第1讲 有理数的定义及数轴 培优讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第1讲 有理数的定义及数轴 培优讲义 2026-2027 人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数和负数的概念，能判断一个数是正数还是负数，了解负数产生的实际背景 · 能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学与现实生活的联系 · 理解有理数的意义，能对有理数进行正确分类，掌握整数、分数、正数、负数等概念 · 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴 · 能将有理数用数轴上的点表示出来，会利用数轴比较有理数的大小，理解数形结合的思想方法 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前面加上负号「-」的数叫做负数 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界 正负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义 概念辨析例题：在-2，+3.5，0，-，-1.8中，正数有哪些？负数有哪些？ 解析：正数是大于0的数，负数是在正数前面加上负号的数，0既不是正数也不是负数。 ☆ 2.有理数的分类 整数：正整数、0、负整数统称为整数 分数：正分数、负分数统称为分数 有理数：整数和分数统称为有理数 有理数按定义分类：有理数分为整数和分数，整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数 有理数按性质分类：有理数分为正有理数、0、负有理数，正有理数分为正整数、正分数，负有理数分为负整数、负分数 概念辨析例题：把下列各数填在相应的大括号里：-3，0，+5，-2，3.7，-10% 解析：根据有理数的分类标准，先判断每个数属于哪一类，再填入相应的大括号。 ☆ 3.数轴的概念与画法 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 画数轴的步骤：画直线→取原点→规定正方向→选取单位长度 数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 概念辨析例题：下列关于数轴的说法正确的是（ ） 解析：数轴的三要素是原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，判断时要逐一检查。 ☆ 4.数轴的应用 用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 数轴上两点之间的距离：数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值 数轴上的动点问题：结合数轴分析点的运动，利用数形结合的思想解决问题 概念辨析例题：在数轴上表示-3，+2，0，-，并用「<」把它们连接起来 解析：先在数轴上表示出各个数，再根据「右边的数总比左边的数大」比较大小。 📋 知识总结表 概念 定义 注意事项 正数 大于0的数 正数前面的「+」号可以省略 负数 在正数前面加上负号「-」的数 负数前面的「-」号不能省略 0 既不是正数，也不是负数 0是正数和负数的分界 整数 正整数、0、负整数 0是整数，不是正数 分数 正分数、负分数 有限小数和无限循环小数都可以化为分数 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线 三要素缺一不可 【考点1】正负数的定义 · 判断一个数是正数还是负数，关键看它是大于0还是小于0 · 0既不是正数，也不是负数 · 带「+」号的数不一定是正数，带「-」号的数不一定是负数（如-a不一定是负数） · 正负数的概念是相对的，要结合实际背景理解 1．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，据此求解即可． 【详解】解：在数5，，，，，，，，中，正数有5，，，，共4个，负数有，，，，，共5个， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】此题主要考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意这个特殊的数字，既不是正数也不是负数． 【详解】对于甲同学的看法，为正数，所以甲说带有“”号的数是负数是不对的； 对于乙同学的看法，大于的数叫正数，小于的数叫负数，既不是正数也不是负数，所以乙说是正数，不是负数是不对的． 综上，甲、乙两名同学的看法均不对． 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上划斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的两个数分别是（   ） A．22，302 B． C． D．22，305 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量再结合图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，即可得答案． 【详解】解：由图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数， 故表示的是： 表示的是： 故选：B 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，理解题意是解题的关键． 根据题意及负数的表示方法即可即可解答． 【详解】解：由题意可得图片中表示的数为． 故选：C． 5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）中国是最早使用负数的国家．用红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示的数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，由此即可得解． 【详解】解：如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示， 故选：D． 【考点2】相反意义的量与实际应用 · 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正 · 常见的相反意义的量：零上与零下、收入与支出、上升与下降、前进与后退 · 正负数在实际生活中的应用：温度、海拔、盈亏、增长率等 · 理解「基准」的概念，以0为基准，正数表示超过基准，负数表示低于基准 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 【答案】(1) (2)以平均成绩为标准，他们的成绩应分别记为，，，，，，， 【知识点】正负数的实际应用、求一组数据的平均数 【详解】（1）解：这个小组8名男生的平均成绩是 ． 答：这个小组8名男生的平均成绩是． （2）略 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》中记载了我国古代的算筹记数法．为方便理解，本题按其位值思想简化规定如下：记数时把各数位按从左到右排列，每一数位上的数值由该位竖筹的根数直接读出；此外，若在整组算筹的最左端斜放1根筹，表示这组数是一个负数，斜放的这根筹不参与数位计数．某同学摆出的算筹，从左到右依次为：1根斜筹、2根竖筹、3根竖筹．按上述规定，这组算筹表示的负数写成现代数学符号是____________． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【详解】解：由题意，最左端1根斜筹表示该数为负数，负号先记下． 其后从左到右依次是2根竖筹、3根竖筹： 按“每一数位上的数值由该位的筹数直接读出”， 所以这组算筹表示的负数写成现代数学符号是． 8．（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 9．（2025·云南楚雄·中考模拟）某医院为了方便统计患者数目，用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作（   ） A． B．8 C．0 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数表示相反意义的量，增加用正数表示，可得减少的表示方法． 【详解】解：用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作， 故选：D． 10．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）在历史学中，通常以公元元年（即公元年）为界来划分时间．我们可将公元元年前的年份记作负数，例如：公元前年记作“年”，秦于公元前年统一六国，而今年是公元年．关于结论、，下列判断正确的是（     ） 公元年和公元前年是一对具有相反意义的量 公元前年可记作“年” A．、都正确 B．、都不正确 C．只有正确 D．只有正确 【答案】D 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】根据题意公元前年份记作对应负数的规则进行判断即可． 【详解】解：根据题中公元前年份记作对应负数的规则， 公元年和公元前年是纪年时间节点，不属于具有相反意义的量，故错误， 公元前年记作年，故正确． 11．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）《黑神话：悟空》上线后，取景地山西的古建筑吸引了大量游客．若某景区某天的游客人数比前一天增加1200人记作人，则当天的游客人数比前一天减少800人应记作（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】根据具有相反意义的量可以用正数和负数表示求解即可． 【详解】解：根据题意，“增加”记为正，则“减少”记为负， 所以减少800人应记作人． 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（     ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】先根据克的质量标准算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否符合． 【详解】解：合格质量最大值为（克）， 最小值为（克）， 即合格范围为克净重克． A选项，C选项，D选项，均不符合标准； B选项，符合标准． 13．（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）科学家在南极测到的最低气温是零下，记作( )，澳大利亚昆士兰州荒原地表温度最高达到，记作( )． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】以为基准，零下温度记为负数，零上温度记为正数，按规则表示即可． 【详解】解：表示温度时，通常以为基准，约定零下温度记为负数，零上温度记为正数，南极最低气温是零下，记作；荒原地表最高气温是，为零上温度，记作． 14．（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 【答案】米 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】题干规定上升记为正，下降与上升是相反意义的量，按照正负数的表示规则即可得到结果． 【详解】解：∵水位上升米记作米，即上升记为正， ∴水位下降米记作米． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 【答案】（1）；（2）在银行取出3000元；（3） 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． （1）根据上升与下降的意义相反解答即可得； （2）根据存入与取出的意义相反解答即可得； （3）根据超过与低于的意义相反解答即可得． 【详解】解：（1）因为上升与下降的意义相反， 所以如果升降机下降记作，那么上升记作． （2）因为存入与取出的意义相反， 所以如果元表示在银行存入40000元，那么元表示在银行取出3000元． （3）因为超过与低于的意义相反， 所以如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作． 16．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． 【考点3】有理数的定义与分类 · 有理数的分类标准：按定义分类和按性质分类 · 0是整数，是有理数，但0既不是正数也不是负数 · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都是有理数 · 分类时要做到不重不漏，每个数都属于且只属于一类 17．（2025七年级上·山西大同·专题练习）先阅读以下信息，再填空． “五千年很远，山西很近．一砖一瓦皆岁月，一步一景尽风华．”山西作为中国文物大省，素有“地上文物看山西”的美誉．据第三次全国文物普查结果显示，山西的不可移动文物数量多达五万三千八百七十五处，约占全国总量的，居全国第四；其中古建筑28027处，约占全国总数的；全国重点文物保护单位531处，约占全国的，居全国第一、此外，元代及以前木构建筑509处，约占全国的以上；全国仅存3座唐代木构建筑，均位于山西．近年来，山西通过“跟着悟空游山西”等主题线路推广古建文化，多维度创新举措构建了文物保护新格局．2024年国家下拨文物保护资金525000000元，较上一年度增加亿元，增幅达，补助规模、增加额度、增长幅度均为全国第一，为全省文物修缮保护提供了坚实的资金保障． （1）横线上的数五万三千八百七十五写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万． （2）横线上的数读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿． 【答案】 53875 5 五亿二千五百万 【知识点】有理数的定义 【分析】题目主要考查数的认识，数的读写，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意写出相应的数即可； （2）根据题意先读出数，然后写出相应的数即可． 【详解】解：（1）五万三千八百七十五写作53875，省略“万”后面的尾数约是5万； 故答案为：53875；5； （2）读作五亿二千五百万，改写成用“亿”作单位的数是亿， 故答案为：五亿二千五百万；． 18．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）把下列各数填在相应的括号内： ，，，，0， 负有理数： 整数： 非负数： 【答案】；； 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】先化简绝对值，多重符号，有理数的乘方，根据负有理数、整数、非负数、选出即可． 【详解】解：，，， 负有理数：； 整数：； 非负数： 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了有理数分类，解题的关键能掌握有理数的分类． 19．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【答案】A 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，理解有理数的相关定义是解题的关键．先根据正数的定义判断A的正误，再根据非负数是正数或0判断B的正误；再根据有理数也可分成整数和分数判断C，D的正误即可解答． 【详解】解：A．由是正数，故正确，符合题意； B．由为负数，故错误，不符合题意； C．1为整数，故错误，不符合题意； D．因为是分数，故错误，不符合题意． 故选：A． 20．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）在下列8个数 ，12，，0，，， π，3中，整数有（ ）个，负分数有（ ）个，有理数有（  ）个，非负整数有（  ）个． 【答案】4，2，7，3 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，根据整数，负分数，有理数，非负整数的含义即可求解． 【详解】解：数 ，12，，0，，， π，3中，整数有，，，，共4个， 负分数有，，共2个， 有理数有，12，，0，，， 3共7个， 非负整数有，，共3个； 故答案为：4，2，7，3 22．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了整数、正有理数、负有理数的概念，解题的关键是明确各数集的定义，区分有理数与无理数． 依据整数（正整数、0、负整数）、正有理数（正的整数、分数、有限/无限循环小数）、负有理数（负的整数、分数、有限/无限循环小数）的定义，逐一筛选所给数． 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 23．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）指出下列各数（每个数之间用逗号隔开）中的正有理数、负有理数和整数：，2.5，1，，0，． 【答案】正有理数：，， 负有理数：， 整数：，， 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据有理数的分类即可解决． 【详解】略 24．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课堂上，老师给出了8个有理数，请将下列有理数填入括号内： ，0，，2，0.2，，19， 负数：{ …}． 整数：{ …}． 正分数：{ …}． 【答案】；； 【知识点】有理数的分类 【详解】解：负数：． 整数：． 正分数：． 25．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 26．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数． 【答案】 ，，， ，， ，，， ， 【知识点】正负数的定义、整数、小数的认识 【分析】根据整数、自然数、正数、小数的定义，对给出的数逐一分类即可 【详解】解：明确各类数的定义后逐一筛选，推导如下： ∵整数包含正整数、零、负整数， ∴，，，是整数， ∵自然数包含零和正整数， ∴，，是自然数， ∵正数是大于的数， ∴，，，是正数， ∵小数是带有小数点的十进制数， ∴，是小数． 27．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中，①，②，③，④，⑤，整数有___________，负分数有___________．（填序号） 【答案】 ① ②④ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查整数和负分数的定义，解题的关键是明确整数包括正整数、0、负整数，负分数是小于0的分数且可以化成分数形式． 根据整数和负分数的定义，对每个数进行分类判断． 【详解】解：整数的判断：整数包括正整数．0、负整数，①是负整数；②是小数（可化成分数），不是整数；③是分数，不是整数；④是百分数（可化成分数），不是整数；⑤是无理数，不是整数．所以整数有①； 负分数的判断：负分数是小于0的分数，且可以化成分数形式．②，是负分数；④，是负分数；①是整数不是分数；③是正分数；⑤是无理数不是分数．所以负分数有②④． 故答案为：①；②④． 【考点4】数轴的三要素及其画法 · 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 · 画数轴时要注意：直线要画成水平的，原点要标清楚，正方向用箭头表示，单位长度要统一 · 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数 · 数轴是数形结合的基础，要熟练掌握数轴的画法 28．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）下列关于数轴的画法中，正确的是（     ） A．画一条直线，在直线上取一点作为原点，标上数字即可 B．画一条直线，规定向右为正方向，取一点为原点，选取适当长度为单位长度，标注数字 C．画一条直线，规定向左为正方向，取一点为原点，即可 D．画一条直线，在直线上标注整数即可，不需要规定方向 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】数轴的三个核心构成要素：原点、正方向、单位长度．逐一对照各选项，检查是否同时满足三个要素：如果某个选项缺少任意一个要素，那么该选项不符合数轴的画法要求．确认正方向的规定规则，因为通常默认向右为正方向，若规定向左为正方向也属于合理，但需结合其他要素共同判断． 【详解】解：数轴需具备原点、正方向、单位长度三个要素，三者缺一不可． A、选项缺少正方向与单位长度，不符合要求． B、选项同时具备三个要素，符合要求． C、选项缺少单位长度，不符合要求． D、选项缺少原点与正方向，不符合要求． 29．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】考查数轴的三要素及其画法，掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：选项中，单位长度不统一，画法错误； 选项中，数轴三要素齐全，画法正确； 选项中，未标明正方向，画法错误； 选项中，没有原点，画法错误． 30．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 31．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 【考点5】用数轴上的点表示有理数 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0在原点处 · 表示分数或小数时，要先确定它在两个整数之间的位置，再估计它的具体位置 · 数轴上的点与有理数是一一对应的关系（有理数集） · 给定数轴上的点，要能说出它表示的数；给定数，要能在数轴上找到它的位置 32．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】 如图： 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】略 33．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】在0左侧，从0向左边数2个大格，左侧为负数，所以点表示的数是． 在0右侧，从0向右边数，位于第13小格的位置（3个大格＋1小格），右侧为正数，计算：，所以点表示的数是． 34．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，． （2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数． 【答案】（1）如图， （2）点B表示的数是或1． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减． （1）在数轴上表示各数即可； （2）分点B在点A的左侧和右侧求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵数轴上点A表示的数是，数轴上另一点B与点A相距2个单位长度， ∴当点B在点A的左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A的右侧时，点B表示的数是， 综上：点B表示的数是或1． 【考点6】利用数轴比较有理数的大小 · 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 · 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小（在数轴上，绝对值大的负数在左边） · 比较有理数大小的方法：数轴法、法则法 35．（2026·湖北恩施·模拟预测）在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. 36．（25-26七年级上·吉林·期中）在数轴上，四个有理数所对应的点分别为A，B，C，D，其位置关系如图所示，则数值最小的数对应的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴上的点的性质．根据数轴上的点从左往右依次增大即可得解．熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】解：A，B，C，D四个点中，数值最小的数对应的点为A点． 故选：A． 37．（25-26七年级上·全国·期末）观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为______． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行比较即可，熟记“数轴上的数，右边的总比左边的大”是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，， 故答案为：． 38．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在数轴上标出，3.5，0，，4，并用“<”从小到大连接．（数轴请自己画出） 【答案】如下图： 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】先在数轴上标出各数，再根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】见答案． 【考点7】数轴上两点之间的距离 · 数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值 · 如果点A表示数a，点B表示数b，那么AB=|a-b| · 求数轴上两点之间的距离，要先确定两点表示的数，再计算差的绝对值 · 数轴上的距离问题要结合图形分析，利用数形结合的思想 39．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 40．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 41．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 42．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，到的整点有（  ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：如图所示， 到的整点有，，，，，，，，，，，，，，，，共个． 故选：B ． 43．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 【答案】(1) (2)1或或5或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴上的点表示数的位置是解决问题的关键． （1）首先根据得到点A表示的数字为，然后根据表示的数字互为相反数求解即可； （2）首先得到点A表示的数字为或2，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数字为， ∴点A表示的数字为 ∵表示的数字互为相反数 ∴点表示的数字为； （2）解：∵表示的数字互为相反数， ∴点A表示的数字为或2 ∵ ∴点表示的数字或或或． 44．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 【考点8】数轴上的动点与规律探究 · 数轴上的动点问题要先分析点的运动方向和速度 · 点从原点出发，向右运动为正，向左运动为负 · 动点表示的数 = 起点表示的数 + 运动的距离（向右为正，向左为负） · 规律探究问题要先从简单情况入手，找出规律，再应用规律解决问题 45．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 46．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 47．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）一只青蛙在数轴上左右跳动，最开始在数轴原点上，按如下指令运动∶第一次 向右跳动一格，到数1；第二次在第一次的基础上向左跳两格，到数，第三次在第二次的基础上向右跳动三格；第四次在第三次的基础上向左跳四格，依次类推…… 当跳到第次时，青蛙的位置在（   ） A．原点左边，距离原点个单位 B．原点右边，距离原点个单位 C．原点左边，距离原点个单位 D．原点右边，距离原点个单位 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上各数的特点是解答此题的关键．根据题意，找出青蛙左右跳动的规律，即可得出结论． 【详解】第一次，到数1， 第二次，到数， 第三次，到数， 第四次，到数， 第五次，到数， 第六次，到数， 以此类推，第次，到数， 第次，到数， 当跳到第次时，到数， 当跳到第次时，青蛙的位置在原点左边，距离原点个单位． 故选：C． 48．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】计算数轴上起始点与目标点之间的距离，根据圆周长为确定循环周期，结合圆向左滚动时圆周上点的接触顺序，利用余数确定最终重合的字母． 【详解】解：数轴上与之间的距离为． 圆的周长为，且等分， 每滚动个单位长度，圆周上的点循环一次． 由于圆向左滚动，由图可知，圆周上与数轴接触的点依次为， 用总距离除以周期长度，余数为对应，余数为对应，余数为对应，余数为对应． ， 余数为，对应的点为． 故数轴上的所对应的点将与圆周上字母所对应的点重合． 49．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 50．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 【答案】（1），（2），（3）①，② 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】（1）利用中点性质，求的中点，得到表示的数； （2）先求的中点对应的数；再根据到的距离和位置，得出表示的数；最后计算到的距离； （3）①写出秒后、对应的数，作差即得距离；②写出秒后对应的数，分别算、的距离和、的距离，代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， 故答案为：； （2）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， ∵点在点左侧，且点到点的距离为， ∴点表示的数为， ∴点到点的距离为； （3）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点、之间的距离为； ②由题意得：点表示的数为， ∴点之间的距离， 点、之间的距离， 代入得： ． 【点睛】本题考查了数轴上的中点计算，数轴上两点间的距离表示，动点问题的代数式表示，代数式的化简求值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 51．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）是一个舒适且节能的空调温度，如果将室内温度记作，那么当室内温度时，记作；当室内温度时，应记作___________． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】以为基准，高于基准的温度记作正数，低于基准的温度记作负数，计算目标温度与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵将记作时，高于的记作， ∴计数规则为：高于基准记正，低于基准记负， ∵，低于基准， ∴应记作． 💯 课后巩固 复习建议 · 先复习正负数的概念，理解0既不是正数也不是负数，能判断一个数是正数还是负数 · 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质分类），做到分类不重不漏 · 熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）和画法，能正确画出数轴 · 会用数轴比较有理数的大小，理解「右边的数总比左边的数大」，体会数形结合的思想方法 · 多做数轴上的动点问题和规律探究问题，提高分析问题和解决问题的能力 【作业1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等．．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 【答案】 0 【知识点】有理数加法中的符号问题、多个有理数的乘法运算、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移； ①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解； ②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可． 【详解】解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等， ∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0； 故答案为：0； ②将点向左移动2个单位得到点，则， 点向左移动4个单位得到点，则， ∵、、三个数的乘积为负数， ∴、、三个数中有一个负数或者3个负数， ∵必有俩数和为0， ∴只能一个负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 【作业2】（2026·河南平顶山·二模）请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数：______．．（2026·河南平顶山·二模）请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数：______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】数轴上原点左侧的点对应的数均为负数，故直接写出一个负数即可． 【详解】解：（答案不唯一）． 【作业3】（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹．．（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【答案】 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的意义，结合题干的条件，进行逐个查找，又因为算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹，进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，观察表格的信息，得“”所表示的数是， 故答案为： 【作业4】（26-27七年级上·全国·课后作业）引入负数将数的范围扩充到有理数给我们带来哪些便利？对此你有哪些感悟？将你的感悟写成一篇小短文，并在班级内分享．．（26-27七年级上·全国·课后作业）引入负数将数的范围扩充到有理数给我们带来哪些便利？对此你有哪些感悟？将你的感悟写成一篇小短文，并在班级内分享． 【答案】 《有理数扩充的小感悟》 将数的范围从非负有理数扩充到全体有理数，给我们的学习和生活带来了诸多便利， 第一、它解决了生活中相反意义的量的表示问题， 生活里很多成对的相反状态,只用正数和无法准确区分. 比如零上摄氏度与零下摄氏度，可以用摄氏度和摄氏度清晰表示，海拔高于海平面米与低于海平面米，可以用米和米准确描述；生意的盈利与亏损、行程的向东与向西,都能用正负数直观表达. 这让我们描述生活中的数量现象时更精准、更简洁. 第二、它完善了数的运算体系， 在只有正数和的阶段,较小的数减去较大的数是无法计算的，比如没有对应的结果，扩充到有理数后，所有的加减运算都可以进行，还能将减法转化为加法，让运算更灵活统一，也能解决更多实际问题中的数量关系计算. 我的感悟: 数学知识的发展总是源于实际的需求. 数的范围不是一成不变的，当现有的数不能满足使用需求时，就会有新的数被定义和扩充. 有理数的出现让数学和生活的联系更紧密，也让我们拥有了更强大的数学工具. 我们在学习数学时，要多结合生活场景思考知识的用处,才能真正理解数学的价值. 【知识点】正负数的定义、正负数的实际应用、有理数的定义、数学常识 【分析】根据负有理数的意义和增加负有理数后解决的生活中的实际问题进行回答即可． 【详解】略 【作业5】（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？．（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【知识点】正负数的定义 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比0要大，根据定义可以找到符合条件的正数；负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意0既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得,正数有：，，，； 根据负数的定义可得,负数有：，，，，． 【作业6】（26-27七年级上·全国·课后作业）某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少．．（26-27七年级上·全国·课后作业）某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 【答案】(1)三种型号的电脑今年销售量的增长率是A型号，B型号，C型号 (2)表示D型号键盘今年销售量比去年增长了；表示E型号键盘今年销售量比去年减少了；表示F型号键盘今年销售量与去年一样，没增也没减 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用、0的意义 【详解】（1）略 （2）略 【作业7】（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）（）在数轴上表示出下列各点．．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【答案】 （）如图所示 （） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】先将各数在数轴上表示出来，然后可得出点和点之间的距离． 【详解】解：（）略 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 【作业8】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是．．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 【作业9】（25-26六年级下·上海·开学考试）观察数轴，按要求完成：．（25-26六年级下·上海·开学考试）观察数轴，按要求完成： (1)点A表示的数写成分数是． (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来． (3)在数轴上标出表示2.5和的点． 【答案】(1) (2)如图，点C即为所求； (3)数轴表示如图所示． 【知识点】正负数的定义、用数轴上的点表示有理数 【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是； （2）略 （3）略 【作业10】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，，．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1) 正数集合：； 负数集合：｛，…｝； 整数集合：｛，…｝； 分数集合：． (2) 在数轴上表示各数： 用“”将它们连接起来：． 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了有理数的分类，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据正数包括正分数和正整数、负数包括负分数和负整数、整数包括正整数和0以及负整数、分数包括正分数和负分数作答即可； （2）将各有理数在数轴上表示出来，并根据数轴比较大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 有理数的定义及数轴 培优讲义 2026-2027 人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数和负数的概念，能判断一个数是正数还是负数，了解负数产生的实际背景 · 能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学与现实生活的联系 · 理解有理数的意义，能对有理数进行正确分类，掌握整数、分数、正数、负数等概念 · 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴 · 能将有理数用数轴上的点表示出来，会利用数轴比较有理数的大小，理解数形结合的思想方法 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前面加上负号「-」的数叫做负数 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界 正负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义 概念辨析例题：在-2，+3.5，0，-，-1.8中，正数有哪些？负数有哪些？ 解析：正数是大于0的数，负数是在正数前面加上负号的数，0既不是正数也不是负数。 ☆ 2.有理数的分类 整数：正整数、0、负整数统称为整数 分数：正分数、负分数统称为分数 有理数：整数和分数统称为有理数 有理数按定义分类：有理数分为整数和分数，整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数 有理数按性质分类：有理数分为正有理数、0、负有理数，正有理数分为正整数、正分数，负有理数分为负整数、负分数 概念辨析例题：把下列各数填在相应的大括号里：-3，0，+5，-2，3.7，-10% 解析：根据有理数的分类标准，先判断每个数属于哪一类，再填入相应的大括号。 ☆ 3.数轴的概念与画法 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 画数轴的步骤：画直线→取原点→规定正方向→选取单位长度 数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 概念辨析例题：下列关于数轴的说法正确的是（ ） 解析：数轴的三要素是原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，判断时要逐一检查。 ☆ 4.数轴的应用 用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 数轴上两点之间的距离：数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值 数轴上的动点问题：结合数轴分析点的运动，利用数形结合的思想解决问题 概念辨析例题：在数轴上表示-3，+2，0，-，并用「<」把它们连接起来 解析：先在数轴上表示出各个数，再根据「右边的数总比左边的数大」比较大小。 📋 知识总结表 概念 定义 注意事项 正数 大于0的数 正数前面的「+」号可以省略 负数 在正数前面加上负号「-」的数 负数前面的「-」号不能省略 0 既不是正数，也不是负数 0是正数和负数的分界 整数 正整数、0、负整数 0是整数，不是正数 分数 正分数、负分数 有限小数和无限循环小数都可以化为分数 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线 三要素缺一不可 【考点1】正负数的定义 · 判断一个数是正数还是负数，关键看它是大于0还是小于0 · 0既不是正数，也不是负数 · 带「+」号的数不一定是正数，带「-」号的数不一定是负数（如-a不一定是负数） · 正负数的概念是相对的，要结合实际背景理解 1．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 2．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上划斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的两个数分别是（   ） A．22，302 B． C． D．22，305 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ）．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）中国是最早使用负数的国家．用红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示的数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【考点2】相反意义的量与实际应用 · 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正 · 常见的相反意义的量：零上与零下、收入与支出、上升与下降、前进与后退 · 正负数在实际生活中的应用：温度、海拔、盈亏、增长率等 · 理解「基准」的概念，以0为基准，正数表示超过基准，负数表示低于基准 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》中记载了我国古代的算筹记数法．为方便理解，本题按其位值思想简化规定如下：记数时把各数位按从左到右排列，每一数位上的数值由该位竖筹的根数直接读出；此外，若在整组算筹的最左端斜放1根筹，表示这组数是一个负数，斜放的这根筹不参与数位计数．某同学摆出的算筹，从左到右依次为：1根斜筹、2根竖筹、3根竖筹．按上述规定，这组算筹表示的负数写成现代数学符号是____________． 8．（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 9．（2025·云南楚雄·中考模拟）某医院为了方便统计患者数目，用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作（   ） A． B．8 C．0 D． 10．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）在历史学中，通常以公元元年（即公元年）为界来划分时间．我们可将公元元年前的年份记作负数，例如：公元前年记作“年”，秦于公元前年统一六国，而今年是公元年．关于结论、，下列判断正确的是（     ） 公元年和公元前年是一对具有相反意义的量 公元前年可记作“年” A．、都正确 B．、都不正确 C．只有正确 D．只有正确 11．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）《黑神话：悟空》上线后，取景地山西的古建筑吸引了大量游客．若某景区某天的游客人数比前一天增加1200人记作人，则当天的游客人数比前一天减少800人应记作（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（     ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 13．（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）科学家在南极测到的最低气温是零下，记作( )，澳大利亚昆士兰州荒原地表温度最高达到，记作( )． 14．（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 16．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【考点3】有理数的定义与分类 · 有理数的分类标准：按定义分类和按性质分类 · 0是整数，是有理数，但0既不是正数也不是负数 · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都是有理数 · 分类时要做到不重不漏，每个数都属于且只属于一类 17．（2025七年级上·山西大同·专题练习）先阅读以下信息，再填空． “五千年很远，山西很近．一砖一瓦皆岁月，一步一景尽风华．”山西作为中国文物大省，素有“地上文物看山西”的美誉．据第三次全国文物普查结果显示，山西的不可移动文物数量多达五万三千八百七十五处，约占全国总量的，居全国第四；其中古建筑28027处，约占全国总数的；全国重点文物保护单位531处，约占全国的，居全国第一、此外，元代及以前木构建筑509处，约占全国的以上；全国仅存3座唐代木构建筑，均位于山西．近年来，山西通过“跟着悟空游山西”等主题线路推广古建文化，多维度创新举措构建了文物保护新格局．2024年国家下拨文物保护资金525000000元，较上一年度增加亿元，增幅达，补助规模、增加额度、增长幅度均为全国第一，为全省文物修缮保护提供了坚实的资金保障． （1）横线上的数五万三千八百七十五写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万． （2）横线上的数读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿． 18．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）把下列各数填在相应的括号内： ，，，，0， 负有理数： 整数： 非负数： 19．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 20．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）在下列8个数 ，12，，0，，， π，3中，整数有（ ）个，负分数有（ ）个，有理数有（  ）个，非负整数有（  ）个． 22．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 23．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）指出下列各数（每个数之间用逗号隔开）中的正有理数、负有理数和整数：，2.5，1，，0，． 24．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课堂上，老师给出了8个有理数，请将下列有理数填入括号内： ，0，，2，0.2，，19， 负数：{ …}． 整数：{ …}． 正分数：{ …}． 25．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 26．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数． 27．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中，①，②，③，④，⑤，整数有___________，负分数有___________．（填序号） 【考点4】数轴的三要素及其画法 · 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 · 画数轴时要注意：直线要画成水平的，原点要标清楚，正方向用箭头表示，单位长度要统一 · 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数 · 数轴是数形结合的基础，要熟练掌握数轴的画法 28．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）下列关于数轴的画法中，正确的是（     ） A．画一条直线，在直线上取一点作为原点，标上数字即可 B．画一条直线，规定向右为正方向，取一点为原点，选取适当长度为单位长度，标注数字 C．画一条直线，规定向左为正方向，取一点为原点，即可 D．画一条直线，在直线上标注整数即可，不需要规定方向 29．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 30．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 31．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【考点5】用数轴上的点表示有理数 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0在原点处 · 表示分数或小数时，要先确定它在两个整数之间的位置，再估计它的具体位置 · 数轴上的点与有理数是一一对应的关系（有理数集） · 给定数轴上的点，要能说出它表示的数；给定数，要能在数轴上找到它的位置 32．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 33．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 34．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，． （2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数． 【考点6】利用数轴比较有理数的大小 · 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 · 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小（在数轴上，绝对值大的负数在左边） · 比较有理数大小的方法：数轴法、法则法 35．（2026·湖北恩施·模拟预测）在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 36．（25-26七年级上·吉林·期中）在数轴上，四个有理数所对应的点分别为A，B，C，D，其位置关系如图所示，则数值最小的数对应的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 37．（25-26七年级上·全国·期末）观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为______． 38．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在数轴上标出，3.5，0，，4，并用“<”从小到大连接．（数轴请自己画出） 【考点7】数轴上两点之间的距离 · 数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值 · 如果点A表示数a，点B表示数b，那么AB=|a-b| · 求数轴上两点之间的距离，要先确定两点表示的数，再计算差的绝对值 · 数轴上的距离问题要结合图形分析，利用数形结合的思想 39．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 40．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 42．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，到的整点有（  ）个 A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 44．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【考点8】数轴上的动点与规律探究 · 数轴上的动点问题要先分析点的运动方向和速度 · 点从原点出发，向右运动为正，向左运动为负 · 动点表示的数 = 起点表示的数 + 运动的距离（向右为正，向左为负） · 规律探究问题要先从简单情况入手，找出规律，再应用规律解决问题 45．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 46．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）一只青蛙在数轴上左右跳动，最开始在数轴原点上，按如下指令运动∶第一次 向右跳动一格，到数1；第二次在第一次的基础上向左跳两格，到数，第三次在第二次的基础上向右跳动三格；第四次在第三次的基础上向左跳四格，依次类推…… 当跳到第次时，青蛙的位置在（   ） A．原点左边，距离原点个单位 B．原点右边，距离原点个单位 C．原点左边，距离原点个单位 D．原点右边，距离原点个单位 48．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 49．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 50．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 51．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）是一个舒适且节能的空调温度，如果将室内温度记作，那么当室内温度时，记作；当室内温度时，应记作___________． 💯 课后巩固 复习建议 · 先复习正负数的概念，理解0既不是正数也不是负数，能判断一个数是正数还是负数 · 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质分类），做到分类不重不漏 · 熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）和画法，能正确画出数轴 · 会用数轴比较有理数的大小，理解「右边的数总比左边的数大」，体会数形结合的思想方法 · 多做数轴上的动点问题和规律探究问题，提高分析问题和解决问题的能力 【作业1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等．．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 【作业2】（2026·河南平顶山·二模）请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数：______．．（2026·河南平顶山·二模）请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数：______． 【作业3】（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹．．（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【作业4】（26-27七年级上·全国·课后作业）引入负数将数的范围扩充到有理数给我们带来哪些便利？对此你有哪些感悟？将你的感悟写成一篇小短文，并在班级内分享．．（26-27七年级上·全国·课后作业）引入负数将数的范围扩充到有理数给我们带来哪些便利？对此你有哪些感悟？将你的感悟写成一篇小短文，并在班级内分享． 【作业5】（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？．（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【作业6】（26-27七年级上·全国·课后作业）某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少．．（26-27七年级上·全国·课后作业）某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 【作业7】（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）（）在数轴上表示出下列各点．．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【作业8】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是．．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【作业9】（25-26六年级下·上海·开学考试）观察数轴，按要求完成：．（25-26六年级下·上海·开学考试）观察数轴，按要求完成： (1)点A表示的数写成分数是． (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来． (3)在数轴上标出表示2.5和的点． 【作业10】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，，．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $