3.4 圆周角 易错专题 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2024 · 圆周角 · 第3章 圆 3.4圆周角 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 本专题打破教材题序，将60道圆周角易错题按错因重新聚合为七类失分模块：漏用直径直角、混淆圆周角与圆心角、同弦两解、内接四边形互补、垂径结合、动点漏解、等弧误用。每模块以一道精讲例题搭配即时巩固拆解陷阱；文末综合检测题组回扣各类易错点，便于查漏补缺。 目录 易错点1：漏用直径所对圆周角为直角 易错点2：圆周角与圆心角混淆未折半 易错点3：同弦所对圆周角有两解 易错点4：圆内接四边形对角互补误用 易错点5：垂径定理结合圆周角误推 易错点6：动点位置不同导致漏解 易错点7：等弧等弦等角关系误用 易错点1：漏用直径所对圆周角为直角 学习目标 · 识别直径即构造直角 · 利用同弧圆周角相等转移角 · 结合互余关系求未知角 纠错指引 凡见直径作其所对圆周角，先标90°再找同弧等角。 精讲例题 例题1．（2026•楚雄市二模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝28°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°， ∴∠B＝∠D＝62°， 故选：D． 教学提示：板书先标出∠ACB=90°，追问学生为何∠D=∠B，强化同弧圆周角相等。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 直径所对圆周角恒为90° · 同弧圆周角相等可转移角 · 先标直角再算余角 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•高要区期末）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（　　） A．66° B．64° C．56° D．54° 【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，从而求出∠ABC的度数即可． 【解答】解：∵∠D＝24°， ∴∠A＝24°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣24°＝66°． 故选：A． 教学提示：让学生口述“直径所对圆周角是直角”后再求余角，避免直接用24°当答案。 即时巩固2．（2024秋•凉州区校级期末）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，则∠D＝（　　） A．60° B．70° C．30° D．40° 【分析】由圆周角定理得到∠ACB的度数，从而求得∠B的度数，再根据圆周角定理求得∠D的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°． 故选：A． 教学提示：先由直径得∠ACB=90°，再求∠B=90°−30°=60°，追问为何∠D=∠B，强化同弧圆周角相等。 即时巩固3．（2025•惠阳区校级三模）·【基础】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，则∠ABD＝（　　） A．116° B．64° C．58° D．32° 【分析】由圆周角定理求得∠ADB和∠A的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABD的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BCD＝32°， ∴∠A＝∠BCD＝32°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣32°＝58°． 故选：C． 教学提示：板书∠ADB=90°(直径)，得∠A=∠BCD=32°，再算∠ABD=58°，提醒别把∠BCD当∠B。 即时巩固4．（2025•柯城区校级三模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BCD＝20°，则∠ABD的度数为 　 　 ． 【分析】根据圆周角定理分别求出∠ADB和∠BAD的度数，再由三角形内角和定理求出∠ABD的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BCD＝20°， ∴∠BAD＝∠BCD＝20°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣20°＝70°． 故答案为：70°． 教学提示：类比第18题，由∠ADB=90°与∠BAD=∠BCD=20°求∠ABD=70°，让学生对比两题数字变化。 即时巩固5．（2025•南通模拟）·【基础】如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是 　 　 ° 【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADB＝∠ACB＝60°，即可解答． 【解答】解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， 故答案为：60． 教学提示：连接BD构造直径直角得∠ADB=90°，∠ACB=60°；追问内接四边形中∠EDC=∠BAE的互补依据。 易错点2：圆周角与圆心角混淆未折半 学习目标 · 区分圆周角与圆心角 · 乘以2或除以2换算 · 找准圆周角所对的弧 纠错指引 写圆周角时先问它对着哪段弧，圆心角永远是其2倍。 精讲例题 例题2．（2026•清新区二模）·【基础】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠BOC＝40°，则∠A等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BOC＝40°， ∴∠A∠BOC40°＝20°， 故选：A． 教学提示：用红笔圈出圆心角∠BOC，提问“圆周角该是其几倍”，纠÷2漏算。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 圆周角等于圆心角一半 · 看清角所对的是哪段弧 · 别把圆心角当圆周角 即时巩固 即时巩固6．（2025•西畴县模拟）·【基础】如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．32° C．36° D．38° 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵∠AOB＝76°， ∴∠ACB∠AOB＝38°． 故选：D． 教学提示：对比圆心角是圆周角的2倍，板书∠AOB=2∠ACB，防止直接抄76°。 即时巩固7．（2025•霍邱县一模）·【基础】如图，AB为⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且分别在AB两侧，若∠BOC＝140°，则∠ADC的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【分析】求出∠AOC的度数，再由圆周角定理求出∠ADC的度数即可． 【解答】解：∵∠BOC＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°， ∴∠ADC∠AOC40°＝20°． 故选：A． 教学提示：∠BOC=140°先求∠AOC=40°，再∠ADC=20°，提示“大圆心角对应另一侧的圆周角”。 即时巩固8．（2025•新兴县一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，若∠AOD＝44°，则∠C的度数为（　　） A．68° B．56° C．46° D．44° 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵∠AOD＝44°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣44°＝136°， ∴∠C∠BOD136°＝68°． 故选：A． 教学提示：∠AOD=44°→∠BOD=136°，故∠C=∠BOD÷2=68°，引导先补平角再折半。 即时巩固9．（2025•武进区校级一模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 　 　 °． 【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠BOC的度数即可． 【解答】解：∵∠ADC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120． 教学提示：由∠ADC=30°得∠AOC=60°，再∠BOC=180°−60°=120°，强调圆周角对的是劣弧圆心角。 即时巩固10．（2024秋•淮北期末）·【提升】如图，在⊙O中，∠ABC＝56°，∠AOC的度数是 　 　 ． 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵∠ABC＝56°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝112°． 故答案为：112°． 教学提示：直接写∠AOC=2∠ABC=112°，板书核对“圆心角=2×圆周角”，防止漏乘2。 易错点3：同弦所对圆周角有两解 学习目标 · 判断顶点在优弧或劣弧 · 写出互补的两个圆周角 · 分类讨论不漏解 纠错指引 同一条弦两侧圆周角互补，先分顶点位置再各算一解。 精讲例题 例题3．（2026•内乡县三模）·【基础】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数． 【解答】解：连接OA，OB， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠AOB＝90°， 若点P在优弧ADB上，则∠APB∠AOB＝45°； 若点P在劣弧AB上， 则∠APB＝180°﹣45°＝135°． ∴∠APB＝45°或135°． 故选：C． 教学提示：在图上分别标P在优弧与劣弧的位置，引导写出互补两解，杜绝只写45°。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 同弦两侧圆周角互补 · 顶点在优弧得45° · 顶点在劣弧得135° 即时巩固 即时巩固11．（2026春•鼓楼区校级期中）·【基础】如图，AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置． 【解答】解：∵∠APQ＝115°， ∴∠APQ所对应优弧， ∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°， ∴劣弧所对应圆心角∠AOQ＝130°， ∵C、D为的三等分点， ∴∠AOD＝120°． 故Q应位于上， 故选：D． 教学提示：∠APQ=115°所对是优弧，其圆心角230°，故劣弧∠AOQ=130°，引导先判优弧再定位Q。 即时巩固12．（2024秋•江西校级期末）·【提升】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 【分析】取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF，根据圆周角定理分别将∠AOD、∠DOE、∠EOF、∠BOF用∠1、∠2、∠3、∠4表示出来，再由∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF＝180°计算出∠1+∠2+∠3+∠4的度数即可． 【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF． ∵∠AOD＝2∠1，∠DOE＝2∠2，∠EOF＝2∠3，∠BOF＝2∠4， ∴∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF＝2（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°． 故选：B． 教学提示：让每个角都连圆心，写出∠AOD=2∠1等，再相加得2(∠1+…+∠4)=180°，防止漏×2。 即时巩固13．（2024秋•大连期末）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，∠ACE＝35°，点D是上一点，则∠BDE的度数是（　　） A．105° B．110° C．125° D．135° 【分析】连接OE，根据圆周角定理求出∠AOE的度数，从而求出∠BOE的度数，进而求出∠BDE所对的圆心角的度数，再由圆周角定理求出∠BDE的度数即可． 【解答】解：如图，连接OE． ∵∠ACE＝35°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝70°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BDE（360°﹣∠BOE）（360°﹣110°）＝125°． 故选：C． 教学提示：指出∠BDE所对是优弧，圆心角取360°−110°，避免误算成55°。 即时巩固14．（2025•禅城区二模）·【提升】筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 　 　 ． 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠AOD的度数，再由圆周角定理求出∠ABD的度数，进而求出∠DBM的度数． 【解答】解：如图，连接OA． ∵∠ADC＝16°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝32°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝148°， ∴∠ABD∠AOD＝74°， ∴∠DBM＝180°﹣∠ABD＝106°． 故答案为：106°． 教学提示：∠ADC=16°→∠AOC=32°，∠AOD=148°(优弧)，∠ABD=74°，∠DBM=106°；强调补角来自直径平角。 易错点4：圆内接四边形对角互补误用 学习目标 · 识别圆内接四边形 · 对角互补求未知角 · 注意等腰梯形未必成立 纠错指引 内接四边形对角相加为180°，证特殊形状须排除矩形等情形。 精讲例题 例题4．（2025•滨海县二模）·【基础】如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C＝　 　 度． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出∠A＝55°，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝35°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝55°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A＝125°， 故答案为：125． 教学提示：先由半圆得∠ADB=90°求∠A，再用内接四边形对角互补得∠C，分步板演。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 直径所对圆周角为90° · 内接四边形对角互补 · 半圆问题先定直角 即时巩固 即时巩固15．（2025•韶关模拟）·【提升】如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且∠EFC＝112°，则∠ACE的度数为（　　） A．65° B．66° C．67° D．68° 【分析】连接AB、BC，根据勾股定理的逆定理证明∠BAC＝90°，由AB＝AC求出∠ABC的度数，由圆周角定理求出∠AEC的度数，根据圆的内接四边形的性质求出∠EAC的度数，再由三角形内角和定理求出∠ACE的度数即可． 【解答】解：如图，连接AB、BC． ∵AB2，AC2， ∴AB2+AC2＝（2）2+（2）2＝16， ∵BC2＝42＝16， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°， ∵四边形AEFC内接于圆， ∴∠EAC＝180°﹣∠EFC＝180°﹣112°＝68°， ∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣68°＝67°． 故选：C． 教学提示：先证∠BAC=90°(勾股逆)，得∠AEC=45°，再用内接四边形∠EAC=180°−112°=68°求∠ACE。 即时巩固16．（2025•西宁二模）·【基础】如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　 　 ． 【分析】先利用圆周角定理以及周角是360°可得∠AOC+2∠ABC＝360°，再结合已知可得3∠AOC＝360°，从而可得∠AOC＝∠ABC＝120°，然后利用四边形内角和是360°进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC， ∴∠AOC+2∠ABC＝360°， ∵∠AOC＝∠ABC， ∴3∠AOC＝360°， ∴∠AOC＝∠ABC＝120°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°， 故答案为：120°． 教学提示：由∠AOC+2∠ABC=360°且∠AOC=∠ABC，解得各120°，再用四边形内角和求∠A+∠C=120°。 即时巩固17．（2025•拱墅区模拟）·【基础】如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　 　 °． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAC＝2∠BAD＝50°，再根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠EDC＝∠BAE，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝25°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BAE+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAE＝50°， 故答案为：50． 教学提示：由AB=AC与直径得∠BAC=2∠BAD=50°，用内接四边形∠EDC=∠BAE=50°，点明互补转化。 即时巩固18．（2025•宿城区一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠C＝125°，则∠E的度数为 　 　 ． 【分析】连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB的度数，从而求得∠BCD的度数，进而得到∠E的度数． 【解答】解：如图，连接BC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝125°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝125°﹣90°＝35°， ∴∠E＝∠BCD＝35°． 故答案为：35°． 教学提示：连接BC得∠ACB=90°，∠BCD=125°−90°=35°，故∠E=35°，提醒“圆内接对角互补”用于∠ACD。 易错点5：垂径定理结合圆周角误推 学习目标 · 用垂径得弧相等 · 由弧等推出圆周角相等 · 结合圆心角换算 纠错指引 弦垂直直径则分弧相等，再用弧等推出圆周角或圆心角相等。 精讲例题 例题5．（2025•莘县校级模拟）·【基础】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 【分析】根据圆周角定理和垂径定理即可求解． 【解答】解：∵OC⊥AB交⊙O于点C， ∴， ∴∠BOC＝∠AOC， ∵∠ADC＝28°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝56°， ∴∠BOC的度数为56°． 故选：C． 教学提示：强调OC⊥AB推出弧相等，故∠BOC=∠AOC=2∠ADC，梳理推导链。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 垂径平分弦所分弧 · 弧等则圆心角相等 · 圆周角的2倍是圆心角 即时巩固 即时巩固19．（2024秋•旌阳区期末）·【提升】在⊙O中，直径CD⊥弦AB，连接OA、BC，且∠AOD＝54°，则∠C为（　　） A．18° B．27° C．54° D．108° 【分析】由垂径定理得，从而根据圆心角、弧、弦的关系得∠BOD＝∠AOD＝54°，进而由圆周角定理得∠C∠BOD＝27°． 【解答】解：如图，连接OB． ∵直径CD⊥弦AB， ∴， ∴∠BOD＝∠AOD＝54°， ∴∠C∠BOD54°＝27°． 故选：B． 教学提示：垂径得弧等→∠BOD=∠AOD=54°，故∠C=27°，追问“为何直径垂直弦能平分弧”。 即时巩固20．（2025•渭滨区校级模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝27°，则∠OAB的度数为（　　） A．27° B．36° C．54° D．62° 【分析】由圆周角定理求出∠BOC的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OAB的度数即可． 【解答】解：∵∠D＝27°， ∴∠BOC＝2∠D＝2×27°＝54°， ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC＝54°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝54°+54°＝108°， ∵OA＝OB， ∴∠∠OAB（180°﹣∠AOB）（180°﹣108°）＝36°． 故选：B． 教学提示：∠D=27°→∠BOC=54°，垂径+等腰得∠AOB=108°，∠OAB=(180−108)/2=36°，强调两步推导。 即时巩固21．（2025春•成华区校级月考）·【提升】如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝29°，则∠BOC的度数为（　　） A．29° B．38° C．48° D．58° 【分析】连接PB，根据垂径定理和圆周角定理计算即可． 【解答】解：如图，连接PB． ∵OC⊥AB， ∴， ∴∠BPC＝∠APC＝29°， ∴∠BOC＝2∠BPC＝2×29°＝58°． 故选：D． 教学提示：由垂径得∠BPC=∠APC，再×2得圆心角，提醒先找等弧再换算。 即时巩固22．（2026•武威一模）·【提升】如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB⊥CD于E，连接OD，DB．∠CAB＝20°，则∠OBD的大小为 　 　 °． 【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求出∠BOD的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBD的度数即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠CAB＝20°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝40°， ∵AB⊥CD， ∴， ∴∠BOC＝∠BOD＝40°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD（180°﹣∠BOD）＝70°． 故答案为：70． 教学提示：∠CAB=20°→∠BOC=40°，垂径得∠BOD=40°，OB=OD得∠OBD=70°，让学生复述垂径到等腰。 即时巩固23．（2025•平谷区一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC、OD，若∠B＝20°，则∠D的度数为 　 　 ． 【分析】连接OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD的度数，从而求出∠D的度数即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠B＝20°， ∴∠AOC＝2∠B＝40°， ∵弦CD⊥AB， ∴， ∴∠AOD＝∠AOC＝40°， ∴∠D＝90°﹣∠AOD＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 教学提示：∠B=20°→∠AOC=40°，垂径得∠AOD=40°，∠D=90°−40°=50°，提示“先找弧等再算余角”。 易错点6：动点位置不同导致漏解 学习目标 · 分析动点运动范围 · 分类讨论各位置 · 检验是否多解 纠错指引 动点在弦两侧或圆上不同段时分别求解，逐位置验证不遗漏。 精讲例题 例题6．（2024秋•凉州区期末）·【提升】⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，F为CD上一点，OF＝4，则CF的长为 　 　 ． 【分析】利用勾股定理和圆周角定理，分别计算点F在CE上、点F在DE上时CF的长即可． 【解答】解：如图1，当点F在CE上时： 连接OC， 在Rt△EOF中利用勾股定理，得EF2， ∵∠CAE＝30°， ∴∠COE＝2∠CAE＝60°， ∴CE＝OE•tan∠COE＝26， ∴CF＝CE﹣EF＝6﹣2＝4； 如图2，当点F在DE上时： 连接OC， 在Rt△EOF中利用勾股定理，得EF2， ∵∠CAE＝30°， ∴∠COE＝2∠CAE＝60°， ∴CE＝OE•tan∠COE＝26， ∴CF＝CE+EF＝6+2＝8． 综上，CF＝4或8． 故答案为：4或8． 教学提示：让学生讨论F在CE段与DE段两种位置，分别勾股计算，强调两解都写。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 点可能在弦两段上 · 分类求两类长度 · 两类解都要写出 即时巩固 即时巩固24．（2025•西安校级自主招生）·【提升】如图，在圆O中，AC为直径，BD在圆O上，BC＝AB＝5，CF平分∠ACD，则（　　） A．BF＞BA B．AD2+DC2＝BD2 C．AD+DC的最大值为10 D．以上答案都不对 【分析】依据题意，由圆周角定理、勾股定理等列出关系式，进而逐个判断即可得解． 【解答】解：∵AC为直径，BC＝AB， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°． ∵， ∴∠BAC＝∠BDC． ∴∠BCA＝∠BDC＝45°． ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠DCF． ∴∠BCA+∠ACF＝∠BDC+∠DCF． 又∵∠BCA+∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝∠BDC+∠DCF， ∴∠BCF＝∠BFC． ∴BF＝BC，故A错误． ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°． ∴AD2+DC2＝AC2． ∵AC≥BD， ∴AD2+DC2＝AC2≥BD2，故B错误． ∵BC＝AB＝5， ∴AC2＝BC2+AB2＝50＝AD2+DC2． ∵2（AD2+DC2）﹣（AD+DC）2＝（AD﹣DC）2≥0， ∴2（AD2+DC2）＝100≥（AD+DC）2． ∴AD+DC≤10，即AD+DC的最大值为10，故C正确． 故选：C． 教学提示：C在上半圆运动，由∠BCA=∠BDC=45°与角平分线推BF=BC，再证AD+DC≤10取等条件。 即时巩固25．（2026•南京一模）·【提升】如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ． 【分析】连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，证DE为△AOB的中位线得DE＝2，由此得随着点B在⊙O上运动，点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，再证GM为△CED的中位线得GM＝1，由此随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得AM≤AG+GM，进而得当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，最大值为AG+GM，取OE的中点F，连接GF，OC，先证△AOC为直角三角形，再证GF为△EOC的中位线，则GF＝2，OF＝1，GF∥OC，进而得∠AFG＝∠AOC＝90°，AF＝OA﹣OF＝3，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG，进而可求出AG+GM，据此可得AM的最大值． 【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示： ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为CD的中点，点E为OA的中点， ∴DE为△AOB的中位线， ∴DEOB＝2， ∴随着点B在⊙O上运动， 点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动， ∵点M为CD的中点，点G为CE的中点， ∴GM为△CED的中位线， ∴GMED＝1， ∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径 的圆上运动， 根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM， ∴当AM＝AG+GM时，AM为最大， 即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大， 最大值为AG+GM， 如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OC＝4， ∴OA2+OC2＝42+42＝32， 又∵AC， ∴AC232， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°， ∵点F是OE的中点，点G是CE的中点， ∴GF为△EOC的中位线， ∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC， ∴∠AFG＝∠AOC＝90°， ∴AF＝OA﹣OF＝3， 在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2， 由勾股定理得：AG， ∴AG+GM1． ∴AM的最大值为1． 故答案为：1． 教学提示：动点B带动D、M运动，引导用中位线把AM化为“AG+GM”上界，强调“最值出现在三点共线”。 即时巩固26．（2025春•朝阳区校级月考）·【提升】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C为弧BD上一点，连接AC、BC，点D是弧AC的中点，作DG⊥AB于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的有 　 　 ． ①∠DAE＝∠DBC；②AE＝DE；③若DG＝3，BG＝4，则；④点F为BD的中点，则． 【分析】依据题意，根据圆周角定理、勾股定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，逐个分析并建立关系式即可得解． 【解答】解：①∵， ∴∠DAE＝∠DBC，故①正确． ②∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠ADE+∠BDG＝90°． ∵DG⊥AB， ∴∠BDG+∠DBG＝90°． ∴∠ADE＝∠DBG． ∵点D是的中点， ∴． ∴∠DBG＝∠DAC． ∴∠ADE＝∠DAC． ∴AE＝DE，故②正确． ③连接OD交AC于H， ∵OD是半径，D是的中点， ∴OD⊥AC，且AH＝CHAC． 设⊙O的半径为r， ∵BG＝4， ∴OG＝BG﹣OB＝4﹣r． 在Rt△DGO中，∵OD2＝OG2+DG2， ∴r2＝（4﹣r）2+32． ∴r． ∵S△ADODG•AOAH•DO，且AO＝DO， ∴DG＝AH＝3． ∴在Rt△AHO中，OH． ∵OH是△ABC的中位线， ∴BC＝2OH，故③错误． ④如图，连接OF，OD． ∵点F为BD的中点，DH∥BC， ∴F是CH的中点． 又∵H是AC的中点， ∴AH＝2HF． 设HF＝m， ∴AH＝2m， ∵DH⊥AF，∠ADF＝90°， ∴△DHF∽△ADF． ∴DF2＝HF•AF＝m•3m＝3m2． ∴DFm． ∵AD2＝AF2﹣DF2＝9m2﹣3m2＝6m2， ∴ADm． ∴ADDF，故④正确． 故答案为：①②④． 教学提示：D是弧AC中点→∠DAE=∠DBC，结合DG⊥AB推AE=DE；让学生分类验证③中BC=2OH是否成立。 即时巩固27．（2025•建瓯市校级开学）·【提升】如图，AB为直径，AB＝3，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长 　 　 ． 【分析】连接OC、ON、OD．根据等腰三角形的性质证明ON⊥CD，得到∠ONC+∠OMC＝180°，从而证明点O、N、C、M共圆，根据圆周角定理求得∠CON＝30°，进而证明△COD是等边三角形，再根据AB＝3计算CD即可． 【解答】解：如图，连接OC、ON、OD． ∵OC＝OD，N为CD中点， ∴ON⊥CD， ∴∠ONC＝90°， ∵CM⊥AB， ∴∠OMC＝90°， ∴∠ONC+∠OMC＝90°+90°＝180°， ∴点O、N、C、M在同一圆周上， ∵∠CMN＝30°， ∴∠CON＝∠CMN＝30°， ∴∠COD＝2∠CON＝2×30°＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵AB＝3， ∴CD＝OC＝OAAB3． 故答案为：． 教学提示：保持∠CMN=30°，证O、N、C、M共圆得∠CON=30°，△COD等边，讨论C、D运动不漏等长情形。 易错点7：等弧等弦等角关系误用 学习目标 · 由等弧得等圆周角 · 由等弧得等弦 · 防止弦不一定相等 纠错指引 等弧⇄等弦⇄等圆周角三者互通，但仅弧等不能直接推两弦相等。 精讲例题 例题7．（2025秋•鲤城区校级月考）·【基础】如图，在⊙O中，，点D在⊙O上．若∠BAC＝40°，则∠ADB＝　 　 ． 【分析】本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解∠ADB的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝40° ∴∠ADB＝∠BAC＝40°． 故答案为：40． 教学提示：圈出同弧BC，提问“∠BAC与∠ADB是否同弧所对”，确认相等关系。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 同弧圆周角相等 · 等弧所对圆周角相等 · 先确认是否为同弧 即时巩固 即时巩固28．（2025•平遥县一模）·【提升】如图，在⊙O中，，若∠D＝25°，则∠1＝（　　） A．25． B．30° C．50° D．60° 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB，根据AB＝BC可求得∠1的度数． 【解答】解：如图，连接OA． ∵∠D＝25°， ∴∠AOB＝2∠D＝50°， ∵AB＝BC， ∴∠1＝∠AOB＝50°． 故选：C． 教学提示：∠D=25°→∠AOB=50°，由AB=BC得等弧→∠1=∠AOB=50°，强调“等弧推等圆周角”。 即时巩固29．（2025•洛阳一模）·【提升】如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，AC，BD相交于点E，，则下列结论不正确的是（　　） A．∠A＝∠D B．AD∥BC C．AD＝BC D．AC＝BD 【分析】A．根据圆周角定理判断即可； B．平行线判定定理判断即可； C．根据相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质判断即可； D．根据等腰三角形的判定与性质判断即可． 【解答】解：根据圆周角定理，得∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴A正确，不符合题意； ∵， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D， ∴AD∥BC， ∴△ADE∽△CBE，但不能证明△ADE≌△CBE， ∴AD＝BC不一定成立， ∴B正确，不符合题意；C不正确，符合题意； ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D， ∴AE＝DE，BE＝CE， ∵AC＝AE+CE，BD＝BE+DE， ∴AC＝BD， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 教学提示：由等弧得四角相等推AD∥BC，但△ADE≌△CBE不成立，追问“AD=BC是否一定”，破除想当然。 即时巩固30．（2026•凉州区校级模拟）·【提升】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　 　 °， 【分析】连接OC、OD、OE，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°，由圆心角、弧、弦的关系求出∠BOD的度数，根据圆周角定理求出∠BCD的度数，从而求出∠DCE的度数即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD、OE． ∵CB＝CE， ∴∠BOC＝∠EOC， ∵OB＝OC＝OE， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC），∠OCE＝∠OEC（180°﹣∠EOC）， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°， ∵D是的中点， ∴， ∵∠AOB＝100°， ∴∠BOD∠AOB＝50°， ∴∠BCD∠BOD＝25°， ∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝55°﹣25°＝30°， ∴∠DCE＝∠OCD+∠OCE＝30°+55°＝85°． 故答案为：85． 教学提示：CB=CE得∠OBC=∠OCE=55°，D是中点得∠BOD=50°，∠BCD=25°，再∠DCE=85°，分步标弧。 即时巩固31．（2025•绍兴一模）·【提升】如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠OAC与∠OBC的度数和是 　 　 ． 【分析】连接CO，延长CO交⊙O于点D，设∠OAC＝x°，∠OBC＝y°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质将∠AOB用x和y表示出来，由圆周角定理求出∠AOB的度数，从而求出x°+y°即可． 【解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于点D． 设∠OAC＝x°，∠OBC＝y°， ∵OA＝OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∠OCB＝∠OBC＝y°， ∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2x°，∠BOD＝∠OCB+∠OBC＝2y°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2x°+2y°＝2（x°+y°）， ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴2（x°+y°）＝120°， ∴x°+y°＝60°， ∴∠OAC与∠OBC的度数和是60°． 故答案为：60°． 教学提示：设∠OAC=x、∠OBC=y，用外角把∠AOB表成2(x+y)=120°，逆向解出x+y=60°，练“设元搭桥”。 过关测试（综合检测） 1．（2025•南海区二模）·【基础】已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，已知⊙O半径为5，弦AC＝6，则弦BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据圆周角定理和勾股定理计算即可． 【解答】解：如图： ∵AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点， ∴弦AC⊥弦BC， ∵⊙O半径为5， ∴AB＝2×5＝10， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得BC8， ∴弦BC的长为8． 故选：D． 教学提示：直径AB与C构造∠ACB=90°，半径5→AB=10，勾股求BC=8，提醒“直径直角才有直角三角形”。 2．（2025•杜集区校级二模）·【提升】如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° 【分析】根据题意，点A、B、C、D在同一圆上，设圆心为点O，连接OD．根据圆周角定理求出∠ACD的度数，从而求出∠BCD的度数即可． 【解答】解：∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，且∠ACB＝90°， ∴点A、B、C、D在同一圆上，如图所示： 设圆心为点O，连接OD． ∵∠AOD＝64°， ∴∠ACD∠AOD＝32°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣32°＝58°． 故选：A． 教学提示：量角器直径重合，∠AOD=64°→∠ACD=32°，∠BCD=90°−32°=58°，让学生指“哪段弧对应哪角”。 3．（2025•叙州区校级模拟）·【提升】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（　　） A．22° B．30° C．32° D．68° 【分析】根据圆周角定理得到∠BAC的度数，再由AB是⊙O的直径得到∠ACB的度数，从而计算∠ABC的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝68°， ∴∠BAC＝68°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°． 故选：A． 教学提示：直径AB→∠ACB=90°，∠BAC=∠CDB=68°，∠ABC=22°，追问“为何∠CDB等于∠BAC”。 4．（2025•祁阳市模拟）·【提升】如图，在⊙O中，C，D为⊙O上两点，AB为⊙O的直径．如果∠ADC＝25°，那么∠COB为（　　） A．100° B．125° C．130° D．155° 【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠COB的度数即可． 【解答】解：∵∠ADC＝25°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝50°， ∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝130°． 故选：C． 教学提示：∠ADC=25°→∠AOC=50°，∠COB=180°−50°=130°，强调“补角圆心角勿忘平角180”。 5．（2025春•北碚区校级期中）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（　　） A．35° B．37° C．37.5° D．52.5° 【分析】连接OD，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求出∠OCA的度数，从而求出∠OCD的度数，再由等腰三角形的性质求出∠ODC的度数，根据三角形内角和定理求出∠COD的度数，最后由圆周角定理求出∠DAC的度数即可． 【解答】解：如图，连接OD． ∵∠BOC＝35°， ∴∠OAC∠BOC35°＝17.5°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝17.5°， ∵∠ACD＝35°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝17.5°+35°＝52.5°， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD＝52.5°， ∴∠COD＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°， ∴∠DAC∠COD75°＝37.5°． 故选：C． 教学提示：∠BOC=35°得∠OAC=17.5°，等腰+∠ACD=35°得∠OCD=52.5°，再求∠COD=75°→∠DAC=37.5°，练多层换算。 6．（2025秋•东台市期末）·【提升】如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC，则OC的长为 　 　 ． 【分析】设OA与BC交于点E，连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC的度数和CE的长，从而利用三角形函数求出OC的长即可． 【解答】解：如图，设OA与BC交于点E，连接OB． ∵∠ADB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝60°， ∵OA⊥BC， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB＝60°， ∵BC， ∴CEBC＝3， ∴OC6． 故答案为：6． 教学提示：OA⊥BC→∠AOB=2∠ADB=60°，垂径得∠AOC=60°，CE=3勾股得OC=6，提示“垂直弦即出等腰Rt思路”。 7．（2025秋•永川区期中）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D．且⊙O的半径为5，连结AD，则AD＝　 　 ；若弦AC的长为6，则CD＝　 　 ． 【分析】连接OD、AD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD⊥AB，在△AOD中利用勾股定理求出AD即可；过点A作AF⊥CD交CD于点F，利用圆周角定理求出∠ACD＝45°，从而证明Rt△AFC是等腰直角三角形，在Rt△AFC中利用勾股定理求出AF、CF，在Rt△ADF中利用勾股定理求出DF，从而由CD＝CF+DF计算出CD． 【解答】解：连接OD、AD． ∵CD是∠OCE的角平分线， ∴∠OCD＝∠ECD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ECD＝∠ODC， ∴CE∥OD， ∵CE⊥AB， ∴∠CEO＝90°， ∴∠DOE＝90°， ∴OD⊥AB， ∴AD5； 过点A作AF⊥CD交CD于点F， ∵∠ACD∠AOD＝45°， ∴Rt△AFC是等腰直角三角形， ∵AC＝6， ∴AF＝CF＝3， 在Rt△ADF中，利用勾股定理，得DF4， ∴CD＝CF+DF＝347． 故答案为：5，7． 教学提示：引导先由∠OCE平分线得OD⊥AB，再分类C在半圆不同位置求两问。 8．（2025•朝阳区校级一模）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为圆上两点，且CD∥AB，DE⊥BC交⊙O于点E，交BC于点F．给出下面四个结论：①∠ACB＝90°；②AC∥DE；③CE＝CB；④当CE＝BE时，AB＞DE；⑤若CE＝5，BE＝6，则．上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 【分析】依据题意，根据圆周角定理，平行线判定，圆心角、弧、弦的关系及等腰三角形的性质，垂径定理进行逐个分析判断可以得解． 【解答】解：①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，故①正确． ②∵DE⊥BC于点F， ∴∠EFB＝90°． ∴∠ACB＝∠EFB． ∴AC∥DE，故②正确． ③∵AC∥DE， ∴∠ACD+∠CDE＝180°． ∵CD∥AB， ∴∠ACD+∠CAB＝180°． ∴∠CDE＝∠CAB． ∵， ∴∠CAB＝∠CEB． 又∵， ∴∠CDE＝∠CBE． ∴∠CEB＝∠CBE． ∴CE＝CB，故③正确． ④当CE＝BE时， ∵DE⊥BC， ∴DE为直径． ∴AB＝DE，故④错误． ⑤如图，连接CO并延长交BE于H， ∵CE＝CB， ∴根据对称性可得，CH⊥BE，BH＝EHBE＝3． ∴CH4． 设OA＝OC＝OB＝x， ∴OH＝4﹣x， ∵在Rt△OHB中，OH2+BH2＝OB2， ∴（4﹣x）2+32＝x2． ∴x，即OA，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 教学提示：逐项判①∠ACB=90°②AC∥DE③CE=CB④AB=DE⑤x；重点讲④当CE=BE时DE也是直径故相等，破除“AB>DE”。 9．（2024秋•寿阳县期末）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且∠ADC＝25°，则∠BOC＝ 　 　 °． 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，由垂径定理得，再根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BOC的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵∠ADC＝25°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝2×25°＝50°， ∵半径OC⊥AB， ∴， ∴∠BOC ＝∠AOC＝50°． 故答案为：50． 教学提示：垂径OC⊥AB得弧等，∠ADC=25°→∠AOC=50°=∠BOC，强调“垂径+圆心角”联合推导。 10．（2024秋•平谷区期末）·【提升】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，如果∠AOC+∠EOD＝180°，OD＝5，DE＝6，那么AC的长为 　 　 ． 【分析】连接BC，根据∠AOC+∠EOD＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°得∠EOD＝∠BOC，由圆心角、弧、弦的关系得BC＝DE，再由OD求出AB，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：如图，连接BC． ∵∠AOC+∠EOD＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠EOD＝∠BOC， ∵DE＝6， ∴BC＝DE＝6， ∵OD＝5，AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OD＝10，∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC8． 故答案为：8． 教学提示：由∠AOC+∠EOD=180°推出等弧得BC=DE，再勾股求AC，讲清等弧推等弦。 11．（2024秋•番禺区期末）·【提升】如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长． 【分析】连接AD、BD、OD．由圆周角定理可知∠ACB＝90°，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC；根据角平分线的定义和圆周角定理得AD＝BD，根据等腰三角形的性质得∠AOD＝90°，在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD即可． 【解答】解：如图，连接AD、BD、OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得BC8（cm）； ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵OA＝OB， ∴OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°， 在Rt△AOD中利用勾股定理，得AD5（cm）． 教学提示：直径AB=10，∠ACB=90°勾股得BC=8；CD平分∠ACB推AD=BD，OD⊥AB得AD=5，梳理双勾股。 12．（2025•安庆一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF． （1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长； （2）求证：AF＝EF． 【分析】（1）在Rt△COD中利用勾股定理求出CD的长，由垂径定理求出CG的长即可； （2）根据圆周角定理、对顶角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理证明即可． 【解答】（1）解：如图，连接OC． ∵⊙O的半径为6，AD＝4， ∴OA＝OC＝6， ∴OD＝OA﹣AD＝6﹣4＝2， 在Rt△COD中利用勾股定理，得CD4， ∴CG＝2CD＝2×48． （2）证明：∵CG⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠FCG+∠DEC＝90°， ∵∠AEF＝∠DEC， ∴∠FCG+∠AEF＝90°， ∵CF是∠ACG的平分线， ∴∠ACF＝∠FCG， ∴， ∴∠B＝∠FCG， ∴∠B+∠AEF＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠B＝90°， ∴∠AEF＝∠BAF， ∴AF＝EF． 教学提示：(1)垂径CG=2CD，Rt△COD求CD=8；(2)由∠FCG+∠AEF=90°与角平分推∠AEF=∠BAF得AF=EF，讲全等转化。 13．（2025秋•拱墅区校级月考）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝AE＝6，求AC和BC的长． 【分析】（1）利用等角的余角相等以及等腰三角形的性质证明即可； （2）利用相似三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求解． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）解：∵AB⊥CD，AB是直径， ∴EC＝DE＝3， ∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE， ∴， ∴， ∴EB， ∴BC． ∴AC＝2BC＝3． 教学提示：(1)用等余角证∠ACO=∠BCD；(2)CE=DE=3，△ACE∽△CBE求BE，再勾股得BC、AC，练相似与勾股。 14．（2025•静安区二模）·【提升】已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 【分析】（1）由圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系证明∠ABC＝∠BCD，由圆的内接四边形的性质证明∠BAD+∠BCD＝180°，从而证明∠BAD+∠ABC＝180°，根据平行线的判定定理证明AD∥BC； （2）由（1）知）∠ABC＝∠BCD，根据圆周角定理证明∠ABD＝∠ACD，从而证明∠DBC＝∠ACB，由圆心角、弧、弦的关系证明CD＝AB，进而由AD∥BC证明四边形ABCD不一定是等腰梯形； （3）连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E，证明CE是AB的垂直平分线，在Rt△ACE中利用勾股定理求出CE，设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r，在Rt△AEO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC． （2）解：小明的说法不正确．理由如下： 由（1），∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴CD＝AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形， ∴小明的说法不正确． （3）如图，连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E． ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴CE是AB的垂直平分线， ∴AEAB10＝5， 在Rt△ACE中利用勾股定理，得CE12， 设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r， 在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE2+AE2＝OA2，即（12﹣r）2+52＝r2， 解得r． 教学提示：举矩形反例，追问“AC=BD能否推出等腰梯形”，破除想当然。 苏科版2024 · 圆周角 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 圆周角 · 第3章 圆 3.4圆周角 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题打破教材题序，将60道圆周角易错题按错因重新聚合为七类失分模块：漏用直径直角、混淆圆周角与圆心角、同弦两解、内接四边形互补、垂径结合、动点漏解、等弧误用。每模块以一道精讲例题搭配即时巩固拆解陷阱；文末综合检测题组回扣各类易错点，便于查漏补缺。 目录 易错点1：漏用直径所对圆周角为直角 易错点2：圆周角与圆心角混淆未折半 易错点3：同弦所对圆周角有两解 易错点4：圆内接四边形对角互补误用 易错点5：垂径定理结合圆周角误推 易错点6：动点位置不同导致漏解 易错点7：等弧等弦等角关系误用 易错点1：漏用直径所对圆周角为直角 学习目标 · 识别直径即构造直角 · 利用同弧圆周角相等转移角 · 结合互余关系求未知角 纠错指引 凡见直径作其所对圆周角，先标90°再找同弧等角。 精讲例题 例题1．（2026•楚雄市二模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 直径所对圆周角恒为90° · 同弧圆周角相等可转移角 · 先标直角再算余角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•高要区期末）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（　　） A．66° B．64° C．56° D．54° 即时巩固2．（2024秋•凉州区校级期末）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，则∠D＝（　　） A．60° B．70° C．30° D．40° 即时巩固3．（2025•惠阳区校级三模）·【基础】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，则∠ABD＝（　　） A．116° B．64° C．58° D．32° 即时巩固4．（2025•柯城区校级三模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BCD＝20°，则∠ABD的度数为 　 　 ． 即时巩固5．（2025•南通模拟）·【基础】如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是 　 　 ° 易错点2：圆周角与圆心角混淆未折半 学习目标 · 区分圆周角与圆心角 · 乘以2或除以2换算 · 找准圆周角所对的弧 纠错指引 写圆周角时先问它对着哪段弧，圆心角永远是其2倍。 精讲例题 例题2．（2026•清新区二模）·【基础】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠BOC＝40°，则∠A等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 圆周角等于圆心角一半 · 看清角所对的是哪段弧 · 别把圆心角当圆周角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固6．（2025•西畴县模拟）·【基础】如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．32° C．36° D．38° 即时巩固7．（2025•霍邱县一模）·【基础】如图，AB为⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且分别在AB两侧，若∠BOC＝140°，则∠ADC的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 即时巩固8．（2025•新兴县一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，若∠AOD＝44°，则∠C的度数为（　　） A．68° B．56° C．46° D．44° 即时巩固9．（2025•武进区校级一模）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 　 　 °． 即时巩固10．（2024秋•淮北期末）·【提升】如图，在⊙O中，∠ABC＝56°，∠AOC的度数是 　 　 ． 易错点3：同弦所对圆周角有两解 学习目标 · 判断顶点在优弧或劣弧 · 写出互补的两个圆周角 · 分类讨论不漏解 纠错指引 同一条弦两侧圆周角互补，先分顶点位置再各算一解。 精讲例题 例题3．（2026•内乡县三模）·【基础】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 同弦两侧圆周角互补 · 顶点在优弧得45° · 顶点在劣弧得135° 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固11．（2026春•鼓楼区校级期中）·【基础】如图，AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（　　） A． B． C． D． 即时巩固12．（2024秋•江西校级期末）·【提升】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 即时巩固13．（2024秋•大连期末）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，∠ACE＝35°，点D是上一点，则∠BDE的度数是（　　） A．105° B．110° C．125° D．135° 即时巩固14．（2025•禅城区二模）·【提升】筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 　 　 ． 易错点4：圆内接四边形对角互补误用 学习目标 · 识别圆内接四边形 · 对角互补求未知角 · 注意等腰梯形未必成立 纠错指引 内接四边形对角相加为180°，证特殊形状须排除矩形等情形。 精讲例题 例题4．（2025•滨海县二模）·【基础】如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C＝　 　 度． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 直径所对圆周角为90° · 内接四边形对角互补 · 半圆问题先定直角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固15．（2025•韶关模拟）·【提升】如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且∠EFC＝112°，则∠ACE的度数为（　　） A．65° B．66° C．67° D．68° 即时巩固16．（2025•西宁二模）·【基础】如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　 　 ． 即时巩固17．（2025•拱墅区模拟）·【基础】如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　 　 °． 即时巩固18．（2025•宿城区一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠C＝125°，则∠E的度数为 　 　 ． 易错点5：垂径定理结合圆周角误推 学习目标 · 用垂径得弧相等 · 由弧等推出圆周角相等 · 结合圆心角换算 纠错指引 弦垂直直径则分弧相等，再用弧等推出圆周角或圆心角相等。 精讲例题 例题5．（2025•莘县校级模拟）·【基础】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 垂径平分弦所分弧 · 弧等则圆心角相等 · 圆周角的2倍是圆心角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固19．（2024秋•旌阳区期末）·【提升】在⊙O中，直径CD⊥弦AB，连接OA、BC，且∠AOD＝54°，则∠C为（　　） A．18° B．27° C．54° D．108° 即时巩固20．（2025•渭滨区校级模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝27°，则∠OAB的度数为（　　） A．27° B．36° C．54° D．62° 即时巩固21．（2025春•成华区校级月考）·【提升】如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝29°，则∠BOC的度数为（　　） A．29° B．38° C．48° D．58° 即时巩固22．（2026•武威一模）·【提升】如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB⊥CD于E，连接OD，DB．∠CAB＝20°，则∠OBD的大小为 　 　 °． 即时巩固23．（2025•平谷区一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC、OD，若∠B＝20°，则∠D的度数为 　 　 ． 易错点6：动点位置不同导致漏解 学习目标 · 分析动点运动范围 · 分类讨论各位置 · 检验是否多解 纠错指引 动点在弦两侧或圆上不同段时分别求解，逐位置验证不遗漏。 精讲例题 例题6．（2024秋•凉州区期末）·【提升】⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，F为CD上一点，OF＝4，则CF的长为 　 　 ． 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 点可能在弦两段上 · 分类求两类长度 · 两类解都要写出 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固24．（2025•西安校级自主招生）·【提升】如图，在圆O中，AC为直径，BD在圆O上，BC＝AB＝5，CF平分∠ACD，则（　　） A．BF＞BA B．AD2+DC2＝BD2 C．AD+DC的最大值为10 D．以上答案都不对 即时巩固25．（2026•南京一模）·【提升】如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ． 即时巩固26．（2025春•朝阳区校级月考）·【提升】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C为弧BD上一点，连接AC、BC，点D是弧AC的中点，作DG⊥AB于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的有 　 　 ． ①∠DAE＝∠DBC；②AE＝DE；③若DG＝3，BG＝4，则；④点F为BD的中点，则． 即时巩固27．（2025•建瓯市校级开学）·【提升】如图，AB为直径，AB＝3，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长 　 　 ． 易错点7：等弧等弦等角关系误用 学习目标 · 由等弧得等圆周角 · 由等弧得等弦 · 防止弦不一定相等 纠错指引 等弧⇄等弦⇄等圆周角三者互通，但仅弧等不能直接推两弦相等。 精讲例题 例题7．（2025秋•鲤城区校级月考）·【基础】如图，在⊙O中，，点D在⊙O上．若∠BAC＝40°，则∠ADB＝　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 同弧圆周角相等 · 等弧所对圆周角相等 · 先确认是否为同弧 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固28．（2025•平遥县一模）·【提升】如图，在⊙O中，，若∠D＝25°，则∠1＝（　　） A．25． B．30° C．50° D．60° 即时巩固29．（2025•洛阳一模）·【提升】如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，AC，BD相交于点E，，则下列结论不正确的是（　　） A．∠A＝∠D B．AD∥BC C．AD＝BC D．AC＝BD 即时巩固30．（2026•凉州区校级模拟）·【提升】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　 　 °， 即时巩固31．（2025•绍兴一模）·【提升】如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠OAC与∠OBC的度数和是 　 　 ． 本专题错因自查清单 ☐ 漏用直径所对圆周角为直角 ☐ 圆周角与圆心角混淆未折半 ☐ 同弦所对圆周角有两解 ☐ 圆内接四边形对角互补误用 ☐ 垂径定理结合圆周角误推 ☐ 动点位置不同导致漏解 ☐ 等弧等弦等角关系误用 过关测试（综合检测） 1．（2025•南海区二模）·【基础】已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，已知⊙O半径为5，弦AC＝6，则弦BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025•杜集区校级二模）·【提升】如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° 3．（2025•叙州区校级模拟）·【提升】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（　　） A．22° B．30° C．32° D．68° 4．（2025•祁阳市模拟）·【提升】如图，在⊙O中，C，D为⊙O上两点，AB为⊙O的直径．如果∠ADC＝25°，那么∠COB为（　　） A．100° B．125° C．130° D．155° 5．（2025春•北碚区校级期中）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（　　） A．35° B．37° C．37.5° D．52.5° 6．（2025秋•东台市期末）·【提升】如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC，则OC的长为 　 　 ． 7．（2025秋•永川区期中）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D．且⊙O的半径为5，连结AD，则AD＝　 　 ；若弦AC的长为6，则CD＝　 　 ． 8．（2025•朝阳区校级一模）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为圆上两点，且CD∥AB，DE⊥BC交⊙O于点E，交BC于点F．给出下面四个结论：①∠ACB＝90°；②AC∥DE；③CE＝CB；④当CE＝BE时，AB＞DE；⑤若CE＝5，BE＝6，则．上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 9．（2024秋•寿阳县期末）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且∠ADC＝25°，则∠BOC＝ 　 　 °． 10．（2024秋•平谷区期末）·【提升】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，如果∠AOC+∠EOD＝180°，OD＝5，DE＝6，那么AC的长为 　 　 ． 11．（2024秋•番禺区期末）·【提升】如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长． 12．（2025•安庆一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF． （1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长； （2）求证：AF＝EF． 13．（2025秋•拱墅区校级月考）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝AE＝6，求AC和BC的长． 14．（2025•静安区二模）·【提升】已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 苏科版2024 · 圆周角 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $