广东江门市新会第一中学2026-2027学年高二上学期10月评价训练数学试题

2028届高二上学科评价训练(一) 数学试题 一、单题:本共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．4 2．复数满足，则（    ） A． B．5 C．15 D．25 3．如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，甲、乙各猜一个成语，已知甲猜对的概率是，乙猜对的概率是，甲和乙猜对与否互不影响，则两人中恰好只有一人猜对的概率是（     ） A． B． C． D． 5．已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．在△ABC中，若，，则三角形的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 7．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 8．在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9．第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（    ） A．该组数据的众数为 B．该组数据的中位数为 C．该组数据的极差为 D．该组数据的分位数为 10．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 11．如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（     ） A．存在点，使得平面 B．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．当在线段上运动时，则的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15.分。 12．已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为__________. 13．某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工__________人． 14．甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为_____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） 已知向量满足，夹角为． （1）求； （2）若，求k的值． 16．（本小题15分） 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 17．（本小题15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 18．（本小题17分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:， ，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19．（本小题17分） 如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)当PD=2时，求证：平面⊥平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【详解】由题意，所以，所以. 2．B 【详解】因为，所以 3．C 【详解】解：在中，为的中点，所以， 又，所以， 所以； 故选：C 4．D 【详解】设事件A为“甲猜对成语”，事件B为“乙猜对成语”，由题意得A和B相互独立， 且，因此. “两人中恰好只有一人猜对”对应事件，且与为互斥事件. 所以. 5．C 【详解】A选项：若，则可能平行，可能相交，也可能为异面直线，A选项错误； B选项：若，则，B选项错误； C选项：若，是两个不同平面，所以，C选项正确； D选项：若且，则可能平行，可能垂直，也可能相交但不垂直，D选项错误. 6．D 【详解】因为，由正弦定理边角互化可得：， 又，由余弦定理可得：， 即，又，所以三角形为等边三角形. 7．C 【详解】根据题意，不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中任意取两个不同的素数、，有种取法，即， ，，，，， ，，，， ，，，，，，，，，， ，，，故C正确，B错误； 则有，， 选项A，D错误． 8．D 【详解】结合题意建立直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 则，，，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，故. 9．AC 【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确； 对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误； 对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确； 对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误. 10．BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对； 对于D，，因为， ，所以，故D正确. 11．BCD 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示， 因为平面，平面，所以， 若存在点，使得平面，因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 在平面内，由于四边形为正方形，所以，故， 结合图形可知矛盾，故假设不成立，即不存在点，使得平面，A错； 对于B选项，过点作交于点，过点作交于点， 过点作交于点，过点作交于点， 过点作交于点，连接， 因为，为的中点，则为的中点， 同理可知、、、分别为、、、的中点， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，同理可证，， 故、、、、、六点共面， 由中位线的几何性质可知， 同理可得， 因为，，，所以， 易知为等边三角形，则， 由等角定理结合图形可知， 同理可得， 故六边形为正六边形， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 当点在正六边形的边上运动时（不与点重合）， 则平面，所以平面， 所以点的轨迹为正六边形，B对； 对于C选项，如下图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 因为点在棱上运动，故点到平面的距离等于点到平面的距离，即为， 又因为， 故为定值，C对； 对于D选项，如下图所示， 由勾股定理可得， ， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， 将和延展为同一个平面，如下图所示： 由余弦定理可得， 所以， 易知为等腰直角三角形，且， 故 ， 由余弦定理可得，故， 所以点、、三点共线时，即当点为线段与的交点时，取最小值，且最小值为，D对. 12．2 【详解】因为该组样本数据的平均数为15， 所以，解得， 则该组样本数据的方差为 . 13．60 【详解】. 14． 【详解】设比赛结束时，一共比赛局，由题设可得， 再设其中甲胜局，得分为，则乙胜局，得分为，则， 解该不定方程，得可为. 设表示第局甲胜，表示第局乙胜. 若比赛三局，比赛结束且甲获胜，则甲胜三局，概率为； 若比赛五局，比赛结束，则甲胜4局，乙胜1局，概率为: ； 若比赛七局，比赛结束，则甲胜5局，乙胜2局，概率为: . 则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为：. 15．（1）；（2）. 【详解】解：由题意可得． （1）因为， 所以． （2）由题意可得，即， 则，解得． 16．(1) (2) 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 17．(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. （2）因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 18．(1)合理分数为分；平均分为70.2分 (2)总平均数是62，总方差是26． (3) 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 19．(1)设为中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，，，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3) 【详解】（1）略. （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②2得，取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $