专题02 等式与不等式（必备知识+11题型5方法+分层检测）（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题02 等式与不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等式 理解等式的性质； 能利用韦达定理处理问题； 能解方程组； 基础必考点，常出现在小题 不等式 能根据不等式的性质判断式子大小； 会解不含参和含参一元二次不等式； 高频考点，难度不大 基本不等式 掌握基本不等式求最值的多种方法 高频考点，是个难点 知识点01 等式的性质 (1)如果，那么； (2)如果，，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么； (5)如果，，那么. ·示例： 。 ·易错点：求解关于方程，要分类讨论与. 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. ·示例： 若，是，则，. 知识点03 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：； ·示例：（2024秋•清远期中）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　） A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误； 对于B，a2＝a2，b＞c， 由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确． 对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． ·易错点：求解关于方程，要分类讨论与、. 知识点04 比较两式子大小 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) ·示例： （2025春•高新区期中）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关 【答案】C 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为P﹣Q＝a（2a+5）﹣（2a+1）（a+2）＝2a2+5a﹣（2a2+5a+2）＝﹣2＜0， 所以P＜Q． 故选：C． 知识点05 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. ·示例： （2024秋•陆良县校级期中）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}，则不等式x2+bx+a＞0的解集是（　　） A．{x|x或x＞1} B．{x|x＜﹣1或} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＜﹣3或x＞2} 【答案】B 【分析】根据已知可得﹣3，﹣2为方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个根，根据韦达定理求出a，b，然后根据一元二次不等式求出结果． 【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}， ∴﹣3，2是方程ax2﹣bx﹣1≥0的两个根，且a＜0， 由韦达定理得，解得a，b， ∴不等式x2+bx+a＞0为0， 解得x＜﹣1或x， ∴不等式x2+bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣1或x}． 故选：B． 知识点06 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. (2) 一元高次不等式的解法 ① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. Eg 解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. ·示例： 不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 知识点07 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ·示例： （2023秋•普陀区校级期中）下列命题中正确的是（　　） A．的最小值是2 B．的最小值是﹣2 C．的最小值是2 D．的最小值是2 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项． 【解答】解：对于A选项，当x＜0时，A显然错误； 对于B选项，因为x＞0，则， 当且仅当时，即当x＝1时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当x2+2＝1时，等号成立， 但x2+2＞1，等号不成立，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当x＝0时，等号成立， 故的最小值是2，D对． 故选：D． ·易错点：利用基本不等式求解最值问题时，要注意“一正、二定、三等”。 题型一 一元二次方程的解及其根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1 一元二次方程有实数根，，则，. 2 若题中有类似、等式子，需要变形向与靠拢； 易｜错｜点｜拨 使用韦达定理的前提是判别式。 【典例1】 （2024秋•辽宁期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足，则实数k的取值为（　　） A．﹣2或6 B．6 C．﹣2 D． 【变式1】（2022秋•宝山区校级期中）若一元二次方程2x2﹣6x﹣3＝0两实数根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝　　 ． 【变式2】（2024秋•菏泽期中）已知m，n是两个不相等的实数，满足m2﹣3m+c＝0，n2﹣3n+c＝0，，则c＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2024秋•丰台区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 题型二 方程组的解 解｜题｜技｜巧 方程组，当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组只有一个解。 【典例1】（2023秋•海淀区校级期中）已知关于x、y的方程组：（其中a、b＞0）无解，则必有（　　） A．a+b＜2 B．a+b＞2 C．a﹣b＜2 D．a﹣b＞2 【变式1】（2023秋•徐汇区校级期中）设k∈R，对关于x的方程组的解的说法正确的是（　　） A．对任意实数k，该方程组的解集都是单元素集 B．至少存在一个实数k，使得该方程组的解集为空集 C．至少存在一个实数k，使得该方程组的解集为无限集 D．对任意实数k，该方程组的解集都不是空集 【变式2】（2024秋•沙河口区校级期中）关于x，y，z的方程组，则下列说法错误的是（　　） A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 题型三 由不等式的性质比较数（式子）大小 解｜题｜技｜巧 在选择题中比较数（式）的大小，常见的方法有 ①利用不等式的性质比较大小；② 取特殊值排除法； ③作差法或作商法比较大小；④利用分析法比较大小。 易｜错｜点｜拨 利用不等式的性质比较大小时，要正确理解不等式的性质， 若，则是错误的，要加多个条件； 若，则是错误的，要加多个条件. 【典例1】（2024秋•仓山区校级期中）若a，b，c∈R，且a＞b＞c，a+b+c＞0，则下列命题正确的是（　　） A． B． C．c3＜a3 D．若ac＜0，则cb2＜ab2 【变式1】（2024秋•包河区校级期中）下列命题是假命题的是（　　） A．若a＞b＞0＞c＞d，则ab＞cd B．若ac2＞bc2，则a＞b C．若a＞b＞0且c＜0，则 D．若a＞b且，则ab＜0 【变式2】（2024秋•清远期中）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　） A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c 【变式3】（2024秋•仙游县期中）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B．（a+b）2≤4ab C． D． 【变式4】（2024秋•杨浦区校级期中）若a＜b＜0，下面有六个结论：①a2＞b2；②a3＜b3；③； ④；⑤；⑥|a|＞﹣b．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 作差法或作商法比较代数式的大小 解｜题｜技｜巧 1 作差法(与的比较) 2作商法(与比较) 3 对于一些幂形式的多利用作商法。 【典例1】 （2024秋•重庆校级期中）比较与（a＞0，b＞0）的大小（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024秋•汕头校级期中）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 【变式2】 （2023春•会宁县校级期中）若P，Q（a≥0），则P、Q的大小关系是：　　 ． 【变式3】（2024春•赣州期中）已知t＞1，且，，则x，y的大小关系是 　 ． 题型五 解不含参一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 1 利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系求解不含参一元二次不等式； 2 若解与一元二次方程有关的一元二次不等式，用口诀：大于取两边，小于取中间。 【典例1】 （2024秋•黄岛区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|a＜x＜a+2}，则a＞0是A⊆B的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025春•杭州校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　） A．{2，3，4，5} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4} 【变式2】（2024秋•蓝山县校级期中）已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 题型六 解分式不等式或高次不等式 解｜题｜技｜巧 1 解分式不等式，，且； 解，则，通分再求解； 2 解高次不等式可利用“穿针引线法”求解，记住“奇穿偶不穿”。 易｜错｜点｜拨 解分式不等式且，其中不要忽视。 【典例1】 （2024秋•永春县校级期中）不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞4}，则的解集为（　　） A． B．{x|﹣1≤x＜1} C． D． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•新泰市校级期中）不等式的解集为（　　） A．（﹣2，4] B．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪{﹣1}∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪{﹣1}∪[4，+∞） 题型七 解含参一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 解含参的一元二次不等式，利用二次函数图象求解，多从以下几点分类讨论： 1 、与； 2 判别式、与； 3 若对应一元二次方程有实数根，分，， 同时结合函数的特征，思考分类讨论的标准与分类标准的先后次序，要做到不重不漏。 【典例1】 （2024秋•临沂期中）已知关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0恰有5个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．（6，7] B．[﹣5，﹣4） C．[﹣5，﹣4）∪（6，7] D．（﹣5，﹣4]∪[6，7） 【变式1】（2024秋•温州期中）若a＜0，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•永寿县校级期中）设a为实数，则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）＞0的解集不可能是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B． C． D． 【变式3】（2024秋•房山区校级期中）函数f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R （1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a，b的值； （2）当a＝0时，若f（f（x））＝4x﹣2，求实数b的值； （3）a∈R，若f（2）＝4，求f（x）＜﹣2x+8的解集． 题型八 由一元二次不等式的解求参数 解｜题｜技｜巧 多从一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系入手。 【典例1】 （2024秋•渭南校级期中）已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2024秋•德州期中）若∃x∈[﹣1，4]，使x2﹣4x+1﹣m≥0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣3] D．[1，6] 【变式2】（2025春•延吉市校级期中）已知关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1≤0的解集是∅，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C．（2，3） D．（﹣∞，2]∪（3，+∞） 【变式3】（2024秋•浙江期中）关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣3≤0的解集为，则关于x的一元二次不等式﹣3x2+bx+a≤0的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2024秋•朝阳期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}，其中a，b，c为常数，则不等式cx2+bx+a⩽0的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 题型九 一元二次不等式恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1 一元二次不等式恒成立问题，若取值范围是，则利用二次函数图象，看开口方向和判别式； 2 若取值范围是区间，则利用二次函数图象求解；也可以分离参数法求解，最后往往用到基本不等式或对勾函数求解。 【典例1】 （2024秋•长沙校级期中）若不等式x2﹣tx+1＜0对一切恒成立，则实数t的取值范围为（　　） A． B． C．t≥2 D． 【变式1】（2024秋•内蒙古校级期中）关于x的不等式（a﹣1）x2﹣ax+a+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B． C． D．或 【变式2】（2024秋•砀山县期中）对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y＝x（y+2）．若不等式x⊙（x+a）+4＞0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣6，6） D．（﹣2，2） 【变式3】（2024秋•邵阳校级期中）若不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式4】（2024秋•河北期中）已知满足x2﹣2x≤0的x使得ax2+2x﹣1≤0恒成立，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C．[0，+∞） D． 题型十 基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 1 若，则 (当且仅当时，等号成立)，求解最值时，要注意“一正二定三等”； 2 常见的方法有直接法、凑项法、消元法、换元法与巧1法等，往往用到多个方法结合求解。 方法1 直接法 【典例1】 （2025春•百色校级期中）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式1】（2024秋•武清区期中）已知a，b＞0且ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D．8 【变式2】（2024秋•上城区校级期中）若正实数a，b满足a+b＝2ab﹣4，则ab的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 方法2 凑项（数）法 【典例1】（2024秋•西城区校级期中）当x＞2时，恒成立，则a的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 【变式1】（2024秋•江城区校级期中）已知x＜1，则的最大值是（　　） A．﹣2 B．4 C．6 D．7 【变式2】（2024秋•宝应县校级期中）已知x＞1，y＞0，x+y＝2，则（x﹣1）•y的最大值是（　　） A． B． C． D．1 方法3 换元法 【典例1】 （2025春•廊坊期中）若x＜﹣1，则有（　　） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值﹣8 D．最大值﹣10 【变式1】（2024秋•昭阳区期中）若正实数x，y满足xy+x+y＝3，则x+y的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2024秋•苏州期中）已知实数x＞y＞0，则的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式3】（2024秋•广东校级期中）已知x＞1，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 方法4 消元法 【典例1】 （2024秋•西湖区校级期中）已知ab＞0且a+2b＝1，则的最小值是（　　） A．12 B．16 C．15 D．14 【变式1】（2024秋•台江区校级期中）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，则a+2b的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•朝阳区校级期中）若x＞0，y＞0，且xy＝2x+y+7，则x+y的最小值为（　　） A．8 B．9 C． D． 方法5 巧1法 【典例1】 （2024秋•鹿城区校级期中）已知正数a，b满足，则a+b的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2024秋•枣强县校级期中）设m，n∈（0，+∞），且m+n＝2，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（2024秋•嘉峪关校级期中）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•泰安校级期中）已知x，y为非负实数，且x+2y＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型十一 基本不等式的应用 解｜题｜技｜巧 1求实际问题的最值，把所求量表示出来，观察其形式是否能够变形为能够利用基本不等式求解； 2 在实际问题中，利用基本不等式求问题中的最值，要注意实际问题中变量的取值范围. 【典例1】 （2024秋•江西期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速．当安全距离d0取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．110 B．116 C．119 D．122 【变式1】（2024秋•忻城县校级期中）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为10米的走廊AB，当△OAB的面积最大时，OB长度为（　　）米． A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•海淀区校级期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图 中阴影部分），上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（　　）dm2． A．48 B．56 C．65 D．88 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2024春•石家庄期中）若关于x，y的方程组无解，则m＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 2（2024秋•乳山市期中）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（　　） A．a2＞b2 B． C． D．a3＞b3 3（2024秋•蓝山县校级期中），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 4（2025春•涟源市校级期中）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，1，2，3} C．{1，2} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 5（2024秋•徐汇区校级期中）若x1，x2是方程x2+ax+8＝0的两相异实根，则有（　　） A．|x1|＞2，|x2|＞2 B．|x1|＞3，|x2|＞3 C． D． 6（2024秋•南开区校级期中）若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集为R，则m的范围是（　　） A．1≤m＜9 B．1＜m＜9 C．m≤1或m＞9 D．m＜1或m＞9 7（2024秋•南充校级期中）已知x＞﹣1，当x＝a时，取得最小值为b，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．8 8（多选）（2023秋•龙岗区校级期中）已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2 C．若，则a＞0，b＜0 D．若a＞b＞0，c＞0，则 9（2024秋•长沙校级期中）已知，，则a 　 　 b．（填“＞”或“＜”） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2023秋•商丘期中）若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a|a|＜b|b| B．a+b＜ab C． D． 2（2024秋•赣州期中）若关于x的不等式x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＜0的解集为（x1，x2），且，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 3（2024秋•盐城期中）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），则下列选项正确的是（　　） A．a＞0 B．不等式bx2﹣ax+c＞0的解集为 C．a﹣b+c＞0 D．不等式cx+b＜0的解集为 4（2025春•杭州期中）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则x1+x2的最大值是（　　） A． B． C． D． 5（2024秋•渭滨区校级期中）若关于x的不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6（多选）（2024秋•浙江期中）已知ax2+bx+c＜0的解集为{x|α＜x＜β＜0}，则的解可以是（　　） A． B． C． D． 7（多选）（2023秋•锦江区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，下列结论中正确的是（　　） A．xy的最大值是 B．2x+4y的最小值是 C．的最小值是8 D．x2+4y2的最小值是 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2023秋•长宁区校级期中）若a、b∈R+，且a≠b，则下列关系式中不可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式ax2﹣6x+a+2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，且不等式（m2﹣5m﹣6）x2+（m+1）x+a＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A． m ≤﹣1或 m ＞7 B． m ＜﹣1或 m ≥7 C． m ＜﹣1或 m ＞7 D． m ≤﹣1或 m ≥7 3（2024秋•虹口区校级期中）设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）． （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为，求实数a的值； （2）若不等式f（x）≥﹣2对于实数a∈[﹣1，1]时恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1． 4（2024秋•贵州校级期中）已知f（x）＝ax2+bx+2，x∈R．定义点集A与y＝f（x）的图象的公共点为A在f（x）上的截点． （1）若b＝﹣1，L＝{（x，y）|y＝3，x∈R}，L在f（x）上的截点个数为0，求实数a的取值范围； （2）若a＝1，S＝{（x，y）|y＝2，x∈（0，2）}，S在f（x）+|x2﹣1|上的截点为（x1，2）与（x2，2）． （ⅰ）求实数b的取值范围； （ⅱ）证明：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等式 理解等式的性质； 能利用韦达定理处理问题； 能解方程组； 基础必考点，常出现在小题 不等式 能根据不等式的性质判断式子大小； 会解不含参和含参一元二次不等式； 高频考点，难度不大 基本不等式 掌握基本不等式求最值的多种方法 高频考点，是个难点 知识点01 等式的性质 (1)如果，那么； (2)如果，，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么； (5)如果，，那么. ·示例： 。 ·易错点：求解关于方程，要分类讨论与. 知识点02 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. ·示例： 若，是，则，. 知识点03 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：； ·示例：（2024秋•清远期中）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　） A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误； 对于B，a2＝a2，b＞c， 由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确． 对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． ·易错点：求解关于方程，要分类讨论与、. 知识点04 比较两式子大小 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) ·示例： （2025春•高新区期中）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关 【答案】C 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为P﹣Q＝a（2a+5）﹣（2a+1）（a+2）＝2a2+5a﹣（2a2+5a+2）＝﹣2＜0， 所以P＜Q． 故选：C． 知识点05 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. ·示例： （2024秋•陆良县校级期中）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}，则不等式x2+bx+a＞0的解集是（　　） A．{x|x或x＞1} B．{x|x＜﹣1或} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＜﹣3或x＞2} 【答案】B 【分析】根据已知可得﹣3，﹣2为方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个根，根据韦达定理求出a，b，然后根据一元二次不等式求出结果． 【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}， ∴﹣3，2是方程ax2﹣bx﹣1≥0的两个根，且a＜0， 由韦达定理得，解得a，b， ∴不等式x2+bx+a＞0为0， 解得x＜﹣1或x， ∴不等式x2+bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣1或x}． 故选：B． 知识点06 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. (2) 一元高次不等式的解法 ① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. Eg 解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. ·示例： 不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 知识点07 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ·示例： （2023秋•普陀区校级期中）下列命题中正确的是（　　） A．的最小值是2 B．的最小值是﹣2 C．的最小值是2 D．的最小值是2 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项． 【解答】解：对于A选项，当x＜0时，A显然错误； 对于B选项，因为x＞0，则， 当且仅当时，即当x＝1时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当x2+2＝1时，等号成立， 但x2+2＞1，等号不成立，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当x＝0时，等号成立， 故的最小值是2，D对． 故选：D． ·易错点：利用基本不等式求解最值问题时，要注意“一正、二定、三等”。 题型一 一元二次方程的解及其根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1 一元二次方程有实数根，，则，. 2 若题中有类似、等式子，需要变形向与靠拢； 易｜错｜点｜拨 使用韦达定理的前提是判别式。 【典例1】 （2024秋•辽宁期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足，则实数k的取值为（　　） A．﹣2或6 B．6 C．﹣2 D． 【答案】C 【分析】先根据条件可知Δ≥0，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解． 【解答】解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，解得， ∴实数k的取值范围为， 根据韦达定理可得x1+x2＝1﹣2k，， ∵， ∴（1﹣2k）2﹣2（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0， 解得k＝﹣2或k＝6 （不符合题意，舍去）， ∴实数k的值为﹣2． 故选：C． 【变式1】（2022秋•宝山区校级期中）若一元二次方程2x2﹣6x﹣3＝0两实数根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝　　 ． 【答案】． 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：由题意得x1+x2＝3，x1x2， 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1． 故答案为：． 【变式2】（2024秋•菏泽期中）已知m，n是两个不相等的实数，满足m2﹣3m+c＝0，n2﹣3n+c＝0，，则c＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可知，m，n是方程x2﹣3x+c＝0的两个不相等的实根，再利用韦达定理求解即可． 【解答】解：由题意可知，m，n是方程x2﹣3x+c＝0的两个不相等的实根， 所以m+n＝3，mn＝c， 所以1， 解得c＝3． 故选：B． 【变式3】（2024秋•丰台区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的韦达定理相关知识可解． 【解答】解：关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β， 则，解得m≤1， 又α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝12，即4（m﹣1）2﹣4m2+4m＝12， 则m＝﹣1或m＝4（舍去）． 故选：A． 题型二 方程组的解 解｜题｜技｜巧 方程组，当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组只有一个解。 【典例1】（2023秋•海淀区校级期中）已知关于x、y的方程组：（其中a、b＞0）无解，则必有（　　） A．a+b＜2 B．a+b＞2 C．a﹣b＜2 D．a﹣b＞2 【答案】B 【分析】由方程组得x+b（1﹣ax）＝1，所以（1﹣ab）x＝1﹣b无解．所以当ab＝1，且a，b不同时为1，其中a、b＞0，再利用基本不等式分析得解． 【解答】解：由方程组得x+b（1﹣ax）＝1，所以方程（1﹣ab）x＝1﹣b无解． 所以当ab＝1，且a，b不同时为1，其中a、b＞0， ∴a+b＞2，即a+b＞2． 故选：B． 【变式1】（2023秋•徐汇区校级期中）设k∈R，对关于x的方程组的解的说法正确的是（　　） A．对任意实数k，该方程组的解集都是单元素集 B．至少存在一个实数k，使得该方程组的解集为空集 C．至少存在一个实数k，使得该方程组的解集为无限集 D．对任意实数k，该方程组的解集都不是空集 【答案】B 【分析】先分类讨论k的值，再分别判断线性方程组解的情况即可． 【解答】解：当k＝0时，方程组的解集为空集，∴A，D错误， ∵至少存在一个实数k＝0，使得方程组的解集为空集，∴B正确， 当k＝0时，方程组的解集为空集，当k≠0时，方程组的解集为（，﹣1）， ∴该方程组的解集不为无限集，∴C错误， 故选：B． 【变式2】（2024秋•沙河口区校级期中）关于x，y，z的方程组，则下列说法错误的是（　　） A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 【答案】D 【分析】方程组消去x，可得（a2﹣2a+1）y＝a2﹣2a+1，然后分a＝1和a≠1讨论得答案． 【解答】解：， 由x+ay＝2a，可得ax+a2y＝2a2， 代入ax+（2a﹣1）y＝a2+2a﹣1， 得（a2﹣2a+1）y＝a2﹣2a+1， 当a＝1时，为恒等式，有无穷多解； 当a≠1时，y＝1，x＝a，有唯一解． 结合选项可知，D错误． 故选：D． 题型三 由不等式的性质比较数（式子）大小 解｜题｜技｜巧 在选择题中比较数（式）的大小，常见的方法有 ①利用不等式的性质比较大小；② 取特殊值排除法； ③作差法或作商法比较大小；④利用分析法比较大小。 易｜错｜点｜拨 利用不等式的性质比较大小时，要正确理解不等式的性质， 若，则是错误的，要加多个条件； 若，则是错误的，要加多个条件. 【典例1】（2024秋•仓山区校级期中）若a，b，c∈R，且a＞b＞c，a+b+c＞0，则下列命题正确的是（　　） A． B． C．c3＜a3 D．若ac＜0，则cb2＜ab2 【答案】C 【分析】运用特殊值，结合作差法逐个判断即可． 【解答】解：设a＝4，b＝2，c＝1，满足且a＞b＞c，a+b+c＞0， 则，故A错误； 对于B，设a＝4，b＝0，c＝﹣1，满足且a＞b＞c，a+b+c＞0，则，故B错误； 对于C，， 由于a＞c，则a﹣c＞0.， 则a3﹣c3＞0．则c3＜a3．故C正确． 对于D，设a＝4，b＝0，c＝﹣1，满足且a＞b＞c，a+b+c＞0，则cb2＝0＝ab2，故D错误． 故选：C． 【变式1】（2024秋•包河区校级期中）下列命题是假命题的是（　　） A．若a＞b＞0＞c＞d，则ab＞cd B．若ac2＞bc2，则a＞b C．若a＞b＞0且c＜0，则 D．若a＞b且，则ab＜0 【答案】A 【分析】列举反例可判断A选项，根据不等性质可判断BCD选项． 【解答】解：A选项：取a＝2，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣4，A选项显然错误； B选项：若ac2＞bc2，又c2＞0，则a＞b，B选项正确； C选项：若a＞b＞0，则a2＞b2＞0，则， 又因为c＜0，由不等式的性质可得，C选项正确； D选项：若a＞b且，则，所以ab＜0，D选项正确． 故选：A． 【变式2】（2024秋•清远期中）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　） A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误； 对于B，a2＝a2，b＞c， 由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确． 对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 【变式3】（2024秋•仙游县期中）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B．（a+b）2≤4ab C． D． 【答案】D 【分析】利用举反例可判断ABC，利用作差法可判断D． 【解答】解：因为a＞b＞0，取a＝2，b＝1，则a3，b3，故A错误； （a+b）2＝9，4ab＝8，故B错误； ，故C错误； 又， ∵a＞b＞0， ∴b﹣a＜0，a（a+2）＞0， ，即，故D正确． 故选：D． 【变式4】（2024秋•杨浦区校级期中）若a＜b＜0，下面有六个结论：①a2＞b2；②a3＜b3；③； ④；⑤；⑥|a|＞﹣b．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】举反例得到③⑤错误，利用不等式性质确定①②④⑥正确，得到答案． 【解答】解：对①：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＜0，a﹣b＜0，故a2﹣b2＞0，正确； 对②：y＝x3在R上单调递增， a＜b， 故a3＜b3，即a3﹣b3＜0，正确； 对③：取a＝﹣2，b＝﹣1，则，，，错误； 对④：，a﹣b＜0，b＜0，故，正确； 对⑤：取a＝﹣2，b＝﹣1，则，，，错误； 对⑥：要证|a|＞﹣b，即﹣a＞﹣b，即a＜b，正确． 故选：D． 题型四 作差法或作商法比较代数式的大小 解｜题｜技｜巧 1 作差法(与的比较) 2作商法(与比较) 3 对于一些幂形式的多利用作商法。 【典例1】 （2024秋•重庆校级期中）比较与（a＞0，b＞0）的大小（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差之后通分、提取公因式即可得出，然后即可判断其大小关系． 【解答】解：0， ∴． 故选：C． 【变式1】（2024秋•汕头校级期中）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 【答案】A 【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M﹣N的结果，判断结果的符号． 【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【变式2】 （2023春•会宁县校级期中）若P，Q（a≥0），则P、Q的大小关系是：　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】平方作差即可比较出大小． 【解答】解：∵a≥0， ∴P2﹣Q2 20， ∴P＜Q． 故答案为：P＜Q． 【变式3】（2024春•赣州期中）已知t＞1，且，，则x，y的大小关系是 　 ． 【答案】x＜y． 【分析】可以转化为分式，再判断跟1的大小关系．从而确定x，y的大小． 【解答】解：． ． ． 故答案为：x＜y． 题型五 解不含参一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 1 利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系求解不含参一元二次不等式； 2 若解与一元二次方程有关的一元二次不等式，用口诀：大于取两边，小于取中间。 【典例1】 （2024秋•黄岛区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|a＜x＜a+2}，则a＞0是A⊆B的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝[1，2]，B＝（a，a+2）， a＞0，例如当a＝3，B＝（3，5），得不到A⊆B，则为不充分条件， 若A⊆B，则有，则有0＜a＜1，所以a＞0是A⊆B的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】（2025春•杭州校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　） A．{2，3，4，5} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4} 【答案】C 【分析】求出集合B，再结合交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝{x|﹣1＜x＜5}， 所以A∩B＝{1，2，3，4}， 故选：C． 【变式2】（2024秋•蓝山县校级期中）已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 【答案】D 【分析】求出集合B结合数轴推断a的取值范围． 【解答】解：因为B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，A＝{x|0≤x≤a}， 因B⊆A，则a≥2，则实数a的取值范围是[2，+∞）． 故选：D． 题型六 解分式不等式或高次不等式 解｜题｜技｜巧 1 解分式不等式，，且； 解，则，通分再求解； 2 解高次不等式可利用“穿针引线法”求解，记住“奇穿偶不穿”。 易｜错｜点｜拨 解分式不等式且，其中不要忽视。 【典例1】 （2024秋•永春县校级期中）不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞4}，则的解集为（　　） A． B．{x|﹣1≤x＜1} C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＞0，即（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝4，代入求出a，b，再利用分式不等式的解法即可求解． 【解答】解：不等式可转化为[（a﹣1）x﹣b+1]（x+b）＞0， 其解集为{x|x＜﹣1或x＞4}， 所以a＞1，且方程（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝4， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得． 所以不等式的解集为{x|}． 故选：A． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式可化为，通分整理得， 解得,所以解集为. 故选：A. 【变式2】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 【变式3】（2024秋•新泰市校级期中）不等式的解集为（　　） A．（﹣2，4] B．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪{﹣1}∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪{﹣1}∪[4，+∞） 【答案】D 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式即可． 【解答】解：原不等式等价于（x+2）（x﹣4）≥0，且x≠﹣2，或x＝﹣1， 则x＜﹣2或x≥4，或x＝﹣1，则不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪{﹣1}∪[4，+∞）． 故选：D． 题型七 解含参一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 解含参的一元二次不等式，利用二次函数图象求解，多从以下几点分类讨论： 1 、与； 2 判别式、与； 3 若对应一元二次方程有实数根，分，， 同时结合函数的特征，思考分类讨论的标准与分类标准的先后次序，要做到不重不漏。 【典例1】 （2024秋•临沂期中）已知关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0恰有5个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．（6，7] B．[﹣5，﹣4） C．[﹣5，﹣4）∪（6，7] D．（﹣5，﹣4]∪[6，7） 【答案】C 【分析】不等式化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，根据不等式的解集中恰有5个整数解，讨论a＞1和a＜1时，根据解集中的5个整数即可求出a的取值范围． 【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0， 因为不等式的解集中恰有5个整数解， a＞1时，解集中的5个整数为2，3，4，5，6，则6＜a≤7； a＜1时，解集中的5个整数为0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，则﹣5≤a＜﹣4； 综上，实数a的取值范围是[﹣5，﹣4）∪（6，7]． 故选：C． 【变式1】（2024秋•温州期中）若a＜0，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【解答】解：∵a＜0， ∴原不等式可化为：，又， 即不等式的解为x＜﹣2或． 故选：C． 【变式2】（2024秋•永寿县校级期中）设a为实数，则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）＞0的解集不可能是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可． 【解答】解：对于（ax﹣1）（x+2）＞0，当a＝0时，变为﹣（x+2）＞0， 此时解得x∈（﹣∞，﹣2）， 当a∈（0，+∞）时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确． 故选：B． 【变式3】（2024秋•房山区校级期中）函数f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R （1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a，b的值； （2）当a＝0时，若f（f（x））＝4x﹣2，求实数b的值； （3）a∈R，若f（2）＝4，求f（x）＜﹣2x+8的解集． 【答案】（1）a＝1，b＝﹣3； （2）b＝﹣2； （3）当时，不等式的解集为或x＞2}； 当时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当时，不等式的解集为{x|x＜2或； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜2}； 当a＞0时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值； （2）先求出f（f（x）），再根据代数式恒相等可求b的值； （3）原不等式即为ax2+（3﹣2a）x﹣6＜0，就a不同情形分类讨论后可得不等式的解． 【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}， ∴a＞0，且ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2， ∴，， 解得a＝1，b＝﹣3； （2）f（f（x））＝f（bx+2）＝b（bx+2）+2＝b2x+2b+2＝4x﹣2， 得， ∴b＝﹣2； （3）f（2）＝4a+2b﹣2＝0， ∴2a+b＝1， ∴b＝1﹣2a， 即ax2+（3﹣2a）x﹣6＜0， ∴（ax+3）（x﹣2）＜0， （1）当a＝0时，x＜2， （2）当a≠0时，则， ①当a＞0时，， ②当a＜0时，若，即时，或x＞2， 若，即时，x≠2， 若，即时，x＜2或， 综上所述：当时，不等式的解集为或x＞2}； 当时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当时，不等式的解集为{x|x＜2或； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜2}； 当a＞0时，不等式的解集为． 题型八 由一元二次不等式的解求参数 解｜题｜技｜巧 多从一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系入手。 【典例1】 （2024秋•渭南校级期中）已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意可得方程x2+bx+c＝0的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得b，c，进而求解即可． 【解答】解：因为不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}， 所以方程x2+bx+c＝0的两个根分别为3和4， 则，解得， 所以cx2+bx+1＞0，即12x2﹣7x+1＞0， 即（3x﹣1）（4x﹣1）＞0，即或， 所以cx2+bx+1＞0的解集为或． 故选：C． 【变式1】（2024秋•德州期中）若∃x∈[﹣1，4]，使x2﹣4x+1﹣m≥0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，6] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣3] D．[1，6] 【答案】A 【分析】转化为m≤x2﹣4x+1在[﹣1，4]上成立，即求x2﹣4x+1在[﹣1，4]上的最大值即可． 【解答】解：∃x∈[﹣1，4]，使x2﹣4x+1﹣m≥0成立， 即m≤x2﹣4x+1在[﹣1，4]上成立， 令f（x）＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 当x＝﹣1时，f（x）的最大值为f（﹣1）＝6． 故m≤6． 故选：A． 【变式2】（2025春•延吉市校级期中）已知关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1≤0的解集是∅，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C．（2，3） D．（﹣∞，2]∪（3，+∞） 【答案】A 【分析】分类讨论，利用二次函数的性质即可得． 【解答】解：a＝2时，原不等式化为1≤0，满足解集为∅， a≠2时，需满足， 解得2＜a＜3，综上所述a的范围为[2，3）． 故选：A． 【变式3】（2024秋•浙江期中）关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣3≤0的解集为，则关于x的一元二次不等式﹣3x2+bx+a≤0的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解集先求出a，b的值，然后代入计算即可． 【解答】解：因为ax2+bx﹣3≤0的解集为， 所以，解得， 所以﹣3x2+bx+a≤0⇔﹣3x2﹣x+2≤0， 解得或x≤﹣1，所以解集为． 故选：D． 【变式4】（2024秋•朝阳期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}，其中a，b，c为常数，则不等式cx2+bx+a⩽0的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出14x2+5x﹣1≤0，即可得出不等式的解集． 【解答】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}， 则﹣2，7是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0， 所以，解得， 则不等式cx2+bx+a≤0化为﹣14ax2﹣5ax+a≤0， 又因为a＜0， 所以不等式﹣14ax2﹣5ax+a≤0可化为14x2+5x﹣1≤0， 解得， 即不等式cx2+bx+a≤0的解集是． 故选：A． 题型九 一元二次不等式恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1 一元二次不等式恒成立问题，若取值范围是，则利用二次函数图象，看开口方向和判别式； 2 若取值范围是区间，则利用二次函数图象求解；也可以分离参数法求解，最后往往用到基本不等式或对勾函数求解。 【典例1】 （2024秋•长沙校级期中）若不等式x2﹣tx+1＜0对一切恒成立，则实数t的取值范围为（　　） A． B． C．t≥2 D． 【答案】D 【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t的取值范围． 【解答】解：因为不等式x2﹣tx+1＜0对一切恒成立， 所以在区间上恒成立，只需要求出右边的值域即可， 由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间（1，3）上单调递增， 且当时，，当x＝3时，，x＝1时，y＝1+1＝2， 所以y＝x∈[2，）， 所以． 故选：D． 【变式1】（2024秋•内蒙古校级期中）关于x的不等式（a﹣1）x2﹣ax+a+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】讨论a﹣1＝0和a﹣1≠0时，求出不等式的解集为R时a的取值范围即可． 【解答】解：当a﹣1＝0，即a＝1时，不等式为﹣x+2≥0，解集不是R，不满足题意； 当a﹣1≠0时，应满足，解得a， 所以实数a的取值范围是{a|a}． 故选：B． 【变式2】（2024秋•砀山县期中）对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y＝x（y+2）．若不等式x⊙（x+a）+4＞0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣6，6） D．（﹣2，2） 【答案】B 【分析】由已知不等式x⊙（x+a）+4＞0可化为得x2+（a+2）x+4＞0，结合条件及二次函数性质可得（a+2）2﹣16＜0，解不等式可得结论． 【解答】解：由题意可知，不等式x⊙（x+a）+4＞0可化为x（x+a+2）+4＞0， 即x2+（a+2）x+4＞0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝（a+2）2﹣16＜0， 解得﹣6＜a＜2， 即a的取值范围是（﹣6，2）． 故选：B． 【变式3】（2024秋•邵阳校级期中）若不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则a+2b的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得ab＝2，且a＞0，b＞0，再利用基本不等式求解即可． 【解答】解：不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，即不等式ax2﹣（ab+2）x+2b≥0， 当a＝0时，不等式化为﹣2x+2b≥0，这不可能对任意x∈R恒成立， 当a≠0时，则， 解得ab＝2，且a＞0，b＞0， 所以a+2b4，当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a+2b的最小值为4． 故选：C． 【变式4】（2024秋•河北期中）已知满足x2﹣2x≤0的x使得ax2+2x﹣1≤0恒成立，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C．[0，+∞） D． 【答案】A 【分析】由解不等式得到ax2+2x﹣1≤0在x∈[0，2]上恒成立，考虑x＝0和x∈（0，2]两种情况，参变分离，得到a≤﹣1． 【解答】解：由x2﹣2x≤0，求出0≤x≤2， ax2+2x﹣1≤0在x∈[0，2]上恒成立， 当x＝0时，0≤1，a∈R， 当x∈（0，2]时，a≤（）2（1）2﹣1， 因为，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≤﹣1， 综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 故选：A． 题型十 基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 1 若，则 (当且仅当时，等号成立)，求解最值时，要注意“一正二定三等”； 2 常见的方法有直接法、凑项法、消元法、换元法与巧1法等，往往用到多个方法结合求解。 方法1 直接法 【典例1】 （2025春•百色校级期中）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】由已知利用基本不等式即得． 【解答】解：因为a＞0，b＞0， 所以， 当且仅当，且，即a＝2，b＝1时取等号． 故选：D． 【变式1】（2024秋•武清区期中）已知a，b＞0且ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：a，b＞0且ab＝2，则， 当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号， 所以当a＝1，b＝2时，（a+1）（b+2）的最小值为8． 故选：D． 【变式2】（2024秋•上城区校级期中）若正实数a，b满足a+b＝2ab﹣4，则ab的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式得到，把看作一个整体，解不等式即可． 【解答】解：∵正实数a，b满足a+b＝2ab﹣4， ， ∴， ∴，即， ∴或（舍）， ∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴（ab）min＝4． 故选：C． 方法2 凑项（数）法 【典例1】（2024秋•西城区校级期中）当x＞2时，恒成立，则a的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据题意只需要通过配凑法求出4x的最小值即可，从而可得a的最大值． 【解答】解：当x＞2时，则x﹣2＞0， 88＝12， 当且仅当4（x﹣2）时，即x时取等号， 则a的取值范围为（﹣∞，12]， 则a的最大值为12． 故选：C． 【变式1】（2024秋•江城区校级期中）已知x＜1，则的最大值是（　　） A．﹣2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将变形为，利用均值不等式进行求解． 【解答】解：∵x＜1， ∴， 当且仅当，即x＝0时取等号． 故选：A． 【变式2】（2024秋•宝应县校级期中）已知x＞1，y＞0，x+y＝2，则（x﹣1）•y的最大值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得x﹣1＞0，y＞0，（x﹣1）+y＝1，利用基本不等式求最值． 【解答】解：因为x＞1，y＞0，x+y＝2，则x﹣1＞0，（x﹣1）+y＝1， 可得，当且仅当x﹣1＝y，即时，等号成立， 所以（x﹣1）•y的最大值是． 故选：A． 方法3 换元法 【典例1】 （2025春•廊坊期中）若x＜﹣1，则有（　　） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值﹣8 D．最大值﹣10 【答案】D 【分析】利用基本不等式可得答案． 【解答】解：因为， 因为x＜﹣1，所以x+1＜0，，所以﹣（x+1）＞0， 所以﹣（x+1）+（）≥26，当且仅当，即x＝﹣4时等号成立， 所以x+16， 所以，即有最大值﹣10． 故选：D． 【变式1】（2024秋•昭阳区期中）若正实数x，y满足xy+x+y＝3，则x+y的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式将方程化成，取x+y＝t，求解关于t的一元二次不等式即得． 【解答】解：∵正实数x，y满足xy+x+y＝3， 又，当且仅当x＝y时取等号， 设x+y＝t，则t＞0，代入整理可得t2+4t﹣12≥0，解得t≤﹣6或t≥2， 因t＞0，故t≥2，故当x＝y＝1时，x+y取得最小值为2． 故选：B． 【变式2】（2024秋•苏州期中）已知实数x＞y＞0，则的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先令，将原式化为关于t的式子，再利用函数思想求解． 【解答】解：由已知，令，则原式， 再令m＝t﹣1＞0，所以上式＝3m+34m59， 当且仅当时取等号． 故选：B． 【变式3】（2024秋•广东校级期中）已知x＞1，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由，利用基本不等式求解． 【解答】解：因为x＞1，所以x﹣1＞0， 所以， ， 当且仅当，即x＝3时，等号成立， 所以的最小值是3． 故选：A． 方法4 消元法 【典例1】 （2024秋•西湖区校级期中）已知ab＞0且a+2b＝1，则的最小值是（　　） A．12 B．16 C．15 D．14 【答案】D 【分析】先结合已知将变为﹣2，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：因为ab＞0且a+2b＝1，可得a＞0，b＞0， 且b，可得a∈（0，1）， 所以2， 设y＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，a∈（0，1）， 开口向下，对称轴a，所以a时，ymax， 且当a＝0或a＝1时，y＝0， 所以y∈（0，）， 所以4， 所以的最小值为﹣214． 故选：D． 【变式1】（2024秋•台江区校级期中）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，则a+2b的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由2a+b＝ab+1可得，后由基本不等式可得答案． 【解答】解：因2a+b＝ab+1，则a， 则． 当且仅当，即，时取等号． 故选：A． 【变式2】（2024秋•朝阳区校级期中）若x＞0，y＞0，且xy＝2x+y+7，则x+y的最小值为（　　） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】作变形，再配凑，然后结合基本不等式求解即可； 【解答】解：由xy＝2x+y+7变形为0，解得x＞1或（舍去）， ， 当且仅当，即x＝4，y＝5时取等号． 故选：B． 方法5 巧1法 【典例1】 （2024秋•鹿城区校级期中）已知正数a，b满足，则a+b的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正数a，b满足， 则a+b+1＝（a+b+1）（）＝24， 当且仅当a＝b+1，即a＝2，b＝1时取等号， 所以a+b的最小值为3． 故选：B． 【变式1】（2024秋•枣强县校级期中）设m，n∈（0，+∞），且m+n＝2，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最小值． 【解答】解：∵m+n＝2，m＞0，n＞0， ， 当，即m＝n＝1时，最小值为2． 故选：D． 【变式2】（2024秋•嘉峪关校级期中）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【解答】解：因为x+y＝1，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 【变式3】（2024秋•泰安校级期中）已知x，y为非负实数，且x+2y＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对所求式子进行分离变形，然后结合乘1法及基本不等式即可求解． 【解答】解：因为x，y为非负实数，且x+2y＝2，即x+2（y+1）＝4， 则x ＝x2y+24 ＝（）[x+2（y+1）] （5）（5+2），当且仅当x＝y+1，即x，y时取等号． 故选：B． 题型十一 基本不等式的应用 解｜题｜技｜巧 1求实际问题的最值，把所求量表示出来，观察其形式是否能够变形为能够利用基本不等式求解； 2 在实际问题中，利用基本不等式求问题中的最值，要注意实际问题中变量的取值范围. 【典例1】 （2024秋•江西期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中d0（m）为安全距离，v（m/s）为车速．当安全距离d0取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A．110 B．116 C．119 D．122 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可． 【解答】解：当d0＝40时，N116， 当且仅当，即v＝10时，等号成立， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116． 故选：B． 【变式1】（2024秋•忻城县校级期中）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为10米的走廊AB，当△OAB的面积最大时，OB长度为（　　）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设OA＝x米，OB＝y米，则有x2+y2＝100，，由重要不等式求△OAB的面积最大时y的值． 【解答】解：设OA＝x米，OB＝y米， 因为AB＝10米， 由OA⊥OB，有x2+y2＝100， 则△OAB的面积，当且仅当时等号成立， 所以△OAB的面积最大为25平方米，此时OB长度为米． 故选：D． 【变式2】（2023秋•海淀区校级期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（　　）dm2． A．48 B．56 C．65 D．88 【答案】B 【分析】先求得空白部分面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案． 【解答】解：设阴影部分的长为x，宽为y，x，y为正实数，且xy＝72dm2， 则空白部分的面积为（y+4）×1×2+2x×2＝4x+2y+856dm2， 当且仅当4x＝2y，2x＝y＝12时等号成立． 故选：B． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2024春•石家庄期中）若关于x，y的方程组无解，则m＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】将方程组联立可以得到一个关于x的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得m的值． 【解答】解：由题意，可知： ∵关于x，y的线性方程组无解， 原方程组， 2×②﹣①：（2m﹣1）y＝1， y， 当2m﹣1＝0是时原方程组无解， 解得：m． 故选：A． 2（2024秋•乳山市期中）已知a＞b，则下列不等式中成立的是（　　） A．a2＞b2 B． C． D．a3＞b3 【答案】D 【分析】利用不等式的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．虽然﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＞（﹣2）2不成立； B．虽然3＞﹣2，但是不成立； C．虽然2＞﹣3，但是不成立； D．∵a＞b，∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＞0（∵）成立． 综上可知：只有D正确． 故选：D． 3（2024秋•蓝山县校级期中），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【答案】C 【分析】将a，b，c三个数同时平方，再进行比较，即可求解． 【解答】解：， 则，，， 故c2＞b2＞a2， 又a＞0，b＞0，c＞0， 则c＞b＞a． 故选：C． 4（2025春•涟源市校级期中）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，1，2，3} C．{1，2} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 【答案】B 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}， 则A∩B＝{﹣1，1，2，3}． 故选：B． 5（2024秋•徐汇区校级期中）若x1，x2是方程x2+ax+8＝0的两相异实根，则有（　　） A．|x1|＞2，|x2|＞2 B．|x1|＞3，|x2|＞3 C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法判断A、B选项；利用Δ＝a2﹣32＞0可得出a2＞32，利用根与系数的关系判断C、D选项． 【解答】解：当a＝9，方程为x2+9x+8＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣8，选项A、B都错误； 由题意知，判别式Δ＝a2﹣32＞0，解得a2＞32， 由根与系数的关系知x1+x2＝﹣a，x1x2＝8， 所以与 的大小关系不确定，选项C错误； ， 所以，选项D正确． 故选：D． 6（2024秋•南开区校级期中）若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集为R，则m的范围是（　　） A．1≤m＜9 B．1＜m＜9 C．m≤1或m＞9 D．m＜1或m＞9 【答案】A 【分析】m＝1时，显然满足题意；m≠1时，m应满足，然后解出m的范围即可． 【解答】解：m＝1时，原不等式变成2＞0恒成立，满足题意； m≠1时，，解得1＜m＜9， ∴m的范围为：1≤m＜9． 故选：A． 7（2024秋•南充校级期中）已知x＞﹣1，当x＝a时，取得最小值为b，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】变形后根据求出，并得到等号成立的条件，得到答案． 【解答】解：因为x＞﹣1，所以， 故， 当且仅当，即x＝2时，等号成立， 故a＝2，b＝1，a+b＝3． 故选：C． 8（多选）（2023秋•龙岗区校级期中）已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2 C．若，则a＞0，b＜0 D．若a＞b＞0，c＞0，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质判断A，B；举反例判断C；利用作差法比较大小判断D．综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，a＞b，则，A正确； 对于B，a＞b＞0，则a2＞ab＞0，ab＞b2＞0，即a2＞ab＞b2，B正确； 对于C，取a＝1，b＝2，则，但不满足a＞0，b＜0，C错误； 对于D，a＞b＞0，c＞0，则， 即，D正确， 故选：ABD． 9（2024秋•长沙校级期中）已知，，则a 　 　 b．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜． 【分析】对a，b进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果． 【解答】解：根据题意，， ， 因为，所以， 所以， 所以a＜b． 故答案为：＜． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2023秋•商丘期中）若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a|a|＜b|b| B．a+b＜ab C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐个选项判断正误，即可解决问题． 【解答】解：对于A：由于a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，而|a|＞|b|＞0，故﹣a|a|＞﹣b|b|＞0，即a|a|＜b|b|，故A成立； 对于B：因为a＜b＜0，故a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，故B成立； 对于C：因为⇔|b|（|a|+1）＜|a|（|b|+1）⇔|a||b|+|b|＜|a||b|+|a|⇔|b|＜|a|，而此式当a＜b＜0式显然成立，故C成立； 对于D：取a＝﹣2，b＝﹣1，检验可知D不一定成立．故D不成立． 故选：D． 2（2024秋•赣州期中）若关于x的不等式x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＜0的解集为（x1，x2），且，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＜0的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系求解． 【解答】解：因为关于x的不等式x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＜0的解集为（x1，x2）， 所以x1，x2是方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0的两个根， 所以， 因为， 所以， 解得m＝﹣1． 故选：B． 3（2024秋•盐城期中）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），则下列选项正确的是（　　） A．a＞0 B．不等式bx2﹣ax+c＞0的解集为 C．a﹣b+c＞0 D．不等式cx+b＜0的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出b、c与a的等量的关系，可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用一次不等式的解法可判断D选项． 【解答】解：对于A，因为关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），则a＜0，故A错误； 对于B，因为关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3）， 所以关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根分别为2，3， 所以，可得， 所以不等式bx2﹣ax+c＞0即为﹣5ax2﹣ax+6a＞0， 又因为a＜0， 即5x2+x﹣6＞0， 解得或x＞1， 即不等式bx2﹣ax+c＞0的解集为{x|x或x＞1}，故B错误； 对于C，a﹣b+c＝a+5a+6a＝12a＜0，故C错误； 对于D，不等式cx+b＜0即为6ax﹣5a＜0， 即6x﹣5＞0，解得， 因此不等式cx+b＜0的解集为{x|x}，故D正确． 故选：D． 4（2025春•杭州期中）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则x1+x2的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得x1+x2＝4a，x1x2＝3a2，再利用基本不等式相关知识可解． 【解答】解：已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2）， 则x1+x2＝4a，x1x2＝3a2， 则x1+x24a4a[（﹣4a）]， 当且仅当﹣4a时，即a时，取等号， 则x1+x2的最大值是． 故选：B． 5（2024秋•渭滨区校级期中）若关于x的不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据Δ＞0确定a的取值范围，初步判断在不等式的解集内，0不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果． 【解答】解：a＝4时，不等式为﹣4x+1＜0，解得x，不等式解集中的整数有无数个，不满足题意； 所以a≠4且Δ＞0，即16﹣4（4﹣a）＞0，解得a＞0； 且4﹣a＞0，解得a＜4，即0＜a＜4， 设不等式的解集为A． 因为x＝0时，1＜0不成立，所以0∉A；因为时，，所以． 又因为A中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3． 即，解得a， 所以，a的取值范围是{a|}． 故选：C． 6（多选）（2024秋•浙江期中）已知ax2+bx+c＜0的解集为{x|α＜x＜β＜0}，则的解可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由一元二次不等式的解集得到α，β为方程ax2+bx+c＝0的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可． 【解答】解：由题意可得a＞0，c＞0，且α，β为方程ax2+bx+c＝0的两个根， 因为α＜β＜0，所以， 则， 又等价于， 等价于， 等价于， 所以不等式的解为或． 故选：BD． 7（多选）（2023秋•锦江区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，下列结论中正确的是（　　） A．xy的最大值是 B．2x+4y的最小值是 C．的最小值是8 D．x2+4y2的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解． 【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝1， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以C错误； 对于D，由2（x2+4y2）≥（x2+4y2）+2x•（2y）＝（x+2y）2＝1， 得，当且仅当时等号成立，所以D正确． 故选：ABD． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2023秋•长宁区校级期中）若a、b∈R+，且a≠b，则下列关系式中不可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数f（x）＝|x﹣1|，根据f（x）在x＞1单调递增，在x＜1单调递减，结合基本不等式可得即可根据选项求解． 【解答】解：设f（x）＝|x﹣1|，，，， 因为a＞0，b＞0，a≠b，，，所以x1＞x2＞x3， 如图，f（x）在x＞1单调递增，在x＜1单调递减， 故当x1＞x2＞x3＞1时，f（x）单调递增，所以f（x1）＞f（x2）＞f（x3），即，故A正确， 当x1＞1＞x2＞x3时，如图f（x2）＜f（x1）＜f（x3），即，故B正确， 故当1＞x1＞x2＞x3时，f（x）单调递减，所以f（x1）＜f（x2）＜f（x3），即，故C正确， 若x1＞1＞x2＞x3，则f（x2）＜f（x3），若x1＞x2＞1＞x3则f（x1）＞f（x2），所以不可能出现f（x1）＜f（x3）＜f（x2），所以D错误． 故选：D． 2（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式ax2﹣6x+a+2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，且不等式（m2﹣5m﹣6）x2+（m+1）x+a＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A． m ≤﹣1或 m ＞7 B． m ＜﹣1或 m ≥7 C． m ＜﹣1或 m ＞7 D． m ≤﹣1或 m ≥7 【答案】A 【分析】由题意可知1和2是方程ax2﹣6x+a+2＝0的两个根，进而求出a的值，再结合二次函数的性质求解． 【解答】解：∵不等式ax2﹣6x+a+2＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1和2是方程ax2﹣6x+a+2＝0的两个根， ∴1， ∴a＝2， 即不等式（m2﹣5m﹣6）x2+（m+1）x+2＞0对于任意的x∈R恒成立， 当m2﹣5m﹣6＝0，即m＝﹣1或6时， 若m＝﹣1，则不等式化为2＞0，对于任意的x∈R恒成立，符合题意， 若m＝6，则不等式化为7x+2＞0，解得x，不符合题意，舍去， 当m≠﹣1且m≠6时，则， 解得m＜﹣1或m＞7， 综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪（7，+∞）． 故选：A． 3（2024秋•虹口区校级期中）设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）． （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为，求实数a的值； （2）若不等式f（x）≥﹣2对于实数a∈[﹣1，1]时恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1． 【答案】（1）a＝2； （2）{1}； （3）当a＜﹣1时，解集为或x＞1}； 当a＝﹣1时，解集为{x|x≠1}； 当﹣1＜a＜0时，解集为{x|x＜1或； 当a＝0时，解集为{x|x＜1}； 当a＞0时，解集为． 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系即可求解； （2）由已知不等式转化为关于a的不等式，结合一次函数的性质即可求解； （3）结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论即可求． 【解答】解：（1）由题意知，是方程ax2+（1﹣a）x+a﹣2＝0的两个根， 则； （2）ax2+（1﹣a）x+a﹣2≥﹣2⇒a（x2﹣x+1）+x≥0对于实数a∈[﹣1，1]时恒成立， 则， 则x的取值范围为{1}； （3）依题意，f（x）＜a﹣1等价于ax2+（1﹣a）x﹣1＜0， 当a＝0时，不等式可化为x＜1，解集为{x|x＜1}， 当a＞0时，不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＜0，不等式的解集为； 当a＜0时，不等式化为（ax+1）（x﹣1）＜0， ①当a＝﹣1时，，不等式的解集为{x|x≠1}； ②当﹣1＜a＜0时，，不等式的解集为{x|x＜1或； ③当a＜﹣1时，，不等式的解集为或x＞1}； 综上，当a＜﹣1时，解集为或x＞1}； 当a＝﹣1时，解集为{x|x≠1}； 当﹣1＜a＜0时，解集为{x|x＜1或； 当a＝0时，解集为{x|x＜1}； 当a＞0时，解集为 4（2024秋•贵州校级期中）已知f（x）＝ax2+bx+2，x∈R．定义点集A与y＝f（x）的图象的公共点为A在f（x）上的截点． （1）若b＝﹣1，L＝{（x，y）|y＝3，x∈R}，L在f（x）上的截点个数为0，求实数a的取值范围； （2）若a＝1，S＝{（x，y）|y＝2，x∈（0，2）}，S在f（x）+|x2﹣1|上的截点为（x1，2）与（x2，2）． （ⅰ）求实数b的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明见解析． 【分析】（1）由题意转化为ax2﹣x+2＝3无解，判断可得a≠0，则Δ＜0，即可求出a的取值范围； （2）（i）依题意可得方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个解，可化为函数H（x）＝x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调性，求出H（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值范围； （ii）由（i）可得和，消去b，即可得到，结合x2的范围即可证明． 【解答】解：（1）当b＝﹣1时，f（x）＝ax2﹣x+2， 因为L＝{（x，y）|y＝3，x∈R}，L在f（x）上的截点个数为0⇔关于x的方程ax2﹣x+2＝3无实数解， 即ax2﹣x﹣1＝0无实数解， 易知a≠0，所以Δ＝1+4a＜0，解 得， 即a的取值范围是； （2）（i）当a＝1时，f（x）＝x2+bx+2， 因为S＝{（x，y）|y＝2，x∈（0，2）}，S在f（x）+|x2﹣1|上的截点为（x1，2）与（x2，2）， 所以关于x的方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个解x1，x2， 即x2+bx+|x2﹣1|＝0在（0，2）上有两个解x1，x2， 不妨设0＜x1＜x2＜2， 令， 因为x∈（0，1]时，H（x）＝bx+1， 所以H（x）＝0在（0，1]上至多一个解， 若x1，x2∈（1，2），则x1，x2就是2x2+bx﹣1＝0的解， 从而，这与题设矛盾． 因此x1∈（0，1]，x2∈（1，2）， 由H（x1）＝0得，所以b≤﹣1， 由H（x2）＝0得，所以， 当时，方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个解； （ii）证明：由和消去b得， 因为x2∈（1，2）， 所以． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $