精品解析：湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

高二数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 集合， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法、乘方运算求出，再根据模长公式求解即可. 【详解】， 所以， 所以. 3. 已知直线和直线，则“或”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】直线和直线， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以“或”不能推出“”，充分性不成立； 若，首先满足，得，得或， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以等价于，所以“”能推出“或”，必要性成立； 所以“或”是“”的必要不充分条件. 4. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由二倍角公式可得，且为第二象限角， 所以，，从而， 故，所以，故选C. 5. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 6. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所求点的轨迹方程为． 7. 在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知：，平面.解法一：利用正弦定理可得的外接圆半径，结合直棱柱的外接球特征求外接球半径和表面积；解法二：建立空间直角坐标系，根据球的定义求球心和半径，即可得表面积. 【详解】在原中，，，则， 且点为中点，则，， 在四面体中，可得，， 且平面，，则平面. 解法一：因为，则， 可得的外接圆半径， 外接球的半径， 所以外接球的表面积为； 解法二：以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由，得. 设外接球球心为，满足， 则， 解得，，，即， 则，所以外接球的表面积为. 8. 已知函数，的定义域均为R，且，．若是偶函数，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数，函数图象关于直线对称，利用赋值法与换元法，推导出满足的关系式，进而得到是周期为的周期函数；再结合条件求出的值，利用平方和公式计算，判断该数除以的余数，进而即得. 【详解】是偶函数，， 函数的图象关于直线对称，即， 在①中，用替换，得： ， 在②中，用替换，得： ， 将代入①： ， 由关于对称， ，代入上式， ， 用替换，得， 所以， 故，即是周期的周期函数， 令，代入， ，又，得， 由，令，得， 由对称性，故， 又， 取，记， ， ，，， 整数相乘，余数相乘再取余数： ，所以除以的余数为， ，又周期， . 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，圆，点，则（） A. 若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B. 若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D. 若M在直线l上，则直线l与圆C相离 【答案】BC 【解析】 【分析】先推导出圆心到直线距离，再根据点在圆上、圆内、圆外或在直线上，比较d与半径1的大小，判断直线与圆位置关系. 【详解】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离为，点，记，于是. 选项A，若在圆上：，此时直线与圆相切，不是相交，A错误； 选项B，若在圆内：，圆心距大于半径，直线与圆相离，B正确； 选项C，若在圆外：，圆心距小于半径，直线与圆相交，C正确； 选项D，若在直线上：，直线与圆相切，不是相离，D错误. 10. 已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 的最小值为 D. 的最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的运算及投影向量公式，可判断选项A和B；利用数形结合，将与的起点放在一起，由可得的终点的特征，从而判断模长最小值的情形；建立平面直角坐标系，利用向量的坐标的运算求最大值. 【详解】对于选项A，因为，所以， 又因为，所以，故A错误； 对于选项B，在上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，因为，所以， 设，，则，如下图： 因为，即，所以点在以为圆心且半径为的圆上， 则当在线段上时，最小，即的最小值为，故C正确； 对于选项D，， 过作，垂足为，以为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，设，其中， 则， 当，即时，取最大值，故D正确. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用中位线与平行四边形证线线平行，推出线面平行； B由线面平行得到动点到平面的距离不变以及的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值； C沿展开平面，余弦定理算出最小值； D先求正四面体顶点到底面距离，利用球截面小圆半径公式，计算点的轨迹圆的周长． 【详解】对于A，连接， 正方体的对角面为矩形，所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B，正方体的对角面为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以线段上点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与的交点时，等号成立， 由，，得， 在等边中，， 则， 由余弦定理得， 因此的最小值为，C错误； 对于D，四面体是正四面体，棱长， 等边的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆，且该圆半径， 所以点的轨迹长度为，D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由弦长为，求得圆的圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求得的值，从而求得所有满足条件的实数b的和. 【详解】由， 得. 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 由，得， 所以， 解得或. 所以所有满足条件的实数b的和为. 13. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率． 【详解】已知，设，则， ，， 故①， ∵，即②， ②代入①整理得：， ． 故答案为：． 14. 对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）在边上的中线所在直线的方程； （2）的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为E，求出中点坐标和斜率，再根据斜截式方程求解即可； （2）求出的平分线的方向向量，继而可得直线的斜率，再根据斜截式方程求解即可. 【小问1详解】 因，，， 设中点为E，则得，的斜率为， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 ，， 所以的平分线的方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的方程为，即． 16. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF. ∵E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC，OF∥AB. 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC. EF∥DC, 又平面, 平面. 平面, . （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， ，故， 又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. . 则， . 设平面的法向量为， 则 令，则，. 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【小问1详解】 设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ， 令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 18. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【解析】 【分析】(1) 根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2) （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． 【小问2详解】 （ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 19. 已知定义域为R的函数为偶函数，它的图象是连续的曲线．任取，定义． （1）已知，求； （2）若任取，都有，求证：函数，为周期函数； （3）若任取，只要存在，且，都有．证明：函数在上不存在单调递减区间． 【答案】（1） （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数， 得证． （3）假设在上存在单调递减区间D，则对任意，，有， 取，，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故 ，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上不存在单调递减区间． 【解析】 【分析】（1）根据 的定义，代入函数解不等式，求得集合； （2）结合偶函数性质，由 得到两个不等式，双向推导得到 ，证明周期性； （3）使用反证法，假设 存在单调递减区间，结合偶函数与 的区间性质推出矛盾，完成证明. 【小问1详解】 已知，，则，， 解得或，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和直线，则“或”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域均为R，且，．若是偶函数，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，圆，点，则（） A. 若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B. 若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D. 若M在直线l上，则直线l与圆C相离 10. 已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 的最小值为 D. 的最大值 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 13. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________. 14. 对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）在边上的中线所在直线的方程； （2）的平分线所在直线的方程． 16. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 17. 过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 18. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知定义域为R的函数为偶函数，它的图象是连续的曲线．任取，定义． （1）已知，求； （2）若任取，都有，求证：函数，为周期函数； （3）若任取，只要存在，且，都有．证明：函数在上不存在单调递减区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $