专题 3.4 圆周角（专题训练）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 3.4 圆周角（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型 1·圆周角的概念辨析及简单运算】 1 【题型 2·圆周角定理】 4 【题型 3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 6 【题型 4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 9 【题型 5·90·度的圆周角所对的弦是直径】 13 【题型 6·己知圆内接四边形求角度】 16 【题型 7·求四边形外接圆的直径】 20 【题型 1·圆周角的概念辨析及简单运算】 1．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 2．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 3．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 4．已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 5．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 【题型 2·圆周角定理】 6．如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 7．如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 8．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 9．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 【题型 3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 11．如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：根据圆周角定理得：， 故选：C． 12．如图，点A，B，C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，根据和是同弧所对的圆周角，即可解答． 【详解】解：和是同弧所对的圆周角， 故选：B． 13．如图，是的外接圆，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵点在上，， ∴． 故选：C 14．如图，四边形内接于．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键；因此此题可根据圆周角的性质直接进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 15．如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明，再结合点是的中点，进一步可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 故选：B 【题型 4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 16．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 18．如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等及三角形内角和定理．先利用圆周角定理的推论得出的度数，再通过同弧所对圆周角相等得到的度数，最后在中用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：由题意知，所对应的圆周角相等， ∴， 又∵为直径， 由直径所对应的圆周角为直角可知，， ∴． 故选：B． 19．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵的直径等于4， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选B． 20．如图，是的直径，点、均在上，连接、、．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再结合直径所对的圆周角是直角求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补和直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， 是的直径 故选：A 21．如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得，由圆周角定理，得，求得，再由等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型 5·90·度的圆周角所对的弦是直径】 22．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 23．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得 ，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵点为的中点， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含度的直角三角形三边的关系，的圆周角所对的弦是直径，坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 25．如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【题型 6·己知圆内接四边形求角度】 26．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 27．如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 28．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 29．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解： ， ， 四边形内接于， ， ， 故选A． 30．如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 31．如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，又由圆周角定理得，再根据角的和差即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 32．如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，作出辅助线构造圆内接四边形是解题的关键．连接，利用圆内接四边形的性质得到，再利用圆周角定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ． 故选：B． 【题型 7·求四边形外接圆的直径】 33．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 34．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 35．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 36．将一直径为的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为__________． 【答案】 【分析】要想使正方体的体积最大，那么图2的中间4个正方形组成的矩形的四个顶点就应该都在圆上，设正方形的边长为，根据勾股定理求得即可求体积． 【详解】解：要想使正方体的体积最大，那么图2的中间4个正方形组成的矩形的四个顶点就应该都在圆上， 设正方形的边长为， 连接， 则是直径， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 因此正方体的体积就是×× ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.4圆周角（专题训练) 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1·圆周角的概念辨析及简单运算】 .1 【题型2圆周角定理】 2 【题型3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 3 【题型4·半圆直径)所对的圆周角是直角】 .…4 【题型5·90度的圆周角所对的弦是直径】 .6 【题型6己知圆内接四边形求角度】… …7 【题型7·求四边形外接圆的直径】. …8 【题型1圆周角的概念辨析及简单运算】 1.下列各图中的角，其中为圆周角的是() D 2.如图，在图中标出的∠1~∠5这5个角中，AD所对的圆周角是() D 4 B A.∠5 B.∠1和∠2 C.∠3和∠4 D.∠1和∠3 3.如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°若D为弧AB上一点，∠AOD=75°，OD‖CB, 1/10 则∠OAC的度数为() ○ B 0 A.19° B.20° C.21° D.22° 4.已知弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB所对圆周角的度数为() A.45° B.135° C.90°或270° D.45°或135° 5.如图，其中圆周角有() E C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2圆周角定理】 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,∠BOC=140°，则∠ABD的度数是() B A.20° B.30° C.40° D.50° 7.如图，点A,B,C在⊙O上，若∠ACB=64°，则∠BAO的度数是() 2/10 A.26° B.32° C.64° D.128° 8.如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的度数是() A.25° B.40° C.60° D.65° 9.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是() A B A.54° B.27° C.36 D.108° 10.已知△ABC内接于⊙O,OD⊥AC于点D,如果∠COD=32°，那么∠B的度数为() A.16° B.32 C.16°或164° D.32°或148° 【题型3·同孤或等孤所对的圆周角相等】 11.如图，⊙O中弦AB,CD相交于点P,连接AC,BD,则图中与∠A相等的角是() P 0 A.∠B B.∠C C.∠D D.∠APC 12.如图，点A,B,C,D在⊙O上，若∠B=12°，则∠A的度数为() 3/10 B A.10° B.12° C.15° D.24° 13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，若∠A=50°，则∠D的度数为() A D 0O● B A.25 B.40° c.50° D.100° 14.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若AC=BC,∠ABC=50°，则∠BDC的度数是() 6 D A.65 B.60° C.50° D.40° 15.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，点D在BEC上，若∠BDC=24°，则∠AOB的大小为() E B A.12 B.24° C.32° D.48 4/10 【题型4半圆（直径）所对的圆周角是直角】 16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC、AD.若∠BAC=27°，则∠D的度数是 () B D A.56 B.58 C.60° D.63° 17.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠CDA=56°.则∠BAC=() D A.28° B.34 C.36° D.44° 18.如图，△ACB和△ACD均为⊙O的内接三角形，且AB为直径，若∠D=70°，则∠CAB的度数是 () A.10° B.20° C.30° D.40° 19.如图，在⊙O中，若∠CDB=60°，⊙O的直径AB等于4，则AC的长为() B D A.3 B.2 c.2V3 D.4V3 5/10 20.如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、AE、DE.若∠ADE=115°，则 ∠BAE的度数为() B A.25 B.35° c.55 D.65° 21.如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接BD,OD.若BD=2AC, ∠A=72°，则∠CBD的度数为() D A.45° B.54 C.60° D.72 【题型5·90度的圆周角所对的弦是直径】 22.下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是() B A B. D 23.如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接 CM并延长交半圆于点N,连接BN,若∠ABC=40°，则∠BNC的度数为() N M 6/10 A.60° B.55° C.50° D.30° 24.如图，在平面直角坐标系XOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过 A,B,O,C四点，∠ACO=120°，AB=4,则圆心点D的坐标是() D A.-1,3 B.3,1 C.3,-1 D.-3,1 25.如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC.若BC=4,∠BDC=30°，则⊙O的半径为() D A.4 B.2V2 c.23 D.8 【题型6·己知圆内接四边形求角度】 26.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=145°，则∠AOC的大小是() A.36 B.70° C.46° D.92 27.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A:∠B:∠D=4:3:3,则 ∠DCE的度数是() 7/10 B 0. E A.100° B.105° c.110° D.120° 28.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠C=83°，则∠A的度数是() B ·0 A.83° B.87o C.93° D.97° 29.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠AOC=110°，则∠ABC的度数为() D B A.125° B.120° c.115o D.130° 30.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE‖AD交AB于点E,BE=BC,∠BCD=122°，则 ∠ADC的度数为() E 0 D C A.106° B.112 C.116° D.126° 31.如图，四边形ABCD内接于⊙O,CH为⊙O的直径，连接DH,若∠ADC=3∠ABC,则 ∠ADH的度数为() 8/10 D B A.30° B.40° C.45° D.60° 32.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠AOE的度数为70°，则∠B+∠D的度数为() B D A E A.155° B.145° c.110° D.90° 【题型7·求四边形外接圆的直径】 33.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径，连接AC、若∠ADC=150°，点O到AC的距离为 2V3,则⊙O的半径长为() A.2 B.6 C.4 D.8 34.如图，在四边形ABCD中，AC=3,∠ABC=120°，∠ADC=60°，求CD的最大值为 35.在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，⊙0是△ABD的外接圆，若AB=6,AD=8,则OC 9/10 36.将一直径为17cm的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体 (图③)形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为 cm3. ① ② ③ 10/10