专题05 函数的奇偶性单调性对称性周期性（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版

专题05 函数的奇偶性单调性对称性周期性 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 定义法证明函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 考点三 由函数的单调性求参数 考点四 复合函数的单调性 考点五 分段函数的单调性 考点六 函数的奇偶性判断 考点七 由函数的奇偶性求解析式 考点八 由函数的奇偶性求参数 考点九 函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十 函数的奇偶性单调性与函数的最值 05 重难题型突破 题型一 抽象函数的单调性与奇偶性 题型二 构造新函数的单调性解不等式 题型三 函数的单调性与不等式恒成立与有解问题 题型四 双变量的任意与存在问题 题型五 由函数的对称性周期性求值 题型六 函数的对称性奇偶性周期性单调性综合求值与范围 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重定义法证明单调性单调区间求解奇偶性的判断 中档题集中在由单调性求参数复合函数单调性分段函数单调性利用奇偶性求解析式与参数 难题多为奇偶性单调性结合解不等式最值问题抽象函数性质任意存在双变量问题对称性周期性综合求值 命题侧重代数推理分类讨论数形结合思想易错点集中在单调区间书写不用并集忽略定义域分段函数端点取值抽象函数性质混用 识记 牢记函数单调性定义增函数减函数定义奇偶函数定义与图像特征复合函数单调性口诀对称性周期性基础结论 理解 理解单调性的几何意义奇偶性定义域关于原点对称的前提复合函数同增异减逻辑单调性与奇偶性组合的函数性质 应用 会用定义法证明单调性求解单调区间由单调性求参数判断函数奇偶性借助奇偶性求解析式与参数综合单调性奇偶性求解不等式解决最值恒成立有解任意存在类问题处理对称性周期性综合题型 1．函数的单调性与最值 以下设是函数的定义域，I是D的一个非空的子集. （1）函数的最大值 ①定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M是函数的_最大值___，为的_最大值点___. ②几何意义：函数的最大值对应函数图象的最__高__点的纵坐标. （2）函数的最小值 ①定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M是函数的_最小值___，为的__最小值点__. ②几何意义：函数的最小值对应函数图象的最__低__点的纵坐标. （3）增函数与减函数 ①如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称是区间I上的__增函数__， 也称在区间I上_单调递增___，如图1. ②如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称是区间I上的_减函数___， 也称在区间I上单调递减____，如图2. （4）函数的单调区间 如果函数在区间上是_增函数___或_减函数___，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2．函数的奇偶性 （1）奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是_奇函数___，图象关于_ 原点___对称. （2）偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是_偶函数___，图象关于_轴___对称. 3．奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为_ _____；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 考点一 定义法证明函数的单调性 ⚠️概念辨析 设定义域内作差判断正负差大于0为减函数差小于0为增函数 ⚠️避坑指南 取值作差变形定号下结论五步走变形优先因式分解必须写明定义域范围 1．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 因为，所以，，，    所以，即，即在上单调递减. 因为，，所以在上的值域. 【分析】（1）用换元法求解析式. （2）用定义法证明单调性，再结合单调性即可求出值域. 【详解】（1）由，令，则， 则有，即. （2）略 2．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 考点二 求函数的单调区间 ⚠️概念辨析 单调区间是定义域的子区间多个单调区间之间不能用并集符号连接 ⚠️易混易错 先求定义域结合图像定义或者复合函数法则判断增减区间端点单独处理 5．求函数的单调递增区间. 【答案】单调递增区间是和. 【分析】去掉绝对值化为分段函数，作出图象，结合图象读出单调递增区间. 【详解】当时，； 当时，，即 其图象如图所示，由图象得单调递增区间为和. 6．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)；单调减区间为，最大值为4 (2)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 考点三 由函数的单调性求参数 ⚠️概念辨析 函数在区间单调转化为不等式恒成立分段函数需要兼顾段内与分段点大小关系 ⚠️易混易错 一次二次函数利用图像特征分段函数除每段单调还要保证左段右端≤右段左端 9．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 10．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 12．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的，使得，结合函数的单调性得出，即，再由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值. 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 考点四 复合函数的单调性 ⚠️概念辨析 复合函数遵循同增异减内外层单调性相同则复合后递增相反则递减 ⚠️易混易错 拆分为内层函数与外层函数先求复合函数定义域分别判断内外单调性再套用口诀 13．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 16．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 考点五 分段函数的单调性 ⚠️概念辨析 分段函数整体单调不仅每一段自身单调分段点处还要满足大小约束 ⚠️易混易错 分别写出每一段单调对应的参数条件额外验证分段点函数值大小关系防止整体不单调 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 19．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 20．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 考点六 函数的奇偶性判断 ⚠️概念辨析 奇函数偶函数前提定义域关于原点对称 ⚠️易混易错 第一步先检验定义域对称性不对称直接非奇非偶对称再代入化简判断 21．（河南省湘豫部分学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题（人教A版））已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 【答案】(1)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 又， 即，所以是奇函数. (2) 【分析】（1）计算，利用指数运算化简得零，从而证明为奇函数； （2）先证明在上单调递增，再将不等式转化为，由单调性去掉函数符号，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）略. （2）令，下面证明在上单调递增： ，且，则. 因为，所以. 又，所以，即. 所以在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增. 由（1）知， 所以，即，解得. 故原不等式的解集为. 22．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 【答案】(1)是偶函数．证明如下： 由的定义域为， 对于，都有，且， 所以函数是偶函数，得证． (2) 函数图象为； 单调递增区间为和；单调递减区间为和 【详解】（1）略 （2）函数图象如下图所示： 结合函数图象得， 的单调递增区间为和；单调递减区间为和． 23．（26-27高一上·全国·课后作业）判断函数的奇偶性. 【答案】既不是奇函数也不是偶函数 【详解】当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 24．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 考点七 由函数的奇偶性求解析式 ⚠️概念辨析 已知一半区间解析式利用与关系求另一半区间表达式 ⚠️易混易错 设目标区间内x转化为已知区间的代入已知解析式再借助奇偶性替换得到 25．（2026·重庆永川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，.则当时，______. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质可知，，结合当时，，即可求解. 【详解】当时，,由于是定义在上的奇函数，则， ； 当时，由于是定义在上的奇函数，则，代入,仍成立 综上，当时，. 26．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 28．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 考点八 由函数的奇偶性求参数 ⚠️概念辨析 奇偶函数在定义域内恒满足特殊值法可快速求参求出后代回检验 ⚠️易混易错 优先用特殊值代入快速算出参数必须回代验证等式对全部定义域成立排除增根 29．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知是偶函数，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】∵函数是偶函数，定义域分析可得为，且， ∴ 对任意恒成立, ∴ ，即对任意恒成立, ∴ . 30．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数为奇函数，则___________. 【答案】 【分析】解法1：根据奇函数的定义，求出时的解析式，得到即可；解法2：利用即可求解． 【详解】解法1：当时，， 所以， 又为奇函数，所以，所以， 即当时，，所以，所以． 解法2：由题意得，即，所以． 31．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 32．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 考点九 函数的奇偶性与单调性解不等式 ⚠️概念辨析 奇函数在对称区间单调性相同偶函数在对称区间单调性相反脱去符号转化自变量不等式 ⚠️易混易错 利用奇偶性统一到同一侧区间借助单调性去掉不要忘记自变量满足函数定义域 33．（26-27高一上·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解. 【详解】由题意知在上单调递减，且， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，的区间为，的区间为， 由得同号， 则或，解得或， 所以的解集为. 34．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集． 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，， 可得时，；时，， 则等价为 或 ，解得或， 即所求解集为 35．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以. 当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由 ， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 36．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 考点十 函数的奇偶性单调性与函数的最值 ⚠️概念辨析 奇偶函数可以缩小研究区间只研究x≥0部分再利用对称性得到完整区间最值 ⚠️易混易错 优先研究x≥0上单调性求出最值利用图像对称得到x<0上最值对比得到全局最值 37．（26-27高一上·江西·阶段检测）已知函数，．若对任意，记函数的最小值为，则的最小值为___________． 【答案】-4 【分析】由配方法得函数的图象的对称轴，讨论与的关系，分析函数在上的单调性，求得函数的最小值，分析的单调性，即可求得其最小值. 【详解】函数， 当，即时， 函数在上单调递增， 所以对任意，函数的最小值为. 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以对任意，函数的最小值为. 当，即时， 函数在上单调递减， 所以对任意，函数的最小值为. 综上所述，函数的最小值为. 易知当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为. 38．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 39．函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 40．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 【答案】 【分析】应用对勾函数的单调性得出函数的值域，再应用绝对值不等式得出，最后应用对勾函数的最小值计算求解. 【详解】若，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即得，则函数， 当时，当或时， 则函数值域为； ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 故答案为：，； 题型一 抽象函数的单调性与奇偶性 典例1 （26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 💡破题要诀 【核心知识】无具体解析式依靠赋值法推导性质 【破题要诀】合理赋值构造等式推导奇偶性与单调性全程关注定义域 迁移应用 1．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，. (1)证明：函数在上是增函数； (2)已知命题：对任意实数且，不等式恒成立.若命题是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)设，即， 因为当时，，所以， 由题意可知，即， 所以函数在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据题目所给函数满足的条件，以及函数单调递增的概念，通过定义法证明函数单调性； （2）通过函数的奇偶性和单调性，对不等式进行变形，列出参数的不等式，根据任意恒成立的条件，以及基本不等式的性质，求出参数范围即可. 【详解】（1）略 （2）由题意可知，当时，得. 再令，代入得，即，所以函数在上是奇函数. 则， 同理，， 则原不等式为， 因为函数在上是增函数，即， 则对任意实数且，不等式恒成立， 等价于对任意实数且，不等式恒成立. 因为，当且仅当，即时取等号. 即得，从而恒成立，解得. 所以实数的取值范围为. 题型二 构造新函数的单调性解不等式 典例1 （25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】先根据单调性定义得出函数在上单调递增，再结合已知得出不等关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：． 💡破题要诀 【核心知识】根据题目给出含式子构造全新函数研究单调性奇偶性 【破题要诀】观察式子结构构造函数先判断性质再脱去函数符号解自变量不等式 迁移应用 1．（25-26高三上·上海·期中）定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式． 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 2．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可． 【详解】对于，，有，，所以． 所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数． 由，得． 由，得， 所以，即，得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 题型三 函数的单调性与不等式恒成立与有解问题 典例1 （26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若，都成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，都成立，等价于恒成立，求出最小值即可求出的取值范围. 【详解】令， 因为，都成立，所以， 又因为二次函数对称轴为直线，开口向上，且， 所以， 所以的取值范围为. 💡破题要诀 【核心知识】恒成立等价于最值满足不等式有解等价于最值存在满足不等式 【破题要诀】分清恒成立与有解的区别转化为求函数最值借助单调性求最值 迁移应用 1．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知且，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合二次函数的图象性质确定，且为方程的正根，进而求出最小值. 【详解】当时，二次函数的图象开口向下， 存在正数且，使得当时，， 而当时，，此时，不符合题意，因此， 由，得方程有两个实数根，而， 则，当时，；当时，， 由任意的，不等式恒成立， 得当时，；当时，，因此， 所以，于是，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， ∴ ， 即. （2）由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意.   当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. （3）由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 题型四 双变量的任意与存在问题 典例1 （26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 💡破题要诀 【核心知识】任意存在组合转化两个函数最值之间大小关系 【破题要诀】分清任意存在的逻辑记忆四类模型分别求出两个函数最值再比较 迁移应用 1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 题型五 由函数的对称性周期性求值 典例1 （26-27高三上·山西·阶段检测）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则______． 【答案】 【分析】利用奇偶性与已知等式替换变量，推导出的递推关系，进而确定周期，求出一个周期内函数值之和，最后分组求和得到从到的总和． 【详解】因为，所以， 又是奇函数，所以 ， 所以，即， 令，得 ， 又是偶函数，所以，所以， 所以，所以，即， 所以是以4为周期的周期函数， 所以 ． 💡破题要诀 【核心知识】轴对称中心对称条件可推导函数周期性 【破题要诀】熟记对称性推周期公式缩小自变量范围转化到已知区间代入求值 迁移应用 1．（26-27高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 【答案】6 【分析】根据题干信息可以得到函数周期为，，再根据对称性得到，代入即可求出答案. 【详解】，， 即函数是周期为， 是偶函数， ， 令，则， ． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 题型六 函数的对称性奇偶性周期性单调性综合求值与范围 典例1 （26-27高三上·河北·阶段检测）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】利用周期性的定义可判断A选项；利用对称性的定义可判断B选项；求出函数在的解析式，结合二次函数的单调性可判断C选项；求出、、、、的值，结合函数的周期性可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，故是函数的一个周期，A对； 对于B选项，因为定义在上的奇函数满足， 所以，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由可得，， 当时，，则， 当时，，则， 所以， 因为是函数的一个周期，且， 故 ，D对. 💡破题要诀 【核心知识】多个性质叠加周期性化简自变量奇偶对称转化正负单调性解不等式 【破题要诀】优先利用周期性把自变量转到已知区间再用奇偶对称转化最后依靠单调性求解范围 迁移应用 1．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．在上单调递减 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由，结合偶函数的定义即可判断；对于C，因为，所以，结合周期性、偶函数性质即可得时的表达式，由此即可得解；对于D，由周期性、偶函数性质即可求解． 【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为，，所以， 且注意到函数的定义域为，所以是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，因为，所以函数的周期是， 而， 所以，故D正确． 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，由可得，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；B选项，先求出的周期，再由可得的周期；C选项，令可得；D选项，根据及可类推出即可求解. 【详解】对于A：因为为奇函数，所以，又， 所以，所以， 所以， 又为偶函数，则，所以， 则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又为奇函数，所以，所以， 又为偶函数，，所以， 则，即，即， 所以是以8为周期的周期函数， 由于，则， 即也是以8为周期的周期函数，故B错误； 对于C：由于为奇函数，则，令，则， 所以，故C错误； 对于D：由于，，则，， 依次类推：，所以，故D正确. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 2．（24-25高一上·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据函数的单调性的定义逐项验证即可求解. 【详解】对于A，在上是减函数，故A正确； 对于B，在单调递减，故B错误； 对于C，在单调递增，故C正确； 对于D，在单调递减，在单调递增，故D错误； 故选：AC. 4．（25-26高一上·安徽六安·期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性直接可得所求值的范围. 【详解】由任意，都有成立，所以在上单调递减， 则，，解得. 故选：D. 5．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：B. 6．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； (2). 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)利用二次函数的顶点式，结合待定系数法即可求解； (2)利用分三段区间讨论，来求二次函数在闭区间上的最大值即可； (3)利用二次函数值域能取遍，则满足，即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数，又因为，所以， 即二次函数； （2）当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：； （3）函数， 由的值域为， 则满足或， 即实数的取值范围或 8．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，C选项排除. ，为奇函数. 又，，B，D选项排除，故A选项正确. 10．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 11．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 12．（25-26高一上·云南大理·期中）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题目所给定义，可知“理想函数”为一个在定义域上单调递减的奇函数，根据基本初等函数性质，逐一判断各选项是否符合要求，判断结果即可. 【详解】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 故选：BD. 13．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数， ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数和单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， ， 所以，， 又因为函数且在为减函数，在为增函数， 所以函数在单调递增，在为减函数，在为增函数， 且当，或时，， 当，或时，， 当时，即时，因此， 由或，或 当时，即时，因此， 由， 综上所述：不等式 的解集为， 故选：B 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定函数在上的单调性，再结合对称性比较大小. 【详解】函数的定义域为R，由函数的图象关于对称，得， 又当时，恒成立，则函数在上单调递增， 因此，即，所以. 故选：C 15．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【答案】(1) (2) 在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）首先利用奇偶性将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数. （2）略 （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 综合进阶练（限时：15分钟） 16．（26-27高一上·浙江·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 【答案】ACD 【分析】应用赋值法计算判断A，应用换元法计算判断值域判断B，应用单调性定义计算判断C，结合单调性计算求解判断D． 【详解】令，，得， 又，所以，故选项A正确； 令，得， 所以，当时，， 得，此时， 所以的值域为，故选项B错误； ，有，， 所以 ， 即，所以在上单调递增，故选项C正确； 若，又，则， 由题可知， 又在上单调递增，得， 由函数在上单调递增，所以，故选项D正确． 17．（25-26高一上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，时，，得到函数在区间以及的解析式，画出图象，找到的解，结合图像即可求解. 【详解】因为，所以 因为时，， 当时，， 当时，， 令, 解得 或， 画出函数图像如下: 在上恒成立，则的取值范围是， 故的值可以是、、. 故选：ABC. 18．（25-26高一上·广西南宁·期中）（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 【答案】BC 【分析】根据题意，利用高斯函数的定义算出的值，即可判断A项的正误；由高斯函数的定义，证出，即可判断出B项的正误；由B项的分析可知是周期为1的周期函数，然后分析在上的解析式，即可判断C项的正误；通过举反例加以说明，即可判断D项的正误． 【详解】对于A，由题意得，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，由，可知是周期为1的周期函数， 在上的值域就是在上的值域， 当时，；当时，， 可知在上的值域为，即的最小值为0，所以C正确； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误． 故选：BC． 19．（25-26高一上·四川广元·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由题意得在的单调性，然后由定义域求得不等式中的取值范围，然后整理不等式，由函数单调性建立不等式，然后解得不等式解集. 【详解】∵， ∴， ∴函数在上单调递减， 不等式中，即， ∴，可得， 即， ∴，解得或， ∴. 故答案为：. 20．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知. (1)设，求证：在上单调递增； (2)当时，成立，求的最小值； (3)已知实数，关于的不等式：在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明： 设任意的，且，则， 因为，则， 由， 可知， 即， 所以在上单调递增. (2)8 (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数单调性，转化为，再由“1”的技巧及基本不等式求解； （3）根据（1）转化为在有解，构造函数，转化为有解即可. 【详解】（1）略 （2）由可得， 由（1）可知， 因为在上单调递增，所以，即， 所以 当且仅当，即时等号成立. （3）由（1），原不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以在有解， 令，即在有解， 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递增， 故当时，， 故不等式有解只需， 即，解得或， 故实数的取值范围为. 21．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数． (1)当时，用定义证明在上单调递增； (2)已知，写出在上的单调性（无需证明），若满足，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，， 任取且， 则， ， ， ，即， 在上单调递增． (2)单调递增，或 (3) 【分析】（1）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性； （2）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性，利用函数单调性解抽象不等式求的取值范围； （3）先分析已知条件得出函数值域间的关系，求出的值域，分情况讨论的值域求出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）当，任取且， 则， ， ， ，即， 当时，在上单调递增； ，且， ， 在上单调递增， ，即，解得或． （3）对任意，存在，使得， 在上的值域是在上值域的子集， ，在上单调递增， 当时，的值域为， 当时，在上单调递增， 的值域为， ， ，解得，， ； 当时，，满足题意； 当，且时，， 若，则， ， ，解得，， ； 若，则， ， ，解得，，； 若，则， ， ，解得，不符合题意； 若，则， ， ，解得，不符合题意． 时，的取值范围为． 综上，的取值范围为． 22．（26-27高一上·山东·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A选项，通过赋值得到；B选项，通过赋值得到，即可判断奇偶性；C选项，赋值得到，然后再次赋值即可得到；D选项，令，，然后根据BC选项得到，最后根据定义判断单调性即可. 【详解】令，，则，整理得， 因为，，所以，，故A错； 令，，则，整理得， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则， 然后用替换可得，故C正确； 令，，， 所以，， ， 因为，，且为偶函数， 所以，，即， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的奇偶性单调性对称性周期性 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 定义法证明函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 考点三 由函数的单调性求参数 考点四 复合函数的单调性 考点五 分段函数的单调性 考点六 函数的奇偶性判断 考点七 由函数的奇偶性求解析式 考点八 由函数的奇偶性求参数 考点九 函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十 函数的奇偶性单调性与函数的最值 05 重难题型突破 题型一 抽象函数的单调性与奇偶性 题型二 构造新函数的单调性解不等式 题型三 函数的单调性与不等式恒成立与有解问题 题型四 双变量的任意与存在问题 题型五 由函数的对称性周期性求值 题型六 函数的对称性奇偶性周期性单调性综合求值与范围 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重定义法证明单调性单调区间求解奇偶性的判断 中档题集中在由单调性求参数复合函数单调性分段函数单调性利用奇偶性求解析式与参数 难题多为奇偶性单调性结合解不等式最值问题抽象函数性质任意存在双变量问题对称性周期性综合求值 命题侧重代数推理分类讨论数形结合思想易错点集中在单调区间书写不用并集忽略定义域分段函数端点取值抽象函数性质混用 识记 牢记函数单调性定义增函数减函数定义奇偶函数定义与图像特征复合函数单调性口诀对称性周期性基础结论 理解 理解单调性的几何意义奇偶性定义域关于原点对称的前提复合函数同增异减逻辑单调性与奇偶性组合的函数性质 应用 会用定义法证明单调性求解单调区间由单调性求参数判断函数奇偶性借助奇偶性求解析式与参数综合单调性奇偶性求解不等式解决最值恒成立有解任意存在类问题处理对称性周期性综合题型 1．函数的单调性与最值 以下设是函数的定义域，I是D的一个非空的子集. （1）函数的最大值 ①定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M是函数的_最大值___，为的_最大值点___. ②几何意义：函数的最大值对应函数图象的最__高__点的纵坐标. （2）函数的最小值 ①定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M是函数的_最小值___，为的__最小值点__. ②几何意义：函数的最小值对应函数图象的最__低__点的纵坐标. （3）增函数与减函数 ①如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称是区间I上的__增函数__， 也称在区间I上_单调递增___，如图1. ②如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称是区间I上的_减函数___， 也称在区间I上单调递减____，如图2. （4）函数的单调区间 如果函数在区间上是_增函数___或_减函数___，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2．函数的奇偶性 （1）奇函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是_奇函数___，图象关于_ 原点___对称. （2）偶函数：如果对一切使有定义的，也有定义，并且成立，则称是_偶函数___，图象关于_轴___对称. 3．奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为_ _____；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 考点一 定义法证明函数的单调性 ⚠️概念辨析 设定义域内作差判断正负差大于0为减函数差小于0为增函数 ⚠️避坑指南 取值作差变形定号下结论五步走变形优先因式分解必须写明定义域范围 1．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 2．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 考点二 求函数的单调区间 ⚠️概念辨析 单调区间是定义域的子区间多个单调区间之间不能用并集符号连接 ⚠️易混易错 先求定义域结合图像定义或者复合函数法则判断增减区间端点单独处理 5．求函数的单调递增区间. 6．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________ 8．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 考点三 由函数的单调性求参数 ⚠️概念辨析 函数在区间单调转化为不等式恒成立分段函数需要兼顾段内与分段点大小关系 ⚠️易混易错 一次二次函数利用图像特征分段函数除每段单调还要保证左段右端≤右段左端 9．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 10．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 12．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 考点四 复合函数的单调性 ⚠️概念辨析 复合函数遵循同增异减内外层单调性相同则复合后递增相反则递减 ⚠️易混易错 拆分为内层函数与外层函数先求复合函数定义域分别判断内外单调性再套用口诀 13．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 16．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 考点五 分段函数的单调性 ⚠️概念辨析 分段函数整体单调不仅每一段自身单调分段点处还要满足大小约束 ⚠️易混易错 分别写出每一段单调对应的参数条件额外验证分段点函数值大小关系防止整体不单调 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数 的取值范围是_____. 考点六 函数的奇偶性判断 ⚠️概念辨析 奇函数偶函数前提定义域关于原点对称 ⚠️易混易错 第一步先检验定义域对称性不对称直接非奇非偶对称再代入化简判断 21．（河南省湘豫部分学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题（人教A版））已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 22．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 23．（26-27高一上·全国·课后作业）判断函数的奇偶性. 24．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 考点七 由函数的奇偶性求解析式 ⚠️概念辨析 已知一半区间解析式利用与关系求另一半区间表达式 ⚠️易混易错 设目标区间内x转化为已知区间的代入已知解析式再借助奇偶性替换得到 25．（2026·重庆永川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，.则当时，______. 26．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 28．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 考点八 由函数的奇偶性求参数 ⚠️概念辨析 奇偶函数在定义域内恒满足特殊值法可快速求参求出后代回检验 ⚠️易混易错 优先用特殊值代入快速算出参数必须回代验证等式对全部定义域成立排除增根 29．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知是偶函数，则实数的值为__________． 30．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数为奇函数，则___________. 31．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 32．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 考点九 函数的奇偶性与单调性解不等式 ⚠️概念辨析 奇函数在对称区间单调性相同偶函数在对称区间单调性相反脱去符号转化自变量不等式 ⚠️易混易错 利用奇偶性统一到同一侧区间借助单调性去掉不要忘记自变量满足函数定义域 33．（26-27高一上·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 34．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 36．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 考点十 函数的奇偶性单调性与函数的最值 ⚠️概念辨析 奇偶函数可以缩小研究区间只研究x≥0部分再利用对称性得到完整区间最值 ⚠️易混易错 优先研究x≥0上单调性求出最值利用图像对称得到x<0上最值对比得到全局最值 37．（26-27高一上·江西·阶段检测）已知函数，．若对任意，记函数的最小值为，则的最小值为___________． 38．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 39．函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 40．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 题型一 抽象函数的单调性与奇偶性 典例1 （26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 💡破题要诀 【核心知识】无具体解析式依靠赋值法推导性质 【破题要诀】合理赋值构造等式推导奇偶性与单调性全程关注定义域 迁移应用 1．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，. (1)证明：函数在上是增函数； (2)已知命题：对任意实数且，不等式恒成立.若命题是真命题，求实数的取值范围. 题型二 构造新函数的单调性解不等式 典例1 （25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 💡破题要诀 【核心知识】根据题目给出含式子构造全新函数研究单调性奇偶性 【破题要诀】观察式子结构构造函数先判断性质再脱去函数符号解自变量不等式 迁移应用 1．（25-26高三上·上海·期中）定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 2．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为______． 题型三 函数的单调性与不等式恒成立与有解问题 典例1 （26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若，都成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】恒成立等价于最值满足不等式有解等价于最值存在满足不等式 【破题要诀】分清恒成立与有解的区别转化为求函数最值借助单调性求最值 迁移应用 1．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知且，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________． 2．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型四 双变量的任意与存在问题 典例1 （26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 💡破题要诀 【核心知识】任意存在组合转化两个函数最值之间大小关系 【破题要诀】分清任意存在的逻辑记忆四类模型分别求出两个函数最值再比较 迁移应用 1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 题型五 由函数的对称性周期性求值 典例1 （26-27高三上·山西·阶段检测）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则______． 💡破题要诀 【核心知识】轴对称中心对称条件可推导函数周期性 【破题要诀】熟记对称性推周期公式缩小自变量范围转化到已知区间代入求值 迁移应用 1．（26-27高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 题型六 函数的对称性奇偶性周期性单调性综合求值与范围 典例1 （26-27高三上·河北·阶段检测）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 💡破题要诀 【核心知识】多个性质叠加周期性化简自变量奇偶对称转化正负单调性解不等式 【破题要诀】优先利用周期性把自变量转到已知区间再用奇偶对称转化最后依靠单调性求解范围 迁移应用 1．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．在上单调递减 D． 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C． D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（24-25高一上·北京·期中）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 4．（25-26高一上·安徽六安·期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 8．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 11．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 12．（25-26高一上·云南大理·期中）（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数， ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 综合进阶练（限时：15分钟） 16．（26-27高一上·浙江·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 17．（25-26高一上·山西忻州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·广西南宁·期中）（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 19．（25-26高一上·四川广元·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 20．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知. (1)设，求证：在上单调递增； (2)当时，成立，求的最小值； (3)已知实数，关于的不等式：在有解，求实数的取值范围. 21．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数． (1)当时，用定义证明在上单调递增； (2)已知，写出在上的单调性（无需证明），若满足，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围． 22．（26-27高一上·山东·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $