2.第一部分 基础知识精讲练-第二章 方程（组）与不等式（组）-【加速度中考】2026年陕西中考备考加速度数学课堂精讲

(4)方法一（代入消元法）： 解：由①，得x=2十y.③ 将③代人②，得4(2+y)-3y=5, 去括号，得8+4y一3y=5,解得y=-3. 将y=一3代入③，得x=一1， 一方程组的解为工=一1， 1y=-3. 方法二（加减消元法）： 解：①×3，得3x-3y=6.③ ②-③，得x=-1. 将x=-1代入①，得-1-y=2,解得y=-3, “方程组的解为x=一1， y=-3. 3.解：设A款航天模型的单价为a元，则B款航天模型 的单价为(1+10%)a元. 根据题意得5a+5(1+10%)a=315, 解得a=30,∴.(1+10%)a=33. 答：A款航天模型的单价为30元，B款航天模型的单 价为33元. 教材知识构体系 ①b士c ②bc③2④1 ⑤最小公倍数⑥去括号 ⑦-6 ⑧进价©程器 ⑩+①— 真题模拟明考向 1.-2 2.1 3.解：去分母，得2(x十1)-8=x, 去括号，得2x十2-8=x, 移项，得2x一x=8一2，合并同类项，得x=6. 4解：由①，得x-3回 将③代人②，得号-3y=-10,解得y=6。 将y=6代入③，得x=4,方程组的解为工=4， y=6. 5.1.25-1.2 6.解：设小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h. 由题意相晋+82产=1，解得x=2. 答：这次小峰打扫了2h. 7.解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则这种 小笔记的单价是(x一3)元. 由题意得4x十6(x-3)=62,解得x=8. 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元 8.解：设这种服装每件的标价是x元 由题意得10×0.8x=11(x-30),解得x=110, 答：这种服装每件的标价为110元. 9.解：设一名工人每小时作业的面积为x亩，则一架无人 机每小时作业的面积为6x亩. 第二章方程（组）与不等式（组） 由题意得2×6x十8.x=340,解得x=17. 答：一名工人每小时作业的面积为17亩. 第6节一次方程（组）及其应用 10.解：设这个月李老师的电动汽车峰时的充电量为 一题多练固基础 x度，谷时的充电量为y度. 1.B 2.(1)①(2)x=1(3)-3 由题意得x十y=180, (0.5z+0.3y=64,解得{=50， y=130. 3 答：这个月李老师的电动汽车峰时的充电量为50度，2.(1)解：，(x一5)=62， 谷时的充电量为130度， .x-5=±6，∴x1=-1,x2=11. 第7节分式方程及其应用 (2)解：移项，得x2-2x=2, 一题多练固基础 配方，得x2-2x+1=3,即(x-1)2=3, 1.(1)①x=7 ②x=3③m<-6 .x-1=±5，x1=1+3,x2=1-V3 (2)解：m=-1原方程为}2， 教材知识构体系 ①②2③> ④= ∴.去分母，得x-1=2(x一3)，去括号，得x一1=2x一6， ⑤<⑥- a 移项，得x一2x=一6十1，合并同类项，得-x=一5， ⑦c ®2xx-1) ⑨x(.x-1) 系数化为1，得x=5. a 检验：当x=5时，x一3≠0，∴.x=5是原分式方程的解 ⑩(a-2x)(b-2x) ①(a-x)(b-x) 2.8000_3200=4 ②(a-x)(b-x) 2x 真题模拟明考向 教材知识构体系 1.A ①分母②最简公分母③增根 2.解：a=3,b=2,c=-2, 真题模拟明考向 ∴.△=22-4×3×(-2)=28>0， 1.61-1.1或22.m≥-8且m≠-5 x=-2±√28=-2±27 3.解：去分母，得2十x(x十1)=x2一1， 2×3 6 去括号，得2+x2十x=x2-1, 移项、合并同类项，得x=一3. ,x2=1-7 3 检验：当x=一3时，x2一1≠0， 3.解：移项，得x(2x-7)一8(7一2x)=0, ∴.原分式方程的解为x=一3. .x(2x-7)+8(2x-7)=0,∴.(2x-7)(x+8)=0, 4.解：去分母，得3-4(x-1)=2x 62a7=0或x+8=0,x=g,2=-8 去括号，得3-4x十4=2x, 移项、合并同类项，得一6x=一7， 4.C5.10 系数化为1，得x=? 6.解：设车道的宽为xm. 61 由题意得(30-x)(19-x)=390, 检验：当x=时，2(x-1)≠0， 解得x1=4,x2=45(不符合题意，舍去). 答：车道的宽为4m. 、原分式方程的解为x=6 7 第9节一元一次不等式（组）及其应用 5.解：去分母，得4十x2-1=(x-1)2, 一题多练固基础 去括号，得4+x2-1=x2-2x+1, (1)解：去分母，得x-2≤10-3x, 移项，得x2一x2十2x=1十1-4， 移项，得x十3x≤10十2， 合并同类项，得2x=一2， 合并同类项，得4x≤12， 系数化为1，得x=-1. 系数化为1，得x≤3. 检验：当x=一1时，x2一1=0， (2)3(3)x>-2(④)-2<<36 ∴.x=一1是原分式方程的增根，.原分式方程无解. 6.D7.C (5)解：将不等式组的解集表示在数轴上如答图所示. 8.解：设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型 机器人每小时搬运(x十20)kg化工原料. -5-4-3-2-1012345 由题意得900。-700，解得x=70. x+20x 答图 经检验，x=70为原方程的解，且符合题意， 教材知识构体系 ..x+20=90. ①>②<③<④x>a⑤x≤a⑥x≥a 答：A型机器人每小时搬运90kg化工原料，B型机器 ⑦x≥a⑧x<b⑨b<x≤a⑩无解 人每小时搬运70kg化工原料. 真题模拟明考向 第8节一元二次方程及其应用 1.D2.A 一题多练固基础 3.解：去分母，得3x-5>4x,移项，得3x-4x>5, 合并同类项，得-x>5,系数化为1，得x<-5. 1.1k≠3(20x=-号 4.解：解不等式①，得x<2,解不等式②，得x>一3， (3)<4且≠3k>4号-号 14 .不等式组的解集为一3<x<2. 5 25 5.206.七 主题情境方程（组）、不等式（组）的实际应用 1.1500×3-[(1500-a)×3+2a]=500500 2.卖出每千克御桃的利润卖出每千克酥梨的利润4 元和4元 3.解：设李老板的速度为nkm/h,则小李的速度为 2n km/h. 由题意得290-织+（合+2）解得1=40， 经检验，n=40是原方程的解，且符合题意，∴.2n=80. 答：李老板的速度为40km/h,小李的速度为80km/h 4.解：设可以购进之kg酥梨 由题意得(1500-z)×(4-3)≥950， 解得z≤550. 答：至多可以购进550kg酥梨. 速度碧 5根的判别式 根与系数的关系 解法：公式法、配方法、因式分解法 数与式（第一章） 元二次方程 降 几个量之间 次 去分母 的数量关系 元一次方程 分式方程验根 二元一次方程组 相等关系 方程（组） 方程（组） 实际应用一→常见背景：路程问题、购买/销售问题、工效问题 与不等 式（组） 不等关系 不等式（组） 元一次不等式 一元一次不等式的解集 函数与方程（组）的关系 函数与不等式的关系 (数形结合思想) 解集的公共部分 元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 函数 依据 (第三章) 不等式的性质 第6节一次方程（组）及其应用 一题多练固基础 1.等式的基本性质[人教七上P81改编]下列变形中，运用等式的基本性质变形正确的是 A.若x=y,则x十3=y一3 B.若x=y,则-4x=-4y C若5-子则2x=8 D.若ax=ay,则x=y 2.一次方程（组】及其解法[北师七上P133改编]有下列式子：①x十3=4x,②2x一1=x十m,③x一y= 2,④1-2=3，⑤4x-3y=5. (1)以上方程是一元一次方程的是 (填序号)； (2)方程x+3=4x的解是 (3)已知x=一2是方程2x一1=x十m的解，则m的值是 x-y=2,① (4)策略开放请你用两种方法解二元一次方程组： (4x-3y=5.② 方法一（代入消元法）： 方法二（加减消元法）： 3.航天科技=元次方程的应用[人教七上P99改编]2025年2月11日“长征八号甲”运载火箭在我国海 南文昌卫星发射场成功将卫星互联网低轨02组卫星送入预定轨道.为培养学生对航天事业的兴 趣，某校组织学生开展航天创意设计大赛，并计划购入A,B两款航天模型作为奖励.经了解，B款 航天模型的单价比A款航天模型的单价高10%，该校购买A,B两款航天模型各5个，共花费 315元，分别求A款和B款航天模型的单价. 14 孕教材知识构体系 性质1：如果a=b,那么a士c=① 等式的性质 性质2：如果a=b,那么ac=② :如果a=b,那么8=③ (c≠0) 概念：只含有一个未知数，且未知数的指数都是④ 的整式方程 一元一次 般形式：ax十b=0(a,b是常数，且a≠0) 「(1)去分母：方程两边同乘各分母的⑤ ,注意不要漏乘不含分母的项 方程及其 组 解法 (2)⑥ :注意括号前系数的符号 解 法 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注意 其 移项时一定要改变符号 骤 用 (4)合并同类项：把方程化成a.x=-b(a≠0)的形式 6 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为x=⑦ 利润问题：利润=售价一⑧ ;利润率=⑨ ×100% 5考 一次方程（组） 工程（工效）问题：工作量=工作效率×工作时间 实际应用的常 路程=速度X时间 见问题及关系式 行程问题{水中航行问题：顺水速度=静水速度⑩ 水流速度； 逆水速度=静水速度① 水流速度 孕真题模拟明考向 命题点一次方程（组）的解法 4.[2025高新三中开学考]解方程组： 1.数学文化[2021陕西11]幻方，最早源于我国，古 2 人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各 列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则 2x-3y=-10.② 图中a的值为 速度 5 2 第1题图 2.整体思想[2025交大附中期末]已知关于x,y的 2x+y=-4+a, 方程组 则x十y的值为 (x+2y=7-a, 3.[2025滨河学校三模]解方程.十1-2=二」 2 4 命题点见一次方程（组）的实际应用 5.[2025陕西11]草莓熟了，学校组织同学们参加 劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采 摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓 比小悦多2.4kg.已知小康平均每小时采摘 6kg,小悦平均每小时采摘4kg,小康采摘的 时长是 小时. 15 5一1.变设问一求共同采摘时长王芳和张华同时采9.[2025爱知中学一模]某水稻实验基地防治病虫 摘樱桃，王芳平均每小时采摘10kg,张华平均 害有无人机喷洒和人工打药两种方式.通过测 每小时采摘9kg.采摘结束后，王芳从她采摘 量对比发现，无人机每小时作业的面积恰好是 的樱桃中取出1kg给了张华，这时两人的樱桃 人工每小时作业面积的6倍.在一次作业中， 一样多，则她们采摘了小时 一架无人机工作2小时和一名工人工作8小 6.[2024陕西20]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸 时共完成了340亩的打药任务（不重复作业）， 进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的 请问一名工人每小时作业的面积为多少亩？ 任务量，若小峰单独完成，需4h;若爸爸单独 完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时 间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了 剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了 3h,求这次小峰打扫了多长时间. 10.[2025滨河学校五模]李老师有一辆电动汽车， 为了充电方便，他安装了家庭充电桩.该充电 桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的 电价为0.3元/度.某月李老师的电动汽车在 7.[2023陕西20]小红在一家文具店买了一种大笔记 家庭充电桩的充电量合计为180度，共交电 本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知 费64元.求这个月李老师的电动汽车峰时和 她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的 谷时的充电量 单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价 1唐度碧 8.[2021陕西19]一家商店在销售某种服装（每件 的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折 销售10件的销售额，与按这种服装每件的标 价降低30元销售11件的销售额相等.求这种 服装每件的标价. 请完成《分层作业》(P6~7)中的习题 》 16 第7节分式方程及其应用 一题多练固基础 1.分式方程的概念及其解法[人教八上P158改编]已知关于x的分式方程十”=2. T-3 (1)①当m=1时，分式方程的解为 ②若该方程有增根，则增根为 ③若分式方程的解为负数，则m的取值范围为 (2)若m=一1，解方程：x+=2 x-3 2.分式方程的应用[北师八下P133改编]某商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一 空.商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4 元.设第一批太阳伞的数量为x把，根据题意可列方程为 孕教材知识构体系 概念：① 中含有未知数的方程 夏■ 解整式 x=a是分式方程的 解法步骤：分式 去分母 整式方程 检验 最简公分母为0一③】 方程方程两边乘② 方程 x=a是分式方程的解 最简公分母不为0 增根：去分母后的整式方程的根，也是使得原分式方程分母为0的根 分式方 程及其 【抢分要点】分式方程无解有两种情况：(1)去分母后的整式方程无解； 应用 (2)去分母后的整式方程有解，但解是增根，故分式方程无解 (6年3考) 购买（销售）问题：数量= 总价 单价 常见类型 行程问题：时间=路程 分式方 速度 程的实 工程问题：工作时间= 工作效率，有时可将工作总量记为单位“1” 工作总量 际应用 找等量关系 解题步骤：实际问题 设未知数 列分式方程 解分式方程 一→双检验一→答 17 李真题模拟明考向， 命题点刀分式方程的解法 命题点2分式方程的实际应用 1.[2025铁-中月考]若关于x的分式方程3。 6.跨学科试题·物理[2025高新一中期末]在物理学 x-2 中，物质的密度ρ等于物体的质量与它的体 a_=1有增根，则a的值是 2-x 积V的比值，即p=积已知A,B两个物体的 1一1.变条件一有增根变为无解若分式方程a工。 x-3 密度的比值为号，当物体A的质量是100g,物 3=2无解，则a的值是 3-x 体B的质量是200g时，物体B的体积比物体 2.[2025高新-中月考]若关于x的方程2x+”+ A的体积小27cm3.如果设物体A的体积是 x-3 xcm3,那么根据题意列方程为 () x一2=2的解是非负数，则m的取值范围为 3-x A.3X00=5X227B.5X0=3X200 x x+27 2027D.5×10-3X200 C.3×100=5×2007 x-27 3.[2024陕西16]解方程：x-1十x-1 7.前沿科技[2025高新一中月考]某公司使用 DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2 共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的 时间比R1少2h.若两模型合作处理，仅需 1.2h即可完成.设R1单独处理需要xh,则下 列方程正确的是 ( 4.[2025商新-中五模]解方程：222= 3 4-1 1 c+22 1 D.x+(x-2)=1.2 8.前沿科技[2025滨河学校三模]人工智能在物流 行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以 实现高效的搬运和拣货作业.某物流园区利用 A,B型自主移动机器人搬运化工原料，A型机 器人比B型机器人每小时多搬运20kg,A型 5.[2025商新-中七模]解方程：十1- 机器人搬运900kg所用的时间与B型机器人 搬运700kg所用的时间相等，则A,B型机器 人每小时分别搬运多少化工原料？ 请完成《分层作业》(P8)中的习题 18 第8节一元二次方程及其应用 一题多练固基础 1.-元三次方程的相关概念[北师九上P50改编]已知方程(k一3)x2十2x十1=0. (1)若该方程为一元二次方程，则k的取值范围是 (2)若该方程为一元二次方程，且一个解为x=1,则k= ,另一个解为 (3)若该方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ;若该方程没有实数根， 则k的取值范围是 (4)当=一2时，设该方程的两个根分别为x1,x2,则x1十x2= ，x1x2= ,x7十 x吃= 2.解-元三次方程[北师九上P57改编】 (1)(x-5)2=36; (2)x2-2x-2=0 教材知识构体系 概念：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程 一般形式：a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0) 〔直接开平方法 元 因式分解法 解法 次 公式法：求根公式为x=-6士y厅=4ac（6-4ac≥0) 2a 方 配方法 及 ③4 0曰方程有两个不相等的实数根 用 根的判别式（△=b2-4ac)④△ 0曰方程有两个相等的实数根 ⑤A 0台方程无实数根 根与系数的关系：若一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x01十x2=⑥ x1x2=⑦ 19 平均增长率问题：增长率= 增长量×100% 基础量 利润问题：利润=售价一进价：利润率= 利润×100% 进 元 实际应用中 单循环问题：游戏次数=⑧ 循环问题（设参加游戏的人数为x) 次 的常见问题 双循环问题：游戏次数=⑨ 方 及关系式 如图①，阴影区域的宽为x,则S空白-⑩ 及 如图②，阴影区域的宽为x,则S空片=① 如图③，阴影区域的宽为x,则S空白=② 应 图形面积问题 -a- 图① 图② 图③ 孕真题模拟明考向 命题点刀一元二次方程及其解法 命题点☒一元二次方程的实际应用 1.[2025交大附中期未]利用“配方法”解方程x2 5.[2025曲江一中三模]今年国庆节和中秋节双节 4x一7=0，下列配方结果正确的是 期间，某微信群规定，群内的每个人都要发 A.(x-2)2=11 B.(x-2)2=3 个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不 C.(x-4)2=11 D.（x-4)2=3 能抢自己发的红包.若此次抢红包活动，群内 2.[2025铁一中陆港中学三模]用适当的方法解方 所有人共收到90个红包，则该群一共有 程：3x2十2x一2=0. 人 6.[2025交大附中五模]如图是某停车场的平面示 意图，停车场外围的长为30m,宽为19m.若 停车位总占地面积为390m,停车场内车道的 宽都相等，求车道的宽.■ 3.[2025西工大附中三模]解方程：x(2x一7) 出口 30m 8(7-2x). 停车位 19m 车 车道 车道宽 道 停车位 车道宽 第6题图 命题点2一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 4.[2025西工大附中二模]x1,x2是一元二次方程 x2一4x+1=0的两个实数根，则x1十x2一 x1x2的值为 A.4 B.-5 C.3 D.1 请完成《分层作业》(P9)中的习题 》》 20 第9节一元一次不等式（组）及其应用 孕一题多练固基础 2≤5- 一元一次不等式（组）的解法[北师八下P55改编]已知不等式组 2 2x,① 5x+2>3(x-1).② (1)求不等式①的解集； (2)不等式①的最大整数解为 (3)不等式②的解集为 (4)原不等式组的解集为 ,有 个整数解； (5)将不等式组的解集表示在数轴上， -5-4-3-2-1012345 孕教材知识构体系 r性质l:若a>b,则a士c①b士c(应用：移项) 不等式的 性质2：若a>b,c>0,则a>bc(应用：去分母)，g>(应用：系数化为1) 质性质3：若a>b,c0,则ac② bc(应用：去分母)，a③ b(应用：系数化为1) 去分母：去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意不等 一般步骤 号的方向是否改变) 一元一次 x<a 不等式（组） 及其应用 ④ (6年6考) 一元一次不等式的 a 解集表示 解法及解集表示 ⑤ ⑥ 注：在数轴上表示解集时，要注意“<”和“>”在数轴上表示为空心圆 圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 21 般步骤：(1)解每个不等式；(2)在数轴上表示各不等式的解集； (3)确定解集的公共部分；(4)写出不等式组的解集 类型 在数轴上的表示 口诀 解集 (a>b) 元 lx≥a 同大取大 ⑦ 一元一次不等式组的 x>b 次不 解法及解集表示 同小取小 ⑧ I<b 式（组）及其应用 大小小大 ⑨ x-b 取中间 x≥a 大大小小 ⑩ \x<b 取不了 6年 常见关键词 符号 解不等式（组）的实际 大于，多于，超过，高于 > 应用题时常见关键词 小于，少于，不足，低于 与不等号的关系 至少，不低于，不少于 ≥ 至多，不超过，不高于，不大于 孕真题模拟明考向 命题点刀一元一次不等式（组）的解法 x+3<5,① 4.[2025陕西16]解不等式组： 1.[2024陕西4]不等式2(x一1)≥6的解集是( 12(x+1)>x-1.② A.x≤2 B.x>2 C.x≤4 D.x≥4 2.[2025铁一中七模改编]如图，在数轴上表示了 某个不等式的解集，这个不等式可能是() 命题点2一元一次不等式（组）的应用 5.[2025西工大附中九模改编]某校组织七年级和 -2-10123 八年级共60名同学参加环保活动，七年级平 第2题图 均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级平均每 A.x-1<1 B.x-1≤1 人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑 C.x-1>1 D.x-1≥1 料瓶总数不少于1000个，则至少需要名 3[2023快商14解不等式：325>2。 八年级同学参加环保活动. 6.地方特色横山小米色泽金黄、营养丰富，富含粗 蛋白和多种微量元素，被誉为“小人参”.某超市 以35元/袋的进价购进一批横山小米，出售时 标价为60元/袋，超市现准备打折销售，但要保 证利润率不低于20%，则至多可打折. 请完成《分层作业》(P10)中的习题 nm 3》 22 主题情境方程（组）、不等式（组）的实际应用 礼泉县地处关中腹地，气候宜人，很适合种植水果.水果店的李老板计划着今天要去距离水果店 200km的农贸市场进货.“咱礼泉的桃子最近卖得火，得多进些正宗的昭陵御桃，但张婶总念叨想买 酥梨…”李老板翻着记账本喃喃自语.他得赶在七点前回来，不然早高峰的上班族就买不到新鲜果 切了.这趟既要控制油费，又得让老街坊们都满意，李老板咬着圆珠笔帽，在晨雾中开始了他的精打 细算之旅。 1.已知御桃进价3元/kg,酥梨进价2元/kg,李老板的货车一共可以拉1500kg的水果，李老板这次 两种水果都采购比只采购御桃的花费少500元. 设采购酥梨的质量为akg,则可列方程为 ,可得采购酥梨 的质量为 kg. 2.在(1)的条件下，若李老板计划制作果切100份，每份果切需要御桃1kg,酥梨2kg,每份果切的售 价为12元，剩余的水果全部售出可获利1500元，李老板据此列出方程组 1x+2y=12-3-2×2, (500-200)y+(1000-100)x=1500. 其中x表示 ,y表示 ,御桃和酥梨每千克的售 价分别为 3.因生意火爆，李老板和他的儿子小李从水果店到农贸市场准备进货，已知小李的速度是李老板的 2倍，李老板比小李提前2h出发，结果小李比李老板还早？h到达农贸市场，求李老板和小李的 速度分别为多少？ 速度碧 4.在(1)(2)的条件下，小李根据消费者对两种水果的喜爱程度，调整了对御桃和酥梨的进货量.若销 售完一次进货的量，其中御桃获得的利润不能低于950元，两种水果总质量共1500kg,则至多可 以购进多少千克酥梨？ 23