专题03 三角形中的边角关系（5知识&8题型&3易错&4方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形中的边角关系(5知识&8题型&3易错&4方法清单) 知识图谱 1.三角形的定义 三角形的概念及分类 2.三角形的分类 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两 边之差小于第三边 三角形中三边关系 1.三角形的高线 三角形中的边角关系 2.三角形的中线 三角形的三线 3.三角形的角平分线 1.定理：三角形三个内角和等于180度 三角形的内角和定理 2.直角三角形的两个锐角互余 1.外角定义 三角形的外角定义和定理 2.外角定理 知识清单 清单01三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形 2.三角形的分类： 不等边三角形 锐角三角形 (1)按边分类可以分为 (底边和腰不相等的等腰三角形； (2)按角分类可以分为 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 纯角三角形 清单02三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 清单03三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 清单04三角形的内角和定理 (1)定理：三角形三个内角和等于180度； (2)直角三角形的两个锐角互金 清单05三角形的外角定义和定理 (1)外角定义：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） (2)外角定理：①三角形的外角等于和它不相邻两内角的和： ②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角：③三角形外角和为360度. 期中常考题型清单 【题型一】判断三边是否能构成三角形 【例1】(24-25七年级下·上海闵行期中)下列各组长度的线段中，能组成三角形的是() A.1、2、3 B.6、3、2 C.2、2、3 D.4、2、1 【变式1-1】(24-25八年级上·河北廊坊期中)下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三 角形的是() A.1,1,3 B.5,6,7 C.1,8,18 D.3,4,10 【变式1-2】(24-25八年级上·安微准北期中)以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是 () A.4,6,8 B.8,10,12 C.18,20,22D.2,4,6 【题型二】三角形的稳定性 【例2】(24-25七年级下·广东深圳期中)如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是() A.两点之间，线段最短 B.三角形具有稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.垂线段最短 【变式2-1】(24-25七年级下·吉林长春·期中)下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（) 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三脚架 篮球架 活动衣架 太阳能热水器 【变式2-2】(24-25七年级下·吉林长春期中)三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角 形支架固定手机，其蕴含的数学道理是() A.两点之间，线段最短 B.三角形的稳定性 C.三角形的内角和等于180° D.三角形的任意两边之和大于第三边 【题型三】已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例3】(24-25八年级上·安微合肥期中)若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 【变式3-1】(24-25八年级上·河南漯河·期末)若a,b,c为三角形三边长，且a,b满足a-3+(b-2)2=0, 则第三边长c可能是· 【变式3-2】(24-25八年级上·宁夏吴忠期中)一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm,他 要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架.设第三根木条长为cm,则x的取值范围是一· 【题型四】根据三角形的中线求解 【例4】(24-25八年级上浙江温州期中)如图，在ABC中，AB=9,AC=7,AD为中线，则△ABD 与△ACD的周长之差的值为 3/18 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式4-1】(1)在ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线.若∠BAD=40°，则 ∠BAC= ;若AC=6cm,则AE= cm (2)在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30Cm,则 AD= cm 【变式4-2】(24-25八年级上·安徽合肥期中)如图，在ABC中，CE是AB边上的中线，BC=4DC, AD与CE交于点F,若ABC的面积等于16. E F B D (1)△ADC的面积为」 (2)设△AEF的面积为m,△DFC的面积为n,则m+n= 【题型五】在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 【例5】(24-25八年级上·安徽安庆期中)在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，ABC的三个顶 点都在格点上 B (1I)画出AB边上的高CD和中线CE; (②)画出AC边上的高BF,并直接写出BF的长（提示：AC的长等于5）· 【变式5-1】(24-25七年级上·江苏南京期末)如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个 小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上 4/18 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B (I)ABC的面积=」 ； (2)只用直尺画出ABC的高AH: (3)只用直尺过点C画CD∥AB. 【变式5-2】(24-25八年级上新疆巴音郭楞期中)如图为7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1 ,小正方形的顶点叫做格点.己知ABC的三个顶点均在格点上，按要求解答： A B (I)请画出ABC的边BC上的高AD; (2)连接格点，用一条线段将ABC分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出ABC的面积为 【题型六】利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例6】(24-25八年级上·北京·期中)如图，在ABC中，AD是中线，AB=10cm,AC=6cm. E D (I)求△ABD与△ACD的周长差. (②)点E在边AB上，连接ED,若BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长 【变式6-1】(23-24七年级下.四川达州期中)如图，ABC中，∠B<∠C,AD1BC于D,AE平分 ∠BAC交BC于E. 5/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D (1)当LB=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数： (2)猜想：∠DAE与LB、∠C有什么关系，并说明理由. 【变式6-2】在ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意一点，连结AD,DE⊥AB于点E,DF1AC于 点F.BG为AC边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） E D ① ② ③ 【画图探究】(1)如图①，当点D在边BC上时，请画出BG,猜想DE，,DF,BG之间的数量关系并证 明 【运用】(2)如图②，当点D为BC中点时，BG与DE的数量关系为 【拓展】(3)如图③，当点D在CB的延长线上时，DE、DF、BG之间的数量关系为 ； 【题型七】利用三角形的内角和求角的度数 【例7】(24-25八年级上·北京海淀·期中)已知如图，DC∥EG,，∠C=40°，∠A=70°，则∠AFG的度数 为一 F 【变式7-1】己知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,若∠ACD=26°，则∠B= 6/18 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】在ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度 【题型八】利用三角形的内外角求角的度数 【例8】(25-26八年级上湖北孝感期中)如图1，点A,B分别在射线0M,0N上运动（不与点O重合）， AC,BC分别是LBAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G. B G M 图1 图2 (1)若∠0=60°，求∠ACG的度数； (2)若L0=n°，则∠ACG=°；（用含n的代数式表示） (3)如图2，若L0=72°，过点C作CF‖OA交AB于点F,求LBG0与LACF的数量关系. 【变式8-1】(23-24七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知ABC中，∠A>∠C,BD平分∠ABC, DE⊥AC于点E. B C 图① 图② (1)若∠A=80°，∠C=40°，求∠D的度数； (2)如图①，求证：∠D={LA-LC): 3)如图②，若点D恰好在ABC外角的角平分线上，且∠BDE=24°，求∠ABC+∠EDC的度数. 4 【变式8-2】(24-25七年级下·湖北武汉·期中)如图，AB∥CD,点E在DA的延长线上，∠BCD=∠BAD. E (I)求证：BC∥AD; (2)CE平分∠BCD,点F在线段CD上，若LE=36°，LBFC=∠ADB=64°，求∠FBD的度数， 7/18 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频易错归因清单 【题型一】画三角形的高线易错问题 【例1】(24-25八年级上北京·期中)如图所示，ABC中AB边上的高线画法正确的是() A B B H D B 【变式1-1】(24-25八年级上北京·期中)已知ABC,作BC边上的高，下列作图中正确的是() A B 【变式1-2】(24-25八年级上·北京期中)如图，在ABC中，BC边上的高是() E B G A.线段EC B.线段BG C.线段CD D.线段AF 【题型二】利用三角形三边关系化简绝对值问题 【例2】(24-25七年级下·上海·期中)己知ABC的三边长分别是a、b、C,化简： |c-a-b-a+c-b=_. 【变式2-1】(24-25八年级上辽宁葫芦岛期中)a、b、c是ABC的三边长，化简 8/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c-c-a-b+a-b-c= 【变式2-2】(24-25八年级上内蒙古通辽期末)a,b,c为三角形三边长，化简 a+b+c-a-b-c-a-b+c-la+b-c的结果是__. 【题型三】利用三角形内角和求折叠中角度问题 【例3】(23-24七年级下江苏无锡期中)如图，在ABC中，∠A=70°，∠C=60°，D是边AB上一点， 将ABC沿过点D的直线折叠，使点B落在BC下方的点F处，折痕交BC于点E. D B (I)当∠BDE=15°时，求∠DEF的度数； (2)当∠F的一边与AC平行时，求∠DEF的度数， 【变式3-1】(23-24八年级上福建厦门期中)如图，ABC是一个三角形的纸片，点D,E分别是ABC 边AB,AC上的两点. B 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，如果沿直线DE折叠，且DE1AC,则∠BDA'与∠A的关系是- (2)如图(2)，如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA',∠CEA'和∠A的关系，并说 明理由， (3)如果折成图(3)的形状，探究∠BDA',∠CEA'和∠A的关系，并说明理由， 【变式3-2】(23-24八年级上甘肃平凉期中)问题1如图①，一张三角形纸片ABC,点D、E分别是 ABC边上两点. 研究(1)：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上的A点，则∠BDA与∠A的数量关系是 研究（2)：如果折成图②的形状，猜想LBDA“、LCEA'和∠A数量关系是； 9/18 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 研究(3)：如果折成图③的形状，猜想LBDA、∠CEA'和∠A数量关系，并说明理由； B B B E D E A ① ③ ④ 猜想： 理由： 研究(4)：将问题1推广，如图④所示，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部， ∠1+∠2与∠A+∠B之间的数量关系是 方法技巧速通清单 【题型一】三角形中的倒角模型之双角平分线问题 方法技巧总结： 1)两内角平分线的夹角模型 图1 ∠P=90°+1∠A 条件：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： 证明：∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,∴ ∠PBC=∠ABc.∠PCB=ACB 2 .∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-1（∠ABC+∠ACB)=180°-1(180°-∠A)=90°+1∠A。 2 2 3)一个内角一个外角平分线的夹角模型 10/18 专题03 三角形中的边角关系（5知识&8题型&3易错&4方法清单） 清单01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类： (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 清单02 三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 清单03 三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 清单04 三角形的内角和定理 （1） 定理：三角形三个内角和等于180度； （2） 直角三角形的两个锐角互余. 清单05 三角形的外角定义和定理 （1）外角定义：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角定理：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；三角形外角和为360度. 【题型一】判断三边是否能构成三角形 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，能组成三角形，故此选项正确； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 【题型二】三角形的稳定性 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 【题型三】已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 【题型四】根据三角形的中线求解 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 【变式4-1】（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【题型五】在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 【例5】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【变式5-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 【变式5-2】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）过点画的垂线段即可，的高如图所示． （2）取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分． （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：的高如图所示． （2）解：如图线段将分成面积相等的两部分． （3）解：． 故答案为10． 【题型六】利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例6】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式6-2】在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七】利用三角形的内角和求角的度数 【例7】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】已知：如图，在中，，，若，则 ． 【答案】/26度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】在中，为边上的高，，，则是 度． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【题型八】利用三角形的内外角求角的度数 【例8】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2）， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，平分，于点E． (1)若，，求的度数； (2)如图①，求证：； (3)如图②，若点D恰好在外角的角平分线上，且，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义， 对于（1），设交于点G，根据角平分线定义得，再结合直角三角形的性质和三角形内角和定理得，然后代入数值计算得出答案； 对于（2），仿照（1）解答； 对于（3），先根据角平分线定义和三角形外角的性质得 ，再根据（2）得，进而得出，然后求出，根据得出答案. 【详解】（1）解：设交于点G， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴ . ∵, ∴； （2）证明：设交于点G， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴ ； （3）解：设交于点G， ∵平分，平分， ∴. ∵, ∴. ∵， ∴， ∴. 由（2）得， ∴， ∴, ∴， 即. ∵， ∴. 所以. 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可证出； （2）利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，结合角平分线定义、三角形内角和定理求出，，再根据角的和差及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【题型一】画三角形的高线易错问题 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·北京·期中）已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键． 根据三角形高的定义，过A点作的垂线即可解答． 【详解】解：作边上的高，作图中正确为： 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 【题型二】利用三角形三边关系化简绝对值问题 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）是的三边长，化简 ； 【答案】 【分析】本题考查三角形三边的关系，绝对值的化简，整式的加减，首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得． 【详解】解：∵是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 【题型三】利用三角形内角和求折叠中角度问题 【例3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式3-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到. 【详解】（1）解：， 理由：∵沿直线折叠，且， ∴A点落在上，如图（1）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 【答案】（）；（）；（），见解析；（） 【分析】（）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （）连接，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案； 本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】研究（）：根据折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； 研究（）：连接， 则， ∴； 故答案为：； 研究（）：猜想： 理由：由图形的折叠性质可知 ， ∵ ∴， 得 ∴ 研究（）：由根据折叠的性质可知 ，， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 【题型一】三角形中的倒角模型之双角平分线问题 方法技巧总结： 1）两内角平分线的夹角模型 图1 条件：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 3）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 4）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 图1 5）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 【变式1-1】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 【变式1-2】他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型二】三角形中的倒角模型之“A”字模型 方法技巧总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 【例2】如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理， 根据平角的定义得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-1】如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度； 【答案】50 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处 又， 故答案为：50 【变式2-2】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 【题型三】三角形中的倒角模型之“8”字模型 方法技巧总结： 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【例3】如图，，垂足为E，，，则 ． 【答案】22 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：22． 【变式3-1】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题． (1)如图1，试说明：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由，得， ∵，， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 【题型四】三角形中的倒角模型之燕尾模型 方法技巧总结： 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 【例4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， ①如图，请直接写出与、、之间的关系：                              ②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ③如图，平分，平分，若，，求的度数； 【答案】①；②；③． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． ①作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； ②先根据三角尺可知：，根据的结论可得：，从而得结论； ③先根据第①题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】解：①，理由如下： 过点、作射线， ，， ， 即， 故答案为：； ②， 由①知：， ， ； ③，， ， 平分，平分， ，， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了外角的性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，延长交于，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，延长交于，记的夹角为，由分别是和的角平分线，可得，，即，，由题意知，，，则 ，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 如图2，延长交于，记的夹角为， ∵分别是和的角平分线， ∴，，即，， 由题意知，，， ∴，即． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $