广东广州市第二中学南沙天元学校2026-2027学年第一学期月考（一）高二数学试题

广州市第二中学南沙天元学校2026学年第一学期月考（一) 高二数学 命题：何梓君审校：谷忠忠 2026.10.08 本试卷共4页，19小题，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓 名和考生号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的，答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题测号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的， 请在答题卡的指定位置填涂答案选项。 1.直线3x+3y+1=0的倾斜角是〔). A.君 B. c.号 D. 2.直线的方向向量为元=(6,2x-1,2),平面a的法向量为元=(x,2,x一1)，若1Ⅱa,则实数x的值为). A.- B.-月 c D.} 3.已知空间向量d=(-1,0,1),b=(x,1,1),且.b=1,则向量与的夹角为（)， A.晋 B号 C. D.日 4.一个正四面体的四个面分别标有数字1,2,3,4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的 数字之积为偶数的概率是() A.是 B. C. D.} 5.已知点P(2,-3),Q(-3,-2),直线kx-y-k+1=0与线段PQ相交，则实数k的取值范围是()】 A.(-∞，-4U层，+∞） B.[-4,引 c.,4 D.（-∞，-引U[4,+.o) 6.已知点A(4,1),B(0,4),直线：3x-y-1=0,点P在直线1上，则IPB-PA的最大值为了) A.v2 B.2V2 c.5 D.2 7.在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V3,沿对角线AC将矩形折成一个大小为0的二面角B'-AC-D,当点 B与点D之间的距离为3时，cos0=(). A.青 B.君 c.- D.-君 高二年级数学科月考（一）试卷第1页共4页 8.已知空间向量0A=(1,0,0),0元=(0,1,0)，0元=(0,0,1)，向量0P=x0A+y0丽+z0C, 其中+子+2=1.则O的最小值为() A.9 8 C.1 D.2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A.直线3x+y+1=0的一个方向向量为(V5,-3) B.方程=k-2)与方程k=之表示同一条直线 C.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 ®.经过点P(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程为x+y一3=0 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且c=2,CA·CE=2S,下列选项正确 的是 A.C=号 B.S△MBc的最大值为.2+V2 C.边长AB上的中线最大值为W2+1 D.若B=孕0为△ABC的外心，则A0.BC=1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为△B1CD1内的任意一点（含边界)，则下列结论 正确的是() D C A.三棱锥P一A1BD的体积为定值 B.点P到直线BD的距离的最小值为V2 C.向量DP与D夹角的取值范围是[0，到 D.若线段BD的中点为F,当PP⊥BD时，点P的轨迹长度为V. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共5分.请把答案写在答题卡的指定位置上. 12.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为号， 则该题至少被 一人攻克的概率为 13.已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则AB边上的高为 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=2,A1C=2W3, C B 则平面BCC1B1截三棱锥A1一ABC的外接球所得截面的面积为 高二年级数学科月考（一）试卷第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案 写在答题卡的指定区域内 15.(13分)已知直线1x:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y-1=0; (1)当l1/几2时，求a的值： (2)当a=2时，直线11,2的交点为P,设A(3,0);若直线1过交点P,且点A到直线1的距离等于2，求直 线的方程. 16.(15分)如图，在四楼锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AP=AB, E为CD的中点. (I)求证：CD⊥平面PAE: (2)求平面PAE与平面PBC所夹角的正弦值. 17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为S,且b2+c2-a2=4W3S. (1)求角A: (2)若a=2,V2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长， 高二年级数学科月考（一）试卷第3页共4页 18.(17分)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2、AD⊥DC,∠DCC1=60°， 平面CC1D1D⊥平面ABCD,点A、F满足AM=MB,C示=2FC: (1)求证：MC1/平面BDF: (2)求直线CD与平面BDF所成的角8的正弦值： (3)是否存在点G在线段AA1上，使得点G到平面BDF的距离为@？ 若存在，求出c的值：若不存在，请说明理由。 AA 19.(17分)在空间直角坐标系0yz中，定义：过点P(xo,yo,z0),且方向向量为元=(a,b,c(abc≠0)的 直线的点方向式方程为。=2=过点Poyo20),且法向量为7=(A,B,C).(42+B2+C2≠0) 的平面的点法向式方程为A(x-x0)+BOy一y)+C(z-z0)=0将其整理为一般式方程为Ax+By+ C2+D=0,其中D=-Ax0-By0-C20. ()已知直线的点方向式方程为号=生=-z,平面α的一般式方程为2x-y+z+5=0,求直线与平 2 面a所成角的正弦值： (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(xo,yo,zo)到平面Ax十By+Cz+D=0的距离为d= o+如+cC0+0,若记集合Q=x,y,zx+y+2l=1)所围成的几何体为U,求U的内切球的表面积： √2+B2+C2 (3)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1所在平面经过三点P(1,0,0),Q(2,1,一1)，H(-1,0,2),侧 面BCC1B1所在平面的一般式方程为x一y+2z+4=0,侧面ACC1A1所在平面的一般式方程为mx+2y+ 3m2+1=0,求平面ABB1A1与平面ACC1A1夹角的余弦值， 高二年级数学科月考（一）试卷第4页共4页