精品解析：河南部分校2026-2027学年高三年级第一学期第一次联考(月考)数学试卷

2026~2027学年高三第一次联考（月考）试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 8. 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 函数是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为__________． 13. 设，若函数，是单调函数，则a的最小值为_____________． 14. 已知，，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 16. （1）已知关于x的不等式的解集是，求的值； （2）已知实数a，b满足，，求的取值范围； （3）已知，，，且，证明：． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设函数，若为的极大值点，求的取值范围． 18. 已知函数为奇函数，满足． （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若在区间上的最小值为2，求m的值． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若直线与曲线相切，求a的值； （3）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高三第一次联考（月考）试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的否定为． 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 由于，所以， ，即， ，所以 则 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如和）进行比较.分别估算、、的大致范围，即可得出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 综合以上分析，有，即. 4. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设， ，、，由得， 由取整定义得， 因为整数，所以，则，可得，故 ， 即“”“”； 举反例：，，，；但，不满足， 即“”“”. 因此“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可得，故， 而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 8. 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数和的图象有3个不同的交点，进而结合图象求解即可. 【详解】函数恰有4个零点，则函数和的图象有4个不同的交点， 又因为，所以是函数的一个零点， 所以函数和的图象有3个不同的交点． 设， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则， 且，时，. 作出函数的图象： 由图可知，要使和的图象有3个不同的交点，则或， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，正确； 对于B，若，则，错误； 对于C，若，则，错误； 对于D，， 因为，，所以，所以，正确. 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，判断出函数为偶函数，故只需研究函数在上的图象即可，分、及，结合导数判断函数的趋势，并找到对应的选项即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数， 当时，, 当时，，此时函数位于轴下方； 且， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以当时，函数也位于轴下方， 此时函数的图象形如D; 当时，, 易知此时的图象形如A选项； 当时，因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增， 且， 此时函数的图象形如C. 综上，函数的图象在上不可能像选项B那样单调递增，故B不满足. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 函数是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由 为偶函数得 的图象关于直线 对称（A），对 两边求导得 ，即 的图象关于点 对称，进而 （C）；对 两边求导得 ，即 ，用对称关系检验 的奇偶性、并用 的递推关系求和判断 . 【详解】对于A，由 为偶函数，得 对任意 成立，令 ，则 ，即 ，所以 的图象关于直线 对称，A 正确. 对 两边求导，得 ，即 ，所以 的图象关于点 对称；取 得 ，即 ，C 错误. 对 两边求导，得 ，即 ；又 ，所以 . 对于B，记 . 由 得 ，所以 ；而 ，所以 ， 是偶函数，B 正确. 对于D，由 取 得 ，又 ，由 依次得 ，，，，，，，，所以 ，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得“，”是真命题，从而得，由此求解即可. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 设，若函数，是单调函数，则a的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】两段函数均为增函数时，整体单调递增只需保证分段点左段值不超过右段值，通过比较端点值并验证交点位置确定最小参数. 【详解】的定义域是， 令，分别作出这两个函数的图象如下： 两段函数与在各自定义域内均为增函数， 故若为单调函数必为单调递增函数. 整体递增的充要条件是分段点处左段端点值不超过右段端点极限， 即. 代入，，，等号成立. 由图象可知不等式的解为. 故的最小值为. 14. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】利用同构可得，结合导数可求的最小值. 【详解】设，则，所以为上的增函数， 而即为，所以， 即，故即，故， 所以，其中. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，再代入得到集合，最后计算交集、补集与并集； （2）由得，需要分和两种情况讨论，列出不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围为. 16. （1）已知关于x的不等式的解集是，求的值； （2）已知实数a，b满足，，求的取值范围； （3）已知，，，且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数结合韦达定理求解； （2）设，结合已知解得的值，利用不等式的性质求解； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：因为关于x的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且，则， 解得，故． （2）设，所以，解得， 又，， 所以，， 故，即的取值范围是． （3）略 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设函数，若为的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，分，讨论导数的正负即可求解； （2）求导，再对分类讨论，根据为的极大值点，求的取值范围. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由题意知， 所以， 当时，令，解得，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，符合题意； 当，即时，令，解得或，令，解得，所以在处取得极小值，不符合题意； 当，即时，，所以在上单调递增，不符合题意； 当，即时，令，解得或，令，解得，所以在处取得极大值，符合题意． 综上，的取值范围是． 18. 已知函数为奇函数，满足． （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】（1），． （2）在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． （3）-2． 【解析】 【小问1详解】 由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，利用换元法解决函数的值域问题，解决二次函数最小值的经典类型“轴动区间定”，通过分类讨论对称轴的位置确定最小值. 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若直线与曲线相切，求a的值； （3）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． 【小问2详解】 直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． 【小问3详解】 ，， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $