划算． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·期中）应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】(1)15；30 (2)25元， (3)方案一，见解析 【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可； （2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值； （3）写出两个函数关系式，分别代入计算，并比较大小即可求解． 【详解】（1）将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. （2）由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． （3）选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 【题型一】由函数图象获取信息 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）昆明某学校准备从学校前往植物园春游，学生乘坐大巴车前往，刘老师因事耽误，晚半小时乘坐小轿车前往，汽车离开学校的距离与时间的对应关系如图所示，下列结论，错误的是（   ） A．学校和植物园相距 B．行程中大巴车和小轿车的速度比为 C．小轿车于9：30追上大巴车 D．时，两车相距 【答案】C 【分析】本题主要考查了看函数图象，根据整个行程中，汽车离开学校的距离y与时刻t的对应关系，即可得到正确结论． 【详解】解：A、由题可得，学校和植物园相距30千米，故A结论正确，不符合题意； B、大巴车的平均速度为：（千米/时），小轿车的平均速度为：（千米/时），所以行程中大巴车和小轿车的速度比为，故B结论正确，不符合题意； C、设小轿车出发x小时后追上了大巴车，则，解得，即小轿车于追上甲车，故C结论错误，符合题意； D、时大巴车所走路程为：，，，即时，大巴车和小轿车两车相距，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级下·河南周口·期中）纯电动汽车（）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（   ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．汽车电池含电率达到时充电用时 C．本次充电持续时间是 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 【答案】D 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可． 【详解】解：A．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，说法正确，不符合题意； B．由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，说法正确，不符合题意； C．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，说法正确，不符合题意； D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是80千瓦时，则到的电量变化对应的耗电量为：（千瓦时），原说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的个数是：（   ）    ①客人距离厨房门口；②慧慧比聪聪晚出发；③；④聪聪的速度为；⑤从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距； A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． 由图象可知，C，D纵坐标都为450，可判断①正确；由表示慧慧行走的路程与时间的函数图象过，可判断②正确；求出慧慧提速前速度为，提速后速度为，知，故聪聪速度为，判断④错误；而，判断③正确，由两人行走的过程可判断⑤正确． 【详解】解：由图象可知，C，D纵坐标都为450， ∴客人距离厨房门口，故①正确； 由表示慧慧行走的路程与时间的函数图象过， ∴慧慧比聪聪晚出发，故②正确； 慧慧提速前速度为， ∴慧慧提速后速度为， ∴， ∴聪聪速度为，故④错误； ∴，故③正确， 慧慧刚出发时，聪聪已经出发，两人相距， 慧慧出发后，由于慧慧速度大于聪聪速度，两人距离逐渐变小，直至慧慧追上聪聪后，两人距离逐渐变大，当惠惠到达目的地时，两人相距，之后两人距离又逐渐变小， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距，故⑤正确； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：B． 【题型二】利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错 【例2】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解；由是一次函数，得 解得， 故答案为：1． 【变式2-1】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【题型三】一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 【例3】（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题. 求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解、的长度是解题的关键．根据解析式确定点、的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案． 【详解】解：令中得，令得， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·上海·期中）函数和的图象与坐标轴围成的图形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确的求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 先求出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵函数和的图象与轴交点坐标分别为，，与轴交点坐标为， ∴与坐标轴围成的图形的面积为， 解得：， 故答案为：． 【题型四】对正比例函数的定义理解不透彻致错 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）已知与成正比例，当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值； (3)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，函数关系式，图象及性质； （1）设函数关系式为，把 ，代入求出，即可求出结果； （2）把代入，计算求解即可； （3）将点代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 因为当时，， 所以， 所以， 把代入得， ， 故函数关系式为． （2）解：把代入， 得， 解得． （3）解：将点代入， 得， 解得． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)设点在（1）中的函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式． （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． ∴点P的坐标为 【变式4-2】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在该函数图象上，直接写出与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． （1）用待定系数法即可求出答案； （2）由一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 当时，， 即， 解得， ∴ 即， ∴y与x之间的函数解析式是； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又， ∴． 【题型一】一次函数图象共存问题 方法技巧总结： 1. "K同B异"定平行：若两个函数的k值相等但b值不等，则它们的图象是平行的直线，永远不会相交。 2. "K异"定相交：若两个函数的k值不相等，则它们的图象一定相交，且只有一个交点。 3. "K负B正"定象限：这是个实用口诀。当k为负数、b为正数时，直线一定经过第一、二、四象限。 【例1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项符合题意； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、第三、第四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与正比例函数（，为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，与正比例函数，得到一次函数与正比例函数是平行线，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，位置关系，熟练掌握位置关系的判定是解题的关键． 【详解】解：∵与正比例函数， ∴两直线是平行的， 故A，B，C都不符合，D符合， 故选：D． 【题型二】一次函数中的动点问题 方法技巧总结： 1. 设坐标，表运动：用参数（如t）表示动点坐标。根据运动速度和方向，写出坐标表达式。 例如，点P从(0,0)以每秒2个单位向右运动，则t秒后坐标为(2t, 0)。 2. 找关系，列方程：根据题目条件建立方程。 常见条件包括：两点间距离等于定值、三角形面积为定值、两直线垂直等。 3. 解方程，验结果：解出参数t的值。 根据实际情况检验结果合理性，如t不能为负数，或点不能超出线段范围。 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图①，在六边形中，．动点P以每秒1个单位长度的速度沿这个六边形的边从的路径匀速运动，连接、．设的面积为S，点P的运动时间，S与t之间的分函数图象如图②所示． (1)a的值为______，的长为______． (2)当点P在边上运动时，求s与t之间的函数关系式． (3)在图②中补全图象． 【答案】(1)6；3 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，一次函数的解析式以及三角形面积，读懂图像信息是解本题的关键． （1）根据动点运动情况，得出的长，即为的高，再根据面积公式即可求得； （2）根据图象信息以及（1）得出时端点值坐标，再利用待定系数法即可求得s与t之间的函数关系式； （3）由题意得，时，点P运动到点，回到点还需要秒，即可做出图象． 【详解】（1）解：当时，则， ， ； 由题意得时，点P在边上运动， ； 故答案为：6；3； （2）解：由图象得，， 当时，则的高为， ， 即对应图象坐标为， 设s与t之间的函数关系式为， 将，代入可得，， 解得：， s与t之间的函数关系式为． （3）由题意得，时，点P运动到点，回到点还需要秒，与轴交点应为， 如图所示： 【变式2-1】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； (2)求一次函数的表达式； (3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点C的坐标为或． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求解； （3）设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量x的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （3）解：设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点C的坐标为或． 【变式2-2】（23-24八年级下·重庆·期中）如图1，在中，，动点Q以1个单位长度每秒的速度从C点出发，沿运动，到达A停止运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积为y，请解答以下问题： (1)求出y关于x的函数关系式并注明x的取值范围； (2)在图2中画出y的函数图象； (3)根据图象直接写出当面积等于6时对应x的值． 【答案】(1) (2)见解析； (3)或 【分析】本题主要考查了列函数关系式，画一次函数图象，求一次函数自变量的值； （1）分当点Q在上，当点Q在上两种情况根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求利用描点法画出函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点Q在上，即 时， 由题意得，， ∵在中，， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在上，即时， 由题意得，， ∴； 综上所述，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：观察函数图象可知，当时，或． 【题型三】一次函数与几何图形的综合 方法技巧总结： 1. 求解析式，化"数"为"形"：利用几何图形的性质求出关键点坐标；将坐标代入一次函数公式 y = kx + b；解出 k 和 b 的值，得到函数解析式。 2. 联立方程，求"形"之"交"：几何图形中的交点对应函数上的公共解；将两个一次函数解析式联立成方程组；解方程组得到交点坐标。 3. 用坐标算，求"形"之"量"：知道坐标后可计算几何量；两点间距离公式计算线段长度；割补法或坐标公式计算图形面积。 【例3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线 与直线相交于点E，与x轴，y轴分别交于点C，D．若点 E的坐标为． (1)求点E的坐标和m的值； (2)连接AD，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、面积的计算等知识点，求得各点的坐标是解题的关键． （1）先求得，再将代入求得m的值即可解答； （2）先求得，，即，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 即点； 将的坐标代入，得， 解得：． （2）解：由（1）知直线． 当时，，当时，． ∴， ∵直线 当时，， ∴， ∴． ∴的面积． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，直线的表达式为，且与轴交于点．直线与轴交于点，且经过点，直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查待定系数法及一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用． （1）把代入中可求出k的值；即可求直线的解析式，由直线交于点，可得出点C坐标； （2）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：由题意知，把代入， 得， 解得， 直线的表达式． 直线交于点， 解得． 点的坐标为 （2）解：当时，， 解得，则． 当时，， 解得，则． 则． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东日照·期中）如图，在直角坐标系中，直线解析式为，经过点且与y轴交于点C，与x轴交于点E，过点A的直线与y轴交于点． (1)求m的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值； (3)在x轴上是否存在点D，使，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的最值问题，一次函数与坐标轴的交点问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）把点代入中，求出m的值；再设直线的函数表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征，得到，，进而得到，利用一次函数的最值求解即可； （3）先求出点C的坐标为，点E的坐标为，再设点D的坐标为，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得； 设直线的函数表达式为：， 把，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴随t的增大而减小， ∴当，的最大值为． （3）解：在解析式中，令，得，令，得， ∴点C的坐标为，点E的坐标为， 设点D的坐标为，则 ， ∴， ∴或， ∴，， ∴或． 【题型四】一次函数中的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 读懂定义，转化规则：仔细阅读题目，理解新定义的含义。将新规则用自己熟悉的数学语言重新描述。 例如，定义"关联函数"y=kx+b与y=bx+k，你需要明确两个函数间k和b的交换关系。 2. 套用定义，代入计算：把题目中的已知条件代入新定义。用一次函数的基本知识进行计算。 比如，根据新定义写出函数解析式，或计算特定x值对应的y值。 3. 结合性质，综合分析：结合一次函数的图像和性质来分析问题。 新定义问题最终会回归到函数的增减性、与坐标轴交点等核心知识点上。 【例4】（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点的“友好点”的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为． (1)点的“友好点”坐标是________，点的“友好点”坐标是________． (2)已知点的“友好点”在一次函数的图象上，求m的值． (3)已知点P在直线上，且点P的“友好点”为点Q． ①当时，设点P的横坐标为n，当时，求点Q纵坐标的最大值与最小值． ②已知点，，，，以这四个点为顶点构造矩形，设所有的点P的“友好点”点Q组成一个新的图形，记作图形G．当图形G与矩形有两个公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)①点纵坐标的最小值是，最大值是1；②或 【分析】（1）根据友好点的坐标定义进行求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，结合定义进行求解即可； （3）①根据点P的横坐标为n，求出点P的坐标为：，分两种情况：当时，当时，分别求出点Q纵坐标的取值范围，然后找出最大值和最小值即可； ②先求出点Q在点Q在直线上或点Q在直线上，然后画出图形，根据图象写出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：点的“友好点”坐标是，点的“友好点”坐标是； （2）解：当时，点的“友好点”为， ∵点的“友好点”在一次函数的图象上， ∴， 解得：； 当时，点的“友好点”为， ∵点的“友好点”在一次函数的图象上， ∴， 解得：； 综上分析可知：或； （3）解：①当时，一次函数解析式为， ∵点P的横坐标为：n， ∴点P的坐标为：， ∵点P的“友好点”为点Q， ∴当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 综上分析可知：点Q纵坐标的最小值为，最大值为1； ②设点P的坐标为， 当时，， ∴此时点Q在直线上； 当时，， ∴此时点Q在直线上； 把代入得：，解得：， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，直线与矩形有一个交点，当时，直线与矩形有两个交点； 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 把代入得：， ∴当或时，直线与矩形有一个交点，当时，直线与矩形有两个交点； 综上分析可知：当或时，图形G与矩形有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，一次函数的图形和性质，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)一次函数图象的“亮点”为，求，的值； (3)若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与直线没有交点，即直线与平行， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式4-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； (3)若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数与正比例函数的交点问题，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义，联立方程组，求解即可； （2）根据题意把代入，解得，得到一次函数，“亮点”为，再把代入，求出即可； （3）先求出一次函数解析式，得到点坐标，再求得，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意联立得： ， 解得：， ∴一次函数图像的“亮点”是； （2）解：∵一次函数图象的“亮点”为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴一次函数，“亮点”为， 把代入，得：， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴与平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设点， ∴ ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $