第11章空间几何体单元复习（基础）讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第11章空间几何体单元复习（基础篇） 知识点一、柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 结构特征 底面互相平行且全等:侧面都是平行四边形;侧棱都相等,且互相平行 分类 (1)按底面的多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱与底面是否垂直分类 ①直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是正多边形的直棱柱; ②斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱 2.圆柱 （1）圆柱的定义及相关概念 定义 图示 相关概念 如右图，将矩形ABCD绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成 的几何体叫做圆柱 轴:AB所在直线 底面:线段AD和BC分别旋转而成的圆面; 侧面:线段CD旋转而成的曲面; 母线:CD叫做该圆柱的母线; 高:圆柱的两个底面间的距离(即 AB的长度) （2）圆柱的截面 ①轴截面:过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面 ②横截面:任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面 3.祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 4.柱体的体积公式 几何体 体积公式 棱柱 圆柱 （为圆柱的底面积， 为圆柱的高， 为圆柱的底面半径） 5.柱体的表面积 柱体的表面积:两个底面的面积再加上所有侧面的面积； 柱体的侧面积:所有侧面的面积之和 几何体 图形 表面积公式 直棱柱 （ 为直棱柱的底面周长， 为直棱柱的高） 圆柱 为圆柱的母线长， 为圆柱底面的半径） 知识点二、锥体 1.棱锥 （1）定义及相关概念 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点,这样的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面:三角形或平面多边形; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:不在底面上的棱; 顶点:所有侧棱的公共点; 高:顶点到底面的距离 结构特征 底面是多边形;侧面都是三角形;侧面有一个公共顶点 分类 (1)按底面多边形分类:三棱锥、四棱锥…… (2)正棱锥:底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面的棱锥;特别地,侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫做正四面体 2.圆锥 定义 将直角三角形 AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周,所形成的几何体 图形及表示 相关概念 轴:AO所在直线;顶点:母线的交点(即点A);底面:直角边OB旋转而成的圆面;侧面:斜边 AB旋转而成的曲面;母线:斜边 AB;高:圆锥的顶点到底面间的距离(即 AO 的长度) 结构特征 底面是圆面;轴垂直于底面;所有的母线都相等且交于一点 知识点三、棱台与圆台 1.台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.如果棱锥被一个平行于底面的平面所截,那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台 2.圆台与棱台 几何体 图示 相关概念 圆台 底面:原圆锥的截面和底面， 轴:原圆锥的轴; 侧面:原圆锥的侧面在截面和底面之间的部分; 母线:原圆锥的母线在截面和底面之间的部分 棱台 底面:原棱锥的截面和底面; 侧面:除上、下底面外,其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共点 4.锥体与台体的体积 几何体 体积公式 锥体 （S为底面多边形的面积，ん为棱锥的高） （r为圆锥底面圆的半径，ん为圆锥的高） 台体 （分别为上、下底面面积，ん为高） （分别为上、下底面半径,ん为高） 5.锥体与台体的表面积 图形 面积公式 正棱锥 (c为底面周长,h为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高) 正棱台 （、c分别为上、下底面周长,为斜高,即侧面等腰梯形的高) 圆锥 (r为底面半径,为母线长) 圆台 （ 分别为上、下底面半径,为母线长) 知识四、多面体与旋转体 1.多面体的定义及有关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体，可用面的数量命名（如四面体、六面体等），面数最少为4（四面体，即三棱锥）。 【注意】多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 2.正多面体 所有面为全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱数相等。 常见正多面体：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 2.旋转体的定义及有关概念 一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 常见旋转体：①矩形 圆柱，②直角三角形 圆锥，③直角梯形 圆台，④半圆 球。 知识点五、球 1.球的定义 定义 图形及表示 相关概念 将圆心为的半 圆面绕其直径所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球，记作球 (1)球面:半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面; (2)球心:点O; (3)半径:原半圆的半径; (4)直径:原半圆的直径 2.球的体积和表面积 球的体积 ． 球的表面积 . 题型01：空间几何体的结构特征 1. 下列命题是假命题的个数是：（ ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 2. （25-26上海实验学校高一上期中）下列命题中正确的是（ ） A. 正四棱锥的侧面都是正三角形 B. 直四棱柱是长方体 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】D 【分析】由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案. 【详解】对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误； 对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故C错误； 对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确. 故选：D 3. （25-26上海理工大附中高二上期中）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 【答案】 【分析】根据棱柱的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 4. （25-26风华中学高二上期中）四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是（ ） A. 底面是矩形 B. 侧面是正方形 C. 底面是菱形 D. 侧面与底面都是矩形 【答案】A 【分析】利用长方体的结构特征，必要不充分条件的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，长方体的底面是矩形，而底面是矩形的四棱柱不一定是长方体（侧棱不垂直于底面）， 则“底面是矩形”是四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件，A是； 对于B，长方体的侧面是矩形，不一定是正方形，即“侧面是正方形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，B不是； 对于C，长方体底面是矩形，不能推出底面是菱形，即“底面是菱形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，C不是； 对于D，长方体的侧面与底面都是矩形，反之侧面与底面都是矩形的四棱柱是长方体， 因此“侧面与底面都是矩形”是四棱柱成为长方体的充要条件，D不是. 故选：A 5. （25-26上海海大附中高二上期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 题型02：多面体与旋转体 6.正多面体按其面数分有 种 【答案】5 【分析】由正多面体的概念判断． 【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共5种， 故答案为：5. 7.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为______ 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积. 【详解】如图为中点，为点在底面的投影， 由题意得，， ， 所以该正四面体的体积为. 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为，则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为. 8．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【答案】 20 30 【分析】根据多面体的特征，设每个面是n边形，每个顶点关联r条棱，计算得到顶点数和棱的条数，再结合欧拉定理进行求解即可． 【详解】正十二面体有个面，设每个面是边形，每个顶点关联条棱，面的个数． 每个面有个顶点，每个顶点关联条棱存在于个面中，故顶点数． 每个面有条边，每条棱都存在于个面中，故棱的条数． 代入欧拉定理得，解得． 由于为大于等于的正整数，故，故或． 当时，；当时，（舍去）， 故且，得到，． 9．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】分析旋转后的几何体是由两个圆锥与一个圆柱的组合体，作出图形： （1）由圆锥和圆柱的表面积公式求解即可； （2）由圆锥和圆柱的体积公式求解即可 【详解】（1）分别过点，点作于点于点， ， ． 等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体， 两个圆锥与圆柱的底面半径，圆锥的母线， 圆柱的高, 所以两个圆锥的侧面积相等， 设每个圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，旋转体的表面积为：， ． ． ． （2）由（1）知等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体，且两个圆锥的体积相等， 设每个圆锥的体积为，圆柱的体积为，旋转体的体积为， 则． ． ． 题型03：空间几何体的展开图 10. （24-25复旦附中高二期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 【答案】 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 11.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中） 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【分析】根据题意求得圆锥的母线长与底面圆半径为的关系为，再根据侧面展开的弧长建立关系求解即可. 【详解】解：设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为， 因为圆锥的母线与其轴所成的角为， 所以，即， 所以，圆锥的侧面展开图的弧长为 由于圆锥的侧面展开图扇形，故扇形的弧长为， 所以，即， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 故答案为： 12. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案. 三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示, 因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以， 所以，即小虫爬行的最短距离为, 故选：C 13. 如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离．   故选：A 14. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为．故选：C． 15. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则， 所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的， 圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 题型04：空间几何体的侧面积与表面积 16. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（ ） A. 14 B. C. 7 D. 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积. 【详解】 设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：. 故选：A. 17. （25-26上海海大附中高二上期中）若圆锥底面半径为2，侧面展开图是半圆，则此圆锥的表面积为______． 【答案】 【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，求出，利用圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 则，， 底面积为，侧面积为， 所以表面积为． 故答案为：． 18. （25-26上海市进才中学高二上期中）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 19. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 【答案】 【分析】先由三角形的面积公式得到母线长，再由圆锥的结构求出底面半径，然后由侧面积公式计算可得. 【详解】设过圆锥的顶点的截面的顶角为，母线长为，底面半径为 则可得过顶点的截面面积为， 又圆锥的轴截面的顶角为，故当时，截面面积的最大值为，所以， 所以底面半径为， 所以此圆锥的侧面积是. 故答案为：. 20. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 21. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 22. （24-25复旦附中高二期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 【答案】 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 23.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中） 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【分析】根据题意求得圆锥的母线长与底面圆半径为的关系为，再根据侧面展开的弧长建立关系求解即可. 【详解】解：设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为， 因为圆锥的母线与其轴所成的角为， 所以，即， 所以，圆锥的侧面展开图的弧长为 由于圆锥的侧面展开图扇形，故扇形的弧长为， 所以，即， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 故答案为： 题型05：空间几何体的体积 24. （25-26上海海大附中高二上期中）若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 【答案】 【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案. 【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高， 则这个圆柱的体积. 故答案为： 25. （24-25复旦附中高二期中）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为________________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答. 【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为的圆柱组合而成， 于是几何体的表面积，解得， 所以该几何体的体积. 故答案为： 26. （23-24上海市浦东新区高一上期中）若一个圆柱的体积是，高为1，则这个圆柱的表面积是____________. 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式求出底面半径，再利用圆柱的表面积公式求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为. 因为圆柱的体积是，所以. 所以圆柱的侧面积为，一个底面的面积为. 所以圆柱的表面积为. 故答案为： 27. （25-26上海理工大附中高二上期中）母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________. 【答案】 【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积． 【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于， 所以侧面展开图的弧长为：. 设该圆锥的底面圆的半径为， 所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故答案为：. 28.（25-26上海海大附中高二上期中）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积. 【答案】边长为4，体积为． 【详解】试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积． 试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4． 即，三棱锥是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ∴为中点，为的重心，底面 ∴，， 【考点】图象的翻折，几何体的体积． 29. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 30. （25-26上海理工大附中高二上期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 【答案】 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和， 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 31. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 32. （25-26上海理工大附中高二上期中）正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征，将该几何体放置于一个正方体中，结合正方体的结构特征即可求解答案. 【详解】由题意结合几何体的结构特征可将该几何体放于一个正方体中，如图： 分别是的中点，，平面，平面， 则平面，同理平面，平面， 故平面平面，由此可知∽，且， 则， 由题意可知正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积， 即公共部分的体积为， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据结合体的结构特征，构造出正方体，结合正方体的结构特征去解决问题. 33. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积； （2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果. 【小问1详解】 旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， ， 所以小圆锥的半径， 圆柱的体积 圆锥的体积 旋转体的体积； 【小问2详解】 圆柱的侧面积 圆锥的侧面积 圆柱的底面积， 圆锥的底面积 旋转体上底面的面积 旋转体的表面积. 题型06：球的表面积与体积 34. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）已知一球的体积为，则该球的表面积为___________ 【答案】 【分析】利用球的体积公式和球的表面积公式求解即可. 【详解】由球的体积公式可得：， 所以再由球的表面积公式可得：， 故答案为：. 35. （25-26上海理工大附中高二上期中）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】计算半径为，再计算表面积得到答案. 【详解】球的半径，故球的表面积为． 故答案为： 36. （25-26上海海大附中高二上期中）已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 37. （25-26风华中学高二上期中）把半径分别为6，8，10的三个铁球熔成一个大球，则大球的半径为______. 【答案】 【分析】由大球的体积等于三个铁球的体积和列式计算. 【详解】设大球的半径为，则， 得，解得. 所以大球的半径为. 故答案为： 38. （23-24上海市浦东新区高一上期中）若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 【答案】 【分析】利用两球表面积之比计算出半径之比，再利用球体的体积公式可计算出答案. 【详解】设两球半径分别为，表面积分别为，体积分别为， 则，即， 因此两球体积之比为. 故答案为：. 39. （23-24上海市浦东新区高一上期中）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果. 【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形， 设三条侧棱长分别为，则，所以， 所以三棱锥的体积. 故选：C 40. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由底面积不变,可得高最大时体积最大, 即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径，即可求出球的表面积. 【详解】 根据,可得直角三角形的面积为3, 其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上, 设小圆的圆心为,  由于底面积不变,高最大时体积最大,  所以与面垂直时体积最大, 最大值为为, 即,如图, 设球心为,半径为, 则在直角中,即,  则这个球的表面积为,故选C. 【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质. 题型07：空间体几何体的外接球和内切球 41．若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体外接球的直径为对角线，可得半径，从而求球的体积. 【详解】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 42．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 43. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 【答案】 【分析】利用内接圆柱结合勾股定理可得，再由基本不等式可得最大值时，从而可得表面积. 【详解】设内接圆柱的半径为，高为， 则由题意可得：， 该圆柱的侧面积为， 当时，上式等号成立， 则当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于， 故答案为：. 44．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，求得面积即可． 【详解】由题意得正方体的中心是内切球球心， 设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为， 因为正方体的棱长为2， 所以由勾股定理得，同理可得， 则，故是等边三角形， 得到，则，如图，连接， 易得，，由勾股定理得，则， 因为，所以， 所以， 则， 而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截， 得到的截面是一个圆半径为r的圆， 由勾股定理得， 由圆的面积公式得面积为，故C正确. 故选：C 45. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 【答案】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得. 故答案为： 题型08：空间几何体的截面问题 46．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 47．已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 【答案】 【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可. 【详解】如图（1）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，是边长为1的等边三角形，.这样的截面有4个； 如图（2）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，四边形是边长为1的正方形，，这样的截面有3个. 所以满足条件的截面的面积之和为：. 故答案为： 48．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 49. （25-26复旦大学附中高二上期中）（25-26复旦大学附中高二上期中）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 50．已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，据此在球中计算即可. 【详解】设正三角形 的中心为 , 如图所示,连接 , 是正三角形 的中心, 平面 球的半径 , 球心 到平面 的距离为 1 , 即 在  中, ,, . 过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小, 此时截面圆的半径为 , 截面面积 . 故答案为：. 题型09：空间几何体的最值与范围问题 51. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 【答案】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 52. （25-26嘉定二中高二上期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 53. （25-26上海市进才中学高二上期中）在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由侧面展开图求解， 【详解】由题意得， 将三棱柱的侧面展开如图所示，当三点共线时，的周长的最小， 此时， 即的周长的最小值为， 故选：C 54. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 【答案】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图， 连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 55. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 56. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为， 所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 题型10：空间几何体综合题 57. （25-26上海理工大附中高二上期中）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为四棱锥的体积为， 所以，解得， 又平面，所以， 所以，, 所以正三角形面积为， 设点到平面的距离为， 则由可得：， 即，解得. 即点到平面的距离为. 58. （23-24上海市浦东新区高一上期中）如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【小问1详解】 由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ 【小问2详解】 该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 59. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角. （2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解. 【小问1详解】 设正方形，的中心分别为，连接，则平面， 分别取，的中点，，连接，则，， 由，分别为等腰梯形底边，的中点，得， 由，得四边形是一个直角梯形， ，又，为侧面与底面所成二面角的平面角， 由条件知，则， 所以侧面与底面所成二面角的大小为. 【小问2详解】 依题意，圆台上底面半径cm，下底面半径cm，高cm， 则圆台的体积为， 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 60. （25-26曹杨二中高二上期中）已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高； （3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求出； （3）先设点的坐标，根据向量和平面的法向量得到对应的数量积公式，构造关于的函数，利用函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 如图连接，作的中点，连接， 因为底面为梯形，，，所以； 又，， 所以，，， ，所以，所以； 又平面，平面，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知，即为所求的四棱锥的高，且两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，则 ，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以， 所以点到平面的距离，解得， 即所求的四棱锥的高为； 【小问3详解】 如图，设，则， 由（2）知，平面的一个法向量为，则， 因为直线与平面所成角为， 所以，化简得； 构造函数， 由函数在上单调递减，且； 又在单调递增，且； 所以在上单调递减，则有， 即，化简得，解得， 即四棱锥的高的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第11章空间几何体单元复习（基础篇） 知识点一、柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 结构特征 底面互相平行且全等:侧面都是平行四边形;侧棱都相等,且互相平行 分类 (1)按底面的多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱与底面是否垂直分类 ①直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是正多边形的直棱柱; ②斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱 2.圆柱 （1）圆柱的定义及相关概念 定义 图示 相关概念 如右图，将矩形ABCD绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成 的几何体叫做圆柱 轴:AB所在直线 底面:线段AD和BC分别旋转而成的圆面; 侧面:线段CD旋转而成的曲面; 母线:CD叫做该圆柱的母线; 高:圆柱的两个底面间的距离(即 AB的长度) （2）圆柱的截面 ①轴截面:过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面 ②横截面:任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面 3.祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 4.柱体的体积公式 几何体 体积公式 棱柱 圆柱 （为圆柱的底面积， 为圆柱的高， 为圆柱的底面半径） 5.柱体的表面积 柱体的表面积:两个底面的面积再加上所有侧面的面积； 柱体的侧面积:所有侧面的面积之和 几何体 图形 表面积公式 直棱柱 （ 为直棱柱的底面周长， 为直棱柱的高） 圆柱 为圆柱的母线长， 为圆柱底面的半径） 知识点二、锥体 1.棱锥 （1）定义及相关概念 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点,这样的多面体叫做棱锥 图示及相关概念 底面:三角形或平面多边形; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:不在底面上的棱; 顶点:所有侧棱的公共点; 高:顶点到底面的距离 结构特征 底面是多边形;侧面都是三角形;侧面有一个公共顶点 分类 (1)按底面多边形分类:三棱锥、四棱锥…… (2)正棱锥:底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面的棱锥;特别地,侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫做正四面体 2.圆锥 定义 将直角三角形 AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周,所形成的几何体 图形及表示 相关概念 轴:AO所在直线;顶点:母线的交点(即点A);底面:直角边OB旋转而成的圆面;侧面:斜边 AB旋转而成的曲面;母线:斜边 AB;高:圆锥的顶点到底面间的距离(即 AO 的长度) 结构特征 底面是圆面;轴垂直于底面;所有的母线都相等且交于一点 知识点三、棱台与圆台 1.台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.如果棱锥被一个平行于底面的平面所截,那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台 2.圆台与棱台 几何体 图示 相关概念 圆台 底面:原圆锥的截面和底面， 轴:原圆锥的轴; 侧面:原圆锥的侧面在截面和底面之间的部分; 母线:原圆锥的母线在截面和底面之间的部分 棱台 底面:原棱锥的截面和底面; 侧面:除上、下底面外,其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共点 4.锥体与台体的体积 几何体 体积公式 锥体 （S为底面多边形的面积，ん为棱锥的高） （r为圆锥底面圆的半径，ん为圆锥的高） 台体 （分别为上、下底面面积，ん为高） （分别为上、下底面半径,ん为高） 5.锥体与台体的表面积 图形 面积公式 正棱锥 (c为底面周长,h为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高) 正棱台 （、c分别为上、下底面周长,为斜高,即侧面等腰梯形的高) 圆锥 (r为底面半径,为母线长) 圆台 （ 分别为上、下底面半径,为母线长) 知识四、多面体与旋转体 1.多面体的定义及有关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体，可用面的数量命名（如四面体、六面体等），面数最少为4（四面体，即三棱锥）。 【注意】多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 2.正多面体 所有面为全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱数相等。 常见正多面体：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 2.旋转体的定义及有关概念 一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 常见旋转体：①矩形 圆柱，②直角三角形 圆锥，③直角梯形 圆台，④半圆 球。 知识点五、球 1.球的定义 定义 图形及表示 相关概念 将圆心为的半 圆面绕其直径所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球，记作球 (1)球面:半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面; (2)球心:点O; (3)半径:原半圆的半径; (4)直径:原半圆的直径 2.球的体积和表面积 球的体积 ． 球的表面积 . 题型01：空间几何体的结构特征 1. 下列命题是假命题的个数是：（ ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. （25-26上海实验学校高一上期中）下列命题中正确的是（ ） A. 正四棱锥的侧面都是正三角形 B. 直四棱柱是长方体 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 3. （25-26上海理工大附中高二上期中）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 4. （25-26风华中学高二上期中）四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是（ ） A. 底面是矩形 B. 侧面是正方形 C. 底面是菱形 D. 侧面与底面都是矩形 5. （25-26上海海大附中高二上期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 题型02：多面体与旋转体 6.正多面体按其面数分有 种 7.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为______ 8．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 9．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 题型03：空间几何体的展开图 10. （24-25复旦附中高二期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 11.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中） 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 12. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（    ） A．4 B．5 C． D． 13. 如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 14. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 15. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____. 题型04：空间几何体的侧面积与表面积 16. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（ ） A. 14 B. C. 7 D. 17. （25-26上海海大附中高二上期中）若圆锥底面半径为2，侧面展开图是半圆，则此圆锥的表面积为______． 18. （25-26上海市进才中学高二上期中）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 19. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 20. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 21. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 22. （24-25复旦附中高二期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 23.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中） 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 题型05：空间几何体的体积 24. （25-26上海海大附中高二上期中）若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 25. （24-25复旦附中高二期中）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为________________. 26. （23-24上海市浦东新区高一上期中）若一个圆柱的体积是，高为1，则这个圆柱的表面积是____________. 27. （25-26上海理工大附中高二上期中）母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________. 28.（25-26上海海大附中高二上期中）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积. 29. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 30. （25-26上海理工大附中高二上期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 31. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 32. （25-26上海理工大附中高二上期中）正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 33. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 题型06：球的表面积与体积 34. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）已知一球的体积为，则该球的表面积为___________ 35. （25-26上海理工大附中高二上期中）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1，则球的表面积为______． 36. （25-26上海海大附中高二上期中）已知球的表面积为,则该球的体积为______. 37. （25-26风华中学高二上期中）把半径分别为6，8，10的三个铁球熔成一个大球，则大球的半径为______. 38. （23-24上海市浦东新区高一上期中）若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 39. （23-24上海市浦东新区高一上期中）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 40. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A. B. C. D. 题型07：空间体几何体的外接球和内切球 41．若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 42．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 43. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 44．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 45. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 题型08：空间几何体的截面问题 46．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 47．已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面面积之和为 ． 48．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为 ． 49. （25-26复旦大学附中高二上期中）（25-26复旦大学附中高二上期中）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 50．已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ． 题型09：空间几何体的最值与范围问题 51. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 52. （25-26嘉定二中高二上期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 53. （25-26上海市进才中学高二上期中）在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 54. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 55. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 56. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 题型10：空间几何体综合题 57. （25-26上海理工大附中高二上期中）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 58. （23-24上海市浦东新区高一上期中）如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 59. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 60. （25-26曹杨二中高二上期中）已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高； （3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $