湖南永州市雅思高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

2026-2027永州市雅思高级中学10月数学阶段性检测 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题 1.复数的共轭复数是（） A. B. C. D. 2.某校高一､高二､高三的住校生人数分别为，，，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（） A.12，18，15 B.20，40，30 C.25，35，30 D.24，36，30 3.已知，均为单位向量，则是的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（） A. B. C. D. 5.如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（） A. B. C. D. 6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（  ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，则 7.圆与圆的位置关系为（） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 8.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 二、多选题 9.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ） A. B.评分的众数估值为 C.评分的第25百分位数估值为 D.评分的平均数估值为 10.已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（） A. B. C. D. 11.下列四个命题中正确的有（ ） A.过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C.若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 三、填空题 12.若直线与圆交于，两点，则                   ． 13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为                   ． 14.记的内角的对边分别为已知则                  . 四、解答题 15.在平面直角坐标系中，已知向量，． (1)求向量与向量的夹角； (2)若向量满足且，求的坐标； (3)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 16.已知圆，直线. (1) 将圆的方程化为标准方程，并求出圆心坐标和半径； (2) 求证：直线恒过定点； (3) 设直线与圆交于两点，且面积为，求的值. 17.已知的三个顶点是，，． (1) 求边上的中线所在直线的一般式方程； (2) 过点做直线的垂线，求垂足的坐标． 18.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点. (1)证明：平面 (2)设，，求二面角的余弦值. 19.已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，求的值. 2026-2027永州市雅思高级中学10月数学阶段性检测 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题 1.A【解析】， 由共轭复数定义得该复数的共轭复数为. 故选：A. 2.D【解析】三个年级的住校生总人数为， 由此得抽样比为， 计算得高一、高二、高三抽取的人数分别为，，. 故选：D. 3.C【解析】，均为单位向量， 故. 对两边平方得，展开得， 代入化简得， 即. 由此可得， 故是的充要条件. 故选：C. 4.C【解析】法：从张卡片中无放回随机抽取张，共种等可能基本事件，其中数字之积为的倍数的基本事件共种， 故概率为. 法：从张卡片中无放回随机抽取张，共种等可能基本事件，其中数字之积为的倍数的基本事件共种， 故概率为. 故选：C. 5.D【解析】由题得，，. 展开得， 代入数值化简得. 由此可得. 故选：D. 6.C【解析】对于选项A， 由，，得与的位置关系为平行、相交或异面， 故A错误. 对于选项B， 由，，得与的位置关系为、或与相交，且相交不一定垂直， 故B错误. 对于选项C， 由，得，结合， 可得， 故C正确. 对于选项D， 由，，得或， 故D错误. 故选：C. 7.C【解析】配方整理圆的方程得，得圆心，半径. 圆的标准方程为，得圆心，半径. 由两点间距离公式计算得，结合得， 故两圆位置关系为外切. 故选：C. 8.A【解析】向量在上的投影向量为， 由，是夹角为的单位向量，得，. 计算得， 代入化简得投影向量为. 故选：A. 二、多选题 9.AC【解析】频率分布直方图频率和为，得， 解得， 故A正确. 频率分布直方图的众数估值为最高矩形中点横坐标，最高矩形对应区间， 计算得众数估值为， 故B错误. 因为， 所以第百分位数落在内， 计算得第百分位数估值为， 故C正确. 计算评分的平均数估值为， 故D错误. 故选：AC. 10.BD【解析】由点，到直线的距离相等，得直线与平行或直线过的中点. 直线与平行时， 由、坐标计算得，直线过点， 由点斜式化简整理得. 由、坐标得中点坐标为，直线过和， 由两点式化简整理得. 故选：BD. 11.BD【解析】A选项中，截距为时直线过原点， 可得方程也满足条件， 故A错误. B选项中， 由得，直线恒过定点， 计算得，，直线斜率为， 故或， 解得或， 即的取值范围为， 故B正确. C选项中， 若与平行，得；若与平行，得，与交于原点， 当在直线上时， 代入得， 故的所有可能取值组成的集合为，C错误. D选项中，直线斜率不存在时不满足条件， 设斜率存在时的方程为，，平移后得方程，平移后与原直线重合， 故， 解得， 故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12.【解析】由圆的方程配方得， 由此得圆心坐标为，半径. 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离. 结合弦长公式得. 故答案为：. 13.【解析】过作，垂足为，为正四棱台的高. 由，，得，，. 因为， 所以. 由棱台体积公式，得. 故答案为：. 14.【解析】由且得； 由正弦定理得故； 因为所以由得故即； 又故. 四、解答题 15. 解：(1)设向量与的夹角为，， 由向量夹角公式得，结合， 故. (2)由，， 设， 由得， 解得， 代入得的坐标为或. (3)向量与夹角为钝角，满足且两向量不共线， 计算得，， 代入点积不等式得， 化简得. 若两向量共线，则， 解得， 故不共线时， 由此可得的取值范围为. 16.(1) 解：由圆配方得， 故圆心坐标为，半径. (2) 证明：整理直线方程得，联立， 解得，， 故直线恒过定点. (3) 解：设圆心到直线的距离为， 由点到直线距离公式得，又，结合得， 整理得或. 代入的表达式得或， 解得或. 17.(1) 解：由，得中点坐标为，边上的中线过点与中点， 由两点式得， 整理得中线的一般式方程为. (2) 解：由，得， 因为， 所以. 整理得直线的方程为，直线的方程为，联立， 解得， 故垂足的坐标为. 18. ⑴证明：因为底面为正方形, 所以. 因为平面平面, 所以. 因为平面平面, 所以平面. ⑵解：以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 设平面的法向量为. 由,得. 令,得. 设平面的法向量为. 由,得. 令,得. 因为二面角的平面角为锐角, 故其余弦值为. 19. 解：(1) 轨迹的方程为. (2)，圆心为，半径. . . 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $