1.1 三角形中的线段和角 易错专题 训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段与角易错点，以错因分组构建“纠错指引-精讲例题-即时巩固”闭环，提炼实用解题方法，系统突破三边关系、中线面积等核心考点，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错点1-7|每模块1精讲例题+5-15即时巩固题|最长边检验法、中线面积逐级折半、高的直角顶点判断等|从边的关系（三边关系）到线段识别与计算（中线、高），形成“概念辨析-方法应用-综合迁移”递进逻辑|

苏科版2024 · 三角形中的线段和角 · 第1章 三角形 1.1三角形中的线段和角 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第1章 三角形 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题精选60道易错题，按错因重新分组，不按知识点罗列。每组配一道精讲例题，附易错点剖析与纠错指引，再配即时巩固形成闭环；文末另设综合检测题组检验整体掌握情况。内容覆盖三边关系、中线与面积、高的识别与计算等板块，适合课后纠错与阶段复习。 目录 易错点1：漏检最长边致三边关系误判 易错点2：第三边范围取等号或整数漏数 易错点3：三边关系与代数式化简混用 易错点4：数三角形时漏数或多数 易错点5：中线面积折算漏掉一层 易错点6：高的垂足位置认错 易错点7：高与角平分线混用算错角 易错点1：漏检最长边致三边关系误判 学习目标 · 能快速找出三边中的最长边 · 能把较短两边之和与最长边比较 · 能排除刚好相等的临界选项 纠错指引 判断时先圈出最长边，只需检验「较短两边之和是否大于最长边」；等于也不行，此时三点共线围不成三角形。 精讲例题 例题1．（2024秋•黔西南州期末）·【基础】有两根长度分别为3cm和7cm的木棒，要选择第三根木棒，把它们钉成一个三角形框架，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把3+4=7的临界值当成能围成 · 只比一次两边和就下结论 · 漏看最长边是7cm 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•诸暨市期末）·【基础】一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　） A．6cm B．3cm C．13cm D．14cm 即时巩固2．（2024秋•东莞市期末）·【基础】三角形的三边长可以是（　　） A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13 即时巩固3．（2024•田阳区二模）·【基础】下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 即时巩固4．（2024秋•三台县期末）·【基础】已知△ABC的两边长分别为2和n+2，则能使得第三边长取到10的最小正整数n是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 即时巩固5．（2024秋•宁阳县期末）·【基础】现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 即时巩固6．（2025秋•绥滨县期中）·【基础】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（　　） A．3cm 3cm 6cm B．2cm 10cm 13cm C．8cm 7cm 15cm D．4cm 5cm 6 cm 即时巩固7．（2024秋•斗门区期末）·【基础】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．8，3，5 C．3，4，8 D．4，4，8 即时巩固8．（2024秋•英山县期中）·【基础】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7 即时巩固9．（2024秋•确山县期中）·【基础】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19 易错点2：第三边范围取等号或整数漏数 学习目标 · 能写出第三边的取值范围 · 能判断端点能否取到 · 能完整枚举范围内的整数解 纠错指引 第三边 x 满足两边之差 < x < 两边之和，两端都是严格不等号（取等号时三点共线）；数整数解时两端都不算。 精讲例题 例题2．（2020秋•大新县期中）·【基础】在三角形ABC中，AB＝2，BC＝5，则AC的取值范围是　 　 ． 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 把范围写成3≤AC≤7 · 忘记端点不能取等号 · 整数解只数了一端 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固10．（2025春•崇明区期末）·【基础】有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 　 　 个不同的三角形． 即时巩固11．（2018秋•天津期末）·【基础】已知三角形的两边长分别是7和10，则第三边长a的取值范围是　 　 ． 即时巩固12．（2023春•江都区期中）·【基础】三角形两条边分别是2、4且第三条边的长为整数，则构成这样的三角形个数有 　 　 个． 即时巩固13．（2022春•子洲县期末）·【基础】已知某三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长可能是 　 　 ．（写出一个即可） 即时巩固14．（2023秋•新城区校级月考）·【基础】三角形的三边长分别为5，1+x，8，则x的取值范围是 　 　 ． 即时巩固15．（2020秋•肥东县期末）·【基础】△ABC的三边长分别为1，3，x，且x为整数，则x的值是　 　 ． 即时巩固16．（2021春•武侯区校级月考）·【基础】在△ABC中，a＝4cm，b＝2cm，若第三边c的长是偶数，则该三角形周长是 　 　 cm． 即时巩固17．（2021春•汝阳县期末）·【基础】从3cm、4cm、5cm、7cm的四根小棒中任取三根，能围成　 　 个三角形． 即时巩固18．（2022秋•交城县期中）·【基础】在△ABC中，若AB＝4，BC＝2，且AC的长为偶数，则AC＝　 　 ． 即时巩固19．（2019秋•天山区校级期中）·【基础】要将三根木棒首尾顺次连接围成一个三角形，其中两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第3根木棒，且第3根木棒的长取偶数时，则有　 　 种情况可以选取． 易错点3：三边关系与代数式化简混用 学习目标 · 能用三边关系判断代数式正负 · 能正确去掉绝对值符号 · 能联立方程后回代检验 纠错指引 去绝对值前先定号：由两边之和大于第三边得 a+b−c>0，由 b+c>a 得 a−b−c<0，定号后再合并同类项。 精讲例题 例题3．（2022秋•新市区校级期中）·【基础】已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|的结果为　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 判错a−b−c的正负 · 去绝对值忘记变号 · 解完方程不回代检验 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固20．（2022春•浚县校级期末）·【基础】若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 即时巩固21．（新教材同步题）·【提升】△ABC的周长是22cm，AB边的长是AC边的1.5倍，BC边的长比AC边多1cm，求△ABC的三边长． 易错点4：数三角形时漏数或多数 学习目标 · 能识别三点共线不能成三角形 · 能按固定边或顶点有序枚举 · 能复核总数避免重复 纠错指引 先排除共线的三点组合，再按「固定一边」或「固定顶点」分类枚举，数完用组合数核对一遍，做到不重不漏。 精讲例题 例题4．（2023秋•琼海校级期末）·【基础】过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　 　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 易错倾向标签：易漏解｜易看错 【本题核心易错点】 · 把共线三点也算成三角形 · 同一个三角形重复计数 · 换个口径就漏数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形． 易错点5：中线面积折算漏掉一层 学习目标 · 能说清中线平分三角形面积 · 能按等底同高逐层折算面积 · 能处理多次取中点的面积链 纠错指引 抓住「中线把面积二等分」逐级折半：每多取一次中点就再乘一次二分之一，遇到非等分点时改用底边比定面积比。 精讲例题 例题5．（2026春•和平区校级期中）·【基础】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，则△BDE的面积是（　　） A．15 B．10 C．7.5 D．5 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 中线折半后层数数错 · 把线段比直接当面积比 · 比例关系上下颠倒 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固23．（2025秋•喀什地区期末）·【基础】如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C． D． 即时巩固24．（2025秋•湘西州期末）·【提升】如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 即时巩固25．（2025秋•霍邱县校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 即时巩固26．（2025秋•平凉期末）·【提升】如图，△ABC中，D为BC中点，E为AC中点．若△ABC面积为8，则△DCE面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 即时巩固27．（2026春•天桥区期末）·【提升】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 即时巩固28．（2026春•沙坪坝区校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为AB上一点，连接CE交AD于F．若CF＝3EF，S△AEF＝1，则S△ABC＝ 　 　 ． 即时巩固29．（2026春•双流区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，若点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是 　 　 ． 即时巩固30．（2026春•宝山区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，CF＝2EF，如果阴影部分△BEF的面积为2，那么△ABC的面积是 　 　 ． 即时巩固31．（2025春•沙坪坝区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，E是BC上的一点，连接AE交CD于点F，若AF＝3EF，记△AFC的面积为S1，四边形BEFD的面积为S2，则的值为 　 　 ． 即时巩固32．（2025秋•东港区校级月考）·【提升】如图，三角形ABC的面积为16，AD与BF交于点E，且AE＝ED，BD：DC＝3：2，图中阴影部分的面积和 　 　 ． 即时巩固33．（2025春•工业园区期末）·【提升】如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF．若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 　 　 ． 即时巩固34．（2025秋•牡丹江期中）·【提升】如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点．若△ABC的面积为10，则阴影部分图形的面积为 　 　 ． 易错点6：高的垂足位置认错 学习目标 · 能认出从顶点向对边作的垂线段 · 能判断垂足是否落在边上 · 能用面积法求斜边上的高 纠错指引 高必须是从顶点向对边所在直线作的垂线段，垂足可以落在边的延长线上；判图时先看是否成直角，再看是否过顶点。 精讲例题 例题6．（2026春•井冈山市期末）·【基础】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把斜线段当成高 · 没看垂足是否落在边上 · 钝角三角形的高画错边 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固35．（2025秋•绥江县期末）·【基础】下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 即时巩固36．（2025春•津南区校级月考）·【提升】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，D为垂足． （1）求BD的长． （2）求△ABC的面积． 即时巩固37．（2024秋•合江县期末）·【提升】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°，求： （1）△ABE的面积； （2）AD的长． 易错点7：高与角平分线混用算错角 学习目标 · 能区分高、中线、角平分线 · 能先求顶角再算角平分线角 · 能用面积法处理直角三角形的高 纠错指引 先分清三条线段的职责：高给直角、角平分线平分顶角、中线平分对边。求角时先用内角和求顶角，再算角平分线角与直角三角形的锐角。 精讲例题 例题7．（2025秋•剑河县校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线． （1）若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为 　 　 ． （2）当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 拿角平分线当高来算角 · 用中线去推角度关系 · 漏掉直角三角形两锐角互余 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固38．（2025秋•运城期中）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在AC边上，从点A向点C以3cm/s的速度移动，点Q在CB边上，以2cm/s的速度从点B向点C移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒． （1）CP＝　 　 cm，CQ＝　 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求当△PCQ的面积为3cm2时，t的值． 即时巩固39．（2025春•定陶区期末）·【提升】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm） 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 本专题错因自查清单 ☐ 漏检最长边只比一次两边和 ☐ 第三边范围端点取了等号 ☐ 整数解只数一端漏数 ☐ 三点共线也算成三角形 ☐ 中线面积折算层数数错 ☐ 把斜线段当成三角形的高 ☐ 高与角平分线混用算错角 过关测试（综合检测） 1．（2025春•榆树市期末）·【基础】如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　） A．18m B．26m C．30m D．34m 2．（2025秋•秀洲区校级月考）·【基础】已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB＝3，BC＝5，CD＝4，DA＝6，则AC的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 3．（2024秋•巴南区校级期中）·【基础】一个三角形的两边长度分别是4和7，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是（　　） A．12 B．10 C．8 D．4 4．（2026春•宜都市期中）·【提升】将△ABC向右平移4个单位长度得到△DEF，DO＝2，AB＝6，则阴影四边形OCFD的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（2026春•沈阳期末）·【提升】已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•庄河市期末）·【提升】已知点A（6，0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y＝10，设△OPA的面积为S，当S＝9时，则点P的坐标为（　　） A．（7，3） B．（13，﹣3） C．（7，3）或（13，﹣3） D．（7，﹣3） 7．（2024春•泰兴市月考）·【提升】在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　 ． 8．（2026春•莲湖区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，AC＝5，S△ABC＝24，CD是边AB上的中线，点P是AC上的动点，则DP的最小值为 　 　 ． 9．（2026春•沙坪坝区校级月考）·【提升】如图，在△ABC中，D、F为BC上的点，且F为BC的中点，BD：DC＝2：3，连接AD，E是AD上的一点，AE：ED＝1：2，连接BE、EF、EC，若S△DEF＝1，则△ABC的面积是　 　 ． 10．（2026春•梁平区期末）·【提升】如图，在△ABC中，△ABC的面积为30，BD＝2CD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积为 　 　 ． 11．（2026•碑林区校级三模）·【提升】如图在△ABC中，CE⊥AB于点E，D是CE的中点，若BC＝4，△ABD的面积是3，则△ACD面积的最小值是 　 　 ． 苏科版2024 · 三角形中的线段和角 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 三角形中的线段和角 · 第1章 三角形 1.1三角形中的线段和角 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第1章 三角形 第1课时 本专题精选60道易错题，按错因重新分组，不按知识点罗列。每组配一道精讲例题，附易错点剖析与纠错指引，再配即时巩固形成闭环；文末另设综合检测题组检验整体掌握情况。内容覆盖三边关系、中线与面积、高的识别与计算等板块，适合课后纠错与阶段复习。 目录 易错点1：漏检最长边致三边关系误判 易错点2：第三边范围取等号或整数漏数 易错点3：三边关系与代数式化简混用 易错点4：数三角形时漏数或多数 易错点5：中线面积折算漏掉一层 易错点6：高的垂足位置认错 易错点7：高与角平分线混用算错角 易错点1：漏检最长边致三边关系误判 学习目标 · 能快速找出三边中的最长边 · 能把较短两边之和与最长边比较 · 能排除刚好相等的临界选项 纠错指引 判断时先圈出最长边，只需检验「较短两边之和是否大于最长边」；等于也不行，此时三点共线围不成三角形。 精讲例题 例题1．（2024秋•黔西南州期末）·【基础】有两根长度分别为3cm和7cm的木棒，要选择第三根木棒，把它们钉成一个三角形框架，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm 【分析】根据三角形的三边关系，得第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【解答】解：由三角形的三边关系得， 7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10． 综观各选项，只有C符合要求． 故选：C． 教学提示：让学生先圈出最长边7cm，重点讨论3+4=7这一临界值，追问刚好相等时能否围成。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把3+4=7的临界值当成能围成 · 只比一次两边和就下结论 · 漏看最长边是7cm 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•诸暨市期末）·【基础】一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　） A．6cm B．3cm C．13cm D．14cm 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是xcm，得到3＜x＜13，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边长是xcm， 由三角形三边关系定理得：8﹣5＜x＜8+5， ∴3＜x＜13， ∴第三边长可以是6cm， 故选：A． 教学提示：先写3<x<13，再让学生口述端点3与13为什么都要排除，强化严格不等号。 即时巩固2．（2024秋•东莞市期末）·【基础】三角形的三边长可以是（　　） A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得出答案．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【解答】解：A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意； B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意； C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意； D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形； 故选：D． 教学提示：把5、12、13与5、12、7对比板演，突出5+7=12与5+12>13的差别。 即时巩固3．（2024•田阳区二模）·【基础】下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【解答】解：A．∵3+2＜6，∴不能构成三角形； B．∵3+6＞8，∴能构成三角形； C．∵8+10＞16，∴能构成三角形； D．∵12+9＞15，∴能构成三角形． 故选：A． 教学提示：本题问的是不能组成，先让全班齐读设问方向，再动笔计算，避免审反。 即时巩固4．（2024秋•三台县期末）·【基础】已知△ABC的两边长分别为2和n+2，则能使得第三边长取到10的最小正整数n是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到6＜n＜10，即可得到答案． 【解答】解：设三角形的第三边长是x， 由三角形三边关系定理得：n+2﹣2＜x＜n+2+2， ∴n＜x＜n+4， ∵第三边长取到10， ∴n＜10＜n+4， ∴6＜n＜10， ∴能使得第三边长取到10的最小正整数n是7． 故选：C． 教学提示：先把第三边10固定，列2+(n+2)>10，再让学生说明为什么只列这一组不等式就够。 即时巩固5．（2024秋•宁阳县期末）·【基础】现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 【分析】先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜x＜5+2，计算出x的取值范围，然后可确定答案． 【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得： 5﹣2＜x＜5+2， 3＜x＜7， ∴5cm符合题意， 故选：C． 教学提示：四个选项逐个代回检验，板演时把不满足的那组不等式完整写出来，不留空白推理。 即时巩固6．（2025秋•绥滨县期中）·【基础】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（　　） A．3cm 3cm 6cm B．2cm 10cm 13cm C．8cm 7cm 15cm D．4cm 5cm 6 cm 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：A、3+3＝6，不能组成三角形； B、2+10＜13，不能组成三角形； C、8+7＝15，不能组成三角形； D、4+5＞6，能组成三角形． 故选：D． 教学提示：每组只查两短边之和与最长边的关系，比完重点追问3、3、6这一组为什么不行。 即时巩固7．（2024秋•斗门区期末）·【基础】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．8，3，5 C．3，4，8 D．4，4，8 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、3+4＞5，能摆成三角形，故A符合题意； B、3+5＝8，不能摆成三角形，故B不符合题意； C、3+4＜8，不能摆成三角形，故C不符合题意； D、4+4＝8，不能摆成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 教学提示：重点讲3+4=7<8与4+4=8两组，都是差一点的临界陷阱，建议用木棒实物演示。 即时巩固8．（2024秋•英山县期中）·【基础】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．13，11，20 B．3，7，10 C．6，8，16 D．3，3，7 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、∵13+11＞20， ∴长度为13，11，20的三根小木棒，能摆成三角形，本选项符合题意； B、∵3+7＝10， ∴长度为3，7，10的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、∵6+8＜16， ∴长度为6，8，16的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、∵3+3＜7， ∴长度为3，3，7的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 故选：A． 教学提示：先让学生排除3、7、10这一组，再总结两短边之和等于最长边这一通用陷阱。 即时巩固9．（2024秋•确山县期中）·【基础】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19 【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【解答】解：由3，4，8，可得3+4＜8，故不能组成三角形； 由5，6，11，可得6+5＝11，故不能组成三角形； 由6，6，6，可得6+6＞6，故能组成三角形； 由9，9，19，可得9+9＜19，故不能组成三角形； 故选：C． 教学提示：6、6、6是等边三角形，顺势复习相等三边必能围成，再与9、9、19对比。 易错点2：第三边范围取等号或整数漏数 学习目标 · 能写出第三边的取值范围 · 能判断端点能否取到 · 能完整枚举范围内的整数解 纠错指引 第三边 x 满足两边之差 < x < 两边之和，两端都是严格不等号（取等号时三点共线）；数整数解时两端都不算。 精讲例题 例题2．（2020秋•大新县期中）·【基础】在三角形ABC中，AB＝2，BC＝5，则AC的取值范围是　 　 ． 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 5﹣2＜AC＜5+2． 即AC的取值范围是3＜AC＜7． 教学提示：板演5−2<AC<5+2，用彩色笔标出两个不等号，强调端点取到时三点共线。 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 把范围写成3≤AC≤7 · 忘记端点不能取等号 · 整数解只数了一端 即时巩固 即时巩固10．（2025春•崇明区期末）·【基础】有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 　 　 个不同的三角形． 【分析】根据三角形三边关系，边两边之和大于第三，可解题． 【解答】解：（1）当取4cm、7cm，8cm三条线段时，∵4+7＝11＞8，8﹣4＝4＜8，故能构成三角形； （2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时，∵4+7＝11＝11，故不能构成三角形； （3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时，∵4+8＝12＞11，11﹣4＝7＜8，故能构成三角形； （4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时，∵7+8＝15＞11，11﹣7＝4＜8，故能构成三角形． 故答案为：3． 教学提示：先列出从4条线段中取3条的全部选法，逐一检验，强调能组成几种要数完不重不漏。 即时巩固11．（2018秋•天津期末）·【基础】已知三角形的两边长分别是7和10，则第三边长a的取值范围是　 　 ． 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题． 【解答】解：∵三角形的两边长分别是10和7， ∴第三边长a的取值范围是3＜a＜17． 故答案为：3＜a＜17． 教学提示：直接套两边之差<a<两边之和，让学生口述公式来历，再说明端点为何排除。 即时巩固12．（2023春•江都区期中）·【基础】三角形两条边分别是2、4且第三条边的长为整数，则构成这样的三角形个数有 　 　 个． 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【解答】解：∵三角形两条边的长分别是2、4， ∴4﹣2＜第三边＜4+2， 即：2＜第三边＜6； 所以第三边可以为3，4，5，共组3个三角形， 故答案为：3． 教学提示：先写2<c<6，再数整数3、4、5共三个，追问2与6这两个端点为什么不算。 即时巩固13．（2022春•子洲县期末）·【基础】已知某三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长可能是 　 　 ．（写出一个即可） 【分析】根据三角形的三边关系得出第三边的范围，进而得到答案． 【解答】解：设第三边的长为x， 则9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13， ∴第三边的长可能是8， 故答案为：8（答案不唯一）． 教学提示：开放题先给范围5<c<13，再让不同学生报不同答案，逐一验证是否都成立。 即时巩固14．（2023秋•新城区校级月考）·【基础】三角形的三边长分别为5，1+x，8，则x的取值范围是 　 　 ． 【分析】根据三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边列式计算即可． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，1+x，8， ∴8﹣5＜1+x＜8+5， 解得：2＜x＜12， 故答案为：2＜x＜12． 教学提示：把1+x当作未知边，两边之差与两边之和都要考虑，列8−5<1+x<8+5再解。 即时巩固15．（2020秋•肥东县期末）·【基础】△ABC的三边长分别为1，3，x，且x为整数，则x的值是　 　 ． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：根据三角形三边关系， ∴三角形的第三边x满足：3﹣1＜x＜3+1，即2＜x＜4， ∵x为整数， ∴x＝3， 故答案为：3． 教学提示：先得2<x<4，指出整数解只有3，再回代检验1、3、3能否围成三角形。 即时巩固16．（2021春•武侯区校级月考）·【基础】在△ABC中，a＝4cm，b＝2cm，若第三边c的长是偶数，则该三角形周长是 　 　 cm． 【分析】先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长． 【解答】解：∵△ABC中，a＝4cm，b＝2cm， ∴4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6， 又∵第三边c的长是偶数， ∴c＝4cm， ∴△ABC的周长为2+4+4＝10（cm）． 故答案为：10． 教学提示：先得2<c<6，偶数只能取4，再算周长，提醒别把端点c=2也数进来。 即时巩固17．（2021春•汝阳县期末）·【基础】从3cm、4cm、5cm、7cm的四根小棒中任取三根，能围成　 　 个三角形． 【分析】三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行判断． 【解答】解：3cm、4cm、5cm和7cm的四根木棒中，其中共有以下方案可组成三角形： 取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形； 取3cm，5cm，7cm；由于7﹣3＜5＜7+3，能构成三角形； 取4cm，5cm，7cm；由于7﹣4＜5＜7+4，能构成三角形． 所以有3种方法符合要求． 故答案为：3． 教学提示：枚举从4根小棒中取3根的全部组合并列表，重点核对3、4、7这组为什么不行。 即时巩固18．（2022秋•交城县期中）·【基础】在△ABC中，若AB＝4，BC＝2，且AC的长为偶数，则AC＝　 　 ． 【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【解答】解：因为4﹣2＜AC＜4+2， 所以2＜AC＜6， 因为AC长是偶数， 所以AC为4， 故答案为：4． 教学提示：先得2<AC<6，偶数解只有4，板演时把端点排除的理由写在不等式旁边。 即时巩固19．（2019秋•天山区校级期中）·【基础】要将三根木棒首尾顺次连接围成一个三角形，其中两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第3根木棒，且第3根木棒的长取偶数时，则有　 　 种情况可以选取． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断即可． 【解答】解：设第3根木棒的长为x，则2＜x＜12， 又∵第3根木棒的长取偶数， 则第3根木棒的长可能是4，6，8，10，四种情况． 故答案为：4． 教学提示：先得2<c<12，再数偶数4、6、8、10共四种，提醒两端不取、逐个数完。 易错点3：三边关系与代数式化简混用 学习目标 · 能用三边关系判断代数式正负 · 能正确去掉绝对值符号 · 能联立方程后回代检验 纠错指引 去绝对值前先定号：由两边之和大于第三边得 a+b−c>0，由 b+c>a 得 a−b−c<0，定号后再合并同类项。 精讲例题 例题3．（2022秋•新市区校级期中）·【基础】已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|的结果为　 　 ． 【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c及a﹣b﹣c的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c） ＝a+b﹣c+a﹣b﹣c ＝2a﹣2c． 故答案为：2a﹣2c． 教学提示：先带学生分别判断两个绝对值内式子的正负，再动手去符号，禁止跳步口算。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 判错a−b−c的正负 · 去绝对值忘记变号 · 解完方程不回代检验 即时巩固 即时巩固20．（2022春•浚县校级期末）·【基础】若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：解方程组，得， 则4﹣1＜c＜4+1，即3＜c＜5， ∵周长为整数， ∴c＝4， ∴三角形的周长＝4+4+1＝9． 教学提示：先由方程解出a、b，再用三边关系限定c的范围，最后用周长为整数这一条件筛选。 即时巩固21．（新教材同步题）·【提升】△ABC的周长是22cm，AB边的长是AC边的1.5倍，BC边的长比AC边多1cm，求△ABC的三边长． 【分析】首先利用一个未知数表示出各边长，进而得出等式求出各边长即可． 【解答】解：设AC＝xcm，则AB＝1.5xcm，BC＝（x+1）cm， ∵AB+BC+AC＝22， ∴1.5x+x+1+x＝22， 解得；x＝6， ∴AC＝6cm，AB＝9cm，BC＝7cm． 教学提示：设AC=x列方程，解完后必须回代三边关系检验，确认这三条边真能围成三角形。 易错点4：数三角形时漏数或多数 学习目标 · 能识别三点共线不能成三角形 · 能按固定边或顶点有序枚举 · 能复核总数避免重复 纠错指引 先排除共线的三点组合，再按「固定一边」或「固定顶点」分类枚举，数完用组合数核对一遍，做到不重不漏。 精讲例题 例题4．（2023秋•琼海校级期末）·【基础】过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　 　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 【分析】（1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再A、B、D、E中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【解答】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个； （2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个． 故答案为：（1）3，（2）6． 教学提示：先让学生标出共线的三点，再按固定一边与固定顶点两种口径分别计数并核对。 易错倾向标签：易漏解｜易看错 【本题核心易错点】 · 把共线三点也算成三角形 · 同一个三角形重复计数 · 换个口径就漏数 即时巩固 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形． 【分析】分别找出图中的三角形即可． 【解答】解：图中共有7个，△ABC，△ABD，△ACD，△BCD，一共4个． 教学提示：要求把每个三角形用三个字母写出来，写全才算数，训练有序枚举的习惯。 易错点5：中线面积折算漏掉一层 学习目标 · 能说清中线平分三角形面积 · 能按等底同高逐层折算面积 · 能处理多次取中点的面积链 纠错指引 抓住「中线把面积二等分」逐级折半：每多取一次中点就再乘一次二分之一，遇到非等分点时改用底边比定面积比。 精讲例题 例题5．（2026春•和平区校级期中）·【基础】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，则△BDE的面积是（　　） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由AD是△ABC的中线求出△ABD的面积，再由BE是△ABD的中线求出△BDE的面积． 【解答】解：由S△ABC＝30，AD为△ABC的中线， 得：， 同理可得，． 故选：C． 教学提示：板演两级折半30到15再到7.5，让学生说出每一级用的是哪一条中线。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 中线折半后层数数错 · 把线段比直接当面积比 · 比例关系上下颠倒 即时巩固 即时巩固23．（2025秋•喀什地区期末）·【基础】如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C． D． 【分析】根据三角形的中线平分其面积计算即可． 【解答】解：∵点D是边BC的中点， ∴S△ABDS△ABC，S△ACDS△ABC， ∵S△BDES△ABDS△ABC，S△CDES△ACDS△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDES△ABCS△ABCS△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S阴影S△BCES△ABC4＝1（cm2）． 故选：B． 教学提示：带着学生逐层标出每次取中点后的面积折半关系，再从已知面积倒推阴影部分。 即时巩固24．（2025秋•湘西州期末）·【提升】如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据中点的定义和“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵点F是BE的中点，S△BFD＝1， ∴BF＝EF， ∴S△DEF＝S△BFD＝1， ∴S△BDE＝S△DEF+S△BFD＝2， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△ABE＝S△BDE＝2， ∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝4， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴S△ACD＝S△ABD＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝8． 故选：B． 教学提示：从已知的小三角形往回倒推，每回推一层乘2，板演时标清层数避免多数或少乘。 即时巩固25．（2025秋•霍邱县校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接CD． ∵D是AG的中点， ∴S△ABDS△ABG，S△ACDS△ACG， ∴S△ABD+S△ACD（S△ABG+S△ACG）S△ABC48＝24， ∴S△BCD＝S△ABC﹣（S△ABD+S△ACD）＝48﹣24＝24， ∵E是BD的中点， ∴S△CDES△BCD24＝12， ∵F是CE的中点， ∴S△DEFS△CDE12＝6． 故选：A． 教学提示：强调G为任意点时结论不变，可把G移到与B重合的极端位置快速验证答案。 即时巩固26．（2025秋•平凉期末）·【提升】如图，△ABC中，D为BC中点，E为AC中点．若△ABC面积为8，则△DCE面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵D为BC中点， ∴S△ACDS△ABC， ∵E为AC中点， ∴S△DCES△ACDS△ABC8＝2． 故选：C． 教学提示：先由中线CD折半，再由E为中点折半，提示学生画两层箭头标注面积流向。 即时巩固27．（2026春•天桥区期末）·【提升】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接AD． ∵D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵E是AD的中点， ∴S△BDES△ABDS△ABC，S△CDES△ACDS△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDES△ABC， ∵F是CE的中点， ∴S阴影S△BCES△ABC＝1（cm2）． 故答案为：1． 教学提示：把三层中点关系画成面积树状图，让学生按图逐级折算，减少心算出错。 即时巩固28．（2026春•沙坪坝区校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为AB上一点，连接CE交AD于F．若CF＝3EF，S△AEF＝1，则S△ABC＝ 　 　 ． 【分析】连接DE，S△DEF＝S，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用S表示出来，求出S，从而求出三角形ABC的面积即可． 【解答】解：如图，连接DE． 设S△DEF＝S， ∵CF＝3EF， ∴S△ACF＝3S△AEF＝3，S△CDF＝3S△DEF＝3S， ∵点D为BC中点， ∴S△BDE＝S△CDE＝S+3S＝4S， ∴S△ABD＝S△ACD，即1+S+4S＝3+3S， ∴S＝1， ∴S△ABC＝1+3+S+3S+4S＝4+8S＝4+8×1＝12． 故答案为：12． 教学提示：由CF=3EF得EF与EC的比为1比4，先求△AEC再乘2，注意比例不要写倒。 即时巩固29．（2026春•双流区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，若点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴S△ACDS△ABC12＝6， ∵点E是AD的中点， ∴S阴影S△ACD6＝3． 故答案为：3． 教学提示：两级中点即两次折半，板演时把每次折半对应的三角形圈出来，避免跳级。 即时巩固30．（2026春•宝山区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，CF＝2EF，如果阴影部分△BEF的面积为2，那么△ABC的面积是 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵CF＝2EF， ∴S△BCF＝2S阴影， ∴S△BCE＝3S阴影， ∵点D是BC的中点， ∴S△BDES△BCES阴影， ∵点E是AD的中点， ∴S△ABE＝S△BDES阴影， ∴S△ABD＝S△ABE+S△BDES阴影S阴影＝3S阴影， ∵点D是BC的中点， ∴S△ACD＝S△ABD＝3S阴影， ∵S阴影＝2， ∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝3S阴影+3S阴影＝6S阴影＝6×2＝12． 故答案为：12 教学提示：由CF=2EF得EF与EC的比为1比3，倒推△BEC，再两级折半回到△ABC。 即时巩固31．（2025春•沙坪坝区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，E是BC上的一点，连接AE交CD于点F，若AF＝3EF，记△AFC的面积为S1，四边形BEFD的面积为S2，则的值为 　 　 ． 【分析】连接BF，设S△ADF＝S，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各部分三角形的面积表示出来并得到两个等式，消去S得到S1和S2的数量关系，从而求出的值即可． 【解答】解：如图，连接BF． 设S△ADF＝S， ∵CD是△ABC的中线， ∴S△BDF＝S△ADF＝S， ∵S四边形BEFD＝S2， ∴S△BEF＝S2﹣S， ∵S△AFC＝S1，AF＝3EF， ∴S△CEFS△AFCS1， ∵CD是△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△BCD，即S+S1＝S2S1， ∴S＝S2S1， ∵AF＝3EF， ∴S△ABF＝3S△BEF，即2S＝3（S2﹣S）， ∴SS2， ∴S2S1S2， ∴． 故答案为：． 教学提示：比值题建议设一份面积为x，用字母推演全程，避免被具体数值干扰判断。 即时巩固32．（2025秋•东港区校级月考）·【提升】如图，三角形ABC的面积为16，AD与BF交于点E，且AE＝ED，BD：DC＝3：2，图中阴影部分的面积和 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接DF． ∵AE＝ED， ∴S△ABE＝S△BDE，S△AEF＝S△DEF， ∴S阴影＝S△ABF＝S△BDF（设为S）， ∵BD：DC＝3：2， ∴S△CDFS△BDFS， ∵S△ABF+S△BDF+S△CDF＝S△ABC，即S+SS＝16， ∴S＝6， ∴阴影部分的面积和为6． 故答案为：6． 教学提示：先用AE=ED折半，再用3比2分△BCD，提醒阴影可能是两块面积之和。 即时巩固33．（2025春•工业园区期末）·【提升】如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF．若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线， ∴S△ABD＝S△BCDS△ABC， ∵AE是△ABD的边BD上的中线， ∴S△ABE＝S△ADES△ABDS△ABC，S△CDES△BCDS△ABC， ∴S△ACE＝S△ADE+S△CDES△ABCS△ABCS△ABC， ∵BF是△ABE的边AE上的中线， ∴S△BEFS△ABES△ABC，S△CEFS△ACES△ABC， ∵S△ABC＝16， ∴S阴影＝S△BEF+S△CEFS△ABCS△ABCS△ABC＝6． 故答案为：6． 教学提示：连续三次取中线，让学生依次口述每一级面积，最后连乘核对结果是否自洽。 即时巩固34．（2025秋•牡丹江期中）·【提升】如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点．若△ABC的面积为10，则阴影部分图形的面积为 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接AE、BF、CD． ∵点D是AF的中点， ∴S△ADE＝S△DEF， ∵点E是BD的中点， ∴S△ABD＝2S△ADE＝2S△DEF， 同理可得，S△ACF＝2S△DEF，S△BCE＝2S△DEF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACF+S△BCE+S△DEF＝2S△DEF+2S△DEF+2S△DEF+S△DEF＝7S△DEF＝10， ∴S△DEF， ∴阴影部分图形的面积为． 故答案为：． 教学提示：中点链条较长，建议学生按D到E到F的顺序逐步标注面积，不要跳级心算。 易错点6：高的垂足位置认错 学习目标 · 能认出从顶点向对边作的垂线段 · 能判断垂足是否落在边上 · 能用面积法求斜边上的高 纠错指引 高必须是从顶点向对边所在直线作的垂线段，垂足可以落在边的延长线上；判图时先看是否成直角，再看是否过顶点。 精讲例题 例题6．（2026春•井冈山市期末）·【基础】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC的高． 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 教学提示：四幅图逐一判断是否过顶点、是否垂直，两个条件缺一即错，建议学生用三角板比对。 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 把斜线段当成高 · 没看垂足是否落在边上 · 钝角三角形的高画错边 即时巩固 即时巩固35．（2025秋•绥江县期末）·【基础】下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意； B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意； C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意； D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意； 故选：D． 教学提示：先明确是AC边上的高，必须从点B作垂线，提醒垂足可能落在边的延长线上。 即时巩固36．（2025春•津南区校级月考）·【提升】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，D为垂足． （1）求BD的长． （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图： 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB5， BC•ACAB•CD， 解得CD， 在Rt△BCD中利用勾股定理，得BD， ∴BD的长为． （2）BC•AC3×4＝6． 答：△ABC的面积为6． 教学提示：用面积法求斜边上的高，两直角边乘积的一半等于斜边乘高的一半，先算AB再求CD。 即时巩固37．（2024秋•合江县期末）·【提升】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°，求： （1）△ABE的面积； （2）AD的长． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，再由中线平分三角形的面积计算即可； （2）根据AD是△ABC的高以及三角形的面积公式得到关于AD的方程并求解即可． 【解答】解：（1）∵∠CAB＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm， ∴S△ABCAB•AC6×8＝24（cm2）， ∵AE是△ABC的中线， ∴S△ABES△ABC24＝12（cm2）． （2）∵AD是△ABC的高， ∴S△ABCBC•AD， ∴10AD＝24， ∴AD＝4.8cm． 教学提示：先确认是直角三角形，用面积法求AD，再用中线的等分性质求△ABE的面积。 易错点7：高与角平分线混用算错角 学习目标 · 能区分高、中线、角平分线 · 能先求顶角再算角平分线角 · 能用面积法处理直角三角形的高 纠错指引 先分清三条线段的职责：高给直角、角平分线平分顶角、中线平分对边。求角时先用内角和求顶角，再算角平分线角与直角三角形的锐角。 精讲例题 例题7．（2025秋•剑河县校级期末）·【提升】如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线． （1）若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为 　 　 ． （2）当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）根据三角形平分线、高的定义及三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABF＝2×6＝12． 故答案为：12． （2）∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE∠BAC100°＝50°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°． 教学提示：分三色标出高、角平分线、中线，先求顶角∠BAC，再算两个角的差得∠DAE。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 拿角平分线当高来算角 · 用中线去推角度关系 · 漏掉直角三角形两锐角互余 即时巩固 即时巩固38．（2025秋•运城期中）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在AC边上，从点A向点C以3cm/s的速度移动，点Q在CB边上，以2cm/s的速度从点B向点C移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒． （1）CP＝　 　 cm，CQ＝　 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求当△PCQ的面积为3cm2时，t的值． 【分析】（1）依据题意，由从点A向点C以3cm/s的速度移动，点Q在CB边上，以2cm/s的速度从点B向点C移动，且AC＝6cm，BC＝4cm，可得运动的时间为t秒时，CP＝AC﹣AP＝（6﹣3t）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（4﹣2t）cm，即可得解； （2）依据题意得，△PCQ的面积CP•CQ（6﹣3t）（4﹣2t）＝3，求出t后再结合0≤t≤2，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵从点A向点C以3cm/s的速度移动，点Q在CB边上，以2cm/s的速度从点B向点C移动，且AC＝6cm，BC＝4cm， ∴运动的时间为t秒时，CP＝AC﹣AP＝（6﹣3t）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（4﹣2t）cm． 故答案为：（6﹣3t）；（4﹣2t）； （2）由题意，∵∠C＝90°， ∴△PCQ的面积CP•CQ（6﹣3t）（4﹣2t）＝3． ∴t＝1或t＝3． 又∵6÷3＝4÷2＝2（s）， ∴0≤t≤2． ∴t＝1． 教学提示：先让学生用t表示CP与CQ，再提醒运动停止条件会限定t的取值范围。 即时巩固39．（2025春•定陶区期末）·【提升】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm） 【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， ∵AC＞AB， ∴AC+CD＝60，AB+BD＝40， 即4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm． 教学提示：中线分周长有两种可能，必须分含AB的那段是60还是40两类讨论，最后用三边关系取舍。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 36．（2026春•青浦区期末）·【提升】我们曾经用如图所示方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，你能算出图2的几何体体积是（π取3.14）（　　） A．6280 B．6500 C．6820 D．6028 42．（2025秋•未央区校级月考）·【提升】如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，…，第n次移动到An，则△OA2A100的面积是（　　） A． B．25 C． D．26 55．（2026春•高明区校级期中）·【提升】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上． （1）求四边形ABCD的面积； （2）请利用图形的变换的知识，探究四边形的对角线AC、BD的位置关系，并说明理由． 过关测试（综合检测） 1．（2025春•榆树市期末）·【基础】如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　） A．18m B．26m C．30m D．34m 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得18﹣16＜AB＜16+18，再计算即可得AB的范围． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18﹣16＜AB＜16+18， 即2＜AB＜34， ∴A、B之间的距离不可能是34， 故选：D． 教学提示：结合池塘两岸距离的情境，先得出2<AB<34，再判断哪个选项落在区间之外。 2．（2025秋•秀洲区校级月考）·【基础】已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB＝3，BC＝5，CD＝4，DA＝6，则AC的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【分析】构建△ABC和△ADC，由三角形三边关系确定AC的取值范围，即可获得答案． 【解答】解：在△ABC中，由三角形三边关系可得5﹣3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8，共线时取等号； 在△ADC中，由三角形三边关系可得6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，共线时取等号； 综上所述，可知2≤AC≤8， 结合点A，B，C，D在同一平面内，可得AC的长不可以是10． 故选：D． 教学提示：提醒AC同时属于两个三角形，必须在△ABC与△ACD中都满足三边关系才算成立。 3．（2024秋•巴南区校级期中）·【基础】一个三角形的两边长度分别是4和7，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是（　　） A．12 B．10 C．8 D．4 【分析】设第三边长为x，根据三角形三边长的关系得到7﹣4＜x＜7+4，求出3＜x＜11，即可得到答案． 【解答】解：∵三角形的两边长分别是4和7，设第三边长为x， ∴根据三角形三边长的关系得，7﹣4＜x＜7+4，即，3＜x＜11， ∵第三边长是一个偶数， ∴第三边长是4或6或8或10， ∴第三边长度不可能是12． 综上所述选项A不可能，符合题意， 故选：A． 教学提示：先得3<x<11，再依次列出偶数4、6、8、10，追问12为什么不在范围内。 4．（2026春•宜都市期中）·【提升】将△ABC向右平移4个单位长度得到△DEF，DO＝2，AB＝6，则阴影四边形OCFD的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】由平移的性质可知，S△ABC＝S△DEF，BE＝4，从而得到S阴影四边形OCFD＝S梯形ABEO，由梯形的面积公式求出梯形ABEO的面积即可． 【解答】解：S△DEF＝S△OEC+S阴影四边形OCFD，S△ABC＝S△OEC+S梯形ABEO， ∵将△ABC向右平移4个单位长度得到△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF，BE＝4， ∴S阴影四边形OCFD＝S梯形ABEO， ∵DE＝AB＝6，DO＝2， ∴OE＝DE﹣DO＝6﹣2＝4， ∴S梯形ABEO（OE+AB）•BE（4+6）×4＝20， ∴阴影四边形OCFD的面积是20． 故选：B． 教学提示：先指出平移不改变面积，再把阴影拆成规则图形，用整体减空白的方式求解。 5．（2026春•沈阳期末）·【提升】已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”和垂直平分线的尺规作图法判断即可． 【解答】解：∵S△ABP＝S△ACP， ∴BP＝CP， ∴作BC的垂直平分线与BC的交点即为点P， ∴A符合题意． 故选：A． 教学提示：先问两三角形等高时面积相等意味着什么，再引出在BC上找中点的作图思路。 6．（2025春•庄河市期末）·【提升】已知点A（6，0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y＝10，设△OPA的面积为S，当S＝9时，则点P的坐标为（　　） A．（7，3） B．（13，﹣3） C．（7，3）或（13，﹣3） D．（7，﹣3） 【分析】根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：根据题意，得6y＝9， 解得y＝3， 当y＝3时，得x+3＝10， 解得x＝7， ∴点P的坐标为（7，3）． 故选：A． 教学提示：提醒第一象限这一隐含条件，先解出两组坐标，再判断哪一组必须舍去。 7．（2024春•泰兴市月考）·【提升】在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　 ． 【分析】依据题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6，则AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x，结合能组成三角形，则，从而，计算可以得解，再由D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解，从而可以得解． 【解答】解：由题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6， ∴AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x． 若能组成三角形， ∴． ∴． ∴x． 当D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解． 综上所述，x． 故答案为：x． 教学提示：先用x表示BD与CD的长度，再按x的位置分类讨论，最后把各段范围取交集。 8．（2026春•莲湖区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，AC＝5，S△ABC＝24，CD是边AB上的中线，点P是AC上的动点，则DP的最小值为 　 　 ． 【分析】根据垂线段最短和三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵S△ABC＝24，CD是边AB上的中线， ∴S△ACDS△ABC＝12， 当DP⊥AC时DP的值最小，此时AC•DP＝S△ACD， 即5DP＝12， 解得DP， ∴DP的最小值为． 教学提示：把DP最小转化为垂线段最短，先固定点D，再结合面积求出这条高的长度。 9．（2026春•沙坪坝区校级月考）·【提升】如图，在△ABC中，D、F为BC上的点，且F为BC的中点，BD：DC＝2：3，连接AD，E是AD上的一点，AE：ED＝1：2，连接BE、EF、EC，若S△DEF＝1，则△ABC的面积是　 　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，以及根据不同底等高的三角形面积的比等于底的比即可求解． 【解答】解：∵F为BC的中点， ∴△BEF的面积＝△CEF的面积， 设△BEF的面积＝△CEF的面积＝S， ∵BD：CD＝2：3，S△DEF＝1， ∴，即， ∴S＝5， ∴S△BDE＝5﹣1＝4，S△CDE＝5+1＝6， ∵AE：ED＝1：2， ∴S△ABE4＝2，S△AEC6＝3． ∴S△ABC＝4+6+2+3＝15， 故答案为：15． 教学提示：先处理BD与DC的2比3非等分，再用AE与ED的比定面积，提醒这与中线不同。 10．（2026春•梁平区期末）·【提升】如图，在△ABC中，△ABC的面积为30，BD＝2CD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积为 　 　 ． 【分析】设S△CEF＝a，S△CDF＝b，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含a、b的代数式表示出来，列关于a和b的二元一次方程组并求解，从而求出a+b的值即可． 【解答】解：如图，连接CF． 设S△CEF＝a，S△CDF＝b， ∵点E是AC的中点， ∴S△AEF＝S△CEF＝a， ∵BD＝2CD， ∴S△BDF＝2S△CDF＝2b， ∵S△ABE＝S△BCE， ∴S△ABF＝b+2b＝3b， ∵S△ACDS△ABC＝10，S△ACD＝30﹣10＝20， ∴， ∴， ∴a+b＝7， ∴四边形DCEF的面积为7． 故答案为：7． 教学提示：设未知数列面积方程，先求△ABD与△ACD，再处理交点F对图形的分割比。 11．（2026•碑林区校级三模）·【提升】如图在△ABC中，CE⊥AB于点E，D是CE的中点，若BC＝4，△ABD的面积是3，则△ACD面积的最小值是 　 　 ． 【分析】依据题意，设BE＝x，AE＝y，CE＝h，则x2+h2＝BC2＝16≥2xh，可得xh≤8，结合D是CE中点，可得DEh，从而S△ABDAB×DE（x+y）3，即（x+y）h＝12；S△ACDAE×CDyyh，又（x+y）h＝12，故yh＝12﹣xh，可得S△ACD（12﹣xh）＝3xh≥38＝1，进而可以得解． 【解答】解：由题意，设BE＝x，AE＝y，CE＝h， ∴在Rt△BEC中，x2+h2＝BC2＝16≥2xh． ∴xh≤8． ∵D是CE中点， ∴DEh． ∴S△ABDAB×DE（x+y）3，即（x+y）h＝12； S△ACDAE×CDyyh， ∵（x+y）h＝12， ∴yh＝12﹣xh， ∴S△ACD（12﹣xh）＝3xh≥38＝1． ∴△ACD面积的最小值是1． 故答案为：1． 教学提示：先说明D为中点使两个三角形等底，再用点到直线垂线段最短确定面积最小值。 苏科版2024 · 三角形中的线段和角 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $