河北廊坊市固安县第六中学2026-2027学年高三上学期九月阶段检测数学试卷

2026-2027学年固安县第六中学高三上学期九月阶段检测 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设无穷数列{an}的前n项和为Sn,若{Sn}为严格增数列，则数列{a}() A.所有项都大于0 B.至多有一项不大于0 C.可以有不止一项的有限项不大于0 D.可以有无穷多项不大于0 2.数据10,11,11,12,13,14,16,18的75%分位数为() A.16 B.15 C.14 D.13 3.点集2={(x,y川(x+y-1心--=0表示的曲线总长度等于（) A.2π+2V2 B.π+4 C.π+22 D.+o0 4。函数)=心(or-君}o>0的图象关于直线=号对，则心的最小值为(） A,号 B.1 c D.2 5.若a,6是非零向量且满足(a-36)1a,(6-3d1b,则ā与6的夹角的余弦值为() A司 c 4 D. tanx+a,- 2sx<0 6.已知函数(x)= 的值域为R,则实数a的取值范围是() e'+In(x+)-- +1*20 A.（-m,0] B.（-m,- C.[0,+o) D.[-1,+co) 7.已知稀圆C:苔+卡=a>b>0的左、右焦点分别为R,R,过的直线与精圆C交于AM,N两点，若 y2 2S.M=5S5且∠EFN=∠FN,则椭圆C的离心率为（) A c D. 2 试卷第1页（共6页） 8.已知抛物线C的方程为y=式，F为其焦点，点N坐标为Q,4),过点F作直线交抛物线C于A、B 两点，D是x轴上一点，且满足DA=DB=DNW,则直线AB的斜率为() A,t店 B.t面 C. D.t√5 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在△ABC中，点D在边BC所在的直线上，且BD=4DC,若AD=mAB+nAC,则mn的值 可能为( A.25 4 4 B.25 c.g 10.已知一组数据x,x,x,x,x满足x<x2<x<x,<x,则下列说法正确的是（) A.这组数据的40%分位数是x B.2,x的极差小于x,x,,x,x的极差 C.,x,x,的平均数小于x,2,xx,的平均数 D.2,名，x,的方差小于x,,,x,x的方差 1山.已知双自找C号-卡=o>0b>0,过左售点5作一条新近找的垂线，善足为P,过右点5作- 条直线交双曲线的右支于A,B两点，△FAB的内切圆与FA相切于点？，则下列选项正确的是() A.线段AB的最小值为 a B.△FAB的内切圆与直线AB相切于点F C.当PF=QF时，双曲线的离心率为√5 D.当点F关于点P的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为√5x±y=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，己知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图 形的面积为 0 O'A'Bx 13.(2x-y+)的展开式中x2y的系数为 试卷第2页（共6页） 14.在平面直角坐标系中，已知点A1,5、B(2,0),动点P满足PB=1,点C满足0C=20A+OP,则 aOAC面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数/（倒=sn(or-oo>0o<到 的部分图象如图所示 5π 12 Oπ 12 (1)求∫(x)的解析式： (2将/八)的图象向右平移爱个单位长度。得到函数)y=(国的图象，求&()在区间Q写引上的最大 6 值和最小值 16.(15分) 如图，己知平行六面体ABCD-AB,CD中，所有棱长均为2，底面ABCD是正方形，侧面ADD,A是 矩形，点P为D,C的中点，且PD=PC. B 试卷第3页（共6页） (I)求证：CC⊥平面ABCD: (2)求平面CPB与平面DPB的夹角的余弦值 17.(15分) 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽 取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按2,4)，[4,6)，[6,8)， [8,10]分组，得到如图所示的频率分布直方图 频率 频潮 T组距 T组距 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0 246810质量指数 02 46810质量指数 甲、生产线产品质量指数领率分布直方图 乙、生产线产品质量指数频率分布直方图 ()分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： (2)若产品的质量指数在8,10内，则该产品为优等品。现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽 取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件 产品是甲生产线生产的概率。 18.(17分) 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教有日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图 (1),标志着国内最重核电机组薄壳钢村里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能 试卷第4页（共6页） 源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个 平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径技截得的部分是球冠的高球冠面积等于截得 它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球 体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底 为底.以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图(2）)当一个四面体各顶点都在“球锥”表面 上时，称这个四面体内接此“球锥”如图(2)，设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠高为h(h<R) S R 08 “球锥” (1) (2) (3) (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图(3）)，写出球锥”的体积公式： (2)在该”球维”中，当球缺的休积与圆维锥的体积相等时，求么的值： (3)己知一个棱长为a的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的a有且只 有一个，求只的取值范围 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60',PA⊥PD,E为PC的中点 (I)证明：PA//平面BDE: 试卷第5页（共6页） (2)若PA=PB=2√5，PD=2. ①求二面角P-AD-B的余弦值： ②求直线BC与平面ABP所成角的正弦值 试卷第6页（共6页） 《2026-2027学年固安县第六中学高三上学期九月阶段检测数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 答案 B B A B A BC BD 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】根据数列的单调性可知，对任意的n∈N”,a1>0,但a可以等于零，由此可得出结论 【详解】若{Sn}为严格递增数列，则对任意的neN”,S>S.,可得a>0, 即数列{a,}从第二项开始，每项都是正数，但a可以等于零， 故选：B 2.B 【分析】根据百分位的定义求解即可. 【详解】因为8×75%=6， 所以这组数据的75%分位数为14+6=15。 2 故选：B. 3.C 【分析】根据题意整理得x+y-1=0,x2+y2=1(y之0)，且-1≤x≤1，结合直线，圆的方程分析求解 【详解】由题意可知：1-x2≥0，解得-1≤x≤1， 因为(x+y-y--)=0,则x+y-1=0或y--x=0, 若x+y-1=0,且-1≤x≤1，表示以(-1,2)，(1,0)为端点的线段， 此时表示的曲线总长度为、(-1-+(2-0=22： 若y-√-x=0,整理得x2+y2=1(y20),表示以O(0,0)为圆心，半径为1的上半圆， 此时表示的曲线总长度为二×2π×1=π： 2 综上所述：点集Q表示的曲线总长度等于π+2√互 故选：C 4.A 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于ω的方程，进而求解ω的最小值 【详解】数倒-ao0r-君o>0的图象关于直线：号对称. 答案第1页（共12页） 所以肾0-名，keZ,得@=3+分keZ, 因为0>0，所以当k=0时，0取最小值，为2 故选：A 5.B 【分析】由向量垂直关系科到ā5=女-。再由向量夹角公式即可求解 【详解】设ā与6的夹角是a,因为(a-36)1ā， 所以(a-36)a=0,即1a-3ā.b=0①， 又因为(6-3a16, 所以(6-3a6=0,即16P-3ā.6=0②. 0@知问=a6--。 所以cosa= a.b a6-Tap=3 故选：B 6.C 【分析】首先根据题意得到/在[0，网)为增函数.儿)2/0)=0，再根据当-受<x<0时， tanx+ae(-o,a)求解即可 【详解】当x之0时，f)=c'+ln(x+)- x+1 四-e+a0, 所以f(x)在[0，+∞)为增函数，f(x)之f(0)=0 当-登x<0时，amx+ac(aa小 因为函数f(x)的值域为R,所以a≥0 故选：C 7.A 【分析】作FE⊥MN,结合条件可得 MF2 M园-亏，结合椭圆定义求出MEWFFE,在RtMEF,RteFEF; 中，分别由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案 答案第2页（共12页） 【详解】如图，FE⊥MN,垂足为E, 因为∠FEN=∠FNE,所以EF=|NF引=2c,E为FN的中点， FN =2a-2c,FE=a-c, 2S.w=5S.M听5， :N5时宁s现为圆-号 所以M=号0Ml+2F).即MF-F。 -.E-(a-c)+(a-e)-j(a-c). 1w=2a-Mfl=2a-2a-20)-4c+2a 3 在RteMEF中，ME+EE=M,在RtAFEF中，EE'-EE=EF. -o-+a-可-(2a月 化简整理得5c2-8ac+3a2=0, 52-c+3=0,解利e=1政号又0<e<1.e-号 故选：A 8.B 【分析】设A(:,),B(s,),D(a,0),直线AB方程为y=红+，联立直线与抛物线方程，消元，得 到xx=-4,再DA=D=DN=V后+4，可得A(x,y,B()是方程x2+y2-2ar-16=0的解， 将y=:+I代入方程，由x,=4求出k 【详解】设A(x,片)，B(sy),D(a,0),直线AB方程为y=:+1, [y=a+1 联立直线与抛物线方程 y=x2:可得x2-4k-4=0 答案第3页（共12项） 显然△>0，所以xx2=-4. 又DM=lDB=DNM=a+4,即x-a+片=x,-a+片=a+④， 即x+-2a此-16=0，x+-2a此-16=0， 故A(,y),B(3)是方程x2+y2-2ax-16=0的解， 将y=:+1代入方程x2+y2-2r-16=0, 整理得1+k)x2+(2k-2)x-15=0,显然A>0, 15 1+积=5=4， -号即k=四 2 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为(：y)、(x乃)： (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算△： (3)列出韦达定理： (4)将所求间题或题中的关系转化为x+x、x的形式： (5)代入韦达定理求解。 9.BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可 【详解】由题意，当点D位于如图所示的位置时， 而=+D=而+c=+uc--兮0+C. 5 4 4 此时m写n=行那么mn=25 5 答案第4页（共12项） 由题意，当点D位于如图所示的位置时，D=C+西=C+C=C+(C-=-+子C。 4 此时m=3n=那么m=-) B 故选：BC 10.BD 【详解】对于A,5×40%=2,所以这组数据的40%分位数是十x,故A错误： 2 对于B,因为x<2<为<x<x,所以x,-x>x-x2,故B正确： 对于C,不妨取这组数据为1,2,3,4,5，此时x2,,x的平均数和x,x2,,x4,x,的平均数均为3，故C 错误： 对于D,由名<x2<<x<可知，数据x,2,,4,比数据2，，x更分散， 所以2，本，x的方差小于x,,,4,的方差，故D正确. 11.BCD 【分析】设出直线AB方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A,根据双曲线的定义和 内切圆性质可判断B,由题可得b=2a进而可判断C,根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D. 【详】设双鱼线号-茶=1的右店为5仁0,5，小B。 当直线AB斜率不作在副，直线B的方程为x=6,则=2沙。 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-C), [y=k(x-c) 联立 3-,消去y,得b-u2k2)x2+242c2x-a2c2k2-a2b3=0 2a'ck? x1十X2= 62-,5=-e2tah b2-a2k2 答案第5页（共12页） a=(2a2ck2）-46-a2k2(-a2c2k2-ab2)>0 2a'ck? 由+6=6-不>0 ,解得k>b或k<-b a'c'k2+ab 5= b2-a2>0 所以14B=+2儿（(+x》-4x,]= 2ab(k2+1)2ac2k2 ak2b a'k:b-2a 2ac? -2a>2e -2=26 a 所以当直线AB与x轴垂直时，4B的长最小，即最小值为2办，故A错误： a 设△FAB的内切圆与三角形三边的切点分别是Q,E,N,由切线长性质，可得 AF-BFI=40-BE=AN-BNI 因为AF-AF=2a=BF-|BF,所以AGl-BF=|AF-BF引，所以F与N重合， 即aFAB的内切圆与直线AB相切于点F,故B正确： 由题可知双曲线的渐近线为x士=0,5(-c,0),则P5=d =b, a2+b 由上可知lF2=Af-Al=2a,所以b=2a,所以c=S=、 a +=5,故C正确： .π 若斤关于P点的对称点在另一条新近线上时，则渐近线与x轴的夹角为了则北新近线方程为、5x±y=0, 故D正确 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦 中通径最短的结论 12.22 【分析】根据斜二测画法求解 【详解】四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形， 答案第6项（共12项） ∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，且该边上的高为2√2， ∴.原图形的面积为2√互 故答案为：2√互 13.420 【详解】依题意，所求系数为CC;×22×(-)°×1=420 故答案为：420. 14.5+1/1+5 【分析】i设P(x,y),由PB=1可得(x-2)}+y2=l,可设x=cos0+2,y=sin0,0eR,则P(cos0+2,sin0), 由0C=20A+0P可得C(cos0+4,sin0+2W5),再证明已知三点0(0,0)，A(x,y）,C(x,y),则a04C面积 为8ae--.可得及acm[0-引， 进而结合正弦函数的性质求解即可 【详解】设P(xy以，则P丽=(2-x-y以，即P⑧=(2-x}+(←y=x-2}+y2=1, 则(x-2)}+y2=1,不妨设x=cos0+2,y=sin0,0eR,则P(cos0+2,sin0), 所以0C=20i+0i=(cos0+4,sin0+25),即C(cos0+4,sin0+2W5) 下面证明：已知三点OQ,).4().C(s,.则0AC面积为Sac=ky-名x 由0(0.0,4(xy),C(x),则0A=(x,y),0C=(x2), 即0A.0C=x+y,oA=民+只，o=居+牙， 所以.0AC面积为iocsin乙A0c=oioG1-cos乙aoc 0.0C ooc -(oi-oc) 2+写+)-(3+=2⅓-=-州 sim0+2)-(c0+4)-sim0-5cos0-2/3 o-}2mo-} 由于如0-}e-川，则sn(0-}-5c[1-51-, 即S.c∈[5-l,V5+刊]，则a04C面积的最大值为5+i 答案第7页（共12页） 15.(f倒=sm3x+ (2)(x)取到最大值1，g(x)取到最小值-互 【分析】()利用周期性求=3，利用最高点求一子即可求利解析式： (2)利用平移思想，结合定义域，再利用正弦函数的性质可求得最值 2_2x→d=3, 【详都10)由可和爵数的周期为T-合》子则合行 因为0>0，所以w=3, 4 因为<受所以p-吾 即)-=m3x+ (2)将f(x)的图象向右平移”个单位长度，得到函数y=g(x)的图象， 即y=创=[(-引引m3x引} 因为e引所以3-[吾即如3红引别[要 即当x=牙时，g()取到最大值1，当x=0时，g(x)取到最小值-2 16.(1) 设是CD的中点，连接P2,由于P是CD,的中点，.DD,IP, 由于PD=PC,.Pg⊥CD,.DD⊥CD. 由于四边形ADDA是矩形，.DD,⊥AD, 由于CDOAD=D,CD,ADC平面ABCD, .DD,⊥平面ABCD:,又CC,DD,从而CC⊥平面ABCD: 25 75 【分析】(1)根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可： (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可。 【详解】(1)略 (2)由于四边形ABCD是正方形，结合(1)的结论可知AD,CD,DD两两相互垂直， 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， 答案第8页（共12页） D(0,0,0),P(0,12).B(2,2.0).C(02,0) Dp=(01,2.DB=(2,2,0).CB=(2,0,0).CP=(0,-l,2） 设平面DPB的法向量为m=(x,八，z), 则 (m-DP=y+2:=0 故可得m=(2,-2,1) m.DB=2x+2y=0 设平面CPB的法向量为斤=(a,b,c): CB=2a=0 则 故可得n=(0,2,) .CP=-b+2c=0 设平面CPB与平面DPB的夹角为0，则cos0=m:月.3=5 Γm.月3×5 5 ZA ○ D 17.(1)Xm=6,X2=5 哈 【分析】(1)由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可： (2)先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模 型求解即可。 【详解】(1)解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为： xm=3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2=6.4: 乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为： x=3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2=5.6 (2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100x01×2=20件， 乙生产线的样品中优等品有100005×2=10件. 从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×，20 =4件，i记为a,b,c,d 20+10 答案第9页（共12页） 20+10=2件，记为6，A 10 从乙生产线的样品中抽取的优等品有6 从这6件产品中随机抽取2件的情况有： (a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(a,F). (b,c),(b,d),(b,E),(b,F), (c,d),(c,E),(c,F), (d,E),(d,F), (E,F),共15种： 其中符合条件的情况有： (a,E),(a,F),(b,E),(b,F), (c,E),(c,F),(d,E),(d,F),共8种 故所求概率P=8 15 1s.u房Rh (2)=3-5 6n-6c<1 3<R 【分析】(1)类比球的体积公式推导，把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为S=2πRh,结 合锥体体积公式可得“球锥”体积 (2)设因锥半径为r,由勾股定理可得r2=R2-(R-h)子=2h-h2,由题意V球m~=2喻，计算体积消去 2化简即可。 (3)根据四面体棱长计算高和底面外接圆的半径，结合题意分析即可 【详解】(1)把“球锥"切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为S=2πRh,所有小锥体的底面积之和即 球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥的体积为a=了×2Rh:R=子 (2)设圆锥半径为r,则r2=R2-(R-h)2=2Rh-h2, 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，锥=2"维， 即2R2h=2×52(R-h), 消去子，得子Rh=名2M-)(R-. 整理得R2-3h+R=0,因为h<R,所以A_3-5 R2 答案第10页（共12页） R-h R (3)设正四面体P-ABC内接“球锥”，顶点P与球心重合，棱长为“， 则a18C外接四半径为9。，正网面体的高为5。 ，显然a>R不满足条件 注意到、当顶点A,B,C在圆锥底面圆周上时， a=R.R-h=- R,得=1-6 R 3 =1-6时，作平行于贸锥底面的平面截正四面体P-ABC,所得技长小于R的正四面体均可内接该 当 3 “球锥” 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该"球锥，则女≠1-y ,且顶点A,B,C在球冠上即a=R,且 R 3 R-hs5R 3 又因为h<R,所以1-6点<1. 3R 19.(1) 连接AC,交BD于点O,连接OE, 因为底面ABCD为菱形，所以O为AC的中点， 因为E为PB的中点，所以EOPA, 又因为PAa平面BDE,EOc平面BDE, 所以PA/I平面BDE: 2n5:②时 3 【分析】(I)连接AC,交BD于点O,连接OE,可证EOIIPA,从而PA/I平面BDE: (2)①取AD的中点F,连接BF,则BF⊥AD,在aPAD中，作IF⊥AD,交AP于点I,以∠IFB为二 面角P-AD-B的平面角，利用余弦定理求解边和角：②设点C在平面ABP内的射影为点？，则∠CB为 直线BC与平面ABP所成的角，求出C?的长度，即可解决问题 【详解】(1)略 答案第1页（共12项） 2 (2)①因为AD=AB,∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形， 取AD的中点F,连接BF,则BF⊥AD, 在△PAD中，作IF⊥AD,交AP于点I, 所以∠IFB为二面角P-AD-B的平面角 在Rt△APD中，因为PA=25,PD=2,所以∠PAD=30, 所以AD=4,BF=2√5， 在Rt△AF中，AF=2,∠PAD=30, 所以灯9 45 3 在△ABI中，cos∠AB=os∠PAB=AP+AB'-BP-5 2AP-AB 3 由余弦定理得1=4：+4B-244B×5_46 33 在△BFI中，由余弦定理cos∠IFB= F12+BF2-BI2 1 2F12BF 所以二面角P一-AD-B的余法值为 ②设点C在平面ABP内的射影为点Q, 则∠CBQ为直线BC与平面ABP所成的角， 因为PA=PB,AD=BD,所以△PAD=APBD, 所以∠BPD=∠APD=90,所以PD⊥PB, 又因为PD⊥PA,PAC平面ABP,PBC平面ABP,PAOPB=P, 所以PD⊥平面ABP, 又因为ABIICD,ABC平面ABP,CDE平面ABP, 所以CD∥平面ABP,且C2=PD=2, 所以sin∠C0=C2=, BC 2' 所以直线BC与平面ABP所成角的正弦值为 【点睛】关键点点睛：根据定义找到二面角和线面角的平面角，从而求解 答案第12页（共12页）