第5讲有理数乘方及混合运算培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第5讲·有理数乘方及混合运算·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数乘方的意义，能准确说出幂的底数、指数及其含义 · 掌握乘方的符号法则，能熟练计算有理数的乘方 · 会用科学记数法表示绝对值大于1的数，并能还原成原数 · 理解近似数与精确度的意义，能按指定精确度取近似数 · 掌握含乘方的有理数混合运算顺序，能运用运算律简化计算 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘方 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作an，读作「a的n次方」，其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂 (-a)n表示n个(-a)相乘，而-an表示an的相反数，二者意义不同，计算时务必分清 乘方符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 1的任何次幂都是1，(-1)n当n为奇数时为-1、当n为偶数时为1 概念辨析例题：下列关于(-2)4的说法中，正确的是（ ） A．底数是2，指数是4　B．计算结果为16　C．结果与-24相等　D．计算结果为-16 答案：B 解析：(-2)4表示4个(-2)相乘，底数是-2，指数是4，结果为(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；而-24表示24的相反数，结果为-16，故B正确。 ☆ 2.科学记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|<10，n为正整数 指数n的确定方法：n等于原数的整数位数减1，例如800000的整数位数为6，则800000=8×105 将科学记数法表示的数还原成原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足时用0补足 概念辨析例题：根据长春市人民政府的信息，2023年末长春市常住人口为910.19万人，将910.19万用科学记数法表示应为（ ） A．9.1019×105　B．9.1019×106　C．9.1019×107　D．9.1019×108 答案：B 解析：910.19万=9101900，整数位数是7，科学记数法中n=7-1=6，且1≤9.1019<10，故910.19万=9.1019×106，选B。 ☆ 3.近似数与精确度 与实际数值接近的数叫做近似数；精确到某一位，看近似数最后一个数字落在原数的哪一位上 用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，就把这一位后面的数字舍去，并对这一位数字按下一位四舍五入 有效数字：从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字，如0.010260有5个有效数字 概念辨析例题：圆周率π=3.1415926…，精确到千分位的近似数是（ ） 答案：3.142 解析：精确到千分位即保留三位小数，看千分位下一位（万分位）是5，向前一位进1，故π精确到千分位的近似数为3.142。 ☆ 4.含乘方的有理数混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号时先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行 灵活运用加法交换律、结合律与乘法分配律，可将复杂的乘方混合运算化繁为简 对于新定义运算，严格按照题目给出的运算规则代入计算，注意符号与括号的处理 概念辨析例题：计算：(-1)2025+(-)3×(-4)2 答案：-9 解析：(-1)2025=-1（负数的奇次幂为负）；(-)3=-；(-4)2=16。原式=-1+(-)×16=-1-2=-9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘方 an=a×a×…×a（n个a相乘） (-a)n与-an意义不同；a1=a 底数与指数 an中a是底数，n是指数，结果是幂 指数n为正整数，底数可为正、负或0 乘方符号规律 正数的幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 0的任何正整数次幂都是0 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n=原数整数位数-1 近似数 四舍五入法取近似数 精确到某一位看下一位；0.010260有5个有效数字 混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减 有括号先算括号；灵活运用运算律 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘方概念与运算（第1-11题） · 分清底数与指数：(-a)n表示n个(-a)相乘，-an表示an的相反数 · 先定符号再算数值：依据底数符号与指数奇偶判断结果正负 · 牢记特殊值：1的任何次幂为1，(-1)n奇负偶正，0的正整数次幂为0 · 涉及归纳的题从简单情形入手，由特殊到一般寻找规律 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川达州·期中）下列各组数中：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中结果相等的组共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是______． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 6．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则__________； 若， 则__________； 7．（26-27七年级上·全国·随堂练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，． 负整数：{_______________…}． 整数：{_______________…}． 正分数：{_______________…}． 9．（25-26七年级上·北京·单元复习）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，． 整数集合；      分数集合； 非负数集合；      自然数集合． 11．（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【考点2】科学记数法与近似数（第12-27题） · 科学记数法确定n：n=原数整数位数-1，且1≤|a|<10 · 还原原数：把a的小数点向右移动n位，位数不足补0 · 判断精确度：看近似数末位数字在原数中所处的数位 · 带单位或带「万」「亿」的数，先统一单位再表示 12．（2024·吉林长春·二模）根据长春市人民政府的信息，2023年末，长春市的常住人口为910.19万人，将910.19万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）经湖南省旅游综合测算，2023年国庆中秋“双节”假日期间湖南省各旅游景点共接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 14．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东济南·中考真题） 截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某天全国约有人在“学习强国”平台上学习，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 18．（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 19．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段检测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为8800000克．那么数据8800000用科学记数法表示为______． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）今年十一黄金周，我国文旅消费潜力得到极大释放，国内旅游出游人数为亿人次，亿用科学记数法表示为______． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）圆周率…精确到千分位的近似数是_______． 22．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）近似数精确到________位． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期末）对于近似数0.010260，它有________个有效数字． 24．（25-26七年级上·河南安阳·期末）田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 25．（22-23七年级上·全国·单元测试）全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示约为___________元．（保留三个有效数字） 26．（24-25七年级下·全国·暑假作业）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为，，则该种保鲜膜的厚度约为______（取，结果精确到）． 27．（2025七年级上·江苏·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)80700000； (2)800000000000； (3)； (4)120万． 【考点3】含乘方的有理数混合运算（第28-49题） · 严格按「先乘方、再乘除、后加减」的顺序计算，有括号先算括号 · 新定义运算：读懂规则，代入数值逐步计算 · 多步计算边算边检查符号，避免负号与括号出错 · 善于运用运算律与凑整，简化计算过程 28．（25-26七年级上·广西玉林·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 29．（24-25七年级下·广东佛山·期末）设，，则选项中最接近的整数为（    ） A． B． C． D． 30．（19-20六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 31．（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 32．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 33．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算：______． 34．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）在有理数范围内定义运算“⊕”，其计算规则为，． （1）计算：________； （2）计算：________． 35．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算：__________． 36．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）计算：_______． 37．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，二进制基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ________．（只填计算结果） 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 39．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 40．（20-21七年级上·河南南阳·期中）在“”“”两个符号中先选一个自己喜欢的符号，填入中的，再直接写出计算结果是___________． 41．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（23-24七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)． 43．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 44．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)； 45．（02第2章有理数单元测试卷）在“+”“”“”“”中选一个自己喜欢的符号，填入中的□，并计算． 46．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 47．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算 (1)； (2) 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 49．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【考点4】程序流程图与有理数计算（第50-52题） · 读懂流程图：明确输入值、每一步运算与输出结果 · 循环型流程注意寻找周期规律（如第n次输出的结果） · 由输出反推输入时考虑多种可能，防止漏解 50．（22-23六年级上·山东东营·期末）下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 51．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ______． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面计算程序中输入的数值为______． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记乘方概念与符号法则，区分(-a)n与-an，先定符号再算数值 · 科学记数法关键是确定n=整数位数-1，并保证1≤|a|<10 · 取近似数先明确精确到哪一位，再看下一位四舍五入 · 混合运算严格按「先乘方、再乘除、后加减」顺序，有括号先算括号 · 新定义运算题先读懂规则再代入，计算过程多复核符号 【作业1】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 【作业2】．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 【作业3】．（22-23七年级上·广西贺州·期中）下列说法正确的是（    ） A．0.780精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．30万精确到个位 【作业4】．（2026·山东菏泽·一模）“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）2025年5月20日至6月20日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策万余条．将万这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【作业6】．（20-21七年级上·江苏镇江·阶段检测）若，则_______； 【作业7】．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【作业8】．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 【作业9】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）_______． 【作业10】．（24-25七年级上·山东济南·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2024次输出的结果是_______ 【作业11】．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【作业12】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约万公顷的速度从地球上消失，“万”用科学记数法表示是______． 【作业13】．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【作业15】．（24-25七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2) 【作业16】．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【作业17】．（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）计算 (1) (2) 【作业18】．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲·有理数乘方及混合运算·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数乘方的意义，能准确说出幂的底数、指数及其含义 · 掌握乘方的符号法则，能熟练计算有理数的乘方 · 会用科学记数法表示绝对值大于1的数，并能还原成原数 · 理解近似数与精确度的意义，能按指定精确度取近似数 · 掌握含乘方的有理数混合运算顺序，能运用运算律简化计算 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘方 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作an，读作「a的n次方」，其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂 (-a)n表示n个(-a)相乘，而-an表示an的相反数，二者意义不同，计算时务必分清 乘方符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 1的任何次幂都是1，(-1)n当n为奇数时为-1、当n为偶数时为1 概念辨析例题：下列关于(-2)4的说法中，正确的是（ ） A．底数是2，指数是4　B．计算结果为16　C．结果与-24相等　D．计算结果为-16 答案：B 解析：(-2)4表示4个(-2)相乘，底数是-2，指数是4，结果为(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；而-24表示24的相反数，结果为-16，故B正确。 ☆ 2.科学记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|<10，n为正整数 指数n的确定方法：n等于原数的整数位数减1，例如800000的整数位数为6，则800000=8×105 将科学记数法表示的数还原成原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足时用0补足 概念辨析例题：根据长春市人民政府的信息，2023年末长春市常住人口为910.19万人，将910.19万用科学记数法表示应为（ ） A．9.1019×105　B．9.1019×106　C．9.1019×107　D．9.1019×108 答案：B 解析：910.19万=9101900，整数位数是7，科学记数法中n=7-1=6，且1≤9.1019<10，故910.19万=9.1019×106，选B。 ☆ 3.近似数与精确度 与实际数值接近的数叫做近似数；精确到某一位，看近似数最后一个数字落在原数的哪一位上 用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，就把这一位后面的数字舍去，并对这一位数字按下一位四舍五入 有效数字：从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字，如0.010260有5个有效数字 概念辨析例题：圆周率π=3.1415926…，精确到千分位的近似数是（ ） 答案：3.142 解析：精确到千分位即保留三位小数，看千分位下一位（万分位）是5，向前一位进1，故π精确到千分位的近似数为3.142。 ☆ 4.含乘方的有理数混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号时先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行 灵活运用加法交换律、结合律与乘法分配律，可将复杂的乘方混合运算化繁为简 对于新定义运算，严格按照题目给出的运算规则代入计算，注意符号与括号的处理 概念辨析例题：计算：(-1)2025+(-)3×(-4)2 答案：-9 解析：(-1)2025=-1（负数的奇次幂为负）；(-)3=-；(-4)2=16。原式=-1+(-)×16=-1-2=-9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘方 an=a×a×…×a（n个a相乘） (-a)n与-an意义不同；a1=a 底数与指数 an中a是底数，n是指数，结果是幂 指数n为正整数，底数可为正、负或0 乘方符号规律 正数的幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 0的任何正整数次幂都是0 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n=原数整数位数-1 近似数 四舍五入法取近似数 精确到某一位看下一位；0.010260有5个有效数字 混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减 有括号先算括号；灵活运用运算律 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘方概念与运算（第1-11题） · 分清底数与指数：(-a)n表示n个(-a)相乘，-an表示an的相反数 · 先定符号再算数值：依据底数符号与指数奇偶判断结果正负 · 牢记特殊值：1的任何次幂为1，(-1)n奇负偶正，0的正整数次幂为0 · 涉及归纳的题从简单情形入手，由特殊到一般寻找规律 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查有理数的加法及乘方运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据有理数的加法及乘方可进行求解． 【详解】解：由题意得； 故选C． 2．（24-25七年级上·四川达州·期中）下列各组数中：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中结果相等的组共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题考查了有理数的乘方运算．分别计算各组数后即可作出判断． 【详解】解：①，，结果不相等，不满足题意； ②，，结果相等，满足题意； ③，，结果不相等，不满足题意； ④，，结果相等，满足题意； ⑤，，结果相等，满足题意． 结果相等的组共有3对， 故选：C 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可，解题的关键是注意符号和运算顺序． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是______． 【答案】8 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据的尾数恒为6，可知中每一项的尾数均为6，则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数，问题随之得解． 【详解】∵的尾数恒为6， ∴中每一项的尾数均为6， 则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数， 即：， ∴位数是8， 故答案为：8． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 6．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则__________； 若， 则__________； 【答案】 2 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数乘方的运算，根据作答即可． 【详解】解： ， ， 若， 则； 若， 则； 故答案为：2，． 7．（26-27七年级上·全国·随堂练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 8．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，． 负整数：{_______________…}． 整数：{_______________…}． 正分数：{_______________…}． 【答案】负整数：{，…}； 整数：{，，，…}； 正分数：{，…}． 【知识点】有理数的分类、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可得出答案，掌握概念是解题的关键． 【详解】解： 负整数：{，…}． 整数：{，，，…}． 正分数：{，…}． 9．（25-26七年级上·北京·单元复习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题考查了有理数的乘除和乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘除和乘方运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，然后计算除法； （2）首先计算有理数的乘方，然后计算乘除． 【详解】（1） ； （2） ． 10．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，． 整数集合；      分数集合； 非负数集合；      自然数集合． 【答案】 整数集合：， 分数集合：， 非负数集合：， 自然数集合：． 【知识点】有理数的分类、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的概念和分类是解题的关键．根据有理数的概念和分类解答即可． 【详解】解：，，，，． 11．（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【答案】(1)①<  ②<  ③>  ④>  ⑤> (2)当或2时，；当时， (3)> 【知识点】有理数的乘方运算、归纳与类比 【分析】（1）直接计算每个式子的乘方结果，再比较大小； （2）根据（1）的计算结果，归纳取不同值时与的大小规律； （3）利用（2）中归纳的规律，判断与的大小． 【详解】（1）解：①，故； ②，故； ③，故； ④，故； ⑤，故． （2）解：当时，； 当且为整数时，． （3）解：因为，根据（2）的结论，得． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和归纳推理的方法，掌握通过计算简单情况归纳规律，再用规律解决复杂问题是解题的关键． 【考点2】科学记数法与近似数（第12-27题） · 科学记数法确定n：n=原数整数位数-1，且1≤|a|<10 · 还原原数：把a的小数点向右移动n位，位数不足补0 · 判断精确度：看近似数末位数字在原数中所处的数位 · 带单位或带「万」「亿」的数，先统一单位再表示 12．（2024·吉林长春·二模）根据长春市人民政府的信息，2023年末，长春市的常住人口为910.19万人，将910.19万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：910.19即9101900， ∴， 故选：B． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）经湖南省旅游综合测算，2023年国庆中秋“双节”假日期间湖南省各旅游景点共接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：亿， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：C． 14．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 15．（2024·山东济南·中考真题） 截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 16．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某天全国约有人在“学习强国”平台上学习，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：C． 17．（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 18．（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：亿， ∴． 19．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段检测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为8800000克．那么数据8800000用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）今年十一黄金周，我国文旅消费潜力得到极大释放，国内旅游出游人数为亿人次，亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：亿 ． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）圆周率…精确到千分位的近似数是_______． 【答案】3.142 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和精确度，理解近似数和精确度的概念是解题的关键； 精确到千分位，即保留到千分位，由于千分位1后面的5大于4，故进1，得3.142. 【详解】圆周率…精确到千分位的近似数是3.142， 故答案为：3.142 22．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）近似数精确到________位． 【答案】万 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数精确到万位． 故答案是：万． 23．（23-24七年级下·上海宝山·期末）对于近似数0.010260，它有________个有效数字． 【答案】5 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查有效数字，对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 【详解】解：对于近似数0.010260，前面两个0不是有效数字，后面1，0，2，6，0均为有效数字，共5个， 故答案为：5． 24．（25-26七年级上·河南安阳·期末）田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 【答案】百万位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题考查精确度，正确掌握相关知识点是解题关键． 数字410.05亿是以亿为单位的数，小数部分0.05亿对应绝对数值的百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：∵ 1亿 ， ∴0.01亿 百万． ∴ 0.05亿 百万． 故410.05亿精确到百万位． 故答案为：百万位． 25．（22-23七年级上·全国·单元测试）全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示约为___________元．（保留三个有效数字） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于423.64亿有11位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与10的多少次方无关． 【详解】解：423.64亿． 故答案为： 26．（24-25七年级下·全国·暑假作业）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为，，则该种保鲜膜的厚度约为______（取，结果精确到）． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，近似数，正确理解题意是解题的关键．先求圆筒状保鲜膜的平均直径，再求处保鲜膜的层数，最后求保鲜膜的厚度即可． 【详解】解：圆筒状保鲜膜的平均直径是， 而保鲜膜的长是， 因此一共有 （层）， 那么该种保鲜膜的厚度就是：． 故答案为：． 27．（2025七年级上·江苏·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)80700000； (2)800000000000； (3)； (4)120万． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：120万． 【考点3】含乘方的有理数混合运算（第28-49题） · 严格按「先乘方、再乘除、后加减」的顺序计算，有括号先算括号 · 新定义运算：读懂规则，代入数值逐步计算 · 多步计算边算边检查符号，避免负号与括号出错 · 善于运用运算律与凑整，简化计算过程 28．（25-26七年级上·广西玉林·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，根据题目给出的二进制与十进制的换算方法，从右往左将二进制的每一位数分别乘以2的对应次方（次方从0开始），再将结果相加即可得到对应的十进制数． 【详解】解： 由题意可得：， 故选：C． 29．（24-25七年级下·广东佛山·期末）设，，则选项中最接近的整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握利用加法的运算律进行简便运算．把已知条件中，的值代入，再利用去括号法则、加法的交换律和结合律进行简便运算即可． 【详解】解：，，      ， ， ， ， ， ， ， 最接近的整数为． 故选：． 30．（19-20六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数是解题的关键．根据乘方的运算法则算出各自的结果，再比较即可得到答案． 【详解】解：A．，，两者不相等，故不符合题意； B．，，两者不相等，故不符合题意； C．，，两者相等，故符合题意； D．，，两者不相等，故不符合题意； 故选：C． 31．（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意代入数据进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故选：C 32．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 33．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算：______． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 34．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）在有理数范围内定义运算“⊕”，其计算规则为，． （1）计算：________； （2）计算：________． 【答案】 5 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确理解新定义，根据定义列出算式计算可得答案，正确掌握有理数混合运算法则是解题的关键 【详解】解：（1） 故答案为：5； （2） 故答案为 35．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算：__________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．注意 等于而不是1． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）计算：_______． 【答案】/ 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解决此题的关键是正确的把分数化简； 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 37．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，二进制基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ________．（只填计算结果） 【答案】100 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 即七进制数202转换为十进制数是100， 故答案为：100． 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 【答案】 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，利用错位相消法解题． 仿照题干中的方法，设和为S，乘以5后相减，消去中间项，即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 两式相减得：， 即， 所以， 故答案为：． 39．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 【答案】2 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：2． 40．（20-21七年级上·河南南阳·期中）在“”“”两个符号中先选一个自己喜欢的符号，填入中的，再直接写出计算结果是___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是关键． 先选择符号，然后按照有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 解：添加的符号“”，则 添加的符号“”，则 ． 41．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）带分数化成两个数的和，再利用乘法分配律简便计算即可求解； （2）逆用乘法分配律简便计算即可求解； （3）先去绝对值符号，再通分，利用同分母的分数的加减法计算即可求解； （4）先计算乘方，再计算乘法，有括号，先计算括号内的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 42．（23-24七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握含乘方的有理数的混合运算法则，即可解题． （2）本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握含乘方的有理数的混合运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 43．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数，定义一种新运算“”．如下，求的值． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据新定义列出算式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 44．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)0 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）按照含有乘方的混合运算法则计算即可； （2）按照含有乘方的混合运算法则计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： = = =． 45．（02第2章有理数单元测试卷）在“+”“”“”“”中选一个自己喜欢的符号，填入中的□，并计算． 【答案】 添加的符号为“+”，则； 添加的符号为“”，则； 添加的符号为“”，则； 添加的符号为“”，则． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，属于基本题目，熟练掌握混合运算的法则是关键． 先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可． 【详解】略 46．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 【答案】（1）129；（2）；（3）①；② 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可； ②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可 【详解】解：（1） （2）， （3）①， ②． 47．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘除法，再计算加减法． （2）先计算乘方，括号里面的，再计算乘法，最后再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据先乘除，再加减的运算顺序求解即可； （2）根据先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【考点4】程序流程图与有理数计算（第50-52题） · 读懂流程图：明确输入值、每一步运算与输出结果 · 循环型流程注意寻找周期规律（如第n次输出的结果） · 由输出反推输入时考虑多种可能，防止漏解 50．（22-23六年级上·山东东营·期末）下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与代数式求值，掌握知识点是解题的关键．根据图表列出代数式，再按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可解答． 【详解】解：依题意，当时，所求代数式为 ． 故选A． 51．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ______． 【答案】// 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据图示的计算过程进行计算，代入x的值一步一步计算可得出最终结果． 【详解】解：输入，， 此时输入，， 此时输入，，输出， 故答案为：． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面计算程序中输入的数值为______． 【答案】4或 【知识点】有理数的乘方运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，从右边往左边反推计算即可． 【详解】解：∵， ∴输入的数值为或， 故答案为：4或． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记乘方概念与符号法则，区分(-a)n与-an，先定符号再算数值 · 科学记数法关键是确定n=整数位数-1，并保证1≤|a|<10 · 取近似数先明确精确到哪一位，再看下一位四舍五入 · 混合运算严格按「先乘方、再乘除、后加减」顺序，有括号先算括号 · 新定义运算题先读懂规则再代入，计算过程多复核符号 【作业1】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案． 【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意； B、的计算结果为，故此选项说法错误，不符合题意； C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意； D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【作业2】．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度个数即对十分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】解：精确到个位，则近似值为1079， 故选：C． 【作业3】．（22-23七年级上·广西贺州·期中）下列说法正确的是（    ） A．0.780精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．30万精确到个位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字．近似数和有效数字的定义：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．此题根据近似数和有效数字的定义分别进行判断，即可求出答案． 【详解】A、近似数0.780精确到千分位，原说法错误，故此选项不符合题意； B、近似数精确到十位，原说法错误，故此选项不符合题意； C、近似数精确到千位，原说法正确，故此选项符合题意； D、近似数30万精确到万位，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【作业4】．（2026·山东菏泽·一模）“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 【作业5】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）2025年5月20日至6月20日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策万余条．将万这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 先“万”写成，再写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“万”． 故选D． 【作业6】．（20-21七年级上·江苏镇江·阶段检测）若，则_______； 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数．掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，是解决本题的关键．利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到a与b的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业7】．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【详解】解：． 【作业8】．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 【作业9】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）_______． 【答案】0 【知识点】乘方运算的符号规律、含乘方的有理数混合运算 【分析】由的偶次方等于1，的奇次方等于，，可计算，有1006个奇次方，1005个偶次方，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵的偶次方等于1，的奇次方等于， 则， 由次可知有1006个奇次方，1005个偶次方， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，利用的偶次方等于1，的奇次方等于，组合计算是解决问题的关键． 【作业10】．（24-25七年级上·山东济南·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2024次输出的结果是_______ 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算程序依次进行计算每次运算结果即可得解． 【详解】解：第一次：3为奇数，， 第二次：为偶数，， 第三次：为奇数，， 第四次：为偶数，， 第五次：为奇数，， 第六次：为偶数，， 第七次：为偶数，， …… 每6次为一个循环，按照的顺序循环， ∵， ∴第2024次为第338组的第2个， ∴第2024次输出的结果为， 故答案为：． 【作业11】．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【答案】5 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由，列出算式进行运算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：5． 【作业12】．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约万公顷的速度从地球上消失，“万”用科学记数法表示是______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：万， 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算． （1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果； （2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 将，代入得： ； （2）解：先计算括号内的， 将，代入得：， 再计算，将，代入得：． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【作业15】．（24-25七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键． （1）先利用乘法分配律计算括号内的乘法和加减法，再计算括号外的乘方、乘除法即可求解； （2）先计算有理数的乘方运算，再计算绝对值和除法，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业16】．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括乘方及乘法分配律，熟练掌握有理数混合运算的顺序是解题的关键． （1）先将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律将括号内的每一项分别与转化后的数相乘，最后进行加减运算得出结果； （2）先计算整数幂，再进行乘除运算，最后进行加减运算 【详解】（1）原式 （2）原式 ． 【作业17】．（22-23七年级上·新疆博尔塔拉·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）直接运用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业18】．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方和小括号，再计算中括号，然后计算中括号外的乘方，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $