河南省南阳市部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学试卷（二）参考答案 1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．BD 10．ACD 11．ABD 12．8 13． 14．15 15．解：（1）根据题意可得， 2分 解得， 4分 所以． 5分 （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 7分 所以且等号不同时取得， 10分 解得， 12分 故的取值范围为． 13分 16．（1）证明：． 1分 因为，所以． 3分 又，所以，所以，即，所以，即． 5分 故． 6分 （2）解：． 7分 因为，所以， 8分 当且仅当，即时，等号成立， 9分 所以． 10分 依题意可得． 11分 当时，，则满足题意． 12分 当时，， 13分 则，又，所以． 14分 综上，的取值范围为． 15分 17．（1）解：因为在上有2个零点，所以在上有2个解， 得到在上有2个解，即直线与的图象在上有2个交点． 1分 ． 2分 当时，，单调递减； 3分 当时，，单调递增． 4分 ，当时，，当时，， 5分 所以的取值范围为． 6分 （2）证明：． 7分 设，．根据函数单调性的性质得在上单调递增， 8分 因为，，所以存在，使得． 9分 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 10分 所以， 11分 因为，所以， 12分 ． 13分 因为，所以，，即， 14分 故，即． 15分 18．解：（1）因为的定义域为，所以的定义域为． 1分 令，解得， 3分 所以． 4分 （2）由（1）得． 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减． 5分 若在上单调递增，则无解； 6分 若在上单调递减，则或或 9分 解得或或，即． 10分 故的取值范围为． 11分 （3）假设存在，使得在上的值域为． 因为，，所以，在上单调递减，所以 12分 即则两式相除，得， 14分 即，化简得， 所以， 15分 所以， 16分 所以存在符合题意的，且的值为． 17分 19．证明：（1）． 1分 令，则，令，则， 所以在上单调递减，则， 2分 即，所以在上单调递减，则，所以在上恒成立． 3分 因为，所以，故，． 4分 （2）设，则． 当时，若为偶数，，，单调递减，若为奇数，，，单调递增，所以在上单调． ６分 又，． 因为对于任意正整数，且，所以． 因为的图象是连续不断的，所以结合在上的单调性可知，存在唯一的，使得． 8分 又，且对恒成立，所以当时，与同号，零点相同，即在左、右两侧的符号相反，且． 故对任意正整数，在上存在唯一的极值点． 10分 （3）由（2）可知，即． 令．因为，所以．将代入上式，可化简为，即． 由，得且， 所以． 又，所以． 12分 因为，所以． 由，得，则，所以． 将代入，得． 14分 设定点，则， 所以． 若使其为定值恒成立，只需．比较得，，，解得，，即或， 所以存在定点或，使得为定值1． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“几何体是正四面体”是“几何体是正三棱锥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，若曲线在点处的切线的斜率等于10，则这样的切线有 A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 5．已知，则的溶液的是的溶液的的 A． B．10倍 C．倍 D． 6．若函数的所有极值点之和为，则的所有极值点之积为 A． B． C． D． 7．当时，恒成立，则的最大值为 A．1 B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则 A．32 B．22 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则 A． B． C． D． 10．若函数的零点个数为，则函数的图象可能为 A． B． C． D． 11．设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则 A． B． C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的最小值为 ▲ ． 13．若直线是曲线与曲线的公切线，则 ▲ ． 14．某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 记使得不等式对任意的恒成立的实数的所有取值的集合为，非空集合． （1）求集合； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 16．(15分) 已知函数． （1）证明：． （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 17．(15分) 已知函数． （1）若在上有2个零点，求的取值范围； （2）证明：． 18．(17分) 已知函数，且函数的定义域为． （1）求的值． （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．(17分) 设函数． （1）证明：，． （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点． （3）记（2）中在上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $