第十一章简单几何体（期中知识清单）高二数学上学期沪教版必修第三册

第十一章 简单几何体　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 柱体 1.1 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体，构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点。 示例：长方体、四面体都是由若干三角形或平面多边形包围起来的多面体。 1.2 棱柱 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行。我们把这样的多面体叫做棱柱。那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高。 示例：长方体可看作底面是长方形的直四棱柱。 直棱柱、斜棱柱与正棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，否则称为斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。 示例：底面是正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱是正四棱柱。 注意：棱柱可按照底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。例如斜三棱柱是侧棱不垂直于底面的三棱柱，正六棱柱是底面为正六边形且侧棱垂直于底面的六棱柱。 1.3 圆柱与柱体 将矩形 绕其一条边 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱， 所在直线叫做该圆柱的轴，线段 和 分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面，线段 旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面， 叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即 的长度）叫做该圆柱的高。 示例：易拉罐的侧面展开可看作一个矩形。 注意：圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行。方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体。 1.4 柱体的体积 祖暅原理　夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等。 由祖暅原理可得一般棱柱的体积公式 其中， 为棱柱的底面积， 为棱柱的高。 示例：底面积 、高 的三棱柱，体积 。 用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式 其中， 为圆柱的底面积， 为圆柱的高， 为圆柱的底面半径。 示例：底面半径 、高 的圆柱，体积 。 1.5 柱体的表面积 柱体的表面由底面和侧面组成，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积，其中所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积。 直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长，于是直棱柱的表面积公式为 其中 为直棱柱的底面积， 为底面多边形的周长。 示例：侧棱长 、底面为边长 的菱形的四棱柱，侧面积 。 圆柱的表面积公式为 其中， 为圆柱的底面积， 是圆柱底面的半径， 为圆柱的高。 示例：底面半径 、高 的圆柱，表面积 。 2. 锥体 2.1 棱锥 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥。其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面，不在底面上的棱称为棱锥的侧棱，所有侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 示例：三棱锥由四个三角形围成，它就是四面体。 注意：按照底面多边形的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。三棱锥的每个面都可以作为棱锥的底面，解决问题时具有一定的灵活性。 2.2 圆锥、锥体与台体 将直角三角形 绕其一条直角边 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。其中， 所在直线叫做圆锥的轴，点 叫做圆锥的顶点，直角边 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边 叫做圆锥的母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即 的长度）叫做圆锥的高。 示例：铅锤、金字塔的外形都接近锥体。 注意：圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点。方便起见，我们把棱锥与圆锥统称为锥体。 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体。大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台；如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，其中由正棱锥截得的棱台称为正棱台。 示例：圆台可由直角梯形绕其垂直于底边的腰旋转一周得到。 2.3 锥体的体积 任一棱锥的体积都是与它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式 其中， 为棱锥底面的面积， 为棱锥的高。 示例：底面边长 的正方形、高 的四棱锥，体积 。 利用棱锥的体积公式和祖暅原理，可以进一步得出圆锥的体积公式 其中， 为底面半径。 示例：底面半径 、高 的圆锥，体积 。 2.4 锥体的表面积 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为 。如果棱锥底面多边形的周长是 ，底面面积是 ，那么 示例：底面边长 、斜高 的正三棱锥，侧面积 。 对于圆锥，将其沿一条母线剪开，侧面展开图是一个以圆锥母线 为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长。设圆锥的底面圆半径为 ，则 示例：底面半径 、母线 的圆锥，表面积 。 3. 多面体与旋转体 3.1 多面体 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体。一般地，一个 棱锥有一个底面和 个侧面，所以是 面体； 棱柱或 棱台有两个底面和 个侧面，所以是 面体。一个多面体至少有四个面，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥。 示例：三棱锥有一个底面和三个侧面，是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体。 3.2 正多面体 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体。 正多面体共有五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 示例：正方体的六个面都是全等的正方形，每个顶点都有 条棱，是正多面体。 3.3 旋转体与旋转面 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体，这条直线叫做该旋转体的轴。 示例：矩形绕其一边旋转得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转得到圆锥。 一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面。 示例：一条直线 绕同一平面内的另一条直线 旋转一周，当 与 平行时得到的是圆柱面，当 与 相交（但不垂直）时得到的是圆锥面，直线 称为圆柱面或圆锥面的母线。 4. 球 4.1 球与球面 将圆心为 的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球 。半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面，点 到球面上任意一点的距离都相等，点 叫做球心，把原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径。 示例：足球、篮球、乒乓球的形状都是球体。 4.2 球的截面 用一个平面截球，平面与球面的交线是一个圆。特别地，若平面经过球心，此时的截面称为球的大圆；为了区分，也把球的非大圆截面称为小圆。 示例：过球心的平面截球得到大圆，其半径等于球的半径；不经过球心的平面截球得到小圆。 注意：球心到截面的距离越大，截面圆越小，平面经过球心时截面圆最大。 4.3 球的体积 球的体积公式为 其中 是球的半径。 示例：半径 的球，体积 。 4.4 球的表面积 以 为半径的球面面积是 示例：半径 的球，表面积 。 注意：球面面积与球的体积之间有如下关系：，据此可由体积公式推出球面面积公式。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 等底等高的柱体体积相等 由祖暅原理，夹在两个平行平面间、被平行于底面的平面截得的截面面积都相等的两个柱体，体积相等。特别地，等底等高的棱柱与圆柱体积相等。 1.2 等底等高的锥体体积相等 等底等高的两个锥体体积相等（由祖暅原理可得），这是把棱锥分割为三棱锥、推导锥体体积公式的基础。 1.3 平行于底面的截面面积比等于高的比的平方 用平行于锥体底面的平面截锥体，若截得的小锥体与原锥体的高分别为 、，则它们的底面面积之比 。 1.4 球的截面半径公式 球心 到截面的距离为 、球的半径为 ，则截面圆半径 。 1.5 圆锥侧面展开扇形的圆心角 圆锥侧面展开图是扇形，扇形圆心角 （弧度），其中 为底面半径， 为母线长。 1.6 台体的体积公式 台体上、下底面积分别为 、，高为 ，则 。 1.7 简单多面体的欧拉公式 简单多面体的顶点数 、棱数 与面数 满足 。 1.8 长方体（正方体）的外接球半径 长、宽、高分别为 、、 的长方体，其外接球半径 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求几何体体积的三种途径 直接套公式、分割补形、等积变换三条途径。求三棱锥体积时可换底，选底面积与高都易求的面作底面。如求三棱锥 体积时，若 垂直于底面 ，则取 为底、 为高。 2.2 求点到平面距离的等体积法 把所求距离当作某个三棱锥的高，用 与另一组易求的底和高建立等式。如正方体中求顶点到截面距离，先算三棱锥体积再反求高。 2.3 求表面积用侧面展开法 把几何体侧面沿母线（或棱）剪开展成平面图形，用展开图求侧面积。如圆锥侧面展开为扇形、圆柱侧面展开为矩形、直棱柱侧面展开为一个矩形。 2.4 求曲面上最短路径用展开图 把曲面沿母线展开成平面，曲面上两点间的最短路线化为展开图中两点的直线段。如圆锥侧面上从一点绕一周回到自身的最短绳长，等于展开扇形中两点间的弦长。 2.5 求球截面问题构直角三角形 过球心、截面圆心与截面圆周上任意一点构成直角三角形，用 求解，其中 为球心到截面的距离。 3. 截面 / 展开 / 等积变换小技巧 技巧 要点 示例 换底求体积 三棱锥任一面都可作底面，选使高易求的面作底 侧棱垂直底面时取该底、该侧棱为高 割补法 不规则几何体分割成或补成规则柱锥体再求 正六棱柱可割成 个全等的三棱柱 侧面展开定圆心角 圆锥展开扇形弧长等于底面周长，据此求 平行截面比例 平行于底面的截面面积比等于对应高的比的平方 平分锥体高时截面面积为原底面面积的 4. 常见考试模型 4.1 外接球模型 公式：长方体（含正方体）外接球半径 （、、 为长、宽、高）；直棱柱、对棱相等的几何体可补成长方体求外接球。 限定：长方体的体对角线即外接球直径。 示例：如正方体棱长为 ，外接球半径 。 4.2 表面爬行最短路径模型 公式：把几何体表面（或侧面）沿棱、母线展开成平面，最短路径为展开图上两点间的线段长。 限定：绕 周需把侧面展开 份；展开后起点与终点必须落在同一平面图形内。 示例：如圆锥底面半径 、母线 ，绕侧面一周的最短路径为展开扇形中两点间的弦长。 4.3 体积定值 / 最值模型 公式：体积 （锥体）或 （柱体）；求最值时把目标量表示为单变量的函数再讨论。 限定：注意边长、高、半径等须为正的实际限制。 示例：如三棱锥的顶点在一条与底面平行的棱上移动时，其体积为定值。 4.4 内切球模型 公式：存在内切球的多面体，内切球半径 满足 （ 为多面体表面积），由体积与表面积反求 。 限定：仅适用于存在内切球的几何体（如正多面体、正棱锥、正棱柱等）。 示例：如正三棱锥内切球半径由 求得。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求锥体体积时漏乘 典例：已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，求它的体积。 错解：。 正解：。 原因：把柱体体积公式 直接套用到锥体上，忘记了锥体体积是同底等高柱体体积的 。根源是公式记忆不牢，见到底面积乘高就顺手相乘，忽略了 这个系数。凡求棱锥、圆锥体积，都要先确认”是不是锥体”，锥体一律乘 。 易错点 2：求表面积时漏加底面积，把侧面积当表面积 典例：底面半径 、母线长 的圆锥，求它的表面积。 错解：。 正解：。 原因：混淆了”侧面积”与”表面积”两个概念。表面积是侧面积与底面积之和，学生只算了展开后扇形（侧面）的面积，漏掉了底面圆。凡求”表面积”，都要先拆成”侧面＋底面”，逐块相加；柱体还需注意底面有两个。 易错点 3：球截面问题中半径关系搞反 典例：球心到截面的距离为 ，球的半径为 ，求截面圆的半径。 错解：。 正解：球半径 、球心距 、截面圆半径 满足 ，故 。 原因：没认清直角三角形中谁是斜边。过球心 、截面圆心 与截面圆周上一点 构成的直角三角形中，（球半径）是斜边，（球心距）与 （截面半径）是两条直角边，应为 。学生把 当成斜边，导致加号、减号颠倒。可借助”球心距越大，截面越小”来检验： 增大时 应变小，只可能是 。 易错点 4：混淆正棱锥的斜高、侧棱与高 典例：正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，求它的斜高。 错解：斜高等于高，故斜高为 。 正解：底面正三角形中心到边的距离 ，由高 、中心到边的距离 与斜高 构成直角三角形，得 。 原因：三个概念混淆。斜高是侧面等腰三角形底边上的高，高是顶点到底面的距离，侧棱是侧面等腰三角形的腰，三者一般互不相等。学生把”顶点往下垂”都当成同一个长度。求斜高时，应在底面上先作中心到边的垂线段（正多边形的内切圆半径），再与高构成直角三角形，用勾股定理求解。 易错点 5：侧面展开求最短路径时，绕行周数决定展开份数 典例：圆锥底面半径 、母线长 ，求底面圆周上一点 沿侧面绕两周回到 的最短距离。 错解：只展开一份侧面，把”绕两周”当作”绕一周”处理。 正解：绕一周对应展开一份侧面，绕两周需展开两份侧面（两个全等扇形拼在一起）。每份扇形圆心角 ，两份共 ，最短距离为展开图上相距 两点的弦长 。 原因：忽略”绕行周数”这个隐含条件。侧面展开一次只对应绕侧面一周，绕 周必须把侧面连续展开 份，再在展平后的图形上连直线段。学生只想到”展开→连直线”，漏掉了周数对展开份数的影响。 易错点 6：外接球问题中直径与半径混淆 典例：长方体的长、宽、高分别为 、、，求它的外接球半径。 错解：体对角线长 ，即外接球半径 。 正解：长方体的体对角线是外接球的直径，故半径 。 原因：没有分清”直径”与”半径”。长方体八个顶点都在球面上，体对角线恰为球的一条直径，求出对角线长度后应除以 才是半径。学生把求出的对角线长度直接当作半径。凡由”体对角线是直径”反求半径，都要记得除以 。 学科网（北京）股份有限公司 $