第二章整式及其加减（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

第2章 整式及其加减 知识清单 一、本章知识框架 第2章“整式及其加减”在小学用字母表示数的基础上，系统学习了代数式的概念与分类，并重点研究了整式的加减运算：先认识代数式、单项式、多项式、整式，再掌握合并同类项与去（添）括号两个核心运算工具，最后归结为整式的加减与化简求值。全章结构如下： 小节 标题 核心内容 2.1 代数式 用字母表示数；代数式的定义与写法；代数式的值；单项式、多项式、整式 2.2 整式加减 同类项与合并同类项；去（添）括号；整式加减与化简求值 代数式的分类关系 用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式；单个的数或字母也是代数式。其中只含数与字母乘积的代数式是单项式，几个单项式的和是多项式，单项式与多项式统称整式。关系如下： 层次 包含内容 举例 代数式 整式（单项式、多项式），以及含除法或分数线的式子等 a²，2x＋3，s/v，a/(a＋b) 整式 单项式与多项式 4a，a²，4a²－a＋7 单项式 数与字母的积、单独的数或字母 4a，a²，－y，7 多项式 几个单项式的和 b＋a，ab＋ac，2x＋3 温馨提示：分式（分母含字母）不是整式；有限小数、无限循环小数等具体数是代数式，也是单项式；π是数（常数），不是字母。 二、2.1 代数式 （一）用字母表示数 用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来；把具体的数换成抽象的字母，使式子反映的规律具有普遍意义。例如：任意一个偶数可表示为2k，任意一个奇数可表示为2k－1（k为整数）；奇数个、偶数个数的规律都可用含字母的式子表示。 （二）代数式的定义与写法 • 定义：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式；单个的数或字母也是代数式。 • 写法（乘法）：出现乘号时可写成“·”或不写。数字与字母相乘时，数字写在字母前，如41 472×n写成41 472n；字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式，如a·a写成a²；数字与数字相乘时，乘号“×”不能省略。 • 写法（除法）：式子中出现除法时，一般写成分数形式，如s÷v写成分式s/v。 （三）单项式 • 定义：数与字母的积，这样的代数式叫单项式；单个的字母或数也是单项式，如a、7。 • 系数：单项式中的数字因数叫作系数。单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写。 • 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数。 单项式 系数 次数 －15a²b －15 3 xy 1 2 2/3 a²b² 2/3 4 －a －1 1 1/2 ah 1/2 2 温馨提示：π是常数，如1/3πr²h的系数是1/3π，次数是3；只含字母的单项式系数是1或－1（省略“1”）。 （四）多项式 • 定义：几个单项式的和叫作多项式。在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。 • 项数：一个多项式含有几项，就叫几项式。 • 次数：一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。 如4a²－a＋7中，4a²、－a、7都是它的项，其中7是常数项；它是二次三项式。 （五）整式 单项式与多项式统称为整式。整式的运算（加减）是本章研究的重点。 （六）代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 求代数式的值时，要把“字母换成数、运算照原式”，特别注意：代入负数时，乘方、乘法中的字母要适当加括号。例如当x＝－3、y＝2时，x²－y²＝(－3)²－2²＝9－4＝5。 三、2.2 整式加减 （一）同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项。常数项与常数项是同类项。 判断同类项只看“两相同”（字母相同、相同字母的指数分别相同），与系数无关、与字母排列顺序无关。如3a²b与3ab²不是同类项（a、b指数不同），xy与－xy是同类项，－3与1/3是同类项。 （二）合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 • 法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 • 步骤：依据加法交换律、加法结合律、分配律，先找出同类项，再合并。 例如：4x²＋2x－1－3x²＋3x＋2＝(4－3)x²＋(2＋3)x＋(－1＋2)＝x²＋5x＋1。 （三）去括号法则 情形 法则 示例 括号前是“＋”号 去括号时把括号连同前面的“＋”号去掉，括号内各项都不改变符号 a＋(5a－3b)＝a＋5a－3b 括号前是“－”号 去括号时把括号连同前面的“－”号去掉，括号内各项都改变符号 a－(3－y)＝a－3＋y （四）添括号法则 情形 法则 所添括号前面是“＋”号 括到括号内的各项都不改变符号 所添括号前面是“－”号 括到括号内的各项都改变符号 添括号是否正确，可以用去括号法则来检验。 （五）整式加减 • 实质：整式加减运算可归结为“去括号、合并同类项”两步：先去括号，再合并同类项。 • 排列：整式加减的运算结果，通常将多项式按照某个字母（如x）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫作关于这个字母的降（升）幂排列。 • 求值：先化简，再求值：先把整式化简（去括号、合并同类项），再把字母的值代入计算，可简化运算。 例如：5a²－[a²－(2a－5a²)－2(a²－3a)]，当a＝4时，先化简得a²－4a，再代入得0。 四、易错点与温馨提示 易错点 正确理解 单项式的系数忘记符号或“1” 系数含符号，如－15a²b的系数是－15；xy的系数是1，－a的系数是－1（1省略不写） 单项式的次数不含系数 次数是所有字母的指数之和，常数项（无字母）的次数是0；π是常数，不计入指数 多项式次数取最高次项的次数 如4a²－a＋7是二次三项式，次数看最高次项4a² 判断同类项只看两相同 字母相同且相同字母指数相同，与系数、字母顺序无关 合并同类项时指数不能变 同类项系数相加，字母和字母的指数不变，如5x²＋6x²＝11x²（不是11x⁴） 去括号符号易错 括号前是“－”号时，括号内各项都要变号；只变第一项是常见错误 添括号与去括号互逆检验 所添括号前是“－”号时，括内各项变号；可用去括号法则检验 代入负数求值忘加括号 如x²－y²中x＝－3时写成(－3)²，不是－3² 代数式书写规范 数字与字母相乘数字在前；除法写成分式；数字与数字相乘乘号不省略 分式与整式区分 分母含字母的式子不是整式；整式是单项式与多项式的统称 学科网（北京）股份有限公司 $