精品解析：河南省南阳华龙高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度高三上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数则“”是“函数有两个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知集合，，则（ ） A. 当时，集合含有2个元素 B. 集合中的元素个数可能为5 C. 当时， D. 当时， 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 11. 在平面直角坐标系xoy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线相切，t，，则________． 13. 定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是_________． 14. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，若线段的长等于的虚轴长的2倍，则的周长为________． 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 16. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 设数列的前n项和，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和． 18. 已知函数（，且，），且函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数在上有2个不同的零点，求实数m的取值范围． 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，E为AC的中点，求； （3）若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改量词、否定结论即可得解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 而命题“”是全称命题， 所以命题“”的否定是“”， 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 4. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D. 【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，故C不正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确. 故选：B. 5. 已知函数则“”是“函数有两个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象可得答案. 【详解】的图象如图所示， 函数有两个零点， 即的图象与的图象有两个交点， 由图可知，，即. “”是“函数有两个零点”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论，，时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解. 【详解】当时，由指数函数的单调性得到取值范围为，此时不成立，故舍去； 当时，，若时，， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 此时 当时，若时，单调递减，所以， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 即解之可得， 综上可知. 故选：D 7. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 8. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得. 【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值， 则，由等差数列性质，得， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知集合，，则（ ） A. 当时，集合含有2个元素 B. 集合中的元素个数可能为5 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项. 【详解】对于A，当时，则，，此时，故A正确； 对于B，取，，则，，此时，故B正确； 对于C，取，，此时，，，而有，故C错误； 对于D，当时，，， 根据集合元素的互异性，必有， 若，则两集合除0外的元素也应相同，即， 这需要满足“且”（显然不成立）或“且”，后者要求， 与集合B元素互异性的要求矛盾，故假设不成立，因此，故D正确， 故选：ABD． 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据与的关系求得可判断A；由可判断B；取可得是公比为1的等比数列，可判断C；当时，根据等差数列定义验证，可判断D. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，由得， 当时，， 所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当时，若，则， 此时，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系xoy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，得到，利用向量运算的坐标表示，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】对于A，因为为的重心，所以， ， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点在以原点为圆心，1为半径的圆上，而是等腰直角三角形， 点到直线距离为，点到距离最大值为， 因为为的重心，所以点到的距离为点到的距离的， 故，B错误； 对于C，过或垂直于的直线与直线关于轴或轴对称，该直线与圆相离， 当为直角三角形时，必有⊥， 故， 即，两边平方得， 则 ，C正确； 对于D，令中点为，则， ， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线相切，t，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，又， 则，解得，则． 故答案为：1 13. 定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的定义域和复合函数的单调性，通过分类讨论可求解. 【详解】令， 根据题意在上恒成立，且在单调递减. 若,则，不符合题意； 若,则，即， 解得. 故答案为：. 14. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，若线段的长等于的虚轴长的2倍，则的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】由题设可得，再利用双曲线的定义结合条件可求出周长. 【详解】由双曲线：，则， 因为线段的长等于的虚轴长的2倍，所以，即， 根据双曲线的定义，可得，， 所以的周长为：. 故答案为：20. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）第一问首先由图像得到振幅，图像中从到是半个周期，图像过从而得到解析式，然后由三角函数的性质解出单调递减区间. （2）首先把代入解析式，算出，然后余弦定理和基本不等式算出最大值. 【小问1详解】 由图像可知：振幅； 周期：图像中从到是半个周期，即，故； 由， 图像过，代入得， ，即，又点在增区间内，故，。 又，得. 因此，. 正弦函数的递减区间为，令，则 解得， 故的单调递减区间为. 【小问2详解】 已知，代入解析式得： 则，，解得. 因为是三角形内角，故. 由余弦定理 已知，，代入得 由基本不等式， 所以，当且仅当时取等号. 故的最大值为6. 16. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值； （3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 17. 设数列的前n项和，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得的通项公式，再代入即可； （2）根据裂项相消求得，代入，再用错位相减法求得. 【小问1详解】 当n＝1时，； 由得（n≥2）， ∴（n≥2）， 又也符合， ∴， ． 【小问2详解】 ， ∴． ∴，① ∴，② ①，②两式相减得：， 所以． 18. 已知函数（，且，），且函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数在上有2个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 由得， ， 所以， 故曲线关于点中心对称． ． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）根据所求函数值的自变量取值特征判断函数的对称中心，再进行证明求解即可； （3）根据指数函数的单调性、函数零点的定义，结合换元法、导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 即，整理得，对于任意恒成立， 因为，则不为0， 所以，则，解得，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递减，所以， 在上有2个不同的零点等价于方程 在上有两个不同的解， 令，则，则， 设，则，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 要使直线与有两个不同的交点，则，所以， 故实数m的取值范围为． 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，E为AC的中点，求； （3）若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角互换，再应用余弦定理求角即可； （2）根据中点得出向量关系平方应用数量积公式计算求解； （3）先应用正弦定理求角，再结合四点共圆得出边长，最后正弦定理求边长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 整理，得， 由余弦定理，得. 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 由正弦定理，知， 因为，，，所以，所以， 因为，所以，所以，. 因为A，B，C，D四点共圆，所以，， 当四边形ABCD的面积取得最大值时，D为的中点， 即，， ， 在△BDC中，由正弦定理得，， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $