3.4 第1课时圆周角的概念与性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 3.4圆周角 第1课时圆周角的概念与性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，AB是⊙O的弦，∠BAC=30°，BC=2,则⊙O的直径为 () A.2 B.3 C.4 D.6 0 .0 B (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°，则∠BAC等于() A.21° B.25 C.26 D.27 3.如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，CD∥AB,∠ADC=25°，则∠DCO的度数为 4.教材变式题如图，点A,C,B在⊙O上，∠AOB=∠ACB=a,则α的值为 5.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，OC⊥AB,∠ADC=30°，连接BC,OB,OA,AC. (1)求∠BOC的度数， (2)求证：四边形AOBC是菱形 D (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.易错题如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,P是优弧AMB上一点，则∠APB的 度数为 () A.45° B.30° C.75 D.60° B (第6题) (第7题) (第8题) (第9题) 7.如图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，DC,AB的延长线相交于点P.若∠CAB=a, ∠BPC=3,则a和3之间的数量关系为 () A.a=3 B.a十B=45 C.2a+B=60° D.3a+23=90° 8.如图，六边形ABCDEF内接于⊙O,其中∠CAE=60°，则∠B十∠F的度数是 9.如图，⊙O的半径为1，弦AB,CD的长度分别为√2,1，则弦AC,BD所夹的锐角a= 54 第3章圆 10.如图，在⊙O中，弦AD与弦BC互相垂直，垂足为G,E为AB的中点，延长EG交CD于点F. 求证：EF⊥CD, E (第10题) 11.*如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC=120°，AC=2√3，弦BM平分∠ABC,交AC于点 D,连接AM,MC. (1)求⊙O的半径. (2)试探究线段AB,BC,BM之间的等量关系，并给予证明. (第11题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过点A(m,-3)和点B(-1,n),且圆心在 x轴上，C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则点P的坐标是 0 13.如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E,CF=CB,BF与CD交于点G. (1)求证：CD=BF. (第12题) (2)若BE=1,BF=4,求GE的长. (3)图②，连接G0.0F,求证：2∠B0G+号∠A0F-90. ① ② (第13题) ●“答案与解析”见P32 5512.(1)如图，设桥拱所在圆的圆心为O,连接OA,OA', OM,易知点P,M,O在同一条直线上.设圆弧所在圆的半 径为xm,则OA=OA'=OP=xm.由垂径定理可知 AM=BM,A'N=B'N.AB=30 m.:AM=7AB= 15m.在Rt△AOM中，OM=OP-PM=(x-9)m,由勾股 定理，得AO=OM+AM,即x2=(x-9)2+15,解得 x=17,即桥拱在圆的半径为17m.(2),OP=17m, ∴.ON=OP-PN=17-2=15(m.在Rt△A'ON中，由 勾股定理，得A'N=√OA-ONW产=√17-15=8(m), ∴.A'B=2AN=16m>15m∴.此时不需要采取紧急措施. A 0 (第12题) 3.4圆周角 第1课时圆周角的概念与性质 1.C连接OB,OC.由圆周角定理，得∠BC=2∠BAC= 60°.OB=OC,∴.△OBC是等边三角形..BO=BC= 2,即⊙0的半径为2.∴.⊙0的直径为4. 2.C连接OC..∠ABC=19°，∴.∠AOC=2∠ABC= 38°.半径OA,OB互相垂直，∴.∠AOB=90. ∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-38°=52. ÷∠BAC=3∠B0C=26. 3.50由圆周角定理，得∠AOC=2∠ADC=50°.：CD∥ AB,∴.∠DCO=∠AOC=50° 4.120∠ACB=a,∴.优弧AB所对的圆心角为2a. ,∴.2a十a=360°，解得a=120° 5.(1)点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC BC.∴.∠AOC=∠BOC.:∠ADC=30,.∠AOC 2∠ADC=60°..∠BOC=60°.(2)由(1)知，∠AOC= ∠BOC=60°..OB=OC=OA,∴.△BOC和△AOC都是 等边三角形.∴.BC=OB=OC=OA=AC.∴.四边形 AOBC是菱形. 6.D如图，作半径OC⊥AB于点D,连接OA,OB.将 ⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,∴.OD=CD. 0D=20C=20A.易得∠0AD=30.又：0A= OB,∴.∠OBA=∠OAB=30°.∴.∠AOB=180° ∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°.∴.∠APB 3∠A0B=60 M D (第6题) 易错警示 不会挖掘图形中隐含的线段间的数量关系导致错误 解答这类翻折问题时，往往会忽视隐含的半径之间 的数量关系，从而不能确定图形中存在的角度大小，导 致解题错误 7.D如图，连接OC,OD,设OD交AC于点E.D是 AC的中点，.AD=CD..AD=CD.又OA=OC, ∴.OD垂直平分AC..∠AED=90°.：AD=CD, ∠CAB=a,∠BPC=B,∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB+ ∠BPC=Q+B.:OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD= ∠CAB+∠DAC=a+a+B=2a+B.:∠DAC+ ∠ODA=90°，∴.a+B+2a+B=90°.∴.3a+23=90° D (第7题) 8.240连接OC,OE.∠CAE=60°，∴.∠COE= 2∠CAE=2X60=120∠B+∠P的度数-=号(MDC 的度数+AB配的度数)-之（周角+∠COE)-号× (360°+120°)=240° 9.75°如图，连接OA,OB,OC,OD.:OA=OB=OC= OD=1,AB=2,CD=1,..OA2+OB2=AB2,OC= OD=CD.∴.△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边 三角形.∴.∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD= 60°.∠CDB=∠CAB,∠ODB=∠OBD,∴.a=180°- ∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-(∠CDB+ ∠ODB)=180°-45°-60°=75°. B (第9题) 10..AD⊥BC,.∠AGB=∠DGC=90°.∴.∠A+ ∠B=90°.AC=AC,∴.∠B=∠D..∠A+∠D= 90°.E为AB的中点，∴.EA=EG..∠A=∠AGE.又 ∠AGE=∠DGF,∴.∠A=∠DGF.∴.∠DGF+ ∠D=90°.∴.∠DFG=90°.∴.EF⊥CD. 11.(1)如图，连接OA,OC,过点O作OH⊥AC于点H. :∠ABC=120°，BM平分∠ABC,∴.∠MBA= ∠MBC=2∠ABC=60.:AM=AM,CM=CM, ∴.∠ACM=∠ABM=60°，∠MAC=∠MBC=60°. ∴.∠AMC=60°.∴.△AMC是等边三角形，∠AOC 2∠AMC=120°.，AO=C0,∴.∠OAC=∠0CA=30°. OH LAC.AC2AH-CH-AC- Rt△AOH中，∠OAH=30°，∴.易得OA=2OH.∴.易得 OH=1,OA=2..⊙O的半径为2.(2)AB+BC= BM.如图，在BM上截取BE=BC,连接CE.·'∠MBC 60°，∴.△EBC是等边三角形.∴BC=EC,∠BCE=60°. ∴.∠BCA+∠DCE=60°.∠ACM=60°，∴.∠ECM+ ∠DCE=60°.∴.∠BCA=∠ECM.:'△AMC是等边三角 BC=EC. 形，∴.AC=MC.在△ACB和△MCE中，∠BCA=∠ECM, AC-MC. '.△ACB≌△MCE(SAS)..AB=ME..'ME+BE= BM,∴.AB+BC=BM. M 0 HD B (第11题) 方法归纳 证明两条线段之和等于第三条线段的一般方法 解决这类问题时，可采用两种思路：①在第三条线 段上截取一条线段等于两条线段中的一条线段，再构造 图形中的两个三角形全等，证得第三条线段中剩下的线 段等于另一条线段②在两条线段中的一条线段的延长 线上，截取一条线段等于另一条线段，再构造图形中的两 个三角形全等，证得这两条线段之和等于第三条线段. 12.(2,0)连接PB,PA,过点B作BE⊥x轴于点E,过 点A作AF⊥x轴于点F.由点A,B的坐标，可得OE=1, AF=3.∠ACB=45,.∠APB=90°.∴∠BPE+ ∠FPA=90°.：'∠BPE+∠EBP=90°，.∠EBP= ∠FPA.∠BEP=∠PFA=90°，BP=PA, ∴.△BPE≌△PAF(AAS).∴.PE=AF=3.设P(a,0), a+1=3..a=2.P(2,0). (1D二AB为⊙O的直径，CDLAB于点E,BC BD..CF CB,.CF=BC=BD.:'BD+BC= BC+CF,即CD=BF.∴.CD=BF.(2)如图①，连接 BC.由(1)，得CF=BD,CD=BF=4,.∠FBC= ∠BCD..BG=CG..AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点 E,.DE=CE=CD=2.设EG=x,则BG=CG=2 x.在Rt△BEG中，EG+BE2=BG,即x2+1=(2- x,解得x=子GE的长为子 (3)如图②，连接 OC,交BF于点L.:AF-AE,:号∠AOF=∠OBF. OC=OB. 在△OCG和△OBG中，{OG=OG,.△OCG2△OBG CG-BG. (SSS).∴.∠COG=∠BG.∴.∠IOB=2∠EOG.OF= OB,CF=BC,.易得OC⊥BF.∴.∠OIB=90 ∠I10B+∠IB0=90,2∠E0G+号 ∠AOF=90°. B ① ② (第13题) 第2课时圆周角定理的推论 及圆内接四边形的性质 1.BAB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∴.∠CAB+ ∠B=90°.∠CAB=40°，∴.∠B=50°..∠ADC= ∠B=50° 2.B连接AC.,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°. ∠ACD=∠AED=20°，∴.∠BCD=∠ACB+ ∠ACD=90°+20°=110°. 3.20连接AD.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90° :∠BAC=35°，∴∠ADC=∠ABC=90°-∠BAC= 90°-35°=55..AC=CD,∴.∠DAC=∠ADC=55 ∴.∠BCD=∠BAD=∠DAC-∠BAC=55°-35°=20° 4.150∠A:∠B:∠C=2:1:4,.设∠A=2x, ∠B=x,∠C=4x.:四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，.∠A十∠C=180°，即2x+4x=180°，解得x=30°. ∴.∠B=30°..∠D=180°-∠B=180°-30°=150°. 5.(1)连接CD.BC为半圆O的直径，∴∠BDC=90°. ∴.CD⊥AB.·CA=CB,.AD=BD,即D为AB的中 点.(2)连接BE.:BC为半圆O的直径，∴∠BEC= 90.即∠BEA=90.AD=BD.DE=AD=2AB, 即AD=DE. 6.B连接OC,OD.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°.AC=BC,OA=OB,.OC⊥AB..∠BOC=90 CD=DE.OD-7CE-CD.OD-CD-C.