平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

向量的基础知识 第一讲 向量的基础知识 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 记， 则 实数与向量的乘积 记， 则 两个向量的数量积 记，，则 提醒： （1）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. （2）设=，，，⊥. （3）两个向量，的夹角公式：. 【例1】（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则（     ） A．的最小值为1 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最大值为4 【例2】（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【例3】（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二讲 向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量： ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【例2】（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【例3】（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【例4】（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【例5】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 达标训练 1．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知，是不共线的向量，且，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 二、多选题 1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．的最小值为 D．的最大值 三、填空题 1．（26-27高三上·天津南开·阶段检测）已知，，若，同向，则_________． 2．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则________（用，表示）；已知，，，则的最大值为________. 3．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，且，则的最小值为_________. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 6．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 7．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 四、解答题 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，E，F分别是长方体ABCD-的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1); (2) (3) 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）是边长为6的正三角形，动直线分别与线段交于（其中始终落在线段上）．设． (1)当时，用基底表示向量； (2)若动直线过的重心（其中不与的顶点重合），求面积的最小值． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求的解析式（化为 的形式，其中 ）； (2)若，且，求的值； (3)已知向量，若，求在 内所有满足条件的的值． 4．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，． (1)设，，，用，，表示； (2)求证：； (3)求的长． 5．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设，，记此坐标系为α—坐标系．设正向的单位向量分别为，，若，则． (1)在α—坐标系中，设，若，求； (2)在坐标系中，分别为轴正半轴和轴正半轴上的动点，，，，，与交于点F． （i）设和四边形的面积分别为，求； （ii）求的最大值． 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量的基础知识 第一讲 向量的基础知识 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 记， 则 实数与向量的乘积 记， 则 两个向量的数量积 记，，则 提醒： （1）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. （2）设=，，，⊥. （3）两个向量，的夹角公式：. 【例1】（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则（     ） A．的最小值为1 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最大值为4 【答案】D 【详解】因为，且 ，则， 所以， 当且仅当反向时，等号成立，则的最大值为4； ， 当且仅当同向时，等号成立，则的最小值为2； 所以的最小值为2，最大值为4. 【例2】（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 【例3】（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 第二讲 向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量： ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 【例2】（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为，    若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 【例3】（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 【例4】（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 【例5】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 达标训练 1．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知，是不共线的向量，且，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【详解】对于A，设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故A错误； 对于B，设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故B错误； 对于C，， 设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故C错误； 对于D，， 此时，所以， 因为与有公共点， 所以，，三点共线，故D正确. 二、多选题 1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．的最小值为 D．的最大值 【答案】BCD 【分析】根据向量的运算及投影向量公式，可判断选项A和B；利用数形结合，将与的起点放在一起，由可得的终点的特征，从而判断模长最小值的情形；建立平面直角坐标系，利用向量的坐标的运算求最大值. 【详解】对于选项A，因为，所以， 又因为，所以，故A错误； 对于选项B，在上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，因为，所以， 设，，则，如下图： 因为，即，所以点在以为圆心且半径为的圆上， 则当在线段上时，最小，即的最小值为，故C正确； 对于选项D，， 过作，垂足为，以为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，设，其中， 则， 当，即时，取最大值，故D正确. 三、填空题 1．（26-27高三上·天津南开·阶段检测）已知，，若，同向，则_________． 【答案】1 【详解】因为与同向，则存在实数，使得， 且，， 则，可得， 整理可得，即，解得或， ①当时，，符合同向条件； ②当时，，向量反向，舍去； 故. 2．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则________（用，表示）；已知，，，则的最大值为________. 【答案】 【分析】利用中线的向量公式，将表示为和，再将表示为和，即可列出有关的等式，即可表示出；用和表示，即可用和表示出，利用余弦定理可得到边之间的关系式，再利用基本不等式即可求的最大值. 【详解】， , ， 即， 所以. ，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 设，， 所以， 由余弦定理得：， 即，代入中， ， 由基本不等式，， 即，即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 3．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，且，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】取线段的中点为，连接、、，根据已知可得、、，利用几何意义求最值即可. 【详解】取线段的中点为，连接、、，如图所示： 因为，所以，且. 因为四边形为矩形，则. 因为, 所以. 当且仅当与方向相反，即三点共线且点落在线段上时，等号成立，故的最小值为. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 6．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 7．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 四、解答题 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，E，F分别是长方体ABCD-的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1); (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）是边长为6的正三角形，动直线分别与线段交于（其中始终落在线段上）．设． (1)当时，用基底表示向量； (2)若动直线过的重心（其中不与的顶点重合），求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得出长度，结合三角形内角与正弦定理求出长度，再用向量减法将表示为基底的线性组合； （2） 设的系数，由三点共线推出系数关系，代入面积公式，用基本不等式求最小值． 【详解】（1）由得，故， 在中，，故， 由正弦定理，得， 又，故， 故． （2）设，则， 正三角形的重心满足， 由三点共线，存在实数使得，代入得： ，则，整理得， 则， 令，则，代入得： ， 当且仅当即时取等号，此时，符合条件， 故． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知向量，，函数． (1)求的解析式（化为 的形式，其中 ）； (2)若，且，求的值； (3)已知向量，若，求在 内所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1） 代入坐标计算向量数量积，并利用辅助角公式将解析式化简即可. （2） 结合给定区间，由已知函数值求出的正切值，再代入二倍角正切公式即可求解. （3） 计算出的坐标后，利用两向量平行的坐标关系式建立并求解关于的方程即可求解. 【详解】（1）， 即， 即. （2）由得，即， 因为，所以， 所以， 进而， 则 . （3）， 由得，即，即， 因为，所以或. 4．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，． (1)设，，，用，，表示； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)由（1）得，又， 又，，， 所以 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）根据空间向量基本定理可表示向量； （2）利用基底法可得向量数量积，即可得证； （3）利用基底法求向量模长. 【详解】（1）由已知可得； （2）略 （3）由（1）得， 又，，，． 则 . 5．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设，，记此坐标系为α—坐标系．设正向的单位向量分别为，，若，则． (1)在α—坐标系中，设，若，求； (2)在坐标系中，分别为轴正半轴和轴正半轴上的动点，，，，，与交于点F． （i）设和四边形的面积分别为，求； （ii）求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用向量夹角的余弦公式，将向量用基底展开，计算数量积与模长，建立方程解； （2）（i）利用向量共线定理，用两种线性组合表示同一向量，由基底系数唯一解出比例，再根据 “同高三角形面积比等于底边长之比” 计算面积比； （ii）先将数量积用展开，结合余弦定理化简表达式；再用正弦定理将边长转化为三角函数，通过辅助角公式求最大值． 【详解】（1）由题意， 计算得， 所以， 所以，，所以． （2）（i）设， 又因为A，F，D共线，可设， 因为不共线，所以，解得，所以， 设的面积为，则， ， 所以； （ii）不妨设，，， 由，则在上， 则， ， 所以， 在中，由余弦定理得，，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 所以 ， 由辅助角公式，， 其中，不妨取． 由题意知，， 所以当时，， 所以． 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $