精品解析：山东青岛西海岸新区第六初级中学2026-2027学年第一学期八年级数学第一次学情诊断

2026—2027学年第一学期八年级数学学科第一次学情诊断 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可． 【详解】在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有，，0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）共3个. 故选C. 【点睛】此题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的定义，属于基础题，要熟练掌握无理数的三种形式，难度一般． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 4. 下列说法正确的是（ ） A. B. 任何数都有算术平方根 C. 立方根等于本身的数只有 D. 的立方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. ，，2 C. ，2， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 6. 若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用及直角三角形边长的分类讨论，解题的关键是分“8为直角边”和“8为斜边”两种情况，结合勾股定理计算第三边长，避免漏解． 已知直角三角形两边长为6和8，需分两种情况：当6和8均为直角边时，用勾股定理求斜边；当8为斜边、6为直角边时，用勾股定理求另一直角边；两种情况的结果均为第三边可能的长度，据此判断选项． 【详解】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)； ②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)． 故第三边长为或． 故选：C． 7. 如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（ ）的红地毯． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. 1 B. a C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 9. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接， ，， ∴， 故选：C． 10. 有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可得一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图， 正方形的面积为， 由勾股定理得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上. 11. 请用“>，=，<”符号比较大小：________； 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 12. 若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解：， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 13. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 14. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标． 【详解】解：长方形对角线的长：=， ∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为． 【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 15. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠可知，结合题意可知，再根据勾股定理得，求出，可得，再根据平行线的性质，进而得出，最后根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】根据折叠可知，则， 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形中折叠问题，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理是求线段长的常用方法． 16. 一辆装满货物、宽为的卡车想要通过如图所示的单向通行的隧道（隧道截面上侧为半圆，下侧为长方形），则卡车的高必须低于______． 【答案】4.1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出当时，的长度，从而求出货车的最大高度． 【详解】解:如图,连接, ∵车宽， ∴欲通过隧道，只要比较距中线处的高度与车高， 在中，, ∴， ∴， ∴卡车装满货物后的高度必须低于． 故答案是：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列各式中x的值： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接开平方，得到两个一元一次方程，进而即可求解； （2）先移项，再开立方，得到一元一次方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 18. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：   ． 19. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】（1） 解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2） 所作三角形如图所示（图不唯一）： 直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 该三角形为直角三角形． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， （1）求x和y的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的应用和以及无理数的估算，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键， （1）分别根据平方根的意义和立方根的运算即可得到答案； （2）先通过估算得到的值，再代入求得的值，从而求得答案． 【小问1详解】 解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 21. 如图，在中，点D在上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，． ∴． ∴．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）1 【解析】 【分析】（1）直接利用分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）利用可得，得到，两边平方得到，最后利用整体代入的方法计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 24. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案； （2）根据完全平方公式变形即可得到答案； （3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案； 【详解】（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，解题关键是根据已知条件找到根式转变完全平方的规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期八年级数学学科第一次学情诊断 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 4. 下列说法正确的是（ ） A. B. 任何数都有算术平方根 C. 立方根等于本身的数只有 D. 的立方根是 5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. ，，2 C. ，2， D. 5，12，13 6. 若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（ ）的红地毯． A. B. C. D. 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. 1 B. a C. D. 9. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　） A. B. C. D. 10. 有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上. 11. 请用“>，=，<”符号比较大小：________； 12. 若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 13. 的平方根是____． 14. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 15. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为________． 16. 一辆装满货物、宽为的卡车想要通过如图所示的单向通行的隧道（隧道截面上侧为半圆，下侧为长方形），则卡车的高必须低于______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列各式中x的值： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） （3） 19. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， （1）求x和y的值； （2）求的平方根． 21. 如图，在中，点D在上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，． ∴． ∴．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． （3）若，求的值． 24. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $