精品解析：湖南省祁阳市第一中学2025-2026学年高二上学期1月段考数学试题

祁阳一中高二段考数学试卷（2026年1月） 满分150分 时间120分钟 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 数列，，，，，…的第7项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 2. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，利用离心率公式即可求出答案. 【详解】对于椭圆，，，， 所以离心率. 故选：B. 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 4. 直线在坐标轴上的截距之和为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】将直线方程化为截距式方程可得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 因此直线在坐标轴上的截距之和为. 故选：D. 5. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的概念，以及直线与抛物线的位置关系，判断直线和抛物线只有一个交点时的情况，联立方程组，根据判别式，求出结果. 【详解】由可知，抛物线开口朝右，则过点的直线斜率不存在时，抛物线有两个交点，不符合题意； 当斜率为时，直线与抛物线有一个交点，符合题意； 当斜率存在且不为时，设直线方程为，即， 联立方程组得，消去得， 当直线与抛物线只有一个交点时，可知， 即，化简得，解得或， 综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条. 故选：C. 6. 在空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 7. 设等差数列的前项和分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 8. 已知为椭圆的左顶点，直线与该椭圆相交于两点，连接设直线的斜率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据P、Q两点关于原点对称，找到与之间的关系，再用均值不等式进行处理即可. 【详解】设，直线AP方程为： 联立椭圆方程可得： 故可得，解得，同理可得 因为，故可得： 整理化简得：. 故，当且仅当时取得最小值. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及均值不等式的使用，韦达定理的应用；本题的难点在于找到斜率之间的关系. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ） A. B. 此人第三天行走了一百二十里 C. 此人前七天共行走了九百一十里 D. 此人有连续的三天共行走了四百零五里 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，设此人第一天走里，第天走里，为等差数列，，，数列的前项和为， 所以， 所以，解得，故A正确； 所以，所以（里），故B正确； 因为，（里）， 所以（里），故C正确； 设连续三天为，，，所以（里），即（里）， 所以（里），解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线准线方程为 B. 若，则线段中点到轴距离为 C. 的最小值为 D. 以线段为直径的圆与准线相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径公式一一求解. 【详解】如图， 对于A：抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误； 对于B： 设，，由抛物线定义可得，， ，解得，中点纵坐标为，所以中点到轴距离为，故B正确； 对于C：，因为，所以，所以不存在最小值，故C错误； 对于D：设中点为，则，圆的半径为， 中点到准线的距离为，恰好等于半径，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A. 三棱锥体积为 B. 若，则 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用等体积转换易求得三棱锥体积；对于B，C，通过建系，求得相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算即可判断，利用向量夹角的坐标公式计算即可推得；对于D，先根据题意求得三棱锥外接球的半径，再判断点的轨迹为平面截三棱锥外接球的截面圆，求其周长即得. 【详解】对于A，因点在平面中，则到平面的距离为2， 故 ，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以， 所以，即， 所以，又，， 所以， 故，即，故B正确； 对于C，点为的中点，坐标为，点的坐标为 ， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为，则， ， 又因为，为增函数，故当 时，， 则直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 对于D，因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以点的轨迹周长为截面圆周长为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知数列满足，，则 【答案】 【解析】 【分析】由数列的首项和递推公式直接代值计算． 【详解】由题意可得，，， 则，. 故答案为： 13. 已知圆与直线相切，则_________ 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：因为圆的标准方程为：，所以圆必坐标为 ，半径为 ，由题意得： 解得： ，所以答案应填：3. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系. 14. 如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则________，数列的前50项和为________. 【答案】 ①. 15 ②. ## 【解析】 【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前20项和. 【详解】依题意，，当时，， 于是， 而满足上式，因此，； 由，得数列的前项和， 则，所以. 故答案为：15； 四、解答题（共5小题77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】(1) 设等差数列的公差为d，利用已知建立方程组，解之可求得数列的通项公式； (2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为d， 由已知，，得，解得，则； 【小问2详解】 解：由（1）得，则 由，得或（舍去），所以的值为10. 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为、. （1）求双曲线的方程和离心率； （2）过且斜率为1的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程结合求出，再利用求出，即可求出答案； （2）由题意求出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，再利用弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，又，所以， 所以， 所以双曲线的方程为，离心率. 【小问2详解】 设，， 由题意得，则直线的方程为， 联立双曲线方程得，即， 所以，， 所以. 所以线段的长度为. 17. 如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）由正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，取中点，连接， 由，，得四边形为平行四边形，则， 由，得，则直线，，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，则， 取，则，，得，而， 因此，则，又平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 平面BDE的法向量为， 则，则， 令，则，，得， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知数列满足，且. （1）求，： （2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明： 由，可得，即， 因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，解得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，依次求出数列各项即可； （2）根据递推公式，两边同时除以，求得新的递推公式，根据等差数列的定义，判断数列为等差数列即可，进而根据首项和公差，求出通项公式； （3）根据数列通项公式，等比数列前项和公式，以及错位相减法，求出数列的前项和即可. 【小问1详解】 由，可知当时，， 因为，所以， 当时，. 【小问2详解】 证明略，通项公式为. 【小问3详解】 由（2）可知， 所以， 则， 作差得 ， 即. 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳一中高二段考数学试卷（2026年1月） 满分150分 时间120分钟 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 数列，，，，，…的第7项是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 直线在坐标轴上的截距之和为（   ） A. B. C. D. 5. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 7. 设等差数列的前项和分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知为椭圆的左顶点，直线与该椭圆相交于两点，连接设直线的斜率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ） A. B. 此人第三天行走了一百二十里 C. 此人前七天共行走了九百一十里 D. 此人有连续的三天共行走了四百零五里 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线准线方程为 B. 若，则线段中点到轴距离为 C. 的最小值为 D. 以线段为直径的圆与准线相切 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A. 三棱锥体积为 B. 若，则 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知数列满足，，则 13. 已知圆与直线相切，则_________ 14. 如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则________，数列的前50项和为________. 四、解答题（共5小题77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求k的值． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为、. （1）求双曲线的方程和离心率； （2）过且斜率为1的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 17. 如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 18. 已知数列满足，且. （1）求，： （2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （3）求数列的前项和. 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $