精品解析：山东师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性测试数学试题

山东师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】关于轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题． 2. 若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，求解即可． 【详解】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3， 可得3，解得a＝2， 故选：A． 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 5. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解. 【详解】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 6. 如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ） A. 90° B. 45° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,取AC的中点D,连接DE、DF, ∠DEF为异面直线EF与SA所成的角 设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED⊥DF ∴∠DEF=45∘， 故选B 7. 直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线l：与连接，的线段相交，可得，在直线的l：的两侧或在直线上，可得，求解即可. 【详解】由直线l：与连接，的线段相交， 可得，在直线的l：的两侧或在直线上， 可得，即， 可得， 则实数的取值范围为或. 故选：D. 8. 已知棱长都为3的正三棱柱中，分别为棱上的点，当取得最小值时，与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助于侧面展开图分析可得当，时，取得最小值时，利用平行将与平面所成的角转化为与平面所成的角，再根据线面角的定义分析求解. 【详解】如图1，沿着棱将棱柱的侧面展开成一个矩形，因为， 所以当取得最小值时，，， 如图2，在上取点，使得，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形，则，， 所以、与平面所成的角相等. 取的中点为，连接、， 因为，， ，平面， 所以平面， 则为与平面所成的角，即与平面所成的角，又，， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点斜式可以表示过的任何直线 B. 经过两点的直线方程为 C. “”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程中斜率必须存在，可判断A；根据斜率的坐标表示，点斜式方程的表示，可判断B；根据两直线互相垂直可求得，再由充分条件的概念可判断C；由此直线的斜率范围推出倾斜角范围，可判断D. 【详解】选项A，点斜式要求斜率存在，即不能表示垂直于轴的直线，A错误； 选项B，∵，∴直线斜率存在，代入点斜式， 即，B正确； 选项C，∵两直线垂直，∴，解得或， 即“”可以推出“或”，但“或”推不出“”， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件，C正确； 选项D，∵直线的斜率，即， 又倾斜角，解得，D正确. 10. 已知空间四点，下列说法正确的是（ ） A. B. 以为邻边的平行四边形的面积为 C. 四点共面 D. 点到直线BC的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接代入坐标计算即可判断A，先利用向量夹角公式求出，再利用面积公式即可判断B，利用空间四点共面的向量判定即可判断C，由向量垂直，简化点到直线距离计算即可判断D. 【详解】选项A，∵，， ∴，A正确； 选项B，设的夹角为，则， 即，平行四边形的 面积，B正确； 选项C，若四点共面，则存在，使， 即，即，此方程组无解，C错误； 选项D，∵，， ∴，即， ∴点到直线的距离为，D正确. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【详解】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且方向向量为的直线的一般式方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由方向向量求直线斜率，再用点斜式求解直线方程. 【详解】因为直线方向向量为，所以直线斜率. 直线过点，由直线点斜式可得：， 所以一般式为：. 13. 自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再开方可得结果. 【详解】如图所示： 所以 依题可知：， 所以 所以 则，故 故答案为： 14. 已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先作出辅助线，得到点的轨迹为线段，当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值，，从而得到线面角的正切值的取值范围. 【详解】因为轴截面是边长为1的等边三角形，故， 因为为的中点，所以， 在上取点，使得，过点作⊥，交底面圆周于点， 则，此时，又， 故∽，则， 故，故， 因为⊥底面圆，底面圆，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段，连接， 当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值， 则， 设与圆锥底面所成角为，则， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 ，， ， ，又，， 为直角三角形 【小问2详解】 因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 16. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理判定平面，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 结合，且．可知， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 连接，由于，且，则, 故，而四边形为矩形，故， 于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有，令，则，即 则点E到平面的距离为：， 则直线到平面的距离为． 17. 如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由四边形是矩形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 由，，得，则， 而，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值，再根据平方关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点是线段的中点，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为平面，所以可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以， 即平面与平面所成角的正弦值为．. 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1），最大值为 （2）最小值为，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【小问1详解】 已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值，此时． ∵， ∴直线的斜率为，得，解得； 【小问2详解】 若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点， 则设直线为，，则，， ． 当且仅当，即时，取“”， 故面积的最小值为，此时直线l的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明：连接，设，连接. 因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）证明：取的中点，连结， 由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 6. 如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ） A. 90° B. 45° C. 60° D. 30° 7. 直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长都为3的正三棱柱中，分别为棱上的点，当取得最小值时，与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点斜式可以表示过的任何直线 B. 经过两点的直线方程为 C. “”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知空间四点，下列说法正确的是（ ） A. B. 以为邻边的平行四边形的面积为 C. 四点共面 D. 点到直线BC的距离为 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且方向向量为的直线的一般式方程是___________． 13. 自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________. 14. 已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 17. 如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $