精品解析：河北省石家庄市、张家口市部分校2026-2027学年高三上学期10月高三检测数学试题

10月高三数学检测 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题得，． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，满足，但， 若，因为， 所以成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 4. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为增函数，所以， 因为对数函数在上为减函数，所以， 因为指数函数在上为减函数，所以，故. 5. 中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？（ ） A. 98 B. 105 C. 355 D. 463 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数. 【详解】由题设， 日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量， 中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量， 所以. 故选：C. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两个根， 则，即， 不等式为，即， 解得，所以所求的解集为. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将单调递增问题转化为导数在区间上恒成立的问题，分离参数后转化为求新函数的最值问题. 【详解】由，得. 因为在上单调递增， 所以对任意，恒成立. 所以不等式恒成立等价于在上恒成立. 即在上恒成立. 令，. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，取得最小值. 要使恒成立，只需. 综上，实数的取值范围为. 8. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义列出和，然后联立这两个式子，进行化简得到，然后求导判断单调性，即可求出最大值. 【详解】因为直线既是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得①； 因为直线又是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得②， 联立①和②得，，化简得. 令，则，代入得，即. 所以，令， 对函数求导得，令得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，，，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； ， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故C错误； 因为，又， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用周期性的定义可判断A选项；利用对称性的定义可判断B选项；求出函数在的解析式，结合二次函数的单调性可判断C选项；求出、、、、的值，结合函数的周期性可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，故是函数的一个周期，A对； 对于B选项，因为定义在上的奇函数满足， 所以，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由可得，， 当时，，则， 当时，，则， 所以， 因为是函数的一个周期，且， 故 ，D对. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，函数的极大值为 C. 当时，函数有2个零点 D. 可能有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先对函数求导，判断导数符号进而确定函数的单调性；对于B，先求出极值点，然后判断函数的单调性，进而确定函数的极值；对于C，先判断函数的单调性，然后求出极值和端点值，从而确定函数的大致图象和零点个数；对于D，从三种情况判断函数的单调性，确定极值和端点值的符号，进而确定函数的零点个数. 【详解】对函数求导得. 对于A，当时，， 当时，，此时；当时，，此时； 当时，，所以， 所以当时，在上单调递增，A正确； 对于B，令，则，当时，，即， 所以当时，；当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点，， 所以当时，函数的极大值为，B错误； 对于C，，所以，所以. 因为，所以当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因而函数的极小值为. 当时，，； 当时，. 函数在各穿过轴一次，共2个零点，所以C正确； 对于D，由C选项可知，当时，函数有2个零点； 当时，，因为， 所以当时，；当时，； 所以此时函数在上单调递增，在上单调递减，而， 而当时，；当时，，所以此时有1个零点； 当时，，而，令，则， 由选项B可知，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 函数的极大值为 ，而时，，此时函数只有1个零点； 当时，，当时，； 当或时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而时，，， ，此时函数只有一个零点，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是上的奇函数，则________________________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过解出的值，得到函数的解析式，再使用验证即可. 【详解】因为函数是上的奇函数， 所以，即，解得，则，定义域为， 因为， 所以当时，函数是上的奇函数． 13. 若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【解析】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，，不等式 恒成立，则实数的最大值为 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先将去分母，将问题等价转化为在区间上单调递增，即在区间上恒成立，分离参数后构造函数利用导数计算即可求解. 【详解】由题意可知在区间上恒成立， 不妨设，即在区间上恒成立． 令，则， 所以在区间上单调递增， 故在区间上恒成立． 因为， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立． 令，则恒成立， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，解得，故实数的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）设命题，使得．若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，写出集合，当时求的补集，再用交集运算求； （2）将必要不充分条件转化为 ，由区间端点列不等式，并检验端点是否取到，求的范围； （3）解二次不等式得或，命题为真等价于与该范围有交集，由区间端点列不等式或，求的范围. 【小问1详解】 解不等式，得，所以，． 当时，，故， 因此． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则或， 解得，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 由，解得或， 因为命题为真命题，所以， 所以或， 解得或，所以实数的取值范围为． 16. 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】（1） （2）最小值为，；最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，利用函数的单调性可得，求解即可； （2）利用换元法可求得函数的最值，进而可求得最值时对应的的值． 【小问1详解】 当时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，解得或. 因为，所以， 当时，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，方程无解. 综上，； 因为在上单调递增，且，所以， 解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，，所以， 令，，则， 所以当时取得最小值为，则， 当时取得最大值为，则. 17. 已知函数，若对于任意实数，有，且当时，． （1）求证：在上是增函数； （2）若，对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：任取，且，则，， 因为，即， 所以在上是增函数． （2） 【解析】 【分析】（1）令，将转化为，由得，从而，证得增函数； （2）先由推，利用单调性去掉函数符号，得，转化为二次函数在区间上最值问题，列不等式组求范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以可变形为． 因为在上是增函数，所以，所以． 依题意，当时，， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值， 所以，解得，故实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）当时，若在区间上存在减区间，求的取值范围； （2）当时，讨论函数在区间上的极值； （3）当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上无极值；当时，在上有极小值为，无极大值． （3） 【解析】 【分析】（1）参变分离法将问题转化为在上求范围. （2）利用导数结合分类讨论的思想，求出函数单调性，再求极值； （3）根据题意，进行参变分离法将问题转化为，令，求其最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 因为在区间上存在减区间，即在区间上有解， 所以． 令，则在区间上的最大值为， 所以当时，在区间上存在减区间，故实数的取值范围是． 【小问2详解】 当时，，则， 令，则或． 当，即时，在上恒成立，所以无极值； 当，即时，在上，在上， 所以在上有极小值为，无极大值； 当，即时，在上恒成立，所以无极值． 综上，当时，在上无极值； 当时，在上有极小值为，无极大值． 【小问3详解】 当时，，则， 若对任意的，都有恒成立， 即对任意的恒成立， 分离参数可得． 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在上的最大值为，故， 故的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线方程为，求，的值； （2）若函数存在两个极值点，． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）， （2）① ②证明：因为或，， 而，所以， 而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值. （2）①问题转化为有两个不同的解求参数的取值范围； ②先结合①的结论，确定的取值范围，再根据得到的表达式，通过对函数单调性的分析，可求的取值范围. 【小问1详解】 ． 因为在处的切线斜率为，所以，即， 此时切点坐标为，所以． 【小问2详解】 ①因为， 当时，在上单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由， 所以即在上单调递增，在上单调递减． 因为函数存在两个极值点，， 所以需有两解，所以为必要条件， 即为必要条件， 当时，，；当时，， 分别在及各有一零点，，符合题意． 综上，的取值范围是． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月高三数学检测 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？（ ） A. 98 B. 105 C. 355 D. 463 6. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，函数的极大值为 C. 当时，函数有2个零点 D. 可能有三个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是上的奇函数，则________________________． 13. 若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，，不等式 恒成立，则实数的最大值为 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）设命题，使得．若命题为真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 17. 已知函数，若对于任意实数，有，且当时，． （1）求证：在上是增函数； （2）若，对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，若在区间上存在减区间，求的取值范围； （2）当时，讨论函数在区间上的极值； （3）当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线方程为，求，的值； （2）若函数存在两个极值点，． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $