12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学概率初步核心内容，构建从随机试验特征、样本点与样本空间概念，到事件分类（随机、必然、不可能事件），再到古典概型判定与计算、事件关系（包含、互斥、对立等）及概率可加性的递进学习支架。 资料通过“即学即练”及时巩固概念，“典例精析”与“变式巩固”强化古典概型、互斥对立事件等题型推理，培养数学思维中的逻辑推理与运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第12章 概率初步 12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率 课标要点 1.理解随机试验的定义与三大特征，掌握样本点、样本空间、基本事件的概念，能准确区分三类事件。 2.熟练辨析事件的包含、相等、并、交、互斥、对立关系，掌握各类事件的数学符号与本质区别。 3.掌握古典概型的两大判定条件，熟记概率计算公式，能规范列举样本点求解基础概率问题。 4.掌握互斥、对立事件的概率公式，明确公式适用前提，规避常见易错点，提升概率运算严谨性。 学习重难点 重点： 1.样本点与样本空间的概念辨析，随机事件、必然事件、不可能事件的准确判断。 2.古典概型的判定方法与概率计算公式，规范完成有限等可能事件的概率求解。 3.互斥事件、对立事件的区分，熟练运用概率加法公式与对立事件概率公式计算。 难点： 1.精准区分互斥事件与对立事件，结合题意判断事件关系，避免概念混淆误用公式。 2.古典概型中有序、无序样本点的准确列举，杜绝重复、遗漏，保证概率计算准确。 知识点一 随机试验 (1)随机试验：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示。 (2)随机试验三个特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验所有可能结果明确可知，并且不止一个； ③每一次试验恰好出现其中一个结果，但事先不能确定会出现哪一个。 知识点二 样本点与样本空间 (1)定义：随机试验的每一个可能的基本结果称为样本点；全体样本点构成的集合叫做试验的样本空间。 (2)表示：用表示样本空间，用表示样本点。 若随机试验一共有个结果，则该样本空间称为有限样本空间。 即学即练 1．指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10中任取两个数（不重复)，它们的和． 知识点三 事件的分类 设为样本空间 (1)随机事件 ①样本空间的子集叫做随机事件，简称事件；仅含有一个样本点的事件叫做基本事件。 ②随机事件常用大写字母表示。 ③一次试验当中，当且仅当事件中的某一个样本点出现，则称事件发生。 (2)必然事件 样本空间是自身的子集，包含全部样本点，每次试验一定发生，称为必然事件。 (3)不可能事件 空集，不含任何样本点，在任何试验中都不会发生，称为不可能事件。 即学即练 2．下列事件中，是必然事件的是 （    ） A．13个人中至少有两个人生肖相同 B．长度为4，5，6的三条线段可以构成一个直角三角形 C．方程有两个不相等的实根 D．函数(且）在定义域上为增函数 知识点四 古典概型 1.古典概型的两个特征 ①有限性：样本空间中的样本点个数是有限的； ②等可能性：每一个样本点发生的可能性大小相等。 同时满足以上两点的试验模型，称为古典概率模型，简称古典概型。 2.古典概型概率计算公式 设试验为古典概型，样本空间含有个样本点，事件包含个样本点，则 ：事件包含的样本点数量；：样本空间的样本点总个数。 易错提醒 古典概型忽略“等可能性”条件：使用公式必须同时满足有限性+等可能性。 很多题目结果个数有限，但各个结果发生机会不相等，不能直接套用古典概型公式。 即学即练 3．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为7的概率是（   ） A． B． C． D． 知识点五 事件之间的关系 设为同一个样本空间下的两个事件 1.包含关系 若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件（或称包含于），记作：（或）。 2.相等关系 若，并且，则事件与事件相等。记作：。 3.并事件（和事件） 事件与事件至少有一个发生，对应的样本点属于或者属于，称为与的并事件（和事件），记作：（或）。 4.交事件（积事件） 事件与事件同时发生，样本点既属于又属于，称为与的交事件（积事件），记作：（或）。 5.互斥事件（互不相容） 事件、不能同时发生，也就是（交事件为不可能事件），称事件与互斥。 6.对立事件 与在任意一次试验中，有且仅有一个发生，满足：，且。事件的对立事件记作。即：，。 特别提醒 对立一定互斥，但是互斥不一定对立 即学即练 5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（   ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点六 概率的可加性 互斥事件加法公式：若事件，互斥，则 特别提醒 只有两个事件互斥，才可以直接使用该加法公式；不互斥不能直接相加。 对立事件性质：若是的对立事件，则 即学即练 7．已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 8．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 题型01 事件的类型 典｜例｜精｜析 【例1】下列事件是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放篮球比赛 B．守株待兔 C．明天是晴天 D．在只装有个红球的袋中摸出球，是红球 【例2】已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，不正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列事件是不可能事件的是（    ） A．2026年世界杯足球赛期间不下雨 B．没有水，种子发芽 C．任取一个实数，有 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 【变式1-2】在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【变式1-3】下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 样本空间与样本点 典｜例｜精｜析 【例3】从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【例4】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【变式2-2】甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【变式2-3】投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有__________对. 题型03 事件的关系和运算 典｜例｜精｜析 【例5】已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【例6】如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 题型04 古典概型 典｜例｜精｜析 【例7】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【例8】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛. (1)求参赛的2名同学都是男同学的概率； (2)求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率. 【变式4-2】甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 【变式4-3】在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 题型05 有放回与无放回概率 典｜例｜精｜析 【例9】某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【例10】袋 中共有个球 ，其中个黑球，个 白球 ，现把球 随机地一只只取出，则第 次取出 的是黑球的概率为____ 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为______． 【变式5-3】不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 题型06 互斥事件与对立事件 典｜例｜精｜析 【例11】某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．B与C是对立事件 C．C与D是互斥但不是对立事件 D．A与D是互斥但不是对立事件 【例12】从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论不正确的是（    ） A．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件 B．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件 C．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件 D．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件 【变式6-2】已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 【变式6-3】从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 题型07 概率的基本性质 典｜例｜精｜析 【例13】从一副混合后的扑克牌不含大小王（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率（    ） A． B． C． D． 【例14】已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知随机事件，满足，，．则______________． 【变式7-2】小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【变式7-3】袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 基础通关 一、单选题 1．甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 4．某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色． 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 6．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 8．某校主持人队有男生2名，女生2名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为____. 9．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 三、解答题 10．从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． (1)写出该试验的样本空间； (2)求两次都是女生的概率． 11．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 12．从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 素养提升 1．在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 2．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 3．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 4．从集合中任取一个元素，使得只有整数解的概率为___________ 5．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________． 迁移创新 1．学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 2．设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为__________. 3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 概率初步 12.1 随机现象与样本空间&12.2 古典概率 课标要点 1.理解随机试验的定义与三大特征，掌握样本点、样本空间、基本事件的概念，能准确区分三类事件。 2.熟练辨析事件的包含、相等、并、交、互斥、对立关系，掌握各类事件的数学符号与本质区别。 3.掌握古典概型的两大判定条件，熟记概率计算公式，能规范列举样本点求解基础概率问题。 4.掌握互斥、对立事件的概率公式，明确公式适用前提，规避常见易错点，提升概率运算严谨性。 学习重难点 重点： 1.样本点与样本空间的概念辨析，随机事件、必然事件、不可能事件的准确判断。 2.古典概型的判定方法与概率计算公式，规范完成有限等可能事件的概率求解。 3.互斥事件、对立事件的区分，熟练运用概率加法公式与对立事件概率公式计算。 难点： 1.精准区分互斥事件与对立事件，结合题意判断事件关系，避免概念混淆误用公式。 2.古典概型中有序、无序样本点的准确列举，杜绝重复、遗漏，保证概率计算准确。 知识点一 随机试验 (1)随机试验：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示。 (2)随机试验三个特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验所有可能结果明确可知，并且不止一个； ③每一次试验恰好出现其中一个结果，但事先不能确定会出现哪一个。 知识点二 样本点与样本空间 (1)定义：随机试验的每一个可能的基本结果称为样本点；全体样本点构成的集合叫做试验的样本空间。 (2)表示：用表示样本空间，用表示样本点。 若随机试验一共有个结果，则该样本空间称为有限样本空间。 即学即练 1．指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10中任取两个数（不重复)，它们的和． 【答案】(1){（红球，白球），（红球，黑球），（黑球，白球）} (2) 【详解】（1）由题意，样本空间{（红球，白球），（红球，黑球），（黑球，白球）} （2）由题意可知：；；；；；； 所以样本空间. 知识点三 事件的分类 设为样本空间 (1)随机事件 ①样本空间的子集叫做随机事件，简称事件；仅含有一个样本点的事件叫做基本事件。 ②随机事件常用大写字母表示。 ③一次试验当中，当且仅当事件中的某一个样本点出现，则称事件发生。 (2)必然事件 样本空间是自身的子集，包含全部样本点，每次试验一定发生，称为必然事件。 (3)不可能事件 空集，不含任何样本点，在任何试验中都不会发生，称为不可能事件。 即学即练 2．下列事件中，是必然事件的是 （    ） A．13个人中至少有两个人生肖相同 B．长度为4，5，6的三条线段可以构成一个直角三角形 C．方程有两个不相等的实根 D．函数(且）在定义域上为增函数 【答案】A 【详解】对于A，因为一共只有12个生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故A为必然事件； 对于B，不满足勾股定理，所以B为不可能事件； 对于C，因为方程的判别式，所以方程无实数根，故C为不可能事件； 对于D，当时，函数在定义域上是增函数，当时，函数在定义域上是减函数，故D为随机事件. 知识点四 古典概型 1.古典概型的两个特征 ①有限性：样本空间中的样本点个数是有限的； ②等可能性：每一个样本点发生的可能性大小相等。 同时满足以上两点的试验模型，称为古典概率模型，简称古典概型。 2.古典概型概率计算公式 设试验为古典概型，样本空间含有个样本点，事件包含个样本点，则 ：事件包含的样本点数量；：样本空间的样本点总个数。 易错提醒 古典概型忽略“等可能性”条件：使用公式必须同时满足有限性+等可能性。 很多题目结果个数有限，但各个结果发生机会不相等，不能直接套用古典概型公式。 即学即练 3．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为7的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先后抛掷一颗骰子次，总基本事件数：种， 点数和为的情况有：，共种， . 知识点五 事件之间的关系 设为同一个样本空间下的两个事件 1.包含关系 若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件（或称包含于），记作：（或）。 2.相等关系 若，并且，则事件与事件相等。记作：。 3.并事件（和事件） 事件与事件至少有一个发生，对应的样本点属于或者属于，称为与的并事件（和事件），记作：（或）。 4.交事件（积事件） 事件与事件同时发生，样本点既属于又属于，称为与的交事件（积事件），记作：（或）。 5.互斥事件（互不相容） 事件、不能同时发生，也就是（交事件为不可能事件），称事件与互斥。 6.对立事件 与在任意一次试验中，有且仅有一个发生，满足：，且。事件的对立事件记作。即：，。 特别提醒 对立一定互斥，但是互斥不一定对立 即学即练 5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（   ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C 【详解】A选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生， 如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； B选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生， 如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； C选项：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确； D选项：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，故错误. 6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 知识点六 概率的可加性 互斥事件加法公式：若事件，互斥，则 特别提醒 只有两个事件互斥，才可以直接使用该加法公式；不互斥不能直接相加。 对立事件性质：若是的对立事件，则 即学即练 7．已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】/ 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 8．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件“出现连续3次反面向上”，则事件与事件是互为对立事件 题型01 事件的类型 典｜例｜精｜析 【例1】下列事件是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放篮球比赛 B．守株待兔 C．明天是晴天 D．在只装有个红球的袋中摸出球，是红球 【答案】D 【详解】打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，故A不正确； 守株待兔是随机事件，故B不正确； 明天是晴天是随机事件，故C不正确； 在只装有个红球的袋中摸出球，是红球是必然事件. 【例2】已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，不正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【详解】∵集合是集合的真子集，中的任意一个元素都是中的元素， 而中至少有一个元素不在中，因此A正确，B错误，C正确， 因为集合是集合的真子集，则集合没有的元素集合中一定没有，D正确． 故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列事件是不可能事件的是（    ） A．2026年世界杯足球赛期间不下雨 B．没有水，种子发芽 C．任取一个实数，有 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【详解】对于A，世界杯足球赛期间下雨与否是未知，故A是随机事件； 对于B，没有水，种子一定不发芽，故B是不可能事件； 对于C，当时，，当时，，当时，，故C是随机事件； 对于D，抛掷一枚硬币，可能正面朝上或者反面朝上，故D是随机事件. 【变式1-2】在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 【变式1-3】下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 题型02 样本空间与样本点 典｜例｜精｜析 【例3】从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【答案】3 【详解】试验的样本空间（红球，白球），（红球，黑球），（白球，黑球），样本点共有3个． 故答案为：. 【例4】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 【变式2-2】甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【答案】(1)样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳） (2)（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布） (3)（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子） (4)（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布） 【分析】 【详解】（1）样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳）． （2）“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布）三个样本点． （3）“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）三个样本点． （4）“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布）三个样本点． 【变式2-3】投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有__________对. 【答案】12 【详解】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对. 故答案为：12 题型03 事件的关系和运算 典｜例｜精｜析 【例5】已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【答案】B 【详解】对于AB；当时，，因此； 同时，因此 因此A错误，B正确； 对于CD，因为为互斥事件，因此交事件是不可能事件，； 根据互斥事件的加法公式， 因此C、D均错误. 【例6】如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①表示元件A正常且元件B不正常；②表示元件A正常且元件C不正常； ③表示元件A不正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常； ⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不正常； ⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，所以有；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，所以事件A与事件B之间不存在包含关系． 【变式3-2】某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. 【变式3-3】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【答案】D 【详解】根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中. 故选：D. 题型04 古典概型 典｜例｜精｜析 【例7】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为． 【例8】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 【答案】 【详解】同时掷这两枚骰子的试验有个基本事件，它们等可能， 其中朝上的面两数字之和为5的事件包含的基本事件有，共4个， 所以朝上的面两数字之和为5的概率. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛. (1)求参赛的2名同学都是男同学的概率； (2)求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记3名男同学分别为，，；2名女同学分别为，. 从5名同学中选取2名同学参赛， 则样本空间 设事件“参赛的2名同学都是男同学”， 则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等， 所以. （2）设事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等， 所以，. 【变式4-2】甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 【答案】/0.52 【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种， “心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种， 故他们“心有灵犀”概率为， 【变式4-3】在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【答案】 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 题型05 有放回与无放回概率 典｜例｜精｜析 【例9】某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 【例10】袋 中共有个球 ，其中个黑球，个 白球 ，现把球 随机地一只只取出，则第 次取出 的是黑球的概率为____ 【答案】 【详解】不管前面次的结果如何,单从第次考虑,摸出的球是黑球的概率为, 其实每次摸出黑球的概率均相等，且均为， 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为， 代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片， 则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：B. 【变式5-2】袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为______． 【答案】/0.3 【详解】不妨记2个白球，2个红球，1个黄球依次为, 则试验“从袋中不放回的抽取两个小球”的样本空间为： ， 则事件 “两次得分之和为0分”包含的样本点组成的集合为 由古典概型概率公式，可得两次得分之和为0分的概率为. 故答案为：. 【变式5-3】不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 题型06 互斥事件与对立事件 典｜例｜精｜析 【例11】某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是互斥事件 B．B与C是对立事件 C．C与D是互斥但不是对立事件 D．A与D是互斥但不是对立事件 【答案】C 【详解】对于A．“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，故A错误； 对于B，“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误； 对于C，C与D不可能同时发生，可以同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确； 对于D，A与D是对立事件，故D错误． 【例12】从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论不正确的是（    ） A．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件 B．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件 C．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件 D．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件 【答案】C 【详解】一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆的基本事件有： ，，，，，， 对于A， “周六至少有一名女生去参观博物馆”含，，，，等5个基本事件， 而“周六只有一名男生去参观博物馆”含一个基本事件，故是对立事件，即A正确； 对于B，“周六只有一人去参观博物馆”含，，等3个基本事件， 而“周日只有一人去参观博物馆”含，，等3个基本事件，故是对立事件，即B正确； 对于C，“周六只有一人去参观博物馆”包含，，等3个基本事件， 而“周日有两人去参观博物馆”包含，，等3个基本事件，两者不是互斥事件，故C错误； 对于D，因每人只去一天，故“女生B周六去参观博物馆”与 “女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，故D正确． 故选：C. 【变式6-2】已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 【答案】C 【详解】选项A：事件A（两奇）和事件B（两偶）之外还有一奇一偶的情况， 故事件与不是对立事件，A错误； 选项B：当两张卡片上数字为一奇一偶时，事件D发生， 此时两张卡片上数字乘积一定是偶数，即C也会发生，二者不互斥，B错误； 选项C：事件A：两张卡片上数字都是奇数就是两张卡片上数字乘积为奇数， 其对立面为两张卡片上数字乘积不为奇数，即为偶数， 即为事件C，两个事件覆盖所有可能情况，且不可能同时发生，是对立事件，C正确。 选项D：当两张卡片上数字都是偶数时，事件B发生， 此时两张卡片上数字之积一定为偶数，即C也会发生，二者不互斥，D错误. 【变式6-3】从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】从1∼9中任取两数，有以下三种情况：（i）两个均为奇数；（ii）两个均为偶数；（iii）一个奇数和一个偶数. ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，有可能同时发生不存在对立的关系； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，不互斥，故不存在对立的关系； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，与两个都是偶数是对立事件； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，不存在对立的关系. 所以只有③所包含的事件是对立事件. 题型07 概率的基本性质 典｜例｜精｜析 【例13】从一副混合后的扑克牌不含大小王（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】事件A为“抽得红桃K”，仅包含1种结果，因此. 事件B为“抽得黑桃”，黑桃共有13张，包含13种结果，因此. 由于红桃K属于红桃，不可能同时是黑桃，故事件A与事件B为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可得， 。 【例14】已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 【答案】/0.5 【详解】由及，得， , . 则， 得． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知随机事件，满足，，．则______________． 【答案】 【详解】由题意得 ，所以. 【变式7-2】小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则， 所以， 又， 所以. 【变式7-3】袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 基础通关 一、单选题 1．甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则，共含19个样本点． 故选：C. 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【详解】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 4．某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色． 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】每位游客从中随机选取两个角色进行体验，样本空间中的样本点总数为6，如下： 剑客、刀客；剑客、诗人；剑客、画师；刀客、诗人；刀客、画师；诗人、画师； 所选两个角色恰好为两个类型的样本点有4个， 故所求概率为． 5．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 6．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果. 表示选到的数能被2整除，且不能被3整除. 在1~10中，能被2整除的数为， 排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即. 则. 二、填空题 7．下面给出四个事件：①某地2月3日将下雪；②函数（且）在定义域上是增函数；③实数都不为零，则；④，则.其中必然事件是_________；不可能事件是__________．（填序号） 【答案】 ④ ③ 【详解】对于①，某地2月3日将下雪是随机事件； 对于②，函数（且）在定义域上是增函数是随机事件； 对于③，若实数都不为零，则，故③是不可能事件； 对于④，若，则恒成立，是必然事件． 故答案为：④，③ 8．某校主持人队有男生2名，女生2名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为____. 【答案】 【详解】由题意，假设男生为、，女生为、， 则从中任选2名学生，可以为：、、、、、，共有6种方案， 其中至少有1名男生有5种方案， 所以参加活动的学生中至少有1名男生的概率为. 9．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 【答案】 【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 则事件“”包含的基本事件的个数为， 所以事件“”的概率为， 故答案为：. 三、解答题 10．从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． (1)写出该试验的样本空间； (2)求两次都是女生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）所求样本空间为 ．       （2）设事件为抽到的2人都是女生，则事件 ， 又，，根据古典概型，得所求概率为． 11．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)， 的概率为； (2)，的概率. 【分析】 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 12．从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 素养提升 1．在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【答案】126 【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为， 所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. 故答案为：126. 【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果. 2．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【详解】由题意知，操作分为四种： ①两个红球，甲放红，乙放红； ②两个黑球，甲放黑，丙放黑； ③一红一黑，甲放红，乙放黑； ④一黑一红，甲放黑，丙放红； 设取出两个红球的次数为，两个黑球的次数为，一红一黑，甲放红的次数为， 一黑一红，甲放黑的次数为， 已知红球的数量与黑球数量相等，则，解得， 乙盒中红球数量来自情况①，数量为；丙盒中黑球的数量来自情况②，数量为， 由可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多． 3．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 4．从集合中任取一个元素，使得只有整数解的概率为___________ 【答案】 【详解】只有整数解， ，解得（不在已知集合范围内，舍去）或， ， 设方程的两个整数解为（含），根据韦达定理得：， 则，代入整理得， ， 的整数因数对有：， ， ， 所以整数解的组合有：， 故的值有：，， 则符合题意的值有：共5个，概率为， 故答案为：． 5．A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为________． 【答案】/ 【详解】记初始手上张牌时， 胜的概率为， ①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则A获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，A想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， A不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则A获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，A想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”， 有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜， 则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 胜的概率为， 所以，解得, 故答案为：. 迁移创新 1．学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 【答案】/ 【详解】有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为， 设三次抽取数字为，则前两次平均数， 三次平均数，代入， 得：， 整理得：，即， 由于是整数，所以为整数， 因此不等式等价于：， ：，共种（按和为讨论）； ：，共种； ：，共种； ：，共种. 符合条件的总事件数为. 因此. 2．设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为__________. 【答案】/ 【详解】函数共有个， 要使为常函数，需且只需满足：， 理由如下：若，则对任意，，于是都等于同一个常数（或），故为常函数； 若为常函数，取和，则必须有， 若，则，，二者不相等，与为常函数矛盾， 满足条件的函数个数：和相等，有2种取法；任意，有2种取法，故共有个，概率为 3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 【答案】0.3/ 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $