精品解析：山东省青岛市黄岛区第六中学2024——2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

八年级第一次单元检测数学试题 1．考试时间：120分钟．总分120分． 2．请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写您的答案． 3．不要在试卷上乱写乱画，不要在标封区填写无关的内容． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：9的算术平方根是． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 在实数，，0，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的知识，熟练掌握无理数的定义和常见形式是解题关键．无限不循环的小数叫无理数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②含有的数，③类似这样规律的数．据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴在实数，，0，，，中，无理数有，，共计2个． 故选：B． 3. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 【答案】B 【解析】 【详解】设原直角三角形的三边长分别是，且， 则扩大后的三角形的斜边长为， 即斜边长扩大到原来的2倍， 故选B. 4. 下列各式中无意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、立方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件以及立方根的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 有意义，故不符合题意； B. 有意义，故不符合题意； C. 因为，所以无意义，故符合题意； D. 因为，所以有意义，故不符合题意． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 实数分为正实数和负实数 B. 带根号的数都是无理数 C. 数轴上的点表示的数不一定是实数 D. 一个无理数与有理数的和还是无理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数和实数的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据无理数和实数的概念即性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 实数分为正实数、0和负实数，故原说法错误，不符合题意； B、如，故带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，不符合题意； C、数轴上的点表示的数一定是实数，原说法错误，不符合题意； D、 一个无理数与有理数的和还是无理数，该说法正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义及运算，根据算术平方根定义及运算法则逐项验证即可得到答案，熟记算术平方根定义及运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A．，计算错误，不符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．负数没有平方根，则计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，，2 B. C. ，1，1 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】A、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意； B、∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项符合题意； C、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意； D、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 8. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 【答案】D 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD， 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长． ∵圆柱的底面周长是30cm，高是40cm， ∴AB2=302+402=900+1600=2500， ∴AB=50（cm）． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 9. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的最长边的长度为（　　） A. 5 B. 4 C. 5或 D. 5或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得：斜边为：， 此时最长边为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件可得，中间小正方形的边长为：；接下来根据，大正方形的面积为求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 化简：__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根等知识，理解并掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．根据算术平方根、立方根的定义和性质，即可获得答案． 【详解】解：，． 故答案为：，． 12. 的平方根是__________，__________． 【答案】 ①. 3或##或3 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和化简绝对值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据算术平方根、平方根和绝对值的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是3或； ． 故答案为：． 13. 的绝对值是_____，的相反数是_____，的倒数是_____． 【答案】 ①. ## ②. ## ③. 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，根据定义结合分母有理化求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 的相反数是， 的倒数是． 故答案为：，，． 14. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据各点在坐标系中的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质把原式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，，； ， = ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数与数轴和二次根式的性质，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 15. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求解； 【详解】解：∵该正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握相关知识是解题的关键． 16. 如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 17. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得，进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案是：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 18. 如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2022个等腰直角三角形的斜边长是__________． 【答案】21011 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，找到规律后即可求出第2022个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】根据勾股定理可得 第1个Rt△ABC的斜边AC=； 第2个Rt△ACD的斜边AD=； 第3个Rt△ADE的斜边AE=； 第4个Rt△AEF的斜边AF=； ...... 第n个等腰直角三角形的斜边=； ∴第2022个等腰直角三角形的斜边=． 【点睛】本题考查了勾股定理及找规律求等腰直角三角形的斜边长，找到规律是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）0 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先将、化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）首先根据完全平方公式进行运算，再相加减即可； （3）首先根据二次根式除法运算法则进行运算，然后相加减即可； （4）首先根据二次根式乘法运算法则进行运算并化简，然后相加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 已知是边上的高，求的长 【答案】 【解析】 【分析】已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高． 【详解】解：中，由勾股定理得 【点睛】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理求出斜边长． 21. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出，，的值进而得出答案． 【详解】解：的平方根是， ， 解得：， 的立方根是2， ， 解得：， ， ， ， ， 的算术平方根为． 【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出，，的值是解题关键． 22. 某单位有一块四边形的空地，，量得个边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草． （1）连接，证明：是直角三角形； （2）若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】（1） 证明：连接，在中， ， 在中， ， ∴， ∴是直角三角形； （2）1080元 【解析】 【分析】（1）先求的长，再使用勾股定理的逆定理即可证明； （2）利用求出面积即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （平方米）， ∴所需费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理和求四边形面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点及运用割补法求面积． 23. 观察如图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ （2）估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间； （3）在数轴上作出此边长的对应点． 【答案】（1）阴影正方形的面积是10，边长是； （2）在3与4之间； （3） 如图， ． 【解析】 【分析】（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长； （2）根据，可以估算出边长的值在哪两个整数之间； （3）因为，所以在数轴上以原点向右数出3个单位（为点作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，求得，最后以点为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，图中阴影正方形的面积是：， 则阴影正方形的边长为：， 即图中阴影正方形的面积是10，边长是； 【小问2详解】 ， ， 即边长的值在3与4之间； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、正方形的面积与边长的关系，解题的关键是明确题意．利用数形结合的思想进行解答． 24. 阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：； 模仿上例完成下列各小题： （1）______； （2）_______ （3）请根据你得到的规律计算下题：（为正整数）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后约分即可； （2）把分子分母都乘以() ，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 25. 有一个直角三角形纸片，，两直角边，． （1）如图1，若将沿着直线折叠，使顶点与点重合，求的长； （2）如图2，若将沿直线折叠，使落在斜边上，且与重合，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质AE=EB，设，则，在Rt△ACE中根据勾股定理即可求得CE的长度； （2）根据折叠的性质CF=FG，再根据等面积法求得CF的长度，即可求得△ACF的面积． 【详解】解：（1）∵将沿着直线折叠，使顶点与点重合， ∴AE=EB，即AE=BC-CE， 又∵，，， 设，则 ∴在Rt△ACE中，根据勾股定理 ,即, 解得，即； （2）∵将沿直线折叠，使落在斜边上，且与重合， ∴CF=FG，，设， ∵，，， 在Rt△ABC中，根据勾股定理 ,即， ，即， 即，解得，即， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠的性质．（1）中，能根据折叠前后对应边相等推出AE=BC-CE是解题的关键；（2）中掌握等面积法是解决此题的关键． 26. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90．，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点0重合，AC=b，BC=a，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t秒，连接OB．    ①若△OAB为等腰三角形，求t的值；    ②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，求出t的值：若不能，说明理由．    【答案】（1）a=3，b=4（2）①t=4或t=1；②能．t=． 【解析】 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出b-4=0 ,a-3=0 ,求解即可得出a,b的值； （2） ①首先根据勾股定理算出AB的长及用含t的式子表示出OA,OB2 ，然后分三类讨论：当OB=AB时；当AB=OA时 ；当OB=OA时 ；一一列出方程求解即可得出t的值； ②能．由于t＞0，点C在OP上，∠ACB  = 90，故只能是∠OBA=90°，根据勾股定理得出关于t的方程求出t的值即可. 【详解】（1）解:∵,， 足， ∴，  ∴a=3，b=4 （2）解:①∵AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵OC=t ∴OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4， 当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）； 当AB=OA时，5=t+4，解得t=1； 当OB=OA时，t2+9=（t+4）2  ， 解得t=-（舍去）． 综上所述，t=4或t=1； ②能． ∵t＞0，点C在OP上，∠ACB  ∴只能是∠OBA=90°， ∴OB2+AB2=OA2  ， 即t2+9+25=（t+4）2  ， 解得t=． ∴Rt△ABC在移动的过程中，能使△OAB为直角三角形，此时t=． 【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义及分类讨论的数学思想.掌握非负数的性质是解（1）的关键，掌握勾股定理及分类讨论的数学思想是解（2）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次单元检测数学试题 1．考试时间：120分钟．总分120分． 2．请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写您的答案． 3．不要在试卷上乱写乱画，不要在标封区填写无关的内容． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 在实数，，0，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 4. 下列各式中无意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 实数分为正实数和负实数 B. 带根号的数都是无理数 C. 数轴上的点表示的数不一定是实数 D. 一个无理数与有理数的和还是无理数 6. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，，2 B. C. ，1，1 D. 7，24，25 8. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 9. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的最长边的长度为（　　） A. 5 B. 4 C. 5或 D. 5或4 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 化简：__________，__________． 12. 的平方根是__________，__________． 13. 的绝对值是_____，的相反数是_____，的倒数是_____． 14. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果是______． 15. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是______． 16. 如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 17. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 18. 如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2022个等腰直角三角形的斜边长是__________． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3）； （4）． 20. 已知是边上的高，求的长 21. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 22. 某单位有一块四边形的空地，，量得个边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草． （1）连接，证明：是直角三角形； （2）若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 23. 观察如图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ （2）估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间； （3）在数轴上作出此边长的对应点． 24. 阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：； 模仿上例完成下列各小题： （1）______； （2）_______ （3）请根据你得到的规律计算下题：（为正整数）． 25. 有一个直角三角形纸片，，两直角边，． （1）如图1，若将沿着直线折叠，使顶点与点重合，求的长； （2）如图2，若将沿直线折叠，使落在斜边上，且与重合，求的面积． 26. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90．，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点0重合，AC=b，BC=a，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t秒，连接OB．    ①若△OAB为等腰三角形，求t的值；    ②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，求出t的值：若不能，说明理由．    第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $