精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区第八中学2026-2027学年八年级上学期 数学阶段性测试 （2026.10）

10月9日初三数学素养成果展示 一、选择题（共10小题） 1. 下列有理式、、、、中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 3. 若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 将x，y分别扩大2倍，再约分可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 4. 若分式的值为，则的值为（    ）． A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的概念，掌握好相关的知识是关键． 分式值要为，需满足分子为且分母不为，据此求解的值． 【详解】解：∵分式的值为 ∴， 由，得， ∴或， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据可以通分得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ） A. 61，63 B. 61，65 C. 63，65 D. 63，67 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴能被和整除， ∵，， ∵，， ∴能被65和63整除， ∴这两个数为：65和63． 故选：C． 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先将化成，再将代入化简即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：B 【点睛】本题考查了代数式的求值以及平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式． 8. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（ ） A. B. 2 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 9. 小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( ) A. x2＋2x＝x(x＋2) B. x2－2x＋1＝(x－1)2 C. x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D. x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1) 【答案】D 【解析】 【分析】表示出不同情况下大长方形的面积，即可得到结果． 【详解】小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式x2+3x+2因式分解的结果为（x+1）（x+2），即x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)． 故选D． 【点睛】本题考查了利用图形进行多项式的因式分解，根据图形的面积关系得到因式分解是解题的关键． 10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道， 实际施工时每天铺设管道， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 设是的三边长，且，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】方程左边分解因式后得到，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 或 ∵是的三边长， ∴，即 ∴， ∴是等腰三角形． 12. 当_________时，分式无意义；使分式有意义的条件为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①当时，分式无意义；②当时，分式有意义． 【详解】解：①当时，分式无意义，即； ②当时，分式有意义，即． 【点睛】本题考查分式的定义，分式有意义的条件是分母不等于零，反之，无意义的条件是分母等于零． 13. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，多项式需满足常数项为平方数且中间项系数为平方根的2倍，由此确定整数的取值． 【详解】解：由完全平方公式，设， 比较系数得，解得， 于是，即， 解得， 因此整数的值有2个， 故答案为：2． 14. 某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的实际应用．设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意得：． 故答案为： 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 【答案】n的值是10或9． 【解析】 【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】由①=1+2得x=1或x=2； 由②=2+3得x=2或x=3； 由③=3+4得x=3或x=4， 可得第n个方程为：x+=2n+1， 解得：x=n或x=n+1， 将变形，(x+3)+=2n+1， ∴x+3=n或x+3=n+1， ∴方程的解是x=n-3，或x=n-2， 当n-3=7时，n=10， 当n-2=7时，n=9， ∴n的值是10或9． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键． 三、解答题 16. 分解因式： （1）； （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）观察两项，公因式是，提取公因式即可求解； （2）三项式，符合完全平方公式，用完全平方公式因式分解即可； （3）用两次平方差公式进行因式分解； （4）先用平方差公式进行因式分解，然后利用合并同类项化简各因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 计算： （1）已知，求的值； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通分化简代数式，再由得出，然后将代入化简后的代数式求解即可； （2）分式混合运算，应先算括号里面，再算除法；除法变乘法，因式分解后约分求解即可． 【小问1详解】 解： ， 由得，把代入原式得 原式； 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解，求出的值后再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 将方程右边分母变号，得， 方程两边同时乘以，得 整理，得， 解得， 检验：当时，， 为原方程的增根，原方程无解． 【小问2详解】 解：， ， 方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 19. 放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的． 【答案】解：小华说：把，看作整体a，b， 设，， ∴ . 【解析】 【分析】把，看作整体a，b，再进一步分解因式即可. 【详解】略 20. 先阅读，再因式分解：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋64因式分解． 【答案】(x2+8+4x)(x2+8−4x) 【解析】 【分析】根据材料得到规律x4＋64=x4+16x2+64−16x2，再进一步计算得到(x2+8)2−(4x)2，即可得到答案. 【详解】x4＋64=x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−16x2=(x2+8)2−(4x)2=(x2+8+4x)(x2+8−4x). 【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，解题的关键是根据材料找出规律再解答． 21. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①， ② （2） 为等腰三角形，理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：①． ②． 【小问2详解】 略 22. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为_________； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为_________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【答案】（1） （2）①； ②解：根据题意，画图如下： ； ③a的长为2，b的长为3 【解析】 【分析】（1）用图形的面积和表示图形的面积，用长乘以宽表示图形的面积，根据面积相等，解答即可； （2）①用图形的面积和表示图形的面积，用长乘以宽表示图形的面积，根据面积相等，解答即可； ②根据，结合图形面积的意义，画图解答即可； ③根据题意，得，把45分解质因数，结合正整数的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得图形的面积为或， 故． 【小问2详解】 ①解：根据题意，得图形的面积为或， 故； ②解：，利用面积的性质，画图即可，图略； ③解：根据题意，得， ， ，a，b均为正整数， 或， 解得或， 不满足a，b均为正整数，故舍去， 满足a，b均为正整数，符合要求， 故a的长为2，b的长为3． 23. 【问题情境】 在学习完全平方公式时，有小组提出如果把公式中的b换成，就会得到． 【理解探究】利用上述方法解决以下问题： （1）已知，求； （2）已知，求； 【拓展应用】 （3）为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，某地计划在两块空地上铺设草坪，两块空地分别为正方形和正方形，且B，C，G在一条直线上，连接，和，已知，图中阴影部分的总面积为，草坪的单价为每平方米2元，求两块正方形草坪的造价之和是多少元？ 【答案】（1）18 （2）8 （3）40元 【解析】 【分析】（1）根据，解答即可； （2）根据，变形计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的面积为，正方形的面积为，根据题意，得，，变形计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，， 不是的根， 的根不为0， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则正方形的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ， 根据题意，得阴影部分的总面积为， ， ， ， ， （元） 故两块正方形草坪的造价之和是40元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月9日初三数学素养成果展示 一、选择题（共10小题） 1. 下列有理式、、、、中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 4. 若分式的值为，则的值为（    ）． A. B. C. 或 D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ） A. 61，63 B. 61，65 C. 63，65 D. 63，67 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（ ） A. B. 2 C. 10 D. 15 9. 小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( ) A. x2＋2x＝x(x＋2) B. x2－2x＋1＝(x－1)2 C. x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D. x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1) 10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 设是的三边长，且，则的形状是_________． 12. 当_________时，分式无意义；使分式有意义的条件为_________． 13. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个． 14. 某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程___________． 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 三、解答题 16. 分解因式： （1）； （2） （3） （4）． 17. 计算： （1）已知，求的值； （2） 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的． 20. 先阅读，再因式分解：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋64因式分解． 21. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 22. 问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为_________； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为_________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 23. 【问题情境】 在学习完全平方公式时，有小组提出如果把公式中的b换成，就会得到． 【理解探究】利用上述方法解决以下问题： （1）已知，求； （2）已知，求； 【拓展应用】 （3）为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，某地计划在两块空地上铺设草坪，两块空地分别为正方形和正方形，且B，C，G在一条直线上，连接，和，已知，图中阴影部分的总面积为，草坪的单价为每平方米2元，求两块正方形草坪的造价之和是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $