精品解析：山东济宁市第一中学、济宁海达行知高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出1个白球 B. 至少摸出1个红球 C. 摸出2个白球 D. 摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 3. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型法求解即可. 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 6. 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，事件为“两次抛掷的点数均为偶数”，事件为“第二次抛掷的点数不小于3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列举法结合概率加法公式可得答案. 【详解】设两次抛掷骰子点数分别为，则抛掷两次点数的情况为： 则，，， 8. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，次品率为是概率统计概念，表示大量重复试验中次品所占比例的期望，并不保证100件中恰好10件次品，所以A错误，符合题意； 对于B，概率为表示事件发生的可能性很大，但仍有的可能不发生，所以“可能不下雨” ，所以B正确，不符合题意； 对于C，连续投出10个1的概率为 ，是可能发生的，不是不可能事件，所以C错误，符合题意； 对于D ，“降水概率为”表示降水的可能性为，不是指专家意见的比例，所以D错误，符合题意． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，，两两独立，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】由互斥事件加法公式，若事件，互斥，，故A正确； 若事件，相互独立，则也互相独立，故，故B正确； 若事件，，两两互斥，任意两个事件不可能同时发生，三个事件不可能同时发生， 则，故C正确； 若事件，，两两独立，则, 无法推出，故D错误． 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 13. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 14. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】明确投篮结束时乙只投了2个球的两种互斥情形，结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率。  【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，，由题意得，且各次投篮结果相互独立。 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，事件包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为. 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． （1）若、、三点共线，求； （2）若，求长度的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【小问1详解】 设基向量，，， 则，， 因为， 所以， 因为、、三点共线，设， 则， 所以，，，得． 【小问2详解】 因为，且，， 设，，， 所以， 得， 即， 故，即，所以长度的取值范围为． 16. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【小问1详解】 设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 17. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF. ∵E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC，OF∥AB. 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC. EF∥DC, 又平面, 平面. 平面, . （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， ，故， 又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. . 则， . 设平面的法向量为， 则 令，则，. 设直线与平面所成的角为， 则. 18. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）选择先玩游戏二获得徽章的概率更大， 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本个数，再根据古典概型求解概率即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而得出结论． 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；； 因为，则；则； 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；； 因为，则，则； 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为； 【小问2详解】 不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ； 时，游戏三包含样本点为，样本个数为， 故游戏三的获胜概率为； 【小问3详解】 略 19. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】（1）如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）（ⅰ）（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出1个白球 B. 至少摸出1个红球 C. 摸出2个白球 D. 摸出2个白球或摸出2个红球 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 3. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，事件为“两次抛掷的点数均为偶数”，事件为“第二次抛掷的点数不小于3”，则（ ） A. B. C. D. 8. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，，两两独立，则 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________． 13. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 14. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． （1）若、、三点共线，求； （2）若，求长度的取值范围． 16. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 17. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 18. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 19. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $