专题1.1随机现象与样本空间+古典概型（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

专题1.1随机现象与样本空间 古典概型 随机现象与样本空间 古典概型 教学目标，教学重点，难点 知识清单 题型精讲 强化训练 随机试验 样本点与样本空间 古典概率 事件的关系 判断事件是否是随机事件 计数古典概型概率 有放回与无放回概率 判断事件的互斥，对立关系 根据对立事件的概率公式求概率 互斥事件的概率加法公式 事件的分类 写出基本事件 可加性 教学目标 ①理解随机试验的概念及特点。 ②理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间。 ③理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。 ④理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。 ⑤能判断一个实验是否为古典概型，分清古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。 教学重难点 教学重点： ①随机实验及样本空间的概念 ②理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路。 教学难点： ①会求所给试验的样本点和样本空间； ②理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。 ③掌握通过放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样模型两种古典概型问题。 知识点01 随机试验 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 【即学即练】判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象． 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象. 【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象； 对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象； 对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象； 对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象. 知识点02 样本点与样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【即学即练】将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）逐个列举即可； （2）逐个列举即可求解； 【详解】（1）试验的样本空间为 共16个样本点． （2）用A表示满足条件“为整数”的事件， 则A包含的样本点有，，，，，，，， 共8个样本点． 知识点03 事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 【即学即练】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【分析】利用随机现象、确定性现象的意义直接判断即可. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 知识点04古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【即学即练】在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】从盒内随机抽取2张卡片，有以下情况：（意气风发、风平浪静）， （意气风发、心猿意马），（意气风发、信马由缰），（意气风发、气壮山河）， （意气风发、信口开河），（风平浪静、心猿意马），（风平浪静、信马由缰）， （风平浪静、气壮山河），（风平浪静、信口开河），（心猿意马、信马由缰）， （心猿意马、气壮山河），（心猿意马、信口开河），（信马由缰、气壮山河）， （信马由缰、信口开河），（气壮山河、信口开河），共有15种情况， 其中这2张卡片上的2个成语有相同的字的情况有（意气风发、风平浪静），（意气风发、心猿意马）， （意气风发、气壮山河），（心猿意马、信马由缰），（信马由缰、信口开河）， （气壮山河、信口开河），共6种情况， 所以该游戏的中奖率为. 故选：C 知识点05 事件的关系 1.包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 3.并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 4.交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 5.互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 6.对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【即学即练】某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可. 【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 知识点06 可加性 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 【即学即练】已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 题型01 判断事件是否是随机事件 【典例1】以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【答案】B 【分析】根据随机事件的概念判断即可 【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 【变式2】（多选）下列事件是随机事件的是（　　） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 【答案】BCD 【分析】根据随机事件的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，此事件为必然事件； B选项，忘记朋友的号码最后一位，随意拨打个号码就是朋友的号码， 这件事情在一次试验中可能发成也可能不发生，所以为随机事件； C选项，由于与的关系不确定，所以函数在R上不一定为增函数，所以此事件为随机事件； D选项，当时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即， 另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即，所以为随机事件. 故选：BCD. 【变式3】（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【答案】AB 【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可. 【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确， 在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品， 则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误； 在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误. 故选：AB 【变式4】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 (5)不可能事件 【分析】（1）根据随机事件的定义可得 （2）根据必然事件定义可得 （3）根据不可能事件定义可得 （4）根据随机事件的定义可得 （5）根据不可能事件定义可得 【详解】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件. （3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件. （4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件. （5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 题型02写出基本事件 【典例1】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)； 【分析】（1）根据样本空间的定义求解即可； （2）根据基本事件的定义求解即可； （3）根据基本事件的定义求解即可. 【详解】（1）第一个转盘有4个数字，第二个转盘有4个数字， 因此样本空间为． （2）事件“”包含以下4个基本事件：. 事件“且”包含以下6个基本事件：． （3）事件“”包含以下3个基本事件：． 事件“”包含以下4个基本事件：． 【变式1】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【答案】样本空间，个数为9． 【分析】由表可知在职人员人数为，结合，，利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数即可. 【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90， 所以在职人员人数为（人），即， 因为，， 所以样本空间，样本点的个数为9. 【变式2】掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点： ，事件所包含的样本点： ． 【答案】 【分析】先求出各个事件的样本点，再利用交事件和并事件的性质求解即可. 【详解】由题得，，， 则，． 故答案为：； 【变式3】把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为 【变式4】一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果. 【详解】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种. 故选：B. 题型03 计算古典概型概率 【典例1】现有7名学生，其中学生的数学成绩优秀，学生的物理成绩优秀，学生的化学成绩优秀．现要从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，被选中的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】列举出数学、物理、化学成绩优秀者各1名的情况数，并得到被选中的情况数，得到概率. 【详解】从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，共有以下情况： ，，，，，， ，，，，，， 共有12种情况， 其中被选中的情况有，，，， ，，共有6种情况， 故被选中的概率为. 故答案为： 【变式1】2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：. 故答案为：． 【变式2】将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使得一元二次方程有相等的实数解的概率为 ； 【答案】 【分析】依据古典概型概率公式求解即可. 【详解】若一元二次方程有相等的实数解，则，即， 一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，记为， 则 共36种， 其中满足题意的有，，，共3种. 故使得一元二次方程有相等的实数解的概率为． 故答案为： 【变式3】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 【变式4】柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为 . 【答案】 【分析】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双，先求出总的情况数，再得到取出的鞋不是同一双鞋的情况数，相除得到答案. 【详解】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双， 从中随机取出两只，有6种情况，分别为， 其中“取出的鞋不是同一双鞋”的情况为，有4种情况， 故“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为. 故答案为： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 题型04 有放回与无放回概率 【典例1】从含有2件正品和1件次品的3件产品中任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率是 ． 【答案】 【分析】写出事件总数和满足题意的情况数，即可计算出概率. 【详解】依次抽取的两个产品分别记为x,y,则(x,y)表示抽取的结果, 设两件正品分别为，次品为， 基本事件为：共9个， 事件{两件产品中恰有一件是次品}，包含的基本事件共4个， 因此 即取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为. 故答案为：. 【变式1】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【变式2】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解. 【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：D. 【变式3】小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去.”这个游戏 .（选填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】根据古典概型知识计算小红和小丽去的概率，然后对比概率值是否相等即可. 【详解】从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球的颜色相同的概率是 ，所以小丽去的概率为. 所以颜色不同的概率是： .所以小红去的概率为. 由于，所以这个游戏不公平. 故答案为：不公平. 【变式4】袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】由古典概型概率公式计算即可. 【详解】有两种情况： ①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：          ②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：， 故乙摸到红球的概率． 故答案为： 题型05 判断事件的互斥，对立关系 【典例1】从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 【变式1】一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义对四组事件一一判断，得到答案. 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”， 与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件． 故选：B. 【变式2】在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 【变式3】一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（    ） A．摸出3个红球 B．至少摸出1个红球 C．至少摸出1个白球 D．摸出3个白球 【答案】D 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解. 【详解】因为至多摸出1个白球可以摸不到白球，故与摸出3个红球不是互斥事件，故A错误； 因为至多摸出1个白球可以是1白2红小球，至少摸出1个红球可以是1红2白小球，故事件不互斥，故B错误； 因为至多摸出1个白球可以是1白2红小球，而至少摸出1个白球也可以是1白2红小球，事件不互斥，故C错误； 因为至多摸出1个白球与摸出3个白球不能同时发生，故事件互斥，又摸出3个白球事件不发生时，至多摸出1个白球不一定发生，例如可以2白一红发生，所以事件不是对立事件，故D正确. 故选：D 【变式4】从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（   ） （1）“至少有1个白球”与“都是白球”；（2）“至少有1个白球”与“至少有1个红球”； （3）“至少有1个白球”与“恰有2个白球”；（4）“至少有1个白球”与“都是红球”. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概念依次判断各个选项即可 【详解】解：对于（1），“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，所以这对事件可以同时发生，不是互斥事件； 对于（2），“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至少有1个红球”，包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，所以这对事件可以同时发生，不是互斥事件； 对于（3），“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，所以这对事件可以同时发生，不是互斥事件； 对于（4），“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，所以这对事件不可能同时发生，是互斥事件， 所以互斥事件的对数是， 故选：B. 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 题型06 根据对立事件的概率公式求概率 【典例1】2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数， 至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”， 则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 故选：D. 【变式1】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意，确定出现一次6点向上的概率，再确定没有出现一次6点向上的概率，最后根据对立事件的概率关系求解即可. 【详解】解：因为将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为， 所以先后抛掷3次，没有出现一次6点向上的概率为， 所以少出现一次6点向上的概率为. 故选：C. 【变式2】有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有25种，在同一楼层离开的有5种，从而求得在不同楼层离开的概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有5种， 则两人在不同楼层离开电梯的概率为. 故答案为：. 【变式3】学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题有人答对的概率是 . 【答案】 【分析】先求出两人都答错的概率，然后由对立事件概率公式计算. 【详解】由题意两人都答错的概率是， 所以有人答对的概率为， 故答案为：. 【变式4】某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为 . 【答案】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答。 【详解】设“甲临时停车付费恰为元”为事件， 则． 所以甲临时停车付费恰为元的概率是． 故答案为：. 题型07 互斥事件的概率加法公式 【典例1】已知事件互斥，它们都不发生的概率是，且，则 ． 【答案】/0.4 【分析】由概率的基本性质进行运算即可. 【详解】因为，所以． 因为事件互斥，所以． 又因为，所以． 即． 故答案为：. 【变式1】已知事件与事件为互斥事件，且，，则 ． 【答案】 【分析】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 【变式2】已知事件A与事件B互斥，若，则 【答案】/ 【分析】利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互斥，， 所以. 故答案为：0.7 【变式3】已知随机事件和互斥，和对立，且，则 ． 【答案】0.6/ 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 【变式4】一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】，， 由题意得事件与事件互斥， 所以. 故答案为：. 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有 （写出所有正确说法的序号）． 【答案】①④ 【分析】由互斥事件、对立事件的概念逐个判断即可. 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况， 所以： 恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；正确； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是次品不是对立事件；错误； 至少有1件正品（“全是正品”，“一件正品，一件次品”，）和至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）不是互斥事件；错误； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是正品是互斥事件，也是对立事件．正确 故答案为：①④ 2．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 【答案】 【分析】先根据题意写出所有的样本点，表示出事件A和事件B，再根据交事件的定义即可解答. 【详解】从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数， 所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25， 30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个， 其中事件； 事件. 故事件用样本点表示为. 故答案为：. 3．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ． 【答案】 【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果. 【详解】从8个卦中任取一卦，基本事件总数， 其中由2根和1根构成的基本事件个数， 所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是. 故答案为：. 4．已知事件与互斥，事件、同时发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【分析】根据互斥事件和对立事件的性质，根据事件概率的加法公式，求出事件概率. 【详解】由题意知， 因为，所以， 事件与互斥，则， 由，解得， 所以； 故答案为：. 5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 【答案】 【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解. 【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 则事件“”包含的基本事件的个数为， 所以事件“”的概率为， 故答案为：. 6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为 . 【答案】/ 【分析】由题可知总样本空间有36种，再在其中找出符合题意的情况，计算概率即可. 【详解】由题知从中不放回的随机抽取2次，共有种， 其中符合题意得有：， 共18种， 则概率为. 故答案为：. 7．已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 ． 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲、乙各随机出示一张卡片有，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共个基本事件， 甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的有，，，，，共个基本事件， 故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率． 故答案为：. 8．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 【答案】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 9．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要拋掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和不小于，则算过关.游戏者可以随意挑战某一关，若直接挑战第三关，则通关的概率为 ． 【答案】 【分析】求出所出现的点数共有种可能，再分类求出出现的点数和小于9，即小于等于8的情况的种数，即可得点数和不小于9的情况，利用古典概型公式，即可求得答案. 【详解】由题意直接挑战第三关，则， 则第3关要拋掷一颗骰子3次，所出现的点数共有种可能， 先求这3次抛掷所出现的点数和小于，即小于等于8的情况的种数； 点数和为3时，即三次抛掷的点数为，共1种可能； 点数和为4时，即三次抛掷的点数为，共3种可能； 点数和为5时，即三次抛掷的点数为，共6种可能； 点数和为6时，即三次抛掷的点数为， 共10种可能； 点数和为7时，即三次抛掷的点数为， ，共15种可能； 点数和为8时，即三次抛掷的点数为， ，，， 共21种可能； 则点数和小于9的情况共有（种）， 则点数和不小于9的情况共有（种）， 则通关的概率为， 故答案为： 10．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为： 11．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 12．在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，卡片向上向下颜色有红红，红红，红白，白红四种情况，在确定取出的一张卡片向上一面是红色时，可以利用古典概型概率公式求得其背面是白色的概率. 【详解】因箱子中只有两张卡片，一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色， 从中任取一张，分向上向下的情况总共有：红红，红红，红白，白红四种. 现已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则有：红红，红红，红白三种情况， 故它的背面是白色的概率为. 故选：C. 13．两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）对给定的男生、女生编号，再写出样本空间. （2）（3）由（1）的信息写出相应的子集. 【详解】（1）记两个男生为，两个女生为， 样本空间， . （2）每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集为：. （3）每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集为： . 14．某中学为了解高一年级同学暑假阅读情况，从中随机抽取20名同学进行调查，这20名同学阅读课外书的数量统计如下表： 阅读课外书的数量/本 0 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 2 4 6 3 2 (1)样本中这20名同学各自阅读课外书的数量的众数为__________，中位数为__________； (2)若该中学高一年级有1200名同学，试估计该校高一年级的同学暑假阅读4本以上（不含4本）课外书的人数； (3)现从样本中暑假阅读5本和6本课外书的同学中随机抽取2人，求这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的概率. 【答案】(1)众数为4，中位数为4. (2)300 (3) 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算； （2）根据20名同学的读书情况可估计全体学生的阅读情况； （3）根据列举法进行求解. 【详解】（1）由题中统计表可知，4出现的次数最多，众数是4； 中位数是从小到大排列的第10和第11个数的平均数，故中位数是4 （2）由题中统计表可知该中学高一年级同学暑假阅读5本课外书的频率为， 该中学高一年级同学暑假阅读6本课外书的频率为， 则该中学高一年级同学暑假阅读4本以上课外书的频率为， 故该中学高一年级同学暑假阅读4本以上课外书的人数的估计值为. （3）样本中暑假阅读5本课外书的3名同学记为，样本中暑假阅读6本课外书的2名同学记为. 从这5人中随机抽取2人，有，共10种， 其中这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的情况有，共6种， 故所求概率. 15．俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2) (3) 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【详解】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1随机现象与样本空间 古典概型 随机现象与样本空间 古典概型 教学目标，教学重点，难点 知识清单 题型精讲 强化训练 随机试验 样本点与样本空间 古典概率 事件的关系 判断事件是否是随机事件 计数古典概型概率 有放回与无放回概率 判断事件的互斥，对立关系 根据对立事件的概率公式求概率 互斥事件的概率加法公式 事件的分类 写出基本事件 可加性 教学目标 ①理解随机试验的概念及特点。 ②理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间。 ③理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。 ④理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。 ⑤能判断一个实验是否为古典概型，分清古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。 教学重难点 教学重点： ①随机实验及样本空间的概念 ②理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路。 教学难点： ①会求所给试验的样本点和样本空间； ②理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。 ③掌握通过放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样模型两种古典概型问题。 知识点01 随机试验 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 【即学即练】判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 知识点02 样本点与样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【即学即练】将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 知识点03 事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 【即学即练】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 知识点04古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【即学即练】在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（   ） A． B． C． D． 知识点05 事件的关系 1.包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 3.并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 4.交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 5.互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 6.对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【即学即练】某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 知识点06 可加性 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 【即学即练】已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 题型01 判断事件是否是随机事件 【典例1】以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【变式1】（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【变式2】（多选）下列事件是随机事件的是（　　） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 【变式3】（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【变式4】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 题型02写出基本事件 【典例1】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 【变式1】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【变式2】掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点： ，事件所包含的样本点： ． 【变式3】把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【变式4】一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型03 计算古典概型概率 【典例1】现有7名学生，其中学生的数学成绩优秀，学生的物理成绩优秀，学生的化学成绩优秀．现要从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，被选中的概率为 ． 【变式1】2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【变式2】将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使得一元二次方程有相等的实数解的概率为 ； 【变式3】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为 ． 【变式4】柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为 . 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 题型04 有放回与无放回概率 【典例1】从含有2件正品和1件次品的3件产品中任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率是 ． 【变式1】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去.”这个游戏 .（选填“公平”或“不公平”） 【变式4】袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是 ． 题型05 判断事件的互斥，对立关系 【典例1】从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【变式1】一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2】在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【变式3】一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（    ） A．摸出3个红球 B．至少摸出1个红球 C．至少摸出1个白球 D．摸出3个白球 【变式4】从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（   ） （1）“至少有1个白球”与“都是白球”；（2）“至少有1个白球”与“至少有1个红球”； （3）“至少有1个白球”与“恰有2个白球”；（4）“至少有1个白球”与“都是红球”. A．0 B．1 C．2 D．3 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 题型06 根据对立事件的概率公式求概率 【典例1】2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是 ． 【变式3】学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题有人答对的概率是 . 【变式4】某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为 . 题型07 互斥事件的概率加法公式 【典例1】已知事件互斥，它们都不发生的概率是，且，则 ． 【变式1】已知事件与事件为互斥事件，且，，则 ． 【变式2】已知事件A与事件B互斥，若，则 【变式3】已知随机事件和互斥，和对立，且，则 ． 【变式4】一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有 （写出所有正确说法的序号）． 2．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件用样本点表示为 . 3．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ． 4．已知事件与互斥，事件、同时发生的概率为，且，则 ． 5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机抽取2次，每次取1个球，记m为第一次取出的球上的数字，n为取出的两个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的概率为 . 7．已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 ． 8．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 9．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要拋掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和不小于，则算过关.游戏者可以随意挑战某一关，若直接挑战第三关，则通关的概率为 ． 10．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 . 11．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 12．在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（    ） A． B． C． D． 13．两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 14．某中学为了解高一年级同学暑假阅读情况，从中随机抽取20名同学进行调查，这20名同学阅读课外书的数量统计如下表： 阅读课外书的数量/本 0 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 2 4 6 3 2 (1)样本中这20名同学各自阅读课外书的数量的众数为__________，中位数为__________； (2)若该中学高一年级有1200名同学，试估计该校高一年级的同学暑假阅读4本以上（不含4本）课外书的人数； (3)现从样本中暑假阅读5本和6本课外书的同学中随机抽取2人，求这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的概率. 15．俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $