山东省济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

高二上学期月考数学参考答案 题号 1 2 5 6 9 10 11 答案 D D C B C A ABC BD AB 8.【详解】因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体，所以其体积为 青95-9 2312 设正四面体ABCD内切球的半径为”， 则4xx)x1x1x 11 -Xr= ,得r=6 32 12 2 如图，取AD的中点为E,则PAPD=(PE+EA)(PE+ED) -元+死+而+AD-元} 显然，当PE的长度最小时，PA.PD取得最小值 设正四面体内切球的球心为0，可求得OA=OD=V6 因为球心O到点E的距离d=√PA-AE2 所以球0上的点P到点E的最小距离为d-,=2_6_32-v6 41212 即当PA.PD取得最小值时，点P到AD的距离为3V5-V6 12 故选：A E B D C 12.1 13.64 14.43 12.AB 【详解】由己知可得：an=4n-3,Sn=2n2-n, S=2n-1,则数列 n 为等差数列则前10项和为101+19=100所以A正确： 2 a1,a3,am成等比数列，则a=a,·an,am=81,即am==4m-3=81,解得m=21故B正确； 因为1=11) a,a44n-34n+1 所以 11-++ 11） +…+ 台a,a14559 4n-34n+1厂 名钢得>6：数的最小值为7故达 项C错误；等差的性质可知m+n=12,所以 +的日}+小-0+0小+2x-台当收81 m n 12 m n 12 m n 时，即n=4m= 48 5 时取等号，因为m,n∈N所以n=4m=4§87 不成立，故选项D错误 14.【解析】由题可得抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),准线1方程为：y=-1, 过F作圆A:x2+y2-6y+6=0的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为： y=kx+1, A P 由于圆A:x2+y2-6y+6=0的圆心为0,3)，半径r=√5， -3+-5,解得：k=± 则 V1+k2 3 根据对称性，不妨取切线斜率为K=V 3 ,则切线方程为y= x+1, 3 联立 =3x+1,得：3x-4N5x-12=0,解得：x=-25成r=25. 3 x2=4y 因为M在N的上方，所以点M2V5,3 由于过M作的垂线，垂足为P,则P2V3,-, 所以MP=4,点F到直线MP的距离d=2√5， 则5n-nR=NS 故答案为：4V5 15.【解析】(1)设点B(a,b,因为B在直线BH上，所以2a-3b-4=0,① 1+ab+2 又A,B的中点为D 2,2 且点D在AB的中线上， 所以1++3×2 2+b =0,② a=-1 联立①②，得 b=-2'即点B(-1,-2. 3 由题意，得k4C·kBH=-1,所以k4C=- 所以4C所在直线的方程为y-2=-3( (x-1),即3x+2y-7=0,③ 2 因为点C在AB边上的中线上， 所以点C的坐标满足直线方程x+3y=0,④ x=3 联立③④，得 y=-1'即C3,-1). (2)由(1)得AC=V1-3)2+[2-(-1)]了=13， B到直线4C的距离为d=3-4-7_14v3 13 S△ABC=于 xVi3x1413-7 1 V32+22 13 16.【详解】(1)设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则P(A)=p, P(B=q. 设C={甲、乙二人均答对第一题}，D=(甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则C=AB,D=AB+AB. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，AB与 AB相互互斥，所以P(C)=P(AB)=P(AP(B),P(D)=PAB+AB =P(4B)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)+(1-P(A))P(B). 1 pq=2 由题意可得 nI-+ql-p小-3 3 2 pq= 即 D=- 17解得 4’ p 或 3 p+q= 3 9=39=4 3 2 由于p>q,所以p=49=3 (2)设A={甲同学答对了i道题}，B,={乙同学答对了i道题}，i=0,1,2. 题意得、A41-A4-子名 4416 ra-对号-号-号 设E=(甲乙二人共答对3道题}，则E=AB2+AB,. 由于A和B,相互独立，AB2与AB,相互互斥， 所以P(E)=PAB,+P川AB)=P(A)P(B,)+P4)PB)=8xg+i6g2 34.945 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为2 17.【详解】(1)如图，取AC的中点P,连接PM、PC, 因为M、P分别为B、AC的巾点，所以PM∥BC且PM=8C, 又因为直三棱柱ABC-ABC,中，N为BG的中点，所以BC1C,V且)BC=CN, 所以PM/C,N且PM=CN,故四边形PMWC,是平行四边形，从而MNIIPC, 因为PC,c平面ACC,A,,MN∠平面ACC,A,所以MN/平面ACC,A,. C A B (4分) C A 7 B (2)以C为原点，CA、CB、CC,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AC=BC=CC1=2,则C(0,0,0),M(1,1,0),N(0,1,2),B(0,2,0), 平面CMB的法向量为n,=(0,0,1), 设平面CMW的法向量为n2=(x,y,z),CM=1,1,0),CN=(0,1,2), 则区-C=x+y=0 令z=1,得y=-2,x=2,故n2=(2,-2,1), n2·CN=y+2z=0' 11%3则sn0=2v2 设二面角N-CM-B的平面角为6，则cos0==， 3 所以tan0=sin0 =2√2； cos0 ZA N B (9分) B M (3)由AC=22,AB=4,∠ACB=90°，得BC=VAB2-AC2=2N2, 设CC1=h,则C(0,0,0),A2√2,0,0)，B(0,2√2,0)，A(2√2,0，h),M(W2,√2,0)，N(0,V2,h, MN=(-√2,0，h),AC=(-2W2,0,-h), 由MW⊥A,C得MN.AC=4-h2=0,解得h=2(h>0), CM=(√2，√2,0)，CN=(0,V2,2),设平面CMW的法向量为i=a,b,c, 则 :C62200令h=2,待a=-2,c-1,故n=2,2,-, AC=(-2V2,0,-2), 设4C与平面CMW所成角为a,则sina=4C列.4+2 615 |AC‖1V8+4V2+2+12355 (15分) 2 C B 18.(17分) 【解析】(1)由2an=Sn+n(*)→2a1=Sn1+n+1(*)(n∈N）, (*)-(*),得an1=2an+1, 6u-0m+l_2a.+l+1=2, 因为6=，+1a,+1 所以数列bn}是等比数列： (2)由2an=Sn+n→2a1=a+1→a1=1→b=1+1=2, 由(1)可知数列{b,}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以bn=22”-=2”, 因为bnl0g2bn=2”.l0g22”=n:2”, 所以T,=12+2×22+3×23+…+n…2"(***, 2Tn=122+2×23+3×24+…+n2+(***), (**)-(**),得-Tn=1:2+22+23+…+2”-n,2”+1, -721-2-n23Z=a-小-2+2： 1-2 T2-了l-(n+12+3-n-2*2 1 8727n2n2n+l2n2a2 月安*7安小有小2对 11 11 19.(17分) 【解析】(1)设双曲线的半焦距为c,由题意得=2，F(c,0),渐近线方程不妨取 a y=bx,即x-aw=0, 则V3=b如 +b=5,面c2=a2+b=4a,a2=1. 故双曲线方程为x2_上=1 3 (2)①由题意知A(1,0),F(2,0),设直线PQ的方程为 x=my+2(m≠0)，P(xy),Q(x2y2), x=my+2 联立方程组 x-上-13m2-y产+12my+9=0, 3 国为过焦点F的直线与「的右支交丁、Q两点，酸片>5.0<m<兮 m -12m 9 则%+h=3m-43m2-’ 9 则kko=占Xh于 yiy2 3m2-1 -1x2-1m2y2+m(y+y2)+19m212m2 —=-9； 3m2-13m2-1*+1 3y-3=-9, 当直线P0斜率不存在时，P(2,3),0(2,-3列kk0=2-×2-i 故kaPkAQ为定值； N A O F M ②由题意可得8=2×刘4F1×八-乃F2y-, 的方，分有分 x-1 直线0的方程为少=之x-1,则以，=-)X上=-×力 x2-1 2x2-12my2+1 y1-y2 则sw上8m+1m,+i8m+mg+ 所以 =4m2y+m(++l=3m- 4 由F0<m2<5即0<3m<1小，0<m-11,放3m->4, 4 当直线PQ斜率不存在时，P(2,3),Q(2,-3),直线AP方程为y=3x-1) -×1×6 直线AQ方程为y=-3(x-I),可得M 二×二×3 22 综上 的取值范围为[4，+0). S, 嘉祥一中高二上学期月考数学试卷2026.01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 2. 已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)=(　　) A.　 　B.　　 C.　　 D. 5．已知数列和满足，，若数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 10．已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为； B．的离心率为2； C．是双曲线上一点，且，则； D．直线与只有一个公共点. 11．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有 A．数列的前10项和为100 B．若成等比数列，则 C．若，则n的最小值为6 D．若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 13．设等比数列的前项和为，若公比，则 . 14． 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． （1）求点B，C的坐标； （2）求的面积． 16.(15分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 17．(15分）如图，直三棱柱中，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值； (3)若，，，求与平面所成角的正弦值． 18.（17分）已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 19.（17分）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $