专题01 有理数（6知识&8题型&4易错&4方法清单）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01 有理数（6知识&8题型&4易错&4方法清单） 【清单01】正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【清单02】有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【清单03】数轴、相反数、绝对值 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 【清单04】有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【清单05】有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【清单点06】科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 【题型一】相反意义的量 【例1】（24-25七年级上·广东汕头·期中）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出元记作元，那么收入元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题涉及正负数的意义，核心是利用正负数表示相反意义的量，支出为负时，收入就为正．根据正负数表示相反意义的量，支出记为负，那么收入就记为正，从而确定收入元的记法． 【详解】解：∵支出元记作元，支出和收入是相反意义的量， ∴收入元记作元， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如果向西15米记作米，那么向东20米记作（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，如果向西记为正，则向东记为负，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如果向西15米记作米，那么向东20米记作米， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的量，向北走记为正，则向南走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向北走记为， ∴的意义是小明向南走， 故选：C． 【题型二】有理数的分类 【例2】（25-26七年级上·全国·期中）在，5，，，，中，负分数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·福建福州·期中）在，，，，0中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了乘方、化简多重符号、化简绝对值、负数，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、化简多重符号、化简绝对值，再根据负数的定义即可得． 【详解】解：，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， 0既不是正数也不是负数， 综上，负数共有3个， 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）在，，0，，，中，非正数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，先化简多重符号，去绝对值，进行乘方运算，再根据非正数包含零和负数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0，，，中，非正数有，0，，，共4个； 故选D． 【题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数、绝对值，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是，绝对值是， 故答案为：，． 【变式3-1】（24-25七年级上·新疆喀什·期中）的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值．只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0；根据相反数，绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数是3， ． 故答案为：3；4． 【变式3-2】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）的倒数是 ，它的相反数是 ，它的绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值． 根据倒数的定义，相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：，，， ∴的倒数是，它的相反数是，它的绝对值是， 故答案为：，，． 【题型四】绝对值得非负性 【例4】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的非负性得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：0；1． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 【题型五】用科学记数法表示较大的数 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）浙江卫视《中国好声音》总决赛，全国有7100万人通过电视收看，这个数据用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：万． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·期中）中国“蛟龙号”载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟区域西行下潜试验中，成功突破7020米深度，创中国载人深潜新纪录，将7020用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，为它的整数位数减1；当该数小于1时，为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】7020一共4位，从而， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）据猫眼专业版数据，截至2025年4月2日，电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）累计票房（含预售及海外票房）为亿，亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此求解即可． 【详解】解：亿； 故答案为：． 【题型六】数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 【例6】（24-25七年级上·广东中山·期中）有以下6个数：，，，，0，． (1)在数轴上表示以上各数； (2)用“<”号把它们连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． （1）化简有理数，再在数轴上表示即可； （2）根据数轴即可求解； 【详解】（1）解：，，，，0，， 数轴表示如下： （2）解：由数轴可得． 【变式6-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】该题主要考查了有理数大小比较，把各数在给出的数轴上表示出来是解题的关键；先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“”连接起来即可． 【详解】解：， 则， 在数轴上表示出来如图． 【变式6-2】（24-25七年级上·广东湛江·期中）将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． ． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，多重符号化简，有理数的乘方运算，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：， 在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 【题型七】有理数的混合运算 【例7】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查​有理数的混合运算，包括加法结合律、乘方的理解与应用​，​熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）化分数为小数，然后进行加减运算即可； （2）先计算括号内和乘方，再计算乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式7-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可求解； （2）根据有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，进行计算即可； （3）先算括号里面的，再算乘除即可求解； （4）根据有理数的乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式7-2】（25-26七年级上·全国·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按运算顺序依次计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘，最后计算减； （3）利用乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型八】有理数的混合运算中应用问题 【例8】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我国各个城市开始试运营．无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）：6，，，7，5.4，，9，，，8． (1)当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？ (2)若无人驾驶网约车每公里耗电度，电费单价元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？ 【答案】(1)距出发地点的距离为 千米 (2)该网约车当天消耗电费 元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握正负数的实际意义，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）运用正负数的意义，进行有理数的加减运算即可求解； （2）运用绝对值的性质求出行程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴距出发地点的距离为 9.1 千米． （2）解：网约车行驶的路程为： ， （元）， 答：该网约车当天消耗电费 元． 【变式8-1】（25-26七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)313辆 (2)26辆 (3)105540元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据题意求出星期一到星期日这七天的产量，然后进行判断即可； （3）分别求出基础工资和奖励工资，然后相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：计划每天生产300辆，星期四超产辆， 故星期四产量（辆）； （2）解：星期一：（辆）； 星期二：（辆）； 星期三：（辆）； 星期四：313辆（已求）； 星期五：（辆）； 星期六：（辆）； 星期日：（辆）． 产量最多：星期六316辆；产量最少：星期五290辆， 差值（辆）． （3）解：总增减量（辆）， 实际总产量（辆）， 基础工资：（元）， 超额奖励：（元）， 总工资：（元）． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·期中）某食品厂计划每天生产500袋方便面，实际一周生产情况如下表（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（袋） (1)星期五生产方便面多少袋？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少袋？ (3)若每袋方便面的成本为2元，售价为3元，求这一周的利润（利润总售价总成本）． 【答案】(1)星期五生产490袋 (2)多生产30袋 (3)3518元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，根据正数和负数的实际意义列得正确的算式是解题的关键． （1）结合表格数据，根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）由表格中数据求得最高产量及最低产量，然后作差即可； （3）计算出这周生产的方便面总量，按照利润总售价总成本即可． 【详解】（1）解：计划每天生产500袋，星期五减产10袋， 所以星期五生产（袋）. （2）解：产量最多的是星期六，超产20袋，产量为（袋）； 产量最少的是星期五，减产10袋，产量为490袋， 多生产（袋）. （3）解：一周总增减量：（袋）， 总生产量：（袋）， 利润：（元）． 【题型一】根据点在数轴上的位置化简绝对值问题 【例1】（25-26七年级上·天津河东·期中）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义去绝对值符号，再合并同类项化简即可解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， ． 【变式1-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 【题型二】含乘方的有理数的混合运算问题 【例2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：原式， ， ． 【变式2-1】（24-25七年级上·广东中山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方运算、绝对值运算、有理数乘法运算和有理数减法运算等知识，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决问题的关键．先计算乘方与绝对值运算，括号内的运算，再计算乘法运算，最后利用有理数减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期中）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键． 对于（1），先算乘方，再算乘除，然后算加减； 对于（2），先算乘方，再算乘除，然后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【题型三】程序流程图与有理数的混合运算 【例3】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的数值运算程序，看懂流程框图，根据得到式子，结合有理数乘法运算及加法运算求解即可得到答案．看懂流程图是解决问题的关键 ． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为2，则输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查程序图与有理数的混合运算．掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，读懂题意是解题关键．把代入流程图中的程序，直到结果大于即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴输出的值为． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题 【例4】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解题的关键是弄清楚新定义的运算规则； （1）根据新定义的运算规则直接求解即可； （2）根据新定义的运算规则先求，再求即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-2】（23-24七年级上·江西赣州·期中）现定义一种新的运算，规定：，其中a，b均为有理数，例如：．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）按定义的新运算：计算即可； （2）先根据定义计算出，，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型一】有理数的混合运算中规律探究问题 方法技巧总结： 1. 计算特例：先算出前3-4个算式的结果，把它们整理成一个数列。这样更容易发现规律。 2. 寻找规律：仔细观察结果序列，看看数字本身、符号或分子分母是否有重复模式。比如是否交替出现，或与序号存在某种关系。 3. 归纳验证：根据找到的规律，猜想一个通用公式。 然后用下一个算式验证这个猜想是否正确。【例1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【题型二】数轴上的折叠探究问题 方法技巧总结： 1. 核心公式：中点坐标不变 折叠前后，对应点关于折痕对称，两点坐标满足“中点公式”：若点A（a）与点B（b）关于折痕点M（m）对称，则 m = \frac{a + b}{2} ，可变形为 a + b = 2m ，已知任意两点坐标能直接求第三点。 2. 分步解题：定位→计算→验证 - 先通过题干确定“折痕点坐标”或“一组对应点坐标”，明确折叠基准； - 代入中点公式计算未知点坐标，若涉及线段长度，用“两点坐标差的绝对值”求解； - 最后将结果放回数轴，模拟折叠过程验证是否符合对称关系。 【例2】（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题． (1)A，B两点之间的距离是_________． (2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________． (3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________． 【答案】(1)3 (2)6或 (3)0 (4)；1011 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分所求在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）解：观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是或6； 故答案为：或6； （3）解：∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对称点是表示的点， 设与点B重合的点对应的数是x， 则， 解得， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）解：∵M、N两点之间的距离为2024且互相重合， ∴=， ∵由(3)知对称点为， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为，． 【变式2-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 【题型三】数轴上的几何意义问题 方法技巧总结： 1. 绝对值与距离：|a - b| 表示数轴上点 a 和点 b 之间的距离。解决问题时，先把绝对值表达式转化为两点间距离的几何语言。再在数轴上画出这些点的位置关系，问题就变得直观清晰了。 2. 中点与对称：数轴上两点 a 和 b 的中点表示为 (a + b) / 2。遇到折叠问题时，折痕处就是对应点的中点。利用中点公式可以快速求出对称点的坐标。 【例3】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）同学们都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点的距离是_______，数轴上表示2和的两点的距离是_______； (2)数轴上表示x和2的两点A，B之间的距离是__________，数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是______； (3)当x的范围为多少时，式子取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)3，7 (2)， (3)当时，取最小值，最小值为7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）表示的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示2和两点之间的距离是． 故答案为：3，7； （2）解：数轴上表示和2的两点A、之间的距离为， 数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是； 故答案为：，； （3）解：∵表示的几何意义是：数轴上表示x的点到表示2的点与表示的点的距离之和， ∴由数轴可得，当时，代数式取最小值，最小值为． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）阅读材料： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理，也可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)若，则x的值是______． (2)同理表示数轴上有理数x所对应的点到5和所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x是______． (3)由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，有最小值？如果有，直接写出最小值是多少？ 【答案】(1)或7 (2)、、、0、1、2、3、4、5 (3)当时取最小值，最小值为 【分析】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案； （3）根据（2）的结论，根据数轴的性质分析，即可完成求解． 【详解】（1）解：∵，表示数轴上和的点之间的距离等于5， ∴或， 故答案为：或7； （2）解：∵， ∴结合题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和的点为端点的线段上的所有整数， 即x的值为、、、0、1、2、3、4、5． （3）解：由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示、3、5的距离的和， 可得当时取最小值， 即的最小值为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），； （2）或； （3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【题型四】数轴上的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 精读定义：仔细阅读题目给出的新运算或新符号的定义。用具体的数字例子来"翻译"这个定义，确保完全理解它的含义。 2. 套用规则：将题目要求计算的表达式，按照新定义的规则进行替换。把新符号运算变成我们熟悉的加减乘除运算。 3. 结合几何意义：完成代数转化后，结合数轴的几何意义进行分析。利用数轴上的距离、中点等概念，将抽象的计算与直观的图形结合起来。 【例4】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 【变式4-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)3或9 (3)当或或时，点恰好是和两点的3倍点 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，解本题的关键是分清3倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）点恰好是和 两点的3倍点，可分得或或，从而解得与的关系． 【详解】（1）解：由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3）解：，， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数(6知识&8题型&4易错&4方法清单) 知识图谱 正数 正数和负数 负数 整数 有理数的概念 分数 数轴 相反数 数轴、相反数、绝对值 绝对值 有理数 利用数轴 有理数的大小比较 利用法则 加法法则、减法法则 乘法法则、除法法则 有理数的运算 乘方运算的符号法则 有理数的混合运算顺序 科学记数法 科学记数法 知识清单 【清单01】正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0:0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【清单02】有理数的概念 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【清单03】数轴、相反数、绝对值 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数 对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数 是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 【清单04】有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【清单05】有理数的运算 1·法则： (1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. (2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b). (3)乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0. 1 (4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·b(b≠0) (5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：②正数的任何次幂都是正数， 0的任何非零次幂都是0. (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.运算律： (1)交换律：①加法交换律：a+b=b+a;②乘法交换律：ab=ba: (2)结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c):②乘法结合律：(ab)c=a(bc) (3)分配律：a(b+c)=ab+ac 【清单点06】科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10的形式（其中1≤@<10，”是正整数），此种记法叫做 科学记数法.例如：200000=2×10 期中常考题型清单 【题型一】相反意义的量 【例1】(24-25七年级上广东汕头·期中)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》 中，如果把支出30元记作-30元，那么收入50元记作() A.-30元 B.50元 C.+50元 D.30元 【变式1-1】(24-25七年级上·甘肃武威期中)如果向西15米记作+15米，那么向东20米记作()米. A.+5 B.+20 C.-5 D.-20 【变式1-2】(24-25七年级上·贵州遵义·期中)小明向北走100m记为+100m,那么-300m的意义是 () A.小明向东走300m B.小明向西走300m C.小明向南走300m D.小明向北走300m 【题型二】有理数的分类 1 22 【例2】(25-26七年级上全国期中)在-3.9,5,2，-0.2i,7，-2中，负分数有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【变式2-1】(2425七年级上福建福州期中)在-2，-(-3列，十4，-2,0中，负数共有（) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式22】(2324t年级上费州澄义期中)在-，十小，0.-，-（》】 -24中，非正数 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数 【例31(2526七年级上全国期中)-号的相反数是 一，绝对值是 【变式3-1】(24-25七年级上·新疆喀什·期中)-3的相反数是一，4的绝对值是 【变式3-2】(23-24七年级上甘肃武威期中)-2的倒数是一， 它的相反数是一，它的绝对值是一 【题型四】绝对值得非负性 【例4】(2425七年级上湖北裹阳期中)若4+6-0，则a=一 b= a 【变式4-1】(24-25七年级上江苏宿迁·期中)若1a-21+12b+60,则 【变式4-2】(2425七年级上江西赣州期中)当x=一时，-K-2+2024 的值最大 【题型五】用科学记数法表示较大的数 【例5】(24-25七年级上·甘肃武威期中)浙江卫视《中国好声音》总决赛，全国有7100万人通过电视收 看，这个数据用科学记数法表示为： 【变式5-1】(25-26七年级上·全国·期中)中国“蛟龙号”载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟区域西行下 潜试验中，成功突破7020米深度，创中国载人深潜新纪录，将7020用科学记数法表示为 【变式5-2】(24-25九年级下·宁夏吴忠·期中)据猫眼专业版数据，截至2025年4月2日20：00，电影 《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）累计票房（含预售及海外票房）为154.95亿，154.95亿用科学记 数法表示为一· 【题型六】数轴上表示含绝对值乘方的有理数问题 5 【例6】(24-25七年级上广东申山期中)有以下6个数：-，1-35，(2)，+5,0,2 4/17 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)在数轴上表示以上各数； (2)用“<”号把它们连接起来。 【变式6-1】(24-25七年级上·甘肃兰州期中)将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“<”把它们 连接起来。 -25,0,,(-2,1,是 方421012345→ 【变式6-2】(24-25七年级上广东湛江·期中)将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“>”把 这些数连接起来。 -10-(-2,-3-2--3.51. 54321012345 【题型七】有理数的混合运算 【例7】(24-25七年级上·贵州遵义·期中)计算 025+24-1.5+( (2--1+0.5列×写+-4 【变式7-1】(24-25七年级上·甘肃武威期中)计算： )-7)x(-5)-90÷(←15 oF-c 2÷-9+19): 角25子25分*25 【变式7-2】(25-26七年级上全国期中)计算. 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-2y+-3到×[-4+2]-（←32÷(-2， 2--1-0.5到×3×[2-（←3]： ④48 【题型八】有理数的混合运算中应用问题 【例8】(24-25七年级上贵州遵义·期中)无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我 国各个城市开始试运营.无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶 的路程记作负数.全天行程的记录如下（单位：km)：6,-5.6,-2.3,7,5.4,6,9,-5.4,-7 ,8. (I)当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？ (2)若无人驾驶网约车每公里耗电0.12度，电费单价0.5元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？ 【变式8-1】(25-26七年级上·全国·期中)某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300 辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况（超产记为正、减 产记为负)： 星 二 三 四 五 六 ◇ 期 增 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9 减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元：少 生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式8-2】(25-26七年级上·全国·期中)某食品厂计划每天生产500袋方便面，实际一周生产情况如下 表（超产记为正，减产记为负）： 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 星期 三 四 五 六 日 增减 +12 -8 +15 -5 -10 +20 -6 (袋) (1)星期五生产方便面多少袋？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少袋？ (3)若每袋方便面的成本为2元，售价为3元，求这一周的利润（利润=总售价-总成本）· 高频易错归因清单 【题型一】根据点在数轴上的位置化简绝对值问题 【例1】(25-26七年级上·天津河东·期中)有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图1所示，化简： la-b-2a+b+b+c b0a→ 【变式1-1】(25-26七年级上·吉林长春·期中)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示. c 0 d> ()用“>”“<”或“=”填空： a+b0,b0,b-c0,a-c0,: la+b+b+b-c+a-cl (2)化简： 【变式1-2】(24-25七年级上·湖北恩施期中)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示， 且4=4 60a→ (1)求a+b与方的值. lal,3be (2)化简：abbc. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型二】含乘方的有理数的混合运算问题 【例2】(25-26七年级上湖南衡阳期中)计算：-2+1(-4-121-(-2÷（←） 【变式2-1】(24-25七年级上广东中山期中)计算：-1-1-0,5)×7×-4| 【变式2-2】(24-25七年级上·全国·期中)计算下列各题. 016-2r-(84 e,-引-204× 【题型三】程序流程图与有理数的混合运算 【例3】(24-25七年级上·贵州黔东南期中)如图所示的是一个简单的数值运算程序.当输入x的值为4 时，输出的值为一 输入x→×(-96)×(-0.25) ×8 -(-1)→/输出 【变式3-1】(24-25七年级上·江苏准安·期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为2，则输出的值为 是 输入x 平方→乘以3→减去5 <结果大于0> 输出y 否 【变式3-2】(24-25七年级上河北石家庄·期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为-1，则输出y的 值为一· 是 输入x 平方 乘以3 减去5 结果大于0 输出y 否 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例4】(24-25七年级上·贵州毕节期中)对于任意有理数a,b,我们定义一种新运算“※”，规定： ※b=Q2-ab+b2,如：（-2)※3=(-2)°-(-2×3+32=19 )求-8到-5)的值 2)求-5列※(3※2 的值. 【变式4-1】(24-25七年级上·湖南衡阳·期中)α，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”， a⊕b=a2-ab+1,请根据新定义的运算计算： (1)3®2： (-1⊕1）⊕(-2) 【变式4-2】(23-24七年级上·江西赣州·期中)现定义一种新的运算，规定： ※b=d+ab-l,其中a,b 均为有理数，例如：1※2=12+1×2-1=2.求： 0-3列※-2的值： ei-知的位 方法技巧速通清单 【题型一】有理数的混合运算中规律探究问题 方法技巧总结： 1.计算特例：先算出前3-4个算式的结果，把它们整理成一个数列。这样更容易发现规律。 2.寻找规律：仔细观察结果序列，看看数字本身、符号或分子分母是否有重复模式。比如是否交替出现， 或与序号存在某种关系。 3.归纳验证：根据找到的规律，猜想一个通用公式。 然后用下一个算式验证这个猜想是否正确。【例1】(24-25七年级上·甘肃兰州期中)观察下列各式： 1.21 233’ 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1231 2344’ 1.2341 2×3×4×55, 0如分号子名 10-· (2)根据上面的规律，解答下列问题： 1-00g9x1g8x1-4x1-x1- 【变式1-1】(24-25七年级上·河北保定·期中)观察下面的等式， 1 1111111111 1k21-22x3233x4344k545… (I)以此规律，第5个式子是 ;第n个式子是 ； 1 +1+L+1=1-1+1-1+11+11=1-1-4 (2)把这四个等式两边分别相加，得×2+2x×3+3×4+4x5=12+23+34+45155,类比此 方法，计算： 11,1 ①1x2+2×3+3x4++ 2023×2024; 11 1 1 ②直接写出结果：1x22x3+3×4++ n(n+D= 111 1 (3)根据以上探索经验，计算：2×4+4×6+6x8+…+ 2022×2024· 【变式1-2】(24-25七年级上·广东深圳期中)在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张 111 +。++ 正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出2十4+8+ 26的值. 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积 1,1,1,,1 的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为2十4+8+…+2. 1.11 1 “破浪”小组是这样思考的：设S=2+4十8+…+2立， 10/17