专题04 二元一次方程组（3知识&6题型&5易错&3方法清单）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二元一次方程组(3知识&6题型&5易错&3方法清单) 知识图谱 1.二元一次方程组定义 2.二元一次方程组定义 二元一次方程（组）定义 3.二元一次方程（组）的解 1.代入消元法 二元一次方程组 解二元一次方程组 2.加减消元法 1解题步骤 二元一次方程（组）的应用 2基本公式 知识清单 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫 做二元一次方程组.如：把x+y=2和xy0合在一起写成 x+y=2, x-y=0 3.二元一次方程（组）的解 (1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. (2)二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【清单02】解二元一次方程组 (1)消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的 一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.像这种将未知数的个数由多化少、 逐一解决的思想，叫做消元思想。 1/14 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法， (3)加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法 【清单03】二元一次方程（组）的应用 解题步骤 1,审题：透彻理解题意，弄清问题中的己知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系 2.设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3.列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程 步组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的： 4.解方程组； 5.检验：检验方程的根是否符合题意： 6.作答：检验后作出符合题目要求的答案 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 利润率= 利润 实际售价=标价（原价)x折扣 成本*10 期中常考题型清单 【题型一】二元一次方程（组）的概念 【例1】(24-25七年级下·浙江温州期中)下列式子是二元一次方程的是（) A.x+1=2x B.x2+y=1 c.1+y=0 D.x-2y=3 【变式1-1】(24-25七年级下·青海西宁期中)下列是二元一次方程的是() A=2 B.xy=1 C.x+y=3 D.x+y2=1 2/14 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+y=5 x+y=2 【变式1-2】(24-25七年级下山东烟台期中)在下列方程组：① xy=1 3y-x=1'② 3y=-1,③ x+2y=3 1+1=1 「x=1 ④{xy,⑤ 中，是二元一次方程组的是() y=1 x+y=1 A.①②⑤ B.①②④ C.①②③ D.①②③⑤ 【题型二】二元一次方程（组）的解 【例2】(24-25七年级下·四川泸州·期中)下列各组数中，是二元一次方程2x+3y=2的解是() x=-1 [x=-1 x=1 x=-1 A. B. C D y=4 y=6 y=0 y=2 x=8 【变式2-1】(23-24八年级上河南驻马店期末)下列方程组中，解为 =2的方程组是() x+y=10 x+y=10 A. B x-y=4 x-2y=4 x+2y=11 x-2y=5 C. D. 3x-2y=18 3x-2y=20 【变式2-2】(24-25七年级下·江苏无锡期中)表1为二元一次方程ax+by=C,的部分解，表2为二元一 次方程a2x+b2y=c2的部分解，则方程组 [ax+by=G的解为（） ax+bay=c2 表1x -1 1 2 1 -1 2 表2 1 2 -2 0 x=2 x=-1 A B y=-2 y=1 C.f=1 x=3 1y=-1 D. y=1 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】解二元一次方程组 【例3】(24-25七年级下·甘肃武威期中)用你掌握的方法解下列方程组： 3x-2y=13 (1) 2x+y=4 [x+1=5(y+2) (2)x-3_y+6 23 【变式3-1】(23-24七年级下·浙江温州期中)解方程组： x+y=6 3x-y=-2 (x_y=1 (2)23 -2x+3y=1 【变式3-2】(24-25八年级上·重庆期中)解方程组： 、3x-y=6 (1) x-3y=29 1 x+4y=27 (2) 1 x-3y=4 【题型四】二元一次方程组错解复原问题 【例4】(24-25七年级下·湖南长沙期中)错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞， 3x-y=3① 纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组 5x-2y=4@时的运算步骤回答 下面的问题 解：由①×2，得6x-2y=3③，第一步 ②-③，得x=-1, …第二步 得x=-1. .…第三步 把x=-1代入①，得y=-6,…第四步 x=-1 所以原方程组的解为 y=-6 ()小明的解题过程从第 步开始出现错误（填一、二、三、四）； 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)请你写出正确的解方程组的过程， 【变式4-1】(24-25七年级下·福建泉州期中)下面是小华同学解方程组 4x+3y=5① 2x-y=-52的过程，请你观察 计算过程，回答下面问题. 解：②×2得：4x-2y=-10③第一步 ①-③得：y=15第二步 将y=15代入②得：x=5. 第三步 x=5 所以该方程的解是 第四步 y=15 (①)这种求解二元一次方程组的方法叫做 ；其中第一步这样做的依据是 (2)第 步开始出现了错误。 (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤， 2x+y=8 【变式42】(2425七年级下河北唐山期中)老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组任+=1 32 的解. 琪琪同学进行了板演，过程如图： [2x+y=8① x+y=1② 32 解：把①变形为：y=8+2x③.第一步 把③代入②中得： x.8+2x 3 2 =1第二步 9 解这个方程，得第三步x= 第三步 把x=代入0中，得影 2 ….第四步 9 X=一一 4 所以，方程组的解为 25…第五步 y= 2 (1)琪琪在解方程组时，使用了 消元法； (②)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第 步； (3)请写出正确的解答过程. 5/14 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型五】二元一次方程组的应用之古代问题 【例5】(24-25七年级下·河南洛阳·期中)我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长 短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木， 绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺.问长木多少尺？ 【变式5-1】(24-25九年级下·安微合肥期中)《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空.三 人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3 人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【变式5-2】(24-25七年级上云南昆明期中)《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空； 二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆 空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ ()设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空： “若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有 辆车坐满3人，则乘车人数可表示为 ；“若每 2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有 辆车坐满2人，则乘车人数可表示为 (②)列出方程，求出问题的答案。 【题型六】二元一次方程组的应用之几何问题 【例6】(24-25七年级下陕西延安期中)某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地 ABCD内建造两个面积相等的植物养殖区长方形ABFE和长方形CDGH,植物养殖区的两边AB:AE=7:4 ,要求两个植物养殖区之间有间隔4m的小路，求长方形场地ABCD的面积. E G D 4m H 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江宁波期中)我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形 场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区.如图(1)为大棚，设计方案如图(2)，要求两个大棚之间有 间隔4m的路，己知每个大棚的周长为44m. 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4m B D (1) (2) ()求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二： 每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由 【变式6-2】(24-25七年级下·河南驻马店期中)现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图 形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积。 小明设小长方形的长为x,宽为y,观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长 方形的面积公式得出每个小长方形的面积. )cm 图1 图2 图3 ()请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示.若小明把13 个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 高频易错归因清单 【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 【例1】(24-25七年级下浙江嘉兴期中)已知(k-1)x-2y=1,则k= 时，它是关于x,y的 二元一次方程. 【变式1-1】(24-25七年级下·重庆期中)若(a-2)x34+5y=10是一个关于x,y的二元一次方程，那么 a= 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25七年级下.山东临沂期中)若4x+b-3y23+2-4=2是关于x,y的二元一次方程，则2a+b 的值为一 【题型二】己知二元一次方程（组）的解求代数式的值 ax-by=0 【例2】(24-25七年级下山东东营期中)若方程组 x+=4的解是 x=2 y=-1'则a= b= ax+y=1 =2 【变式2-1】(24-25七年级下·江苏宿迁期中)若关于x,y的方程组 2ar+hy=8的解为 =3'则a6 的值为 3x-21y=11 x=9.7 【变式2-2】(24-25七年级下浙江宁波期中)已知关于x、y的方程组 4x+y=58 的解为 y=2.5'则 3a=5+4m(b-2) 关于a、b的方程组 2a+n(b-2=25 的解为 【题型三】二元一次方程组的应用之销售问题 【例3】(24-25七年级下·四川泸州期中)某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物 雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个) 售价（元/个） 冰墩墩 30 40 雪容融 50 65 (①)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么 该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【变式3-1】(24-25七年级下·浙江绍兴期中)小林在某商店购买商品A,B若干次（每次A,B两种商品 都购买)·其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品A,B有打折优惠.三次购买商品 A,B的数量和费用如表： 购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用 8/14 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一次购买 6 5 980 第二次购买 3 940 第三次购买 9 8 1216 (1)求商品A,B的标价 (②)若第三次购买时商品A,B的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？ (3)在(2)的条件下，若小林第四次购买时共花了1200元，则小林有哪几种购买方案？ 【变式3-2】(24-25七年级下·浙江杭州期中)某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：A类 是三角形桌，每桌可坐3人，B类是五边形桌，每桌可坐5人.学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购， 两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购.甲公司对两类桌椅均是以标价出售： 乙公司对A类桌椅涨价20%、B类桌椅降价20%出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 1700 (①)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为 元；一套B类桌椅的售价为 元； (②)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费 用最少？ 【题型四】二元一次方程组的应用之方案问题 【例4】(24-25七年级下·云南昆明·期中)某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客 车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人. ()每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的 租车方案， 【变式41】(24-25七年级下山东潍坊期中)根据图中的信息，解答下列问题. 9/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 放入体积相同的4个小球 36cm 55cm y24cm 放入体积相同的3个大球 36cm (1)如果放入6个球，水面升高了20cm,那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高18cm,有哪几种放球的方案？ 【变式4-2】(24-25七年级下·浙江衢州期中)某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中 消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物， (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C 型“消费券”，则她用了 张B型“消费券 (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A,B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用)，她同时使用A、B、C型中的两种不同类 型的消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最 少？ 【题型五】二元一次方程组的应用之配套问题 【例5】(24-25七年级下·福建泉州期中)某车间有49名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且 一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少 名工人生产螺母？ 【变式5-1】(24-25七年级下·全国·期中)今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2 辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨. (①)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨， (2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车α辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满.若 A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用. 10/14 专题04 二元一次方程组（3知识&6题型&5易错&3方法清单） 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【清单02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【清单03】二元一次方程（组）的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 【题型一】二元一次方程（组）的概念 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键； 根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可， 【详解】解： A、含有1个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是一元一次方程，故不符合题意； B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意； C、分母中含有未知数，不是整式方程，更不是二元一次方程，故不符合题意； D、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·青海西宁·期中）下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义；根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可， 【详解】解： A、分母中含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，本选项不符合题意； B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意； C、是二元一次方程，本选项符合题意， D、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的概念； ②，符合二元一次方程组的概念； ③中，中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念； ④中，不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念； ⑤，符合二元一次方程组的概念； 综上，①②⑤是二元一次方程组． 故选：A． 【题型二】二元一次方程（组）的解 【例2】（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各组数中，是二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键． 分别将选项中的解代入二元一次方程，使方程成立的即为所求． 【详解】解：当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C符合题意； 当时，，故D不符合题意； 故选： 【变式2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 【题型三】解二元一次方程组 【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）用你掌握的方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）将原方程组化为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得 ， 将代入②得 ， 该方程组的解为； （2） 方程组整理得， 得 ， 将代入①得， 该方程组的解为． 【变式3-1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解是：． （2）解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解是：． 【变式3-2】（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）将方程组中的第二个方程变形为，代入第一个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入可得的值，由此即可得； （2）先将方程组变形为，再将第二个方程的两边同乘以，与第一个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可变形为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【题型四】二元一次方程组-错解复原问题 【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组时的运算步骤回答下面的问题． 解：由，得，    …第一步 ，得，        …第二步 得．        …第三步 把代入①，得，    …第四步 所以原方程组的解为 (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）； (2)请你写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据等式的性质即可得出答案． （2）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始错误， ∵由①，方程右边的常数项没有； 故答案为：一； （2）解：， 由①，得③， ③②，得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为． 【变式4-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③    第一步 得：    第二步 将代入②得：．    第三步 所以该方程的解是    第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做____________；其中第一步这样做的依据是______________． (2)第_______步开始出现了错误． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）解二元一次方程组的方法主要是消元，根据解题过程可知用的加减消元法；第一步的依据是等式的基本性质2； （2）第二步计算时，合并同类项时y的系数计算错误． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）解：第二步出现错误，原因是合并同类项时y的系数计算错误； （3）解：得：③， 得：，解得， 将代入②得：， ∴该方程组的解是。 【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)第一步 (3) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法， 故答案为：代入； （2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号， 故答案为：第一步； （3）解：把①变形为：③ 把③代入②中得： 解这个方程，得第三步 把代入①中，得 所以，方程组的解为． 【题型五】二元一次方程组的应用之古代问题 【例5】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：设长木为x尺，则绳长为尺 依题意得 解这个方程，得 答：长木为6.5尺. 【变式5-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有32人，9辆车 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设有辆车，根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设有辆车，根据题意得： ， 解得， （人）， 答：共有32人，9辆车． 【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ (1)设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空： “若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________． (2)列出方程，求出问题的答案． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据人数不变，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：设有x辆车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有辆车坐满3人，则乘车人数可表示为；若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有辆车坐满两人，则乘车人数可表示为； 故答案为：，，，； （2）解：由题意，得：， 解得：， ∴， 答：有15辆车，39人． 【题型六】二元一次方程组的应用之几何问题 【例6】（24-25七年级下·陕西延安·期中）某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造两个面积相等的植物养殖区长方形和长方形，植物养殖区的两边，要求两个植物养殖区之间有间隔的小路，求长方形场地的面积． 【答案】长方形场地的面积为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设植物养殖区的长为，的长为，由题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设植物养殖区的长为，的长为， 由题意得，解得， ∴， ∴． 答：长方形场地的面积为． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 【答案】(1)大棚的长为米，宽为米 (2)选择方案二更优惠，理由见解析 【分析】（）设大棚的长为米，宽为米，根据题意列出方程组即可求解； （）求出大棚的面积为，再分别求出两种方案的造价，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设大棚的长为米，宽为米， 根据题意得，， 解得， 答：大棚的长为米，宽为米； （2）解：选择方案二更优惠，理由如下： 大棚的面积为平方米，   若按照方案一计算，大棚的造价为：元， 若按照方案二计算，大棚的造价为：元， ∵， ∴选择方案二更优惠． 【变式6-2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图1可知3个长等于5个宽，根据图2可知两个宽减去1个长等于2，据此建立方程组求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据3个纸杯，8个纸杯建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得， ． 每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得， 解得， ． 小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 【例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则 时，它是关于x，y的二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若是一个关于x，y的二元一次方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，即可得出答案． 【详解】解：是一个关于x，y的二元一次方程， ，， 解得：． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义，求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到二元一次方程组，两个方程相减后，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ，得：； 故答案为：4． 【题型二】已知二元一次方程（组）的解求代数式的值 【例2】（24-25七年级下·山东东营·期中）若方程组的解是，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了方程组的解．将代入方程组，计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 由②得，， 将代入①，得， 解得：， 故答案为：1；． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于，的方程组   的解为 则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 【变式2-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意先求出，代入方程组中，令，则则，解方程组从而求出的值． 【详解】解：已知方程组 的解为， 则，解得， ，解得， 方程组中，令，则， 代入 ，，则， 解得：， 由，得， ， 故答案为：． 【题型三】二元一次方程组的应用之销售问题 【例3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 30 40 雪容融 50 65 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【答案】(1)冰墩墩进了50个，雪容融进了10个 (2)该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，根据某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，根据所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个， 根据题意得：， 解得：， 答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个； （2）解：由题意可知，（元） 设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个， 根据题意得：， 整理得：， 、b为正整数， 或或或， 答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小林在某商店购买商品，若干次（每次，两种商品都购买）．其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品，有打折优惠．三次购买商品，的数量和费用如表： 购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用 第一次购买 第二次购买 第三次购买 (1)求商品，的标价． (2)若第三次购买时商品，的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？ (3)在（2）的条件下，若小林第四次购买时共花了元，则小林有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)折 (3)种，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，折扣问题，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用． （1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可； （2）根据总价除以实际价格乘以10，即可得出折扣； （3）设小林购买m个商品A，n个商品B，根据题意列出二元一次方程，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设商品的标价为元个，商品的标价为元个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品的标价为元个，商品的标价为元/个． （2）． 答：商店是打8折出售这两种商品的． （3）设小林购买个商品，个商品， 根据题意得：， ． 当时，； 当时，； 当时，； 答：小林共有三种购买方案，方案一：购买个商品，个商品；方案二：购买个商品，个商品；方案三：购买个商品，个商品． 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 【答案】(1)； (2)A、两类桌椅每套的价格分别是、元； (3)应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【分析】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式的性质和方程的知识解答． （1）根据题列代数式即可求解； （2）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性质，即可解答本题，注意． 【详解】（1）解：∵甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元， ∴乙公司出售一套A类桌椅的售价为元；一套B类桌椅的售价为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 答：A、两类桌椅每套的价格分别是、元； （3）解：设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套， 则所需费用为：， ， ， ， ，， 当b取最大值时，费用最小， ， 的最大值是9，此时， 当时，费用取得最小值，最小值为：， 故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【题型四】二元一次方程组的应用之方案问题 【例4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； (2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题． (1)如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 【答案】(1)放入2个大球，4个小球 (2)放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球 【分析】本题考查二元一次方程（组）解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程或方程组求解是解决问题的关键． （1）由题意可知放入一个小球水面升高的高度、放入一个大球水面升高的高度为，设放入大球个，小球个，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设放入大球个，小球个，列二元一次方程，讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图知，放入一个小球水面升高的高度为：； 放入一个大球水面升高的高度为：； 设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得， 放入2个大球，4个小球水面升高； （2）解：设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得或， 放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球． 【变式4-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 【答案】(1) (2)她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； (3)有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程（组）的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设她用了张B型“消费券”，根据不同类型的“消费券”的优惠金额和张数列方程求解即可； （2）设她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，根据“同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元”，列二元一次方程组求解即可；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． （3）设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，，分三种情况讨论：根据优惠金额列二元一次方程，从而得到、、的可能取值，再分别求出实际付款金额，即可求解． 【详解】（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【题型五】二元一次方程组的应用之配套问题 【例5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得：， 答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满．若A型车每辆需租金每次200元，B型车租金每次300元，求最少租车费用． 【答案】(1)每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨 (2)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1700元 【分析】本题考查的是二元一次方程（组）的应用； （1）设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨，结合用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，再建立方程组解题即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，装运31吨货物资，建立二元一次方程方程，再利用正整数解的含义解题即可. 【详解】（1）解：设每辆A型车装满物资一次可运x吨，每辆B型车装满物资一次可运y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型车装满物资一次可运3吨，每辆B型车装满物资一次可运4吨； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车，所需租金（元）； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车，所需租金为（元）； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，所需租金为（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为租用9辆A型车，1辆B型车，最少租车费为2100元． 【变式5-2】（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 【题型一】二元一次方程组-同解问题 方法技巧总结： 1. 重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。 解这个新方程组，得到的  x  和  y  的值，就是两个原方程组的公共解。 2. 代入求参，回代验证：将求出的公共解  (x, y) ，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。 【例1】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组与方程组的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组和的解相同，得方程组的解是方程组和的解，再由，得，然后将代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程组和的解相同， ∴方程组的解是方程组和的解， 解方程组，得， 将代入和， 得， 得：， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解． 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：． 【题型二】二元一次方程组中特殊解法问题 方法技巧总结： 1. 整体代入法：当方程组中某个代数式（如  x+y  或  x-y ）在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。 2. 参数法：对于比例形式的方程组（如  x/2 = y/3 ），可设它们的比值等于一个新参数  k 。这样  x  和  y  都可用  k  表示，代入另一个方程就能解出  k ，进而求出  x  和  y 。 3. 轮换对称方程组：当方程组中  x  和  y  地位对称时，可先将两式相加或相减。得到  x+y  或  x-y  的值，再用加减法求解。 【例2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 【变式2-1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键． （1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值； （2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值； （3）由题意，将方程组化为，即， 根据方程组的解为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 得， 解得， （2）由题意，方程组可化为， 得， ， ， ； （3）由题意，方程组可化为， 方程组可化为， 即， 由方程组的解为， ，解得， 则方程组的解为． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 【题型三】二元一次方程组中新定义型探究问题 方法技巧总结： 1. 彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算，帮助理解。 2. 转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法来求解了。 【例3】（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 【变式3-1】（24-25七年级下·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键； （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $