1.1 三角形中的线段和角题型专练2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版（2024）八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 题型专练 【题型1】三角形的概念 【典例】观察下列图形，是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】观察下列图形，其中是三角形的是 A． B． C． D． 【举一反三2】若有一条公共边的两个三角形称为一对 “共边三角形”,则图中以 为公共边的 “共边三角形”有 （      ）  A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．6 对 【举一反三3】(青岛课本P139练习T1)如图，点 在 的边 上，连接 . (1) 的三个内角是_____， (2)在 中， 的对边是_____， 在 中， 的对边是_____； (3)以线段 为边的三角形有_____（用符号表示）. 【举一反三4】请举出现实生活中有关三角形的实例. 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典例】在△PQR中，∠P=50°，∠Q=60°，∠R=70°，则最长的边是(　　) A．PQ B．QR C．PR D．无法确定 【举一反三1】如图，以∠B为一个内角的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三2】如图所示，∠BAC的对边是（　　） A．BD B．DC C．BC D．AD 【举一反三3】三角形的组成部分： （1）三角形的 __________：即组成三角形的线段； （2）三角形的 __________：即相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角； （3）三角形的 __________：即相邻两边的公共端点． 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 【题型3】三角形的个数 【典例】如图，以为边的三角形共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【举一反三1】图中三角形的个数是 A．7 B．8 C．9 D．10 【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三3】如图所示，直线 经过 五点，点 是直线 外一点，连接 , ,则共有_____个三角形. 【举一反三4】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　　个． 【举一反三5】(人教课本P4习题T2)图中有几个三角形? 用符号表示这些三角形. 【题型4】三角形的分类 【典例】一个三角形三个内角的度数比是3∶7∶10，这个三角形是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【举一反三1】有下列说法：(1)三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；(2)三角形两边之和不一定大于第三边；(3)等边三角形一定是等腰三角形；(4)有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的有 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】已知中，，则按角分类是__________ 三角形. 【举一反三3】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 　　． 【举一反三4】如图，点P是∠AOB的边OB上一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C. (1)过点P画OA的垂线，垂足为H. (2)线段PH的长度是点P到直线____的距离，____是点C到直线OB的距离，线段PC，PH，OC这三条线段长度的大小关系是____(用“＜”号连接)． 【题型5】构成三角形的条件 【典例】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是 A．1，2，4 B．8，3，5 C．8，6，3 D．2，3，6 【举一反三1】某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高之比可以为1：1：2，1：2：3，2：3：4，3：4：5”老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的三角形是（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【举一反三2】若实数m、n满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是__________ ． 【举一反三3】一个不等边三角形的边长都是正整数，且周长是15，则满足条件的三角形有　个． 【举一反三4】(人教课本P9习题T2)长为 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法? 为什么? 【举一反三5】在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框. (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4 cm和CD=8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度. 【题型6】三角形三边关系的应用 【典例】已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三1】已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为 __________． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小，并说出你的理由. 【举一反三3】已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1 （1）试说明b一定大于3； （2）若这个三角形周长为22，求a、b、c． 【题型7】确定第三边的取值范围 【典例】已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【举一反三1】三角形两边长分别为和，若第三边长为奇数，则第三边长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－6|＋(3－b)2＝0，则c的值可能是 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三3】若三角形三条边长分别是1，a，3(其中a为整数)，则a=__________.  【举一反三4】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＝__________ . 【举一反三5】已知一个三角形的三边长为，若，，求该三角形的周长的取值范围． 【举一反三6】如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE． （1）若AD＝8，AB＝5，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），则BD长度的取值范围为______； （2）把图1中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形．延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由． 【题型8】三角形的角平分线 【典例】三条公路将、 、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.若DE=7，AC=16，则AD的长度为__________.  【举一反三2】(青岛课本P161综合练习T6)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，点 在 上，且 ,求 的度数. 【举一反三3】如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 【题型9】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典例】如图所示，下列说法正确的是（　　） A．图甲，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形 B．图乙，已知∠BAD＝∠CAD，则射线AD是△ABC的角平分线 C．图丙，已知点D为BC边上的中点，则射线AD是△ABC的中线 D．图丁，已知△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD是△ABC的高线 【举一反三1】如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论不正确的是 A．∠DBE=∠F B．2∠BEF=∠BAF+∠C C．∠FDG=∠ABE+∠C D．2∠F=∠BAC-∠C 【举一反三3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABC的一条角平分线， 则有：__________＝__________∠ABC，__________＝__________BC． 【举一反三4】如图所示，在 中, 是 的高, . (1)如图①所示，若 是 的平分线，求 的度数; (2)如图②所示，延长 到点 ， 和的平分线交于点G，求的度数. 【举一反三5】勤于思考的小聪，正在思考这样的一个问题：三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都分别交于一点，哪种线的交点有时在三角形内．有时在三角形外；哪种线的交点始终在三角形的内部？你能解答小聪这个问题吗？请你通过作图来解答这个问题．（需指明什么样的三角形） 【题型10】三角形中线的定义 【典例】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是 （      ）  A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 【举一反三1】如图，已知点D为△ABC边AB的中点，点E在边AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处.若∠B＝65°，则∠BDF等于(　　) A．65° B．50° C．60° D．57.5° 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD＝CD，则　　是△ABC的中线，ED是△　　的中线； 【举一反三3】如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型11】利用三角形的中线求长度 【典例】如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在△ABC中（AB＞AC），2AC＝BC，BC边上的中线把△ABC分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB的长为（　　） A．11cm B．14cm C．16cm D．19cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝__________. 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB﹣AC＝．　　cm． 【举一反三4】如图，已知、分别是的高和中线，，，，求： (1)的面积； (2)的长； (3)与的周长的差． 【题型12】利用三角形的中线求面积 【典例】如图所示, 是△ 中 边上的中线, 分别是 的中点，若△ 的面积为 1,则△ 的面积为(　　)。 A．3 B．8 C．4 D．6 【举一反三1】如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF相交于点G.已知BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积为 （      ）  A．25 B．30 C．35 D．40 【举一反三2】如图，在中，D是的中点，连接，若的面积是5，则的面积是 __________ . 【举一反三3】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝　　． 【举一反三4】如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的中线，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，∠CAB=90°. (1)求AD的长； (2)求△ABE的面积. 【举一反三5】如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 【题型13】三角形高的定义与识别 【典例】下列四个图形中，线段BH是△ABC的高的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于点D，图中可以作为三角形“高”的线段有 A．1条 B．2条 C．3条 D．5条 【举一反三2】如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有21个以MN为高的三角形，…，以此类推，则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（　　） A．55 B．78 C．96 D．105 【举一反三3】从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画 　　，顶点和 　　间的线段叫做三角形的高； 锐角三角形的三条高在三角形的 　　； 直角三角形的高，有两条在 　　，另一条在 　　； 钝角三角形的高，有两条在 　　，另一条在 　　，三角形三条高 　　都交于一点． 【举一反三4】(课本P14例题)如图，AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足是F. (1)AF是图中哪几个三角形的高？ (2)图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由. 【题型14】三角形高的应用 【典例】如图，已知△ABC的面积为48，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【举一反三1】如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝（　　），△APE的面积等于8cm2． A．2秒 B．2或秒 C．秒 D．2或或秒 【举一反三3】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为__________ ． 【举一反三4】如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【题型15】画三角形的高 【典例】如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是__________． 【举一反三2】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是__________． 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.（不写画法，保留画图痕迹） (1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM； (2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN. 【举一反三4】如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） (1)画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）； (2)已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）. 苏科版（2024）八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形的概念 【典例】观察下列图形，是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形， 所以只有C符合， 故选：C． 【举一反三1】观察下列图形，其中是三角形的是 A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三2】若有一条公共边的两个三角形称为一对 “共边三角形”,则图中以 为公共边的 “共边三角形”有 （      ）  A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．6 对 【答案】B 【解析】以 为公共边的 “共边三角形” 有 与 与 与 ,共 3 对. 【举一反三3】(青岛课本P139练习T1)如图，点 在 的边 上，连接 . (1) 的三个内角是_____， (2)在 中， 的对边是_____， 在 中， 的对边是_____； (3)以线段 为边的三角形有_____（用符号表示）. 【答案】解　(1) ， ， ；(2) ， ； (3) ， . 【举一反三4】请举出现实生活中有关三角形的实例. 【答案】解: 如衣架、自行车的车架以及房屋屋脊的木架房梁等. 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典例】在△PQR中，∠P=50°，∠Q=60°，∠R=70°，则最长的边是(　　) A．PQ B．QR C．PR D．无法确定 【答案】A 【解析】因为最大的角为∠R=70°，所以其对边PQ最长. 【举一反三1】如图，以∠B为一个内角的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】以∠B为一个内角的三角形有△EBD，△ABD，△EBC，△ABC， 故选：C． 【举一反三2】如图所示，∠BAC的对边是（　　） A．BD B．DC C．BC D．AD 【答案】C 【解析】∠BAC的对边是BC．故选C． 【举一反三3】三角形的组成部分： （1）三角形的 __________：即组成三角形的线段； （2）三角形的 __________：即相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角； （3）三角形的 __________：即相邻两边的公共端点． 【答案】边，角，顶点． 【解析】组成三角形的线段叫三角形的边； 相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角； 相邻两边的公共端点叫三角形的顶点； 故答案为：边，角，顶点． 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 【答案】解　AB>BC. 理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=180°-∠C=90°， ∴∠C>∠A. ∴AB>BC(在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大). 【题型3】三角形的个数 【典例】如图，以为边的三角形共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解析】以为边的三角形共有3个，它们是，，． 故选：C 【举一反三1】图中三角形的个数是 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 【举一反三3】如图所示，直线 经过 五点，点 是直线 外一点，连接 , ,则共有_____个三角形. 【答案】10 【解析】有 , ,共 10 个. 【举一反三4】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　　个． 【答案】21 【解析】第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3． 所以当n＝6时，原式＝21， 故答案为：21． 【举一反三5】(人教课本P4习题T2)图中有几个三角形? 用符号表示这些三角形. 【答案】解　题图中有 6 个三角形，分别为 , . 【题型4】三角形的分类 【典例】一个三角形三个内角的度数比是3∶7∶10，这个三角形是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】因为三角形三个内角的度数比是3∶7∶10， 所以设三角形三个内角的度数分别是3x，7x，10x， 因为3x+7x+10x=180°， 解得x=9°，所以10x=90°， 所以这个三角形是直角三角形. 【举一反三1】有下列说法：(1)三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；(2)三角形两边之和不一定大于第三边；(3)等边三角形一定是等腰三角形；(4)有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的有 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】(1)三角形按边分可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形两类；(2)三角形两边之和一定大于第三边，(1)与(2)原说法均错误，(3)与(4)说法正确，故正确的有2个. 【举一反三2】已知中，，则按角分类是__________ 三角形. 【答案】锐角 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角. 【举一反三3】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 　　． 【答案】∠B＝60°（答案不唯一）． 【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：∠B＝60°（答案不唯一）． 【举一反三4】如图，点P是∠AOB的边OB上一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C. (1)过点P画OA的垂线，垂足为H. (2)线段PH的长度是点P到直线____的距离，____是点C到直线OB的距离，线段PC，PH，OC这三条线段长度的大小关系是____(用“＜”号连接)． 【答案】解：(1)如答图所示． (2) OA 线段CP的长度 PH＜PC＜OC 【题型5】构成三角形的条件 【典例】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是 A．1，2，4 B．8，3，5 C．8，6，3 D．2，3，6 【答案】C 【解析】A选项，1+2<4，不能组成三角形； B选项，3+5=8，不能组成三角形； C选项，3+6>8，能够组成三角形； D选项，2+3<6，不能组成三角形. 【举一反三1】某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高之比可以为1：1：2，1：2：3，2：3：4，3：4：5”老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的三角形是（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【答案】B 【解析】假设存在这样的三角形，对于A选项，根据等积法，得到此三角形三边比为2：2：1， ∴存在这样的三角形， 故不符合题意； 对于B选项，同理可得，三边比为6：3：2，这与三角形三边关系相矛盾， 所以这样的三角形不存在， 故符合题意； 对于C选项，同理可得，三边比为6：4：3，存在这样的三角形， 故不符合题意； 对于D选项，同理可得，三边比为20：15：12，存在这样的三角形， 故不符合题意， 故选：B． 【举一反三2】若实数m、n满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是__________ ． 【答案】20 【解析】， ，，解得，， 当作腰时，三边为4，4，8，不符合三边关系定理； 当作腰时，三边为4，8，8，符合三边关系定理，周长为：． 故答案为：20． 【举一反三3】一个不等边三角形的边长都是正整数，且周长是15，则满足条件的三角形有　个． 【答案】6 【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 这样的三角形的三边长分别为： 4，5，6； 3，5，7； 4，4，7； 1，7，7； 2，6，7； 3，6，6共有6个． 故答案为：6． 【举一反三4】(人教课本P9习题T2)长为 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法? 为什么? 【答案】解　有 2 种选法. 选 .因为 ,所以能组成三角形. 选 .因为 ,所以不能组成三角形. 选 .因为 ,所以不能组成三角形. 选 .因为 ,所以能组成三角形. 【举一反三5】在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框. (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4 cm和CD=8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度. 【答案】解　(1)第一段的长不能为3 cm， 理由如下： 根据题意，第一段长a cm， 第二段的长(3a-2)cm， 第三段的长为[12-a-(3a-2)]=(14-4a)cm， 当a=3时，3a-2=7，14-4a=2， ∵3+2<7， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为3 cm. (2)设CP=x cm，则PD=(8-x)cm， ∵AB，CP，PD能组成三角形， ∴x+4>8-x且4+8-x>x， 解得2<x<6， ∴整数x为3或4或5， 即符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm. 【题型6】三角形三边关系的应用 【典例】已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形. 故选：A. 【举一反三1】已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为 __________． 【答案】2a﹣2c． 【解析】∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a﹣b+c＞0，a﹣c﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c） ＝a+b﹣c+a﹣b﹣c ＝2a﹣2c． 故答案为：2a﹣2c． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小，并说出你的理由. 【答案】解　如图，连接AC，BD，它们相交于点O，则点O到A，B，C，D四个顶点的距离之和最小. 理由如下： ∵OA+OC=AC，OB+OD=BD，且AC<EA+EC，BD<EB+ED， ∴OA+OC<EA+EC，OB+OD<EB+ED， ∴OA+OC+OB+OD<EA+EC+EB+ED，即四边形对角线的交点O到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点. 【举一反三3】已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1 （1）试说明b一定大于3； （2）若这个三角形周长为22，求a、b、c． 【答案】解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1， ∴b＝a﹣2，b＝c+1， ∴a﹣2＝c+1， a﹣c＝3， ∴b一定大于3； （2）∵b＝c+1， ∴c＝b﹣1， ∴b+2+b+b﹣1＝22， 解得b＝7， ∴a＝b+2＝9， c＝b﹣1＝6． 【题型7】确定第三边的取值范围 【典例】已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【解析】设大小处于中间的边长是x cm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm． 则（x+1）+x+（x﹣1）＝12， 解得：x＝4， 则最短的边长是：4﹣1＝3cm． 故选：B． 【举一反三1】三角形两边长分别为和，若第三边长为奇数，则第三边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设第三边长为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴，即， 又∵x为奇数， ∴． 故选：C． 【举一反三2】若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－6|＋(3－b)2＝0，则c的值可能是 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】∵|a－6|＋(3－b)2＝0，|a－6|≥0，(3－b)2≥0， ∴a－6＝0，3－b＝0，∴a＝6，b＝3. 又∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a－b＜c＜a＋b，即3＜c＜9， ∴c的值可能是4. 【举一反三3】若三角形三条边长分别是1，a，3(其中a为整数)，则a=__________.  【答案】3 【解析】∵三角形的两边长分别为1和3， ∴第三边长a的取值范围是3-1<a<3+1， 即2<a<4， ∵a为整数， ∴a的值为3. 【举一反三4】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＝__________ . 【答案】2c 【解析】∵a，b，c是三角形的三边长， ∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0， ∴原式＝b＋c－a－b＋c＋a＝2c. 【举一反三5】已知一个三角形的三边长为，若，，求该三角形的周长的取值范围． 【答案】解：，，分别是三角形的三边长，且，， 三角形第三边长的取值范围为，即， 周长的取值范围为，即． 【举一反三6】如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE． （1）若AD＝8，AB＝5，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），则BD长度的取值范围为______； （2）把图1中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形．延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由． 【答案】（1）解：当点B在线段AD上时，BD最小， BD=AD-AB=3， 当点B在线段DA的延长线上时，BD最大， BD=AD+AB=13， ∴． （2）解：． 理由如下：延长DB交CE于点F， ∵， ∴ 即， 在和中， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴． 【题型8】三角形的角平分线 【典例】三条公路将、 、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点. 故选：C. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.若DE=7，AC=16，则AD的长度为__________.  【答案】9 【解析】∵∠C=90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DC=DE=7， 又∵AC=16， ∴AD=AC-CD=16-7=9. 【举一反三2】(青岛课本P161综合练习T6)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，点 在 上，且 ,求 的度数. 【答案】解　因为 ,所以 . 因为 是 的角平分线, 所以 . 因为 ， 所以 . 【举一反三3】如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 【答案】解：∵BE、CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝90°∠A． 【题型9】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典例】如图所示，下列说法正确的是（　　） A．图甲，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形 B．图乙，已知∠BAD＝∠CAD，则射线AD是△ABC的角平分线 C．图丙，已知点D为BC边上的中点，则射线AD是△ABC的中线 D．图丁，已知△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD是△ABC的高线 【答案】D 【解析】对于A：图甲，由于三角形是一个封闭的图形，而由AB，BC，DE三条线段组成的图形并不是封闭的，所以不是三角形，即A是错误的； 对于B：图乙，角平分线是线段，AD是射线，即：B是错误的； 对于C：图丙，由于三角形的中线应是线段，所以射线AB不是该三角形的中线，线段AB才是，即：C是错误的； 对于D：图丁，由于AD⊥BC于D，根据三角形的高的定义可得线段AD是△ABC的高，即：D是正确的． 故选：D． 【举一反三1】如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】是的中线， ，故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ，， ，故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，其中结论错误的有3个． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论不正确的是 A．∠DBE=∠F B．2∠BEF=∠BAF+∠C C．∠FDG=∠ABE+∠C D．2∠F=∠BAC-∠C 【答案】C 【解析】因为BD⊥FD， 所以∠FGD+∠F=90°， 因为FH⊥BE， 所以∠BGH+∠DBE=90°， 因为∠FGD=∠BGH， 所以∠DBE=∠F，故A正确； 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE=∠CBE， 因为∠BEF=∠CBE+∠C， 所以2∠BEF=∠ABC+2∠C， 又因为∠BAF=∠ABC+∠C， 所以2∠BEF=∠BAF+∠C，故B正确； 因为∠AEB=∠CBE+∠C， 且∠ABE=∠CBE， 所以∠AEB=∠ABE+∠C， 因为BD⊥FC，FH⊥BE， 所以∠FGD=∠FEB， 所以∠FGD=∠ABE+∠C， 所以∠FDG≠∠ABE+∠C，故C错误； 因为∠ABD=90°-∠BAC， ∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC， ∠CBD=90°-∠C， 所以∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 由A得，∠DBE=∠F， 所以∠F=∠BAC-∠C-∠F， 所以2∠F=∠BAC-∠C，故D正确. 【举一反三3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABC的一条角平分线， 则有：__________＝__________∠ABC，__________＝__________BC． 【答案】∠ABE，∠EBC，BD，CD 【解析】已知BE是△ABC的一条角平分线， ∴∠ABE＝∠EBC∠ABC． 又∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC． 【举一反三4】如图所示，在 中, 是 的高, . (1)如图①所示，若 是 的平分线，求 的度数; (2)如图②所示，延长 到点 ， 和的平分线交于点G，求的度数. 【答案】解　(1)因为 ,所以 . 因为 是 的平分线, 所以 . 因为 是 的高，所以 . 因为 ,所以 , 所以 . (2)因为 和 的平分线交于点 ， 所以 ， . 因为 , 所以 . 【举一反三5】勤于思考的小聪，正在思考这样的一个问题：三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都分别交于一点，哪种线的交点有时在三角形内．有时在三角形外；哪种线的交点始终在三角形的内部？你能解答小聪这个问题吗？请你通过作图来解答这个问题．（需指明什么样的三角形） 【答案】解：三角形高线的交点有时在三角形内，有时在三角形外，有时在三角形顶点； 锐角三角形的高线的交点在三角形内，如图1；钝角三角形的高线的交点在三角形外，如图2；直角三角形的高线的交点在直角顶点，如图3； 三角形的角平分线的交点在三角形内部，如图4；三角形的中线的交点在三角形内部，如图5． 【题型10】三角形中线的定义 【典例】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是 （      ）  A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 【答案】B 【解析】△ABC的中线一定过该三角形的一个顶点，观察图形，点E是AC的中点，边AC所对顶点为B，则BE是△ABC的中线. 【举一反三1】如图，已知点D为△ABC边AB的中点，点E在边AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处.若∠B＝65°，则∠BDF等于(　　) A．65° B．50° C．60° D．57.5° 【答案】B 【解析】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD＝DF， ∵D是AB边的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝DF， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝65°， ∴∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝180°－65°－65°＝50°. 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD＝CD，则　　是△ABC的中线，ED是△　　的中线； 【答案】AD；BEC 【解析】∵BD＝CD， ∴AD是△ABC的中线，ED是△BEC的中线； 故答案为：AD；BEC 【举一反三3】如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； (2)解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【题型11】利用三角形的中线求长度 【典例】如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴点是的中点， ∴． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中（AB＞AC），2AC＝BC，BC边上的中线把△ABC分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB的长为（　　） A．11cm B．14cm C．16cm D．19cm 【答案】D 【解析】∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∵2AC＝BC， ∴AC＝CD， 由题意得：AC+CD＝22cm， 则AC＝CD＝BD＝11cm， ∴AB＝30﹣11＝19（cm）， 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝__________. 【答案】 【解析】∵在△ABC中，AD为中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝8，AC＝6，DF＝5， ∴AB·DE＝AC·DF，即8DE＝5×6＝30， ∴DE＝. 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB﹣AC＝．　　cm． 【答案】6． 【解析】∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC． ∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB﹣AC＝6cm． 故答案为：6． 【举一反三4】如图，已知、分别是的高和中线，，，，求： (1)的面积； (2)的长； (3)与的周长的差． 【答案】(1)∵，， ∴； (2)，是上的高， ， ； (3)是边上的中线， ， 的周长－的周长 ， 即和的周长差是． 【题型12】利用三角形的中线求面积 【典例】如图所示, 是△ 中 边上的中线, 分别是 的中点，若△ 的面积为 1,则△ 的面积为(　　)。 A．3 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为 是 的中点，所以 , 所以 。 又因为 , 所以 。 同理,。 【举一反三1】如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF相交于点G.已知BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积为 （      ）  A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解析】∵BD＝2DC，∴S△BDG＝2S△GDC＝8， ∴S△GDC＝4. ∵E是AC的中点， ∴S△GEC＝S△AGE＝3， ∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15， ∴易知S△ABC＝2S△BEC＝30. 【举一反三2】如图，在中，D是的中点，连接，若的面积是5，则的面积是 __________ . 【答案】10 【举一反三3】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝6，则S△ADF﹣S△BEF＝　　． 【答案】1． 【解析】∵S△ABC＝6，EC＝2BE，点D是AC的中点， ∴S△ABES△ABC＝2，S△ABDS△ABC＝3， ∴S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【举一反三4】如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的中线，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，∠CAB=90°. (1)求AD的长； (2)求△ABE的面积. 【答案】解　(1)因为AD是△ABC的高，且∠CAB=90°， 所以BC·AD=AB·AC， 即10AD=6×8，得AD=4.8 cm. (2)因为△ABC的面积为×6×8=24(cm2)， 且AE是△ABC的中线，即点E是BC的中点， 所以△ABE的面积是△ABC面积的一半， 即S△ABE=×24=12(cm2). 【举一反三5】如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴平分， ∴， 在中，， ∴ (3)解：由（1）可知，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴， ∴是上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积是． 【题型13】三角形高的定义与识别 【典例】下列四个图形中，线段BH是△ABC的高的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】第一个和第四个图形中，线段BH是△ABC的高， 则线段BH是△ABC的高的有2个， 故选：B． 【举一反三1】如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于点D，图中可以作为三角形“高”的线段有 A．1条 B．2条 C．3条 D．5条 【答案】D 【解析】可以作为△ACD的高的有AD，CD，共2条； 可以作为△BCD的高的有BD，CD，共2条； 可以作为△ABC的高的有BC，AC，CD，共3条. 综上所述，可以作为三角形“高”的线段有AD，CD，BD，BC，AC，共5条. 【举一反三2】如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有21个以MN为高的三角形，…，以此类推，则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（　　） A．55 B．78 C．96 D．105 【答案】B 【解析】图①中以MN为高的三角形的个数是3＝2×12+1， 图②中以MN为高的三角形的个数是10＝2×22+2， 图③中以MN为高的三角形的个数是21＝2×32+3， …… 图⑥中以MN为高的三角形的个数是2×62+6＝78， 故选：B． 【举一反三3】从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画 　　，顶点和 　　间的线段叫做三角形的高； 锐角三角形的三条高在三角形的 　　； 直角三角形的高，有两条在 　　，另一条在 　　； 钝角三角形的高，有两条在 　　，另一条在 　　，三角形三条高 　　都交于一点． 【答案】垂线，垂足，内部，直角边上，三角形内部，三角形外部，三角形内部，所在直线． 【解析】从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形的高，有两条在直角边上，另一条在三角形内部； 钝角三角形的高，有两条在三角形外部，另一条在三角形内部． 三角形三条高所在直线都交于一点． 故答案为：垂线，垂足，内部，直角边上，三角形内部，三角形外部，三角形内部，所在直线． 【举一反三4】(课本P14例题)如图，AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足是F. (1)AF是图中哪几个三角形的高？ (2)图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由. 【答案】解　(1)AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC和△AFC的高. (2)△ABD与△ACD的面积相等.理由如下： 因为BD=DC， 所以BD·AF=DC·AF. 由三角形的面积公式可知，△ABD与△ACD的面积相等. 【题型14】三角形高的应用 【典例】如图，已知△ABC的面积为48，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G， ∵△ABC的面积为48，AB＝AC＝8， ∴AB•CG＝48， ∴CG＝12， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积， ∴AB•DE+AC•DF＝AB•CG， ∴DE+DF＝CG＝12， ∵DF＝2DE， ∴DE＝4， 故选：C． 【举一反三1】如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【解析】如图，∵a∥b， ∴a，b之间的距离是固定的， 而△ABC的高和这个距离相等， 所以△ABC的高、底边都是固定的， 所以它的面积不变． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝（　　），△APE的面积等于8cm2． A．2秒 B．2或秒 C．秒 D．2或或秒 【答案】D 【解析】分两种情况： ①如图1，当点P在AC上， 由题意得：AP＝2t， ∵BC＝8，点E是BC的中点， ∴CE＝4， ∵△APE的面积等于8， ∴AP•CEAP×4＝8， ∵AP＝4， ∴t＝2； ②如图2，当点P在BC上， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝4， ∴EP•AC•EP×6＝8， ∴EP， ∴t＝3+4，或t＝3+4； 综上所述，当t＝2或或时，△APE的面积等于8， 故选：D． 【举一反三3】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为__________ ． 【答案】或 【解析】当高在内部时，顶角；当高在外部时，得到顶角的外角，则顶角． 故答案为：或． 【举一反三4】如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B ∴∠B+∠BCD＝90° ∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB， ∴CD是△ABC的高； （2）∵∠ACB＝∠CDB＝90° ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴CD． 【题型15】画三角形的高 【典例】如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【举一反三1】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是__________． 【答案】③ 【解析】根据三角形的高的定义，可知①②④都错误，只有③正确． 故答案为③． 【举一反三2】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是__________． 【答案】C 【解析】∵三角形的三边为4，9，12， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故答案为：C． 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.（不写画法，保留画图痕迹） (1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM； (2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN. 【答案】(1)如图，CM即为所求 (2)如图，AN即为所求 【举一反三4】如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） (1)画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）； (2)已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）. 【答案】(1)如图，取格点，连接交于点，即为所求； (2)如图，取格点和，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点， 学科网（北京）股份有限公司 $