第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

第1章 有理数 知识清单 一、本章知识框架 第1章“有理数”围绕“数的扩展”展开：引入负数把数从小学的非负有理数扩展到全体有理数，并系统地研究了有理数的表示（数轴、相反数、绝对值）、大小比较、四则运算与乘方运算，最后落到近似数与科学记数法在实际中的应用。全章结构如下： 小节 标题 核心内容 1.1 正数和负数 相反意义的量、正数、负数、0；有理数的分类 1.2 数轴、相反数和绝对值 数轴三要素、数轴上的点；相反数；绝对值 1.3 有理数的大小 数轴比较、正负零比较、两个负数比较 1.4 有理数的加减 加法法则、运算律；减法法则；加减混合运算 1.5 有理数的乘除 乘法法则、倒数、运算律；除法法则 1.6 有理数的乘方 乘方概念、混合运算顺序；科学记数法 1.7 近似数 准确数与近似数、误差、精确度、四舍五入 有理数的分类 按定义分类与按符号分类是本章的两条主线，务必能互相转换： 分类角度 分类结果 要点说明 按定义 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数 分数包括有限小数、无限循环小数（可化为分数）；有限小数和无限循环小数都是分数，也都属于有理数 按符号 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数） 0既不是正数也不是负数，是正、负数的分界 温馨提示：整数和分数统称有理数，可记住“有理数=整数+分数”；有限小数和无限循环小数都能化成分数，因此都是有理数。 二、1.1 正数和负数 （一）具有相反意义的量 生活中存在许多意义相反的量，如零上与零下气温、高于与低于海平面的海拔、收入与支出、盈余与亏损、上升与下降、增长与减少等。为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，另一种规定为负。 （二）正数与负数的定义 • 负数：在正数前面添上负号“－”的数叫负数，如－3、－14、－154.31、－600。 • 正数：用原来熟悉的数表示，如1、6、7、9、8 848.86，也可以在正数前添正号“＋”；正数前的正号通常省略不写。 • 0：0既不是正数，也不是负数。0除了表示“没有”，还常用来表示某种量的基准，如0℃不是没有温度，而是计量温度的基准（冰点）。 （三）正负号的读写约定 用正、负数表示相反意义的量时，要先规定“什么为正、什么为负”，再按规则记数。例如：向东走3 km记作＋3 km，则向西走2 km记作－2 km；盈利记为正，则－2万元表示亏损2万元。 三、1.2 数轴、相反数和绝对值 （一）数轴 • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴的三要素缺一不可：原点（表示数0）、正方向（一般取从左到右）、单位长度。 • 数轴上的点与有理数：一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。原点表示0，正数在原点右边，负数在原点左边。 （二）相反数 • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数。如2与－2互为相反数。 • 性质：不为0的数与它的相反数在数轴上表示的点分别在原点的两侧，且与原点的距离相等；0的相反数是0。 • 表示：在任意一个数前面添上“－”号，所得的数就是原数的相反数，即数a的相反数是－a（a可以是正数、负数或0）。如－(＋3)=－3，－(－3)=3。 （三）绝对值 • 定义：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。绝对值表示的是“距离”，因此绝对值一定是非负数。 • 求法：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 |a| = { a（a＞0）；0（a＝0）；－a（a＜0） } • 与相反数关系：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数，如|＋4|=|－4|=4，且＋4与－4互为相反数。 四、1.3 有理数的大小 • 数轴法：数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 • 规律：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 • 两个负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 比较两个负数的大小，可先求各自的绝对值，再比较绝对值的大小：绝对值大的反而小。如|－2|=2，|－3|=3，因为2＜3，所以－2＞－3。 五、1.4 有理数的加减 （一）有理数的加法法则 情形 符号确定 绝对值确定 示例 同号两数相加 取加数的符号 绝对值相加 （－5）＋（－3）＝－8 异号两数相加、绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 较大的绝对值减去较小的绝对值 （－10.5）＋（＋21.5）＝＋11 异号两数相加、绝对值相等 和为0 — （－7.5）＋（＋7.5）＝0 一个数与0相加 仍得这个数 — （－3.5）＋0＝－3.5 互为相反数的两数之和为0。 （二）加法运算律 • 加法交换律：a＋b＝b＋a。 • 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 运算律在有理数范围内仍然成立。进行多个有理数相加时，可根据需要交换加数的位置、把能凑成整、互为相反数的数先结合，从而简化运算（如：先加相反数，再加同号数）。 （三）有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a－b＝a＋（－b）。 利用减法法则，可把减法统一转化为加法，再按加法法则计算。例如：（－16）－（－9）＝（－16）＋（＋9）＝－7；2－7＝2＋（－7）＝－5。 （四）加减混合运算 加减混合运算中，先把减法统一成加法，再把算式写成省略加号和括号的形式（代数和），利用交换律、结合律简化计算。 例如：（－2）＋（＋8）＋（＋5）＋（－7）＋（－4）可写成 －2＋8＋5－7－4，读作“负2、正8、正5、负7、负4的和”，或“负2加8加5减7减4”。 六、1.5 有理数的乘除 （一）有理数的乘法法则 情形 符号确定 绝对值确定 示例 两数相乘、同号 得正 绝对值相乘 （－5）×（－6）＝30 两数相乘、异号 得负 绝对值相乘 （－3/2）×（1/6）＝－1/4 任何数与0相乘 仍得0 — （－2）×0＝0 （二）倒数 如果两个有理数的乘积为1，称这两个有理数互为倒数。如－3/5与－5/3互为倒数；0没有倒数。求一个数（不为0）的倒数，就是把分子、分母颠倒（或写成1除以这个数）。 （三）乘法运算律 • 乘法交换律：ab＝ba。 • 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。 • 分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。 运算律可帮助简化计算，如用分配律把“几个分数的和×一个整数”展开约分。 （四）多个有理数相乘 • 几个数相乘，有一个因数为0，积为0。 • 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，负因数有偶数个时积为正。 （五）有理数的除法法则 • 法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 • 关于0：0除以一个不为0的数仍得0；0不能作除数。 • 转化：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即 a÷b＝a·(1/b)（b≠0）。除法可转化为乘法。 七、1.6 有理数的乘方 （一）乘方的有关概念 求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。n个相同因数a相乘，记作aⁿ，其中a叫作底数，n叫作指数。aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 一个数的一次方就是这个数本身，如6¹＝6，指数1通常省略不写。 （二）乘方法则 求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号。如（－4）³＝－64，（－2）⁴＝16。 （三）有理数的混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。 （四）科学记数法 一般地，绝对值大于10的数都可记成 ±a×10ⁿ 的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1，这种记数方法叫科学记数法。 例如：4.2亿＝420 000 000＝4.2×10⁸；1 000万＝10 000 000＝1×10⁷；300 000 000＝3×10⁸。 八、1.7 近似数 • 准确数与近似数：由计数得来的数（如数人数、数页数）是准确数；由测量得来、与实际数值很接近的数叫近似数。 • 误差：近似值与它的准确值的差叫作误差，即 误差＝近似值－准确值。误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，近似程度越高。 • 精确度：近似数与准确数的接近程度用精确度表示。四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位，如18.4 cm精确到十分位，18.43 cm精确到百分位。 取近似值时一般用四舍五入法。注意：用科学记数法表示的数，如2.40万精确到百位、6.5×10⁴精确到千位，要看“万”“10⁴”等数量级对应的实际位置，不能只看数值本身的小数位。 九、易错点与温馨提示 易错点 正确理解 0既不是正数也不是负数 0是正、负数分界，常作“基准”（如0℃、海平面） 带负号的数不一定都是负数 如－a，当a为负数时－a是正数；判断正负要看符号与实际取值 绝对值是距离，必为非负数 |a|≥0恒成立；|a|＝5时，a＝5或a＝－5，有两个 互为相反数之和为0 （＋7.5）＋（－7.5）＝0；数a的相反数是－a 两个负数比较，绝对值大的反而小 比较两个负数要先看绝对值，再判断大小 多个数相乘，先定符号再定数值 负因数个数为奇数积为负，偶数积为正；含0因则积为0 乘方要分清底数 （－2）⁴＝16，而－2⁴＝－16，指数作用范围不同 0不能作除数 0除以不为0的数得0；任何数除以0无意义 近似数精确位数看数量级 2.40万精确到百位，6.5×10⁴精确到千位 减法化为加法、除法化为乘法 a－b＝a＋（－b）；a÷b＝a×(1/b)（b≠0） 学科网（北京）股份有限公司 $