专题03 函数（必备知识+14题型+分层检测）（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题03 函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断两个函数是否为同一函数 基础必考点，常出现在小题 函数的定义域 能正确求出函数的定义域 基础必考点，常出现在小题 函数的值域 能够求出函数的值域 高频考点，常出现在小题 函数的表示方法 具有数形结合的解题意识 能够利用函数图象的变换解题 能正确求解分段函数题型 高频考点，常出现在小题 函数单调性 能判断函数的单调性 能够利用函数单调性求解参数或最值 高频考点，会出现在小题，或在大题穿插考核 函数奇偶性 能判断函数的奇偶性 能够利用函数奇偶性求解参数 高频考点，会出现在小题，或在大题穿插考核 函数与方程、不等式之间的关系 能够处理二次函数零点分布问题 高频考点 函数零点判定定理 能够求解函数零点 能够利用函数零点判定定理求解 高频考点 知识点01 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． ·示例： （2024秋•渭滨区校级期中）如果记圆周率π小数点第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（　　） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是{1，2，3，4，⋯} C．y是n的函数，值域是{1，2，3，4，⋯，9} D．y是n的函数，且该函数单调 【答案】B 【分析】根据函数定义判断A；根据定义直接判断BC；根据f（1）＝f（3）判断D． 【解答】解：记圆周率π小数点第n位上的数字为y， 对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应， ∴y是n的函数，故A错误； n的取值为正整数，∴定义域是{1，2，3，4，⋯}，故B正确； 根据定义可知值域为{0，1，2，3，4，⋯，9}，故C错误； π＝3.1415926…， ∴f（1）＝f（3）＝1， ∴f（x）不是单调函数，故D错误． 故选：B． 知识点02 函数定义域 1 概念：函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． ·示例： （2024秋•广州校级期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得． 【解答】解：由题意可得，有2x﹣3≥0且x﹣2≠0， 解得且x≠2， 所以原函数的定义域为． 故选：D． 知识点03 函数值域 1概念：函数值的取值范围 2求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 ·示例： （2024秋•灌南县期中）如果函数f（x）＝x2+2x﹣3，x∈[0，2]，那么函数f（x）的值域为（　　） A．[﹣4，+∞） B．[﹣4，5] C．[﹣3，5] D．[0，5] 【答案】C 【分析】根据题意，判断函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1∉[0，2]，再根据单调性，求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝x2+2x﹣3，x∈[0，2]，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1∉[0，2]， ∴函数f（x）在[0，2]上为增函数，则f（x）min＝f（0）＝﹣3，f（x）max＝f（2）＝5， ∴函数f（x）的值域为[﹣3，5]． 故选：C． 知识点04 分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． ·示例： ，. 知识点05 函数图象的变换 (1) 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 (2)对称变换 (3)翻折变换 ·示例： 的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 知识点06 函数的单调性 1 增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. ·示例： （2024秋•北京校级期中）下列函数中，在（2，+∞）上单调递增的是（　　） A． B． C．y＝x2﹣4x+1 D．y＝|x﹣4| 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，函数，是反比例函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于B，函数，是对勾函数，在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，不符合题意； 对于C，函数y＝x2﹣4x+1，是二次函数，在（2，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D，函数在（﹣∞，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，不符合题意． 故选：C． 知识点07 函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 ·示例： （2024秋•德化县校级期中）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣1，则f（﹣2）＝（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质可解． 【解答】解：已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣1， 则f（2）＝22﹣1＝3，又因为函数f（x）是奇函数， 所以f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3． 故选：C． 知识点08 函数的零点判定定理 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 3 求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 4函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. ·示例： （2024秋•邵阳校级期中）已知函数f（x）＝x3+3x﹣5，则f（x）的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】C 【分析】先判断出函数在R上单调递增，再由零点存在定理判断即可． 【解答】解：因为f（x）＝x3+3x﹣5，x∈R， 又因为y＝x3与y＝3x﹣5在R上均单调递增， 所以f（x）＝x3+3x﹣5在R上单调递增， 又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝9＞0， 所以函数的零点在区间（1，2）内． 故选：C． 题型一 函数的概念 解｜题｜技｜巧 1 函数的概念简单来说，就是任意一个自变量对应唯一的函数值； 2 自变量的取值范围是函数定义域，函数值的取值范围是函数值域。 【典例1】 （2023秋•丰台区期中）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可． 【解答】解：①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是； ④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：B． 【变式1】（2024秋•宁县校级期中）下列图形中，可以表示函数y＝f（x）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的概念进行分析即可． 【解答】解：由图像可得，一个x只能对应一个y， 所以选项A，C，D错误． 故选：B． 【变式2】（2024秋•迪庆州校级期末）以下一定是y关于x的函数的是（　　） A． B．y2＝x﹣1（x＞1） C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念“一个x对应一个y“来进行判断． 【解答】解：在A选项中，当x＞0时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在B选项中，当x＞1时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在C选项中，当x＞0时，一个x对应两个y，与函数的概念不符； 在D选项中，当x≠0时，一个x对应一个y，与函数的概念相符． 故选：D． 【变式3】（2024秋•永宁县校级期中）中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x+1 C．y＝2x D．y＝x2 【答案】D 【分析】根据函数的定义一一判断即可． 【解答】解：因为M＝{﹣1，1，2，4}，y＝2x，N＝{1，2，4，16}， 当x＝﹣1时，， 所以不能构成从M到N的函数，故A错误； 因为M＝{﹣1，1，2，4}，y＝x+1，N＝{1，2，4，16}， 当x＝﹣1时，y＝0∉N， 所以不能构成从M到N的函数，故B错误； 因为M＝{﹣1，1，2，4}，y＝2x，当x＝﹣1时，y＝﹣2∉N， 所以不能构成从M到N的函数，故C错误； 因为M＝{﹣1，1，2，4}，当x＝﹣1时，y＝1∈N，当x＝1时，y＝1∈N， 当x＝2时，y＝4∈N，当x＝4时，y＝16∈N， 所以能构成从M到N的函数，故D正确． 故选：D． 题型二 求函数的定义域 解｜题｜技｜巧 1 概念：函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【典例1】（2024秋•保定期中）函数f（x）的定义域为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣2，3） C．[﹣2，1）∪（1，2] D．（﹣2，1）∪（1，2） 【答案】C 【分析】要使函数有意义，只要满足即可． 【解答】解：要使函数有意义，须满足，解得﹣2≤x≤2，且x≠1， 故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]， 故选：C． 【变式1】（2024秋•杭州期中）已知集合A＝{1，2，3}，，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 【答案】A 【分析】将集合B化简，再由交集的运算，即可得到结果． 【解答】解：因为A＝{1，2，3}，{x|﹣1≤x≤1}， 所以A∩B＝{1}． 故选：A． 【变式2】（2024秋•郫都区校级期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【答案】C 【分析】问题转化为mx2﹣mx+2≥0对任意x∈R恒成立，再对m分类求解得答案． 【解答】解：若函数的定义域为R，则mx2﹣mx+2≥0对任意x∈R恒成立， 当m＝0时，显然成立； 当m≠0时，有，解得0＜m≤8． 综上所述，实数m的取值范围是[0，8]． 故选：C． 【变式3】（2024秋•沈阳期中）函数f（x+1）的定义域为[﹣2，1]，函数，则g（x）的定义域为（　　） A． B．（﹣1，+∞） C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可． 【解答】解：由函数f（x+1）的定义域为[﹣2，1]，可得﹣1≤x+1≤2， 函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，函数， 可得， 解得， 所以函数g（x）定义域为． 故选：D． 题型三 函数的值域 解｜题｜技｜巧 1概念：函数值的取值范围 2求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典例1】（2024秋•重庆校级期中）函数的值域为（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C． D． 【答案】C 【分析】令t0，化简函数的解析式，再利用二次函数的性质，求得结论． 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，2]，令t0，则x＝2﹣t2， 可得f（x）＝g（t）＝2﹣t2+t， 故当t时，函数g（t）取得最大值为，函数g（t）没有最小值， 故函数g（t）的值域为（﹣∞，]， 故选：C． 【典例2】（2024秋•汕头校级期中）若函数的值域为（0，+∞），则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（﹣1，0） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】D 【分析】求出函数f（x）＝﹣x+2在（﹣∞，1）上的值域，由已知可得函数在[1，+∞）上的值域包含（0，1]，再列出不等式求解即得． 【解答】解：当x＜1时，函数f（x）＝﹣x+2在（﹣∞，1）上单调递减， 即f（x）在（﹣∞，1）上的值域为（1，+∞）， 因为函数f（x）在R上的值域为（0，+∞）， 则函数在[1，+∞）上的值域包含（0，1]， 显然a＞0， 否则当x≥1时，，不符合题意， 于是函数在[1，+∞）上单调递减， 其值域为（0，a]， 因此（0，1]⊆（0，a]， 则a≥1， 所以实数a的取值范围为[1，+∞）． 故选：D． 【变式1】（2024春•龙岗区校级期中）规定，则函数f（x）＝1*x的值域为（　　） A．[1，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞） 【答案】A 【分析】由规定的运算法则知，f（x）1+x（x≥0），从而求出f（x）的值域． 【解答】解：∵规定， ∴f（x）＝1*x1+x1+x，（x≥0）， ∴f（x）； ∵x≥0，∴0， ∴f（x）1； ∴f（x）的值域是[1，+∞）． 故选：A． 【变式2】（2024秋•广州期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称y＝[x]为高斯函数．例如，[﹣2.6]＝﹣3，[1.2]＝1，已知函数，则函数y＝[f（x）]的值域为（　　） A．{y|0≤y≤3} B． C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 【答案】D 【分析】变换得到，确定f（x）的值域，计算得到答案． 【解答】解：因为， 当x≥0时，4x+2≥2，则，所以， 即，所以y＝[f（x）]的值域为{0，1，2，3}． 故选：D． 【变式3】（2024秋•修文县校级期中）函数的值域是（　　） A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1） 【答案】C 【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：令t＝x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1， 函数，在t≥1时，单调递减，因此g（t）max＝g（1）＝1， 当t≥1时，， 所以的值域是（0，1]． 故选：C． 题型四 函数图象的变换的应用 解｜题｜技｜巧 1 平移变换：口诀：左加右减，上加下减 2 对称变换 ， 3翻折变换 4 求解函数问题时，往往要用到数形结合的方法。 【典例1】（2024秋•重庆期中）已知函数y＝f（x+1）的图象如图所示，则函数y＝f（1﹣x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数y＝f（x+1）与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称判断． 【解答】解：因为函数y＝f（x+1）与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称， 所以D选项正确． 故选：D． 【变式1】（2023秋•贵州校级期末）函数f（x）＝|x+1|的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由f（﹣1）＝0，f（1）＝2，可得答案． 【解答】解：由f（﹣1）＝0，f（1）＝2， 可得只有选项A符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024秋•固始县校级期中）将函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（2，+∞）单调递增，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】函数的图像可由对勾函数图像平移得到，由对号函数的单调区间，得到f（x）的单调区间，可解出a的最大值． 【解答】解：，显然f（x）的图像是函数 的图像 向右移动了a个单位，是对勾函数，任取0＜x1＜x2，，x1﹣x2＜0，x1x2＞0， 当0＜x1＜x2＜1时，x1x2﹣1＜0，g（x1）﹣g（x2）＞0，g（x1）＞g（x2）， 当1＜x1＜x2时，x1x2﹣1＞0，g（x1）﹣g（x2）＜0，g（x1）＜g（x2）， 得g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）在（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增， 由函数f（x）的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（2，+∞）单调递增，得f（x）在（4，+∞）单调递增， ∴a+1≤4，a≤3， 则a的最大值为3， 故选：C． 题型五 分段函数 解｜题｜技｜巧 1 在求与分段函数有关的函数值或不等式时，要注意自变量的取值范围，不确定的话要分类讨论； 2 在分段函数的题型中，常见的处理方法要不就分类讨论要不就数形结合。 【典例1】 （2024秋•广东期中）已知，若对于任意实数b，均存在x0，使得f（x0）＝b，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣2，2] C．[﹣3，0） D．[﹣2，2） 【答案】B 【分析】分析各段函数的单调性，依题意只需函数f（x）的值域为R，分m≥0和m＜0两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式，解得即可． 【解答】解：因为函数y＝x+2在定义域R上单调递增， 所以y＝x+2在x≤m上单调递增， 函数y＝x2在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 要使对任意实数b，总存在实数x0，使得f（x0）＝b，即函数f（x）的值域为R， 当m＜0时，f（x）在（0，+∞），（﹣∞，m）上单调递增，在（m，0）上单调递减， 当x＞m时，f（x）≥0，x≤m时，f（x）≤m+2， 则只需m+2≥0，解得﹣2≤m＜0； 当m≥0时，f（x）在（m，+∞），（﹣∞，m）上单调递增， 当x＞m时，f（x）＞m2，x≤m时，f（x）≤m+2， 则只需要m+2≥m2，解得﹣1≤m≤2， 又m≥0，所以0≤m≤2． 综上可得﹣2≤m≤2． 故选：B． 【变式1】（2024秋•永安市期中）已知函数f（x），若f（x）≥1，则x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【答案】D 【分析】分段函数最本质的特点是在定义域的不同区间上对应关系（解析式）不同．在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以需要分情况解答． 【解答】解：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤﹣1． 故选：D． 【变式2】（2024秋•山东期中）设集合，函数已知x0∈A，且f（f（x0））∈A，则实数x0的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数f（x）的图象，由已知x0∈A，求f（x0）的范围，数形结合求出x0的范围即可． 【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示： 令﹣2x0，得x， 当f（f（x0））∈A时，则， 令x，得x， 又因为x0∈A， 所以结合图象得． 故选：C． 【变式3】（2024秋•和平区校级期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的解析式求解即可． 【解答】解：令t，则x＝1﹣t2， 当x≤1时，f（x）＝xt2+t+1（当且仅当t时取等号）； 当x＞1时，f（x）＝xx﹣11≥1+25（当且仅当x﹣1．即x＝3时取等号）， ∴f（x）∈（﹣∞，]∪[5，+∞）． 故选：A． 【变式4】（2024秋•霞山区校级期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．设max{a，b}，则函数f（x）＝max{x2﹣x，1﹣x2}的单调增区间为（　　） A．[﹣1，0]，[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]，[0，] C．（﹣∞，]，[0，1] D．[，0]，[1，+∞） 【答案】D 【分析】根据题意得到函数解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由x2﹣x＝1﹣x2，得2x2﹣x﹣1＝0，解得x＝1或x； 当x≥1或x时，f （ x ） ＝max{x2﹣x，1﹣x2 }＝x2﹣x，此时函数的递增区间为[1，+∞）； 当x＜1时，f （ x ） ＝max{x2﹣x，1﹣x2 }＝1﹣x2，此时函数的递增区间为[，0]； 综上，函数的递增区间为[ 0]，[1，+∞）． 故选：D． 题型六 求函数的单调性 解｜题｜技｜巧 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性---同增异减 【典例1】 （2024秋•丰满区校级期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B．（﹣∞，﹣1] C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二次函数、偶次根式的性质，得出结论． 【解答】解：对于函数，应有2x2﹣x﹣3≥0，求得x≤﹣1或x， 故函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）． 再根据二次函数y＝2x2﹣x﹣3的性质，可得函数f（x）的增区间为[，+∞）． 故选：C． 【变式1】（2024秋•南关区校级期中）函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去掉绝对值符号，化简函数的解析式，然后求解函数的单调增区间即可． 【解答】解：f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|， 当x≤2时，f（x）＝（1﹣x）•（2﹣x）＝x2﹣3x+2，对称轴x，开口向上， 故x≤2时，函数单调递增； 当x＞2时，f（x）＝﹣（1﹣x）•（2﹣x）＝﹣x2+3x﹣2，对称轴x，开口向下， 故在x＞2时，函数单调递减． 结合选项可得，A选项符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024秋•安徽期中）已知函数，则f（x）的单调递减区间为 　 　 ． 【答案】（4，+∞）． 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解． 【解答】解：令x2﹣3x﹣4＞0，解得x＜﹣1或x＞4， 所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）， 又y＝x2﹣3x﹣4在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增， 且在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减． 故答案为：（4，+∞）． 【变式3】（2024秋•山西期中）已知函数f（x）满足f（x+1）． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由单调性的定义法代入计算，即可证明． 【解答】解：（1）由于x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1， 则f（x+1）的定义域为R， 由， 则， 故f（x）的解析式为，x∈R． （2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），令x1＜x2， 则， 因为x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2， 所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0， 从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（1，+∞）上单调递减． 题型七 利用函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数的单调性结合函数图象会更容易求解参数。 【典例1】 （2025•永州二模）已知函数f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，4] B．（0，4） C．（0，4] D．[0，4） 【答案】A 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）是R上的增函数， 则，解可得0≤a≤4，即a的取值范围为[0，4]． 故选：A． 【变式1】（2025春•桂平市校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣kx+2在[﹣1，2]上具有单调性，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣12]∪[6，+∞） B．（﹣∞，﹣6]∪[12，+∞） C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]∪[3，+∞） 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x2﹣kx+2，是二次函数，其对称轴为：， 若函数f（x）＝3x2﹣kx+2在[﹣1，2]上具有单调性，则有或， 得k≤﹣6或k≥12，即k的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[12，+∞）． 故选：B． 【变式2】（2024秋•南京期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，3] B．（﹣∞，3] C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【答案】C 【分析】由一次函数、二次函数的性质及函数的单调性可得2a+4≤a2+1，且a≥0，求解即可． 【解答】解：因为当x≤a时，f（x）＝2x+4，单调递增， 当x＞a时，f（x）＝x2+1， 由二次函数的性质可知y＝x2+1在[0，+∞）上单调递增， 又因为函数在R上单调递增， 所以a≥0， 由2a+4≤a2+1，解得a≤﹣1（舍）或a≥3， 所以a≥3． 故选：C． 【变式3】（2024秋•阳江期末）若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，3） B．（1，3] C．（2，3] D．[2，3] 【答案】D 【分析】由一次函数的单调性，二次函数的单调性列出不等式组，求解即可； 【解答】解：因为函数是R上的增函数， 所以，解得2≤a≤3， 所以实数a的取值范围是[2，3]． 故选：D． 题型八 求函数的最值 解｜题｜技｜巧 求函数最值常见的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典例1】 （2025春•大武口区校级期中）函数f（x）在（﹣∞，2）上的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】用分母表示出分子，使用基本不等式得出最小值． 【解答】解：f（x）2﹣x， ∵x＜2，∴2﹣x＞0， ∴2﹣x2，当且仅当2﹣x即x＝1时取等号． ∴f（x）的最小值为2． 故选：B． 【变式1】（2021春•诸暨市校级期中）若﹣1＜x＜1，则y有（　　） A．最大值﹣1 B．最小值﹣1 C．最大值1 D．最小值1 【答案】A 【分析】由﹣1＜x＜1知0＜1﹣x＜2，故将y化简为y[（1﹣x）]，对（1﹣x）使用基本不等式即可． 【解答】解：∵﹣1＜x＜1， ∴﹣2＜x﹣1＜0，0＜1﹣x＜2， y [（1﹣x）] •21， （当且仅当1﹣x，即x＝0时，等号成立） 故选：A． 【变式2】（2013春•沈河区校级期中）已知函数y的最大值为M，最小值为m，则（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先将等式进行平方，结合一元二次函数函数的单调性即可得到结论． 【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即， 解得﹣3≤x≤1， ∵y， ∴平方得y2＝1﹣x+x+3+2•4+24+2， ∵﹣3≤x≤1， ∴当x＝﹣1时，y2＝4+2取得最大值4+24+4＝8，即M， 当x＝1或x＝﹣3时，y2＝4+2取得最小值4，即m， 则， 故选：B． 【变式3】（2024秋•溆浦县校级期中）已知函数有最大值，则实数a的取值范围为（　　） A．[0，16] B．（﹣∞，16] C．[16，+∞） D．（﹣∞，0]∪[16，+∞） 【答案】B 【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解． 【解答】解：当x≤4时，函数y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4， 若函数当x＞4时，， 当a≤0时，，此时函数有最大值，最大值为4，符合要求； 当a＞0时，在x＞4上单调递减，故， 若有最大值，则，则0＜a≤16， 综上可知a≤16， 故选：B． 题型九 判断函数的奇偶性 解｜题｜技｜巧 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 【典例1】 （2024秋•新疆期中）函数的部分图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据x∈（﹣1，1）时，f（x）的奇偶性可排除D． 【解答】解：， 当x∈（1，+∞）和（﹣∞，﹣1）时，y＝x单调递增，单调递减， 所以函数y＝x在（1，+∞），（﹣∞，﹣1）上单调递增， 所以在（1，+∞），（﹣∞，﹣1）上单调递减，可排除BC； 当x∈（﹣1，1）时，， 所以f（x）图象不关于y轴对称，可排除D． 故选：A． 【变式1】（2024秋•天津校级期中）函数y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的值的情况，判断即可． 【解答】解：函数y是奇函数，排除CD， x＞0时，y＞0，排除B； 故选：A． 【变式2】（2024秋•汉中期中）设函数，则下列函数为奇函数的是（　　） A．f（x+1）+1 B．f（x+1）﹣1 C．f（x﹣1）﹣1 D．f（x﹣1）+1 【答案】C 【分析】将f（x）变形，判断其对称性，运用平移即可判断． 【解答】解：， 所以， 所以函数f（x）的图象关于（﹣1，1）对称， 所以f（x﹣1）﹣1的图象关于（0，0）对称，是奇函数． 故选：C． 【变式3】（2024秋•茅箭区校级期中）定义在R上的f（x）满足：①[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，（∀x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2），②f（x）+f（﹣x）＝0，③f（﹣1）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　） A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数f（x）的性质，再利用性质求解不等式作答． 【解答】解：∀x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0， 则f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（x）+f（﹣x）＝0，则函数f（x）是R上的奇函数，因此f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 显然f（1）＝﹣f（﹣1）＝0，不等式xf（x）＞0化为或， 解得x＜﹣1或x＞1，所以不等式xf（x）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞1}． 故选：A． 题型十 根据函数的奇偶性求参数 解｜题｜技｜巧 1理解函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 2根据函数的奇偶性结合函数图象会更容易求解参数。 【典例1】 （2024秋•永宁县校级期中）已知定义在R上的函数，满足f（﹣x）+f（x）＝0，当x≥0时，，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】B 【分析】由f（﹣x）+f（x）＝0知道函数为奇函数，又因为函数f（x）在x＝0处由定义，满足f（0）＝0，解得a的值． 【解答】解：∵定义在R上的函数，满足f（﹣x）+f（x）＝0，f（x）为奇函数， 又x≥0时，， 由奇函数性质可得，f（0）＝a+2＝0，∴a＝﹣2． 故选：B． 【变式1】（2024秋•和林格尔县校级期中）设f（x）＝﹣x3+（a﹣2）x2+x是定义在R上的奇函数，则a＝（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据题意，由奇函数的性质即可求解． 【解答】解：根据题意，可知f（x）+f（﹣x）＝[﹣x3+（a﹣2）x2+x]+[﹣（﹣x）3+（a﹣2）（﹣x）2+（﹣x）]＝ 2（a﹣2）x2＝0，故a＝2；则f（x）＝﹣x3+x． 故选：B． 【变式2】（2024秋•江西校级期中）设f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2+a﹣1，则f（a）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．4 【答案】A 【分析】先根据奇函数性质求得参数a的值，进一步根据奇函数性质求函数值． 【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2+a﹣1， 由奇函数性质可得，f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1， 所以当x≤0时，f（x）＝2x2， 所以f（﹣1）＝2， 所以f（a）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2． 故选：A． 【变式3】（2024秋•唐山期中）已知函数f（x）＝﹣2x3﹣3x+2，若不等式f（a2﹣1）+f（﹣a﹣5）＞4成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣2，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） D．（﹣3，2） 【答案】B 【分析】构造函数g（x），验证其为奇函数，再将问题转化为g（a2﹣1）＞g（a+5），然后由单调性解抽象函数不等式即可； 【解答】解：因为函数f（x）＝﹣2x3﹣3x+2， 设g（x）＝f（x）﹣2＝﹣2x3﹣3x，则g（﹣x）＝2x3+3x＝﹣g（x），g（x）是奇函数， 不等式f（a2﹣1）+f（﹣a﹣5）＞4等价于f（a2﹣1）﹣2+f（﹣a﹣5）﹣2＞0， 即g（a2﹣1）+g（﹣a﹣5）＞0． 因为g（x）是奇函数，所以g（a2﹣1）＞﹣g（﹣a﹣5）＝g（a+5）， 因为g（x）＝﹣2x3﹣3x是R上的减函数，则a2﹣1＜a+5，解得﹣2＜a＜3． 故选：B． 【变式4】（2024秋•山西期中）已知函数f（x）＝x3+2x+1，若实数m，n满足f（m2）+f（2n2﹣4）＝2，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造g（x）＝x3+2x，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得g（x）的性质，从而得到m2+2n2＝4，再利用配凑法与基本不等式即可得解． 【解答】解：因为函数f（x）＝x3+2x+1， 令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+2x，定义域为R， 又g（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣g（x）， 所以g（x）为奇函数，在R上单调递增， 又f（m2）+f（2n2﹣4）＝2，所以g（m2）+1+g（2n2﹣4）+1＝2， 所以g（m2）＝﹣g（2n2﹣4）＝g（4﹣2n2），则m2＝4﹣2n2，即m2+2n2＝4， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 故选：B． 题型十一 求函数的零点 解｜题｜技｜巧 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典例1】 （2017秋•菏泽期中）若关于x的方程x2﹣4|x|+5＝m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　） A．（2，3） B．[2，3] C．（1，5） D．[1，5] 【答案】C 【分析】根据题意可以令f（x）＝x2﹣4|x|+5，h（x）＝m，可以分别画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解； 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4|x|+5＝m有四个不同的实数解， ∴令f（x）＝|x|2﹣4|x|+5＝（|x|﹣2）2+1，h（x）＝m， 分别画出函数f（x）和h（x）的图象， ∵要使f（x）的图象与h（x）的图象有两个交点， 如上图直线h（x）＝m应该在直线l和直线n之间， ∴1＜m＜5， 故选：C． 【变式1】（2016春•朔州校级期中）函数y＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点为（　　） A．1，2，3 B．1，﹣1，3 C．1，﹣1，﹣3 D．无零点 【答案】B 【分析】函数y＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点即对应方程的根，故只要解三次方程即可． 【解答】解：函数y＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，解得x＝1或x＝3或x＝﹣1， 所以函数y＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点是1，3或﹣1 故选：B． 【变式2】（2024秋•东坡区期中）已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1有零点，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4，且k≠3 D．k≤4，且k≠3 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质，判断零点是否存在，求解即可． 【解答】解：二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1有零点，可知Δ＝4﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤4，并且k≠3， 故选：D． 【变式3】（2023秋•皇姑区校级期中）已知函数y＝g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且g（x﹣1）为奇函数，当x＞﹣1时，g（x）＝2x2﹣1，则f（x）＝g（x）﹣1的所有零点之和为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0 【答案】A 【分析】先由g（x﹣1）为奇函数，推出g（x）关于（﹣1，0）对称，则g（x）＝﹣g（﹣2﹣x），进而求出g（x）的解析式，则f（x）的解析式可求，解出根即可． 【解答】解：因为g（x﹣1）为奇函数，所以g（x﹣1）关于（0，0）对称， 则g（x）关于（﹣1，0）对称，即g（x）＝﹣g（﹣2﹣x）， 当x＞﹣1时，g（x）＝2x2﹣1， 当x＜﹣1时，﹣2﹣x＞﹣1， 则g（x）＝﹣g（﹣2﹣x）＝﹣[2（﹣2﹣x）2﹣1]＝﹣2x2﹣8x﹣7， 所以， 则， 因为f（x）＝0，则或， 解得x1＝1或x2＝﹣2，所以x1+x2＝﹣1． 故选：A． 【变式4】（2024秋•余姚市校级期中）若函数f（x）＝ax2+4x﹣1在（﹣1，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 　 ． 【答案】[﹣3，5]∪{﹣4}． 【分析】根据判别式，结合零点存在定理分类讨论即可． 【解答】解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＝0，解得，符合题意； 当a≠0时，二次函数f（x）＝ax2+4x﹣1的判别式为：Δ＝16+4a， 若Δ＝0，即a＝﹣4时，函数 （x）＝ax2+4x﹣1的零点为，符合题意，则a＝﹣4； 当Δ＞0，即a＞﹣4时，由f（1）•f（﹣1）＝（a+3）（a﹣5）＜0， 解得﹣3＜a＜5且a≠0，则﹣3＜a＜5且a≠0； 当f（1）＝0时，a＝﹣3，方程另一根， 当f（﹣1）＝0时，a＝5，方程中一根，则a＝﹣3或a＝5， 所以实数a的取值范围为[﹣3，5]∪{﹣4}． 故答案为：[﹣3，5]∪{﹣4}． 题型十二 函数零点判定定理的应用 解｜题｜技｜巧 1方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.2 2 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 3 处理函数零点问题，往往要数形结合。 【典例1】 （2024秋•拱墅区校级期中）方程x3+3x﹣3＝0的解在区间（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】B 【分析】设f（x）＝x3+3x﹣3，判断函数的单调性，利用根的存在性定理进行判断即可得到结论． 【解答】解：设f（x）＝x3+3x﹣3，则函数f（x）单调递增， 则f（0）＝﹣3＜0，f（1）＝1+3﹣3＝1＞0， 满足f（0）f（1）＜0， 则在区间（0，1）内函数f（x）存在一个零点，即方程x3+3x﹣3＝0的解在区间（0，1）内， 故选：B． 【变式1】（2024秋•西城区校级期中）已知函数，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（　　） A． B． C．（1，2） D．（2，4） 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再由零点判定定理得答案． 【解答】解：函数在定义域（0，+∞）上是增函数， 且f（），f（1）＝2﹣1＝1＞0， ∴一定包含f（x）零点的区间是（，1）． 故选：B． 【变式2】（2024春•青海期中）函数f（x）＝x3+2x﹣50的零点所在区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的单调性，求出f（3）与f（4）的值，结合函数零点判定定理得答案． 【解答】解：函数f（x）＝x3+2x﹣50在R上单调递增， 又f（3）＝27+8﹣50＜0，f（4）＝64+16﹣50＞0， ∴f（3）f（4）＜0， 由函数零点判定定理可得，函数f（x）＝x3+2x﹣50的零点所在区间为（3，4）． 故选：C． 题型十三 二次函数零点的分布问题 解｜题｜技｜巧 两根与的大小比较(以为例) 根在区间上的分布(以为例) 两根分别在区间外 【典例1】 （2024秋•项城市校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+2有两个零点，在区间（﹣1，2）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣4]∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） 【答案】C 【分析】求出函数f（x）的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得． 【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+2在上单调递减，在上单调递增， 由在区间（﹣1，2）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， ①当2，即a≤﹣4时， 则，即， 解得a＜﹣3， 所以a≤﹣4， ②当1，即a≥2时， 则，即， 解得a＞3， 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪（3，+∞）． 故选：C． 【变式1】（2024秋•延庆区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（1，2） 【答案】B 【分析】根据题意及韦达定理，列出不等式组，求解即可． 【解答】解：由题意可得：， 解得：m＜1， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：B． 【变式2】（2024秋•沭阳县期中）设m为实数，“二次函数y＝x2﹣2x+m在区间（1，+∞）上有且仅有一个零点”是“m≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质及充分条件和必要条件的定义即可得解． 【解答】解：因为二次函数y＝x2﹣2x+m图像的对称轴为：x＝1， 又二次函数y＝x2﹣2x+m在区间（1，+∞）上有且仅有一个零点， 所以y（1）＝1﹣2+m＜0，解得：m＜1， 所以“二次函数y＝x2﹣2x+m在区间（1，+∞）上有且仅有一个零点”是“m≤1”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式3】（2024秋•辽宁期中）已知函数f（x）＝x2+2mx+2m+3有一个零点在区间（0，2）内，求实数m的取值范围是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1或 D．m＝﹣1或 【答案】C 【分析】分函数仅有一个零点，且在（0，2）上，或有两个零点，其中一个在（0，2）上两种情况讨论，可得m的范围． 【解答】解：当函数只有一个零点，且这个零点在（0，2）时，则， 解得m＝﹣1， 当函数有两个零点，且有一个零点在（0，2）上时， 则或或， 即（2m+3）（4+4m+2m+3）＜0， 解得m， 综上所述：满足条件的m的范围为{m|m＝﹣1，或m}． 故选：C． 题型十四 函数性质的综合运用 解｜题｜技｜巧 1 函数图象自身的对称关系 轴对称：若则有对称轴. 中心对称：若函数定义域为且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称。 2 两个函数图象之间的对称关系 （1）若函数定义域为则两函数的图象关于直线对称。 推论1：函数与函数的图象关于直对称。 推论2：函数与函数的图象关于直线对称。 （2）若函数定义域为则两函数与的图象关于点 对称。 3函数的周期性 （1）若，则的周期是. （2）若，则的周期是； （3）若，则的周期是. 4 周期性与对称性拓展： （1） 若函数同时关于直线对称则函数的周期 （2）若函数同时关于点对称，则函数的周期 （3）若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 （4）若偶函数的图像关于直线对称，则为周期函数且 （5）若奇函数的图像关于直线对称，则为周期函数且. 【典例1】 （2024秋•昌江区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）﹣1为奇函数，f（x+2）为偶函数，则f（1）+f（2）+⋯+f（16）＝（　　） A．0 B．16 C．22 D．32 【答案】B 【分析】根据函数的对称性，周期性等相关知识可解． 【解答】解：因为f（x）﹣1为奇函数，所以f（0）＝1， 且f（x）的图象关于点（0，1）中心对称， 即f（x）+f（﹣x）＝2． 因为f（x+2）为偶函数， 所以f（x+2）＝f（2﹣x），则f（x+4）＝f（﹣x）， 所以f（x）+f（x+4）＝2，f（x+4）+f（x+8）＝2， 所以f（x）＝f（x+8），故f（x）的周期为8． 因为f（1）+f（5）＝2，f（2）+f（6）＝2，f（3）+f（7）＝2，f（4）+f（8）＝2，所以f（1）+f（2）+⋯+f（16）＝2[f（1）+f（2）+⋯+f（8）]＝16． 故选：B． 【典例2】（2024秋•靖远县校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），且f（0）≠0，则下列结论正确的是（　　） A．f（0）＝﹣1 B．函数f（x）为奇函数 C．函数f（x）有2个零点 D．f（2x）＝f（x） 【答案】D 【分析】利用赋值法令x＝y＝0可判断A错误；结合A可知f（0）＝1，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），可得B错误；解方程可得f（x）＝1或，所以函数y＝f（x）没有零点，即C错误；令y＝x，可得2f（2x）f（0）＝f（x）+f（x），即f（2x）＝f（x），所以D正确． 【解答】解：由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y）， 令x＝y＝0，得2[f（0）]2＝2f（0），∵f（0）≠0，∴f（0）＝1，则A项错误； 函数f（x）的定义域为R，f（0）＝1≠0，∴函数f（x）不是奇函数，B项错误； 由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），令y＝0，可得2[f（x）]2＝f（x）+f（0）， 即2[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0，解得f（x）＝1或，f（x）的函数值只有这两个情况， ∴函数y＝f（x）没有零点，C项错误； 由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），令y＝x，可得2f（2x）f（0）＝f（x）+f（x）， ∴2f（2x）＝2f（x），即f（2x）＝f（x），D项正确． 故选：D． 【变式1】（2024秋•福建校级期中）已知f（x）为定义在（﹣4，4）上的奇函数，若f（x）在[0，4）上单调递减，则满足不等式f（a+1）+f（1﹣a2）＞0的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得f（x）在（﹣4，4）上递减，结合奇偶性可以把不等式等价转化为﹣4＜a+1＜a2﹣1＜4，解可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）为定义在（﹣4，4）上的奇函数， 若f（x）在[0，4）上单调递减，则f（x）在（﹣4，0]上也递减， 则f（x）在（﹣4，4）上递减， 若f（a+1）+f（1﹣a2）＞0，即f（a+1）＞﹣f（1﹣a2）＝f（a2﹣1）， 则有﹣4＜a+1＜a2﹣1＜4， 解可得：a＜﹣1或2＜a，即a的取值范围为（，﹣1）∪（2，）． 故选：C． 【变式2】（2024秋•江西期中）若函数f（x）定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）关于点（2，3）成中心对称，则f（1）+f（2）+⋯+f（23）的值是（　　） A．57 B．62 C．69 D．72 【答案】C 【分析】根据题意易得f（x）的图象关于直线x＝1对称，且关于点（2，3）成中心对称，从而可推出周期，再利用周期性即可求解． 【解答】解：∵f（2x+1）为偶函数， ∴f（﹣2x+1）＝f（2x+1）， ∴f（﹣x+1）＝f（x+1），∴f（﹣x）＝f（x+2）， ∴f（x）的图象关于直线x＝1对称， ∵f（x）图象关于点（2，3）成中心对称， ∴f（﹣x）+f（x+4）＝6，∴f（2）+f（2）＝6，∴f（2）＝3， 又f（﹣x）＝f（x+2）， ∴f（x+2）+f（x+4）＝6，∴f（x）+f（x+2）＝6①，两式相减可得： f（x+4）﹣f（x）＝0，∴f（x+4）＝f（x）， ∴f（x）的周期为4， 令x＝1代入①，可得f（1）+f（3）＝6，而f（4）＝f（0）＝f（1﹣1）＝f（1+1）＝3， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝12， ∴f（1）+f（2）+…+f（23）＝5×12+f（1）+f（2）+f（3）＝60+6+3＝69． 故选：C． 【变式3】（2023秋•南京期中）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，f（﹣x）＝f（x+2）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x．则方程4f（x）﹣x+2＝0所有的根之和为（　　） A．6 B．12 C．14 D．10 【答案】D 【分析】由题意可得函数的性质可得周期T，且关于（2，0），由题意画图，可得两个函数的交点，由对性性可得根之和． 【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），可得函数为奇函数， 而f（﹣x）＝f（x+2），可得对称轴为x＝1， 所以﹣f（x）＝f（x+2），可得﹣f（x+2）＝f（x+4）， 可得f（x）＝f（x+4），所以函数f（x）的周期T＝4， 又因为x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x，所以f'（x）＝3x2﹣2x+1＝3（x）20， 所以f（x）在x∈[0，1]单调递增，且f（0）＝0，f（1）＝1， 由题意如图所示：可得直线y（x﹣2）与y＝f（x）的交点的横坐标为4f（x）﹣x+2＝0的根， 可得在（﹣2，2）与（2，6）上均有两个交点，且关于（2，0）点对称，加上（2，0）点，共有5个点， 所以这5个交点的和为2×2×2+2＝10； 故选：D． 【变式4】（2025春•株洲校级期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上奇函数，且满足f（x+2）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[2024，2026]时，y＝f（x）的最大值为（　　） A．﹣8 B．﹣1 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据条件可得f（x）＝f（x+4），得到函数的周期，然后得到当x∈[2024，2026]时的表达式，最后判断即可． 【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）是定义在R上奇函数，且满足f（x+2）+f（x）＝0， 则f（x+2）＝﹣f（x）， 则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数， 当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1， 故当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2﹣2x， 当x∈[2024，2026]时，x﹣2024∈[﹣2，0]，所以f（x）＝（x﹣2026+1）2﹣1＝（x﹣2025）2﹣1， 显然当x＝2024或x＝2026时，函数y＝f（x）的最大值为0． 故选：D． 【变式5】（2025春•个旧市校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝0，且f（0）≠0，∀x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则下列说法正确的命题是（　　） ①f（0）＝1； ②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0； ③f（x）关于点（1，0）对称； ④． A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可． 【解答】解：对于①，由于∀x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）， 所以令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），即f（0）＝f2（0）， 因为f（0）≠0，所以f（0）＝1，所以①正确； 对于②，令x＝0，则f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y）＝2f（y）， 所以f（y）＝f（﹣y），即f（x）＝f（﹣x）， 所以∀x∈R，f（﹣x）﹣f（x）＝0，所以②错误； 对于③，令x＝1，则f（1+y）+f（1﹣y）＝2f（1）f（y）＝0，所以f（1+y）＝﹣f（1﹣y）， 即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（x）关于点（1，0）对称，所以③正确； 对于④，因为f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（﹣x）， 因为f（x）＝f（﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（2+x）， 所以f（4+x）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 在f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）中，令x＝y＝1，则 f（2）+f（0）＝2f（1）f（1）＝0，因为f（0）＝1，所以f（2）＝﹣1， f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝1， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0+（﹣1）+0+1＝0， 所以，所以④正确． 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2024秋•安溪县期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”．下列对应关系中，满足从集合M＝{﹣2，0，2}到集合N＝{0，2}的一个函数是（　　） A．y＝x B．y＝|x| C． D．y＝x2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：对于选项A，当x＝﹣2时，y＝﹣2∉N，故A错误； 对于选项B，集合M中的每个值，按y＝|x|，在集合N中都有唯一值与之对应，故B正确； 对于选项C，集合N中没有元素与集合M中的0对应，故C错误； 对于选项D，当x＝±2时，y＝4∉N，故D错误． 故选：B． 2（2024秋•渭滨区校级期中）函数的定义域为（　　） A．.（1，+∞） B．.[1，+∞） C．.（1，） D． 【答案】D 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解． 【解答】解：由题意可得， 解得x≥1且， ∴函数f（x）的定义域为{x|x≥1且}， 用区间表示为， 故选：D． 3（2024秋•沙市区校级期中）已知函数的定义域为[0，+∞），则函数f（x）的值域为（　　） A．[0，+∞） B．[2，+∞） C．[0，] D．[，+∞） 【答案】C 【分析】由已知结合x＝0及x＞0时两种情况分别求解． 【解答】解：当x＝0时，f（0）＝0， 当x＞0时，x2，f（x）∈（0，]， 故函数的值域为[0，]． 故选：C． 4（2024秋•科左中旗校级期中）下列函数中既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是（　　） A．y＝|x| B． C．y＝x﹣2 D．y＝x3 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝|x|，易得该函数是偶函数， 当x∈（﹣∞，0），y＝|x|＝﹣x，所以y＝|x|在（﹣∞，0）上单调递减，故A错误； 对于B，是指数函数，该函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，y＝x﹣2，是幂函数，所以y＝x﹣2为偶函数， 且该函数在（﹣∞，0）上单调递增，故C正确； 对于D，y＝x3是幂函数，则该函数为奇函数，故D错误． 故选：C． 5（2024秋•抚州期中）若函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的图象及函数奇偶性检验各选项即可判断． 【解答】解：由函数图象可得，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A， 因为f（0）＜0，排除选项B； 对于C，当x≥0时，f（x）x﹣1，图象为一条射线，不符合题意； 对于D，函数定义域为R，f（﹣x）f（x），即f（x）为偶函数， 又f（0）＝﹣3＜0，符合题意，D正确． 故选：D． 6（2024秋•海淀区校级期中）函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】B 【分析】结合函数的零点存在定理，即可求解． 【解答】解：f（x）＝x3﹣x﹣5＝0， 则f（0）＝﹣5，f（1）＝﹣5，f（2）＝1，f（3）＝19，f（4）＝55， 故f（1）f（2）＜0， 所以函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（1，2）． 故选：B． 7（多选）（2024秋•东坡区期中）下列说法正确的是（　　） A．函数和函数是同一个函数 B．若f（x﹣1）＝x，则f（x）＝x+1 C．若函数g（x）的定义域是[﹣2，4]，则函数g（2x）的定义域是[﹣4，8] D．若函数h（x）＝|3x﹣a|在区间[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[3，+∞） 【答案】AB 【分析】化简函数判断A；利用换元法求解函数解析式判定B；求出函数的定义域判定C；利用复合函数的单调性求a的取值范围判断D． 【解答】解：由，得函数和函数是同一个函数，故A正确； 由f（x﹣1）＝x，令t＝x﹣1，得x＝t+1，则f（t）＝t+1，即f（x）＝x+1，故B正确； 由函数g（x）的定义域是[﹣2，4]，得﹣2⩽2x⩽4，即﹣1⩽x⩽2， 故函数g（2x）的定义域为[﹣1，2]，故C错误； 由函数h（x）＝|3x﹣a|，知函数h（x）的单调递增区间为， 又函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则有，解得a⩽3，故D错误． 故选：AB． 8（多选）（2024秋•凤庆县校级期中）已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域是R B．f（x）的值域是（﹣∞，5） C．若f（x）＝3，则 D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义域、值域，由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：对A，f（x）的定义域是（﹣∞，2），故A错误； 对B，当x≤﹣1时，x+2≤1， 当﹣1＜x＜2时，0≤x2＜4，1≤x2+1＜5， 所以f（x）的值域是（﹣∞，5），故B正确； 对C，由B选项的分析可知，若f（x）＝3， 则，解得，故C正确； 对D，画出f（x）的图象如下图所示，由图可知，故D正确． 故选：BCD． 9（2024秋•天津期中）已知函数，且f（1）＝10． （1）求a； （2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接由f（1）＝10代入，即可求得a； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可． 【解答】解：（1）根据题意，函数，且f（1）＝10， 则有，解可得a＝9． （2）根据题意，函数f（x）在[3，+∞）上单调递增， 证明如下： 由（1）知，， 设3≤x1＜x2，则， 由3≤x1＜x2，则x1x2﹣9＞0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0， 所以，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在[3，+∞）上单调递增． （3）由（2）可知f（x）在[3，6]上单调递增， 所以， 则函数f（x）在[3，6]上的最大值为，最小值为6． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2024秋•滨海新区校级期中）函数在区间[2，4]上的值域为（　　） A．[﹣3，5] B．[﹣5，3] C．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 【答案】D 【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解． 【解答】解：函数，易得函数在[2，3）上单调递减，在（3，4]上单调递减， 当x＝2时，y＝﹣3；当x＝4时，y＝5； 所以函数的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）． 故选：D． 2（2024秋•铁东区校级期中）已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝6，则f（10）＝（　　） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质以及函数的对称性可解． 【解答】解：已知定义域为R的偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）， 又f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝6， 当x＝x+4时，即f（x+4）+f（﹣x）＝f（x+4）+f（x）＝6， 则f（4﹣x）＝f（x+4），则f（x）关于x＝4对称， 则f（10）＝f（﹣2）＝f（2）， 又2f（2）＝6，则f（2）＝3， 则f（10）＝3． 故选：A． 3（2024秋•东城区校级期中）已知函数的图象与直线y＝x恰有2个公共点，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣2，﹣1）∪[2，+∞） B．[﹣1，2） C．[﹣2，﹣1] D．[2，+∞） 【答案】A 【分析】将问题转化为g（x）＝f（x）﹣x恰有两个不同的零点，作出g（x）的图象，结合图象求解即可． 【解答】解：由题意可得f（x）＝x恰有2个公共点， 即f（x）﹣x＝0恰有2个不同的解， 即g（x）＝f（x）﹣x恰有两个不同的零点， 因为y＝2﹣x，单调递减，零点为x＝2； y＝x2+3x+2有两个零点，分别为x＝﹣1和x＝﹣2， 当m＜﹣2时，g（x）只有一个零点，x＝2； 当m＝﹣2时，g（x）有两个零点，x＝﹣2，x＝2； 当﹣2＜m＜﹣1时，g（x）有两个零点，x＝﹣2，x＝2； 当m＝﹣1时，g（x）有三个零点，x＝﹣2，x＝﹣1，x＝2； 当﹣1＜m＜2时，g（x）有三个零点，x＝﹣2，x＝﹣1，x＝2； 当m＝2时，g（x）有两个零点，x＝﹣2，x＝﹣1； 当m＞2时，g（x）有两个零点，x＝﹣2，x＝﹣1； 所以当﹣2≤m＜﹣1或m≥2时，g（x）有两个零点，满足题意． 故选：A． 4（2025春•吉林校级期中）已知函数f（x），g（x）都是定义在R上的函数，f（x﹣1）+2是奇函数，g（x﹣2）是偶函数，且f（x）﹣g（x﹣2）＝3，g（﹣2）＝1，则（　　） A．﹣4052 B．﹣4050 C．﹣1012 D．﹣1010 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得． 【解答】解：依题意，g（﹣2﹣x）＝g（﹣2+x）， 由f（x）﹣g（﹣2+x）＝3，得f（﹣x）﹣g（﹣2﹣x）＝3， 所以f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数． 又f（x﹣1）+2是奇函数， 则f（﹣x﹣1）+2＝﹣[f（x﹣1）+2]， 所以f（﹣x﹣1）+f（x﹣1）＝﹣4， 则f（﹣2﹣x）+f（x）＝﹣4， 则f（﹣2+x）+f（﹣x）＝﹣4， 所以f（﹣2+x）+f（x）＝﹣4， 所以f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），则f（﹣x）＝f（﹣4+x）， 所以f（x）＝f（﹣4+x）， 所以函数f（x）的一个周期为4， 由f（﹣x﹣1）+f（x﹣1）＝﹣4，得f（﹣1）+f（﹣1）＝﹣4， 则f（1）+f（1）＝﹣4，所以f（1）＝﹣2， 由f（﹣x﹣1）+f（x﹣1）＝﹣4，得f（﹣3）+f（1）＝﹣4， 即f（3）+f（1）＝﹣4，所以f（3）＝﹣2， 由f（x）﹣g（x﹣2）＝3，得f（0）﹣g（﹣2）＝3， 又g（﹣2）＝1， 所以f（0）＝f（4）＝4； 在f（﹣2+x）+f（x）＝﹣4中，令x＝4，得f（2）+f（4）＝﹣4， 所以f（2）＝﹣4﹣f（4）＝﹣8． 则505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝505×（﹣8）﹣12＝﹣4052． 故选：A． 5（多选）（2024秋•桃源县校级期中）已知函数f（x）＝x，下面有关结论正确的有（　　） A．定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） C．在（﹣2，0）∪（0，2）上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【分析】求出函数的定义域，利用单调性的定义结合举反例、奇偶性的定义逐项判断即可． 【解答】解：因为f（x）＝x，所以定义域为{x|x≠0}，A正确； 显然f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数，D正确； 当x＞0时，4，当且仅当x＝2时取等号，结合该函数为奇函数，所以值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），B正确； 因为f（﹣1）＝﹣5＜f（1）＝5，所以C错误． 故选：ABD． 6（2024秋•武进区校级期中）已知函数，若f（x）的值域为[1，5]，则实数c的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据给定条件，由函数f（x）最小值为1可得﹣1≤c≤1，再按c＜0，0≤c≤1结合的取值情况求解即得． 【解答】解：函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，当x＝3时，y＝5，当x＝1时，y＝1， 而，即有，依题意，1∈[c，3]，即c≤1，又c2﹣2c+2≤5，则有﹣1≤c≤1， 当0≤c≤1时，函数f（x）在（﹣∞，0）上的取值集合为（1，+∞），不符合题意， 于是﹣1≤c＜0，函数在+∞）上单调递增，则， 有，因此， 所以实数c的取值范围是． 故答案为：． 7（2023秋•临渭区校级期中）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为 　 　 ． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围． 【解答】解：（1）当x2﹣ax+1≥0时，f（x）＝0⇔（a﹣1）x2+（a﹣2）x﹣1＝0， 即[（a﹣1）x﹣1]（x+1）＝0， 若a＝1时，x＝﹣1，此时x2﹣ax+1≥0成立； 若a≠1时，或x＝﹣1， 若方程有一根为x＝﹣1，则1+a+1≥0，即a≥﹣2且a≠1； 若方程有一根为，则，解得：a≤2且a≠1； 若时，a＝0，此时1+a+1≥0成立． （2）当x2﹣ax+1＜0时，f（x）＝0⇔（a+1）x2﹣（a+2）x+1＝0， 即[（a+1）x﹣1]（x﹣1）＝0， 若a＝﹣1时，x＝1，显然x2﹣ax+1＜0不成立； 若a≠﹣1时，x＝1或， 若方程有一根为x＝1，则1﹣a+1＜0，即a＞2； 若方程有一根为，则，解得：a＜﹣2； 若时，a＝0，显然x2﹣ax+1＜0不成立； 综上， 当a＜﹣2时，零点为，； 当﹣2≤a＜0时，零点为，﹣1； 当a＝0时，只有一个零点﹣1； 当0＜a＜1时，零点为，﹣1； 当a＝1时，只有一个零点﹣1； 当1＜a≤2时，零点为，﹣1； 当a＞2时，零点为1，﹣1． 所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2024秋•杭州校级期中）已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（5+x），f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数f（x）关于直线x＝3对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可． 【解答】解：由f（1﹣x）＝f（5+x），可知函数f（x）关于直线x3对称， 又因为f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，f（0）＝0， 则f（x）在[3，+∞）上单调递增，且f（6）＝0， 故当x∈（﹣∞，0）∪（6，+∞）时，f（x）＞0；当x∈（0，6）时，f（x）＜0； 若f（2﹣3x）＞0，则2﹣3x＜0或2﹣3x＞6，解得或， 所以f（2﹣3x）＞0的解集是． 故选：D． 2（2024秋•秦皇岛期中）已知函数f（x）＝x3+x，若正实数a，b满足f（a）+f（b﹣4）＝0，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性和奇偶性得到a+b＝4，根据基本不等式“1”的妙用求解最小值， 【解答】解：f（x）＝x3+x的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是奇函数，又f（x）在R上单调递增， 由f（a）+f（b﹣4）＝0，得f（a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b）， 则a＝4﹣b，即a+b＝4，a＞0，b＞0， 所以4（）， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是． 故选：B． 3（2024秋•淮安期中）设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣2）＝﹣1，则不等式的解集是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（3，+∞） 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：令g（x）＝xf（x）， 因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数， 对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式， 即0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为f（﹣2）＝﹣1，所以g（﹣2）＝﹣2f（﹣2）＝2，即g（2）＝2， 则不等式可转化为， 即， 故或， 则或， 解得x＞3或﹣1＜x＜1． 故选：D． 4（2023秋•镇海区校级期中）已知f（x）＝﹣x2+2|x|+1，若方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜﹣3 B．m≤﹣2 C．m＜﹣3或m＞﹣2 D．m＝﹣2或m＜﹣3 【答案】D 【分析】作出f（x）的图象，令t＝f（x），则结合图象将问题转化为方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个不同的实根t1，t2，且t1＝1，t2＞2，或方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个相等的根t1＝t2＝1，再求出实数m的取值范围． 【解答】解：． 当x≥0时，f（x）的对称轴为x＝1，则单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）， 当x＜0时，f（x）的对称轴为x＝﹣1，则单调增区间为（﹣∞，﹣1），减区间为（﹣1，0）， f（x）的图象如图所示． 令t＝f（x），则[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）可化为t2+mt+n＝0（m，n∈R）， 要使方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根， 则方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个不同的实根t1，t2，且t1＝1，t2＞2， 或方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个相等的根t1＝t2＝1， 令g（t）＝t2+mt+n＝0（m，n∈R）， 当t1＝1，t2＞2时，，解得m＜﹣3， 当t1＝t2＝1时，t1+t2＝﹣m＝2，得m＝﹣2， 综上，m的取值范围为{m|m＝﹣2或m＜﹣3}． 故选：D． 5（多选）（2024秋•洮北区校级期中）已知偶函数f（x）的定义域为R，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．2f（3）＞f（﹣6） 【答案】BCD 【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论． 【解答】解：∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有， 设，则， 当0＜x1＜x2时，，即F（x1）＞F（x2），函数在（0，+∞）上单调递减， 函数f（x）为偶函数，f（﹣2）＝f（2），f（﹣6）＝f（6），f（﹣1）＝f（1），， F（x）在（0，+∞）上单调递减，则F（3）＜F（2），，，F（3）＞F（6）， 由此可判断A错误，B，C，D正确． 故选：BCD． 6（2024秋•中山市校级期中）已知函数f（x）的图象可由函数y＝ax﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f（2）＝16． （1）求a的值； （2）若函数，证明：g（x）+g（1﹣x）＝1； （3）若函数y1＝|f（x）+m|与y2＝|f（﹣x）+m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 【答案】（1）a＝4；（2）证明过程请见解答；（3）． 【分析】（1）根据函数图象的平移法则，可得f（x）的解析式，再利用f（2）＝16，代入运算，求出a的值，即可得解； （2）由（1）可得g（x）的解析式，代入运算，即可得证； （3）由（1）可得y1和y2的解析式，根据函数的性质，列出关于m的不等式组，解之即可． 【解答】（1）解：函数y＝ax﹣1+2的图象向下平移2个单位长度后得到y＝ax﹣1的图象， 再向左平移1个单位长度得到y＝ax的图象， 所以f（x）＝ax， 因为f（2）＝a2＝16， 所以a＝4（负值舍去）． （2）证明：由（1）可知f（x）＝4x， 所以， 所以． （3）解：由（1）可知，， 若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则在区间[1，2]上恒成立， 所以，解得； 若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则在区间[1，2]上恒成立， 所以，该不等式组无解， 综上，实数m的取值范围是． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断两个函数是否为同一函数 基础必考点，常出现在小题 函数的定义域 能正确求出函数的定义域 基础必考点，常出现在小题 函数的值域 能够求出函数的值域 高频考点，常出现在小题 函数的表示方法 具有数形结合的解题意识 能够利用函数图象的变换解题 能正确求解分段函数题型 高频考点，常出现在小题 函数单调性 能判断函数的单调性 能够利用函数单调性求解参数或最值 高频考点，会出现在小题，或在大题穿插考核 函数奇偶性 能判断函数的奇偶性 能够利用函数奇偶性求解参数 高频考点，会出现在小题，或在大题穿插考核 函数与方程、不等式之间的关系 能够处理二次函数零点分布问题 高频考点 函数零点判定定理 能够求解函数零点 能够利用函数零点判定定理求解 高频考点 知识点01 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． ·示例： （2024秋•渭滨区校级期中）如果记圆周率π小数点第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（　　） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是{1，2，3，4，⋯} C．y是n的函数，值域是{1，2，3，4，⋯，9} D．y是n的函数，且该函数单调 知识点02 函数定义域 1 概念：函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． ·示例： （2024秋•广州校级期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 知识点03 函数值域 1概念：函数值的取值范围 2求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 ·示例： （2024秋•灌南县期中）如果函数f（x）＝x2+2x﹣3，x∈[0，2]，那么函数f（x）的值域为（　　） A．[﹣4，+∞） B．[﹣4，5] C．[﹣3，5] D．[0，5] 知识点04 分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． ·示例： ，. 知识点05 函数图象的变换 (1) 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 (2)对称变换 (3)翻折变换 ·示例： 的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 知识点06 函数的单调性 1 增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. ·示例： （2024秋•北京校级期中）下列函数中，在（2，+∞）上单调递增的是（　　） A． B． C．y＝x2﹣4x+1 D．y＝|x﹣4| 知识点07 函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 ·示例： （2024秋•德化县校级期中）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣1，则f（﹣2）＝（　　） A． B． C．﹣3 D．3 知识点08 函数的零点判定定理 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 3 求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 4函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. ·示例： （2024秋•邵阳校级期中）已知函数f（x）＝x3+3x﹣5，则f（x）的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 题型一 函数的概念 解｜题｜技｜巧 1 函数的概念简单来说，就是任意一个自变量对应唯一的函数值； 2 自变量的取值范围是函数定义域，函数值的取值范围是函数值域。 【典例1】 （2023秋•丰台区期中）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024秋•宁县校级期中）下列图形中，可以表示函数y＝f（x）的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•迪庆州校级期末）以下一定是y关于x的函数的是（　　） A． B．y2＝x﹣1（x＞1） C． D． 【变式3】（2024秋•永宁县校级期中）中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x+1 C．y＝2x D．y＝x2 题型二 求函数的定义域 解｜题｜技｜巧 1 概念：函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【典例1】（2024秋•保定期中）函数f（x）的定义域为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣2，3） C．[﹣2，1）∪（1，2] D．（﹣2，1）∪（1，2） 【变式1】（2024秋•杭州期中）已知集合A＝{1，2，3}，，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 【变式2】（2024秋•郫都区校级期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．[0，8） B．（8，+∞） C．[0，8] D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 【变式3】（2024秋•沈阳期中）函数f（x+1）的定义域为[﹣2，1]，函数，则g（x）的定义域为（　　） A． B．（﹣1，+∞） C． D． 题型三 函数的值域 解｜题｜技｜巧 1概念：函数值的取值范围 2求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典例1】（2024秋•重庆校级期中）函数的值域为（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C． D． 【典例2】（2024秋•汕头校级期中）若函数的值域为（0，+∞），则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（﹣1，0） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【变式1】（2024春•龙岗区校级期中）规定，则函数f（x）＝1*x的值域为（　　） A．[1，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，+∞） 【变式2】（2024秋•广州期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称y＝[x]为高斯函数．例如，[﹣2.6]＝﹣3，[1.2]＝1，已知函数，则函数y＝[f（x）]的值域为（　　） A．{y|0≤y≤3} B． C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 【变式3】（2024秋•修文县校级期中）函数的值域是（　　） A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1） 题型四 函数图象的变换的应用 解｜题｜技｜巧 1 平移变换：口诀：左加右减，上加下减 2 对称变换 ， 3翻折变换 4 求解函数问题时，往往要用到数形结合的方法。 【典例1】（2024秋•重庆期中）已知函数y＝f（x+1）的图象如图所示，则函数y＝f（1﹣x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•贵州校级期末）函数f（x）＝|x+1|的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•固始县校级期中）将函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（2，+∞）单调递增，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 分段函数 解｜题｜技｜巧 1 在求与分段函数有关的函数值或不等式时，要注意自变量的取值范围，不确定的话要分类讨论； 2 在分段函数的题型中，常见的处理方法要不就分类讨论要不就数形结合。 【典例1】 （2024秋•广东期中）已知，若对于任意实数b，均存在x0，使得f（x0）＝b，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣2，2] C．[﹣3，0） D．[﹣2，2） 【变式1】（2024秋•永安市期中）已知函数f（x），若f（x）≥1，则x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【变式2】（2024秋•山东期中）设集合，函数已知x0∈A，且f（f（x0））∈A，则实数x0的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•和平区校级期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2024秋•霞山区校级期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．设max{a，b}，则函数f（x）＝max{x2﹣x，1﹣x2}的单调增区间为（　　） A．[﹣1，0]，[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]，[0，] C．（﹣∞，]，[0，1] D．[，0]，[1，+∞） 题型六 求函数的单调性 解｜题｜技｜巧 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性---同增异减 【典例1】 （2024秋•丰满区校级期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B．（﹣∞，﹣1] C． D． 【变式1】（2024秋•南关区校级期中）函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•安徽期中）已知函数，则f（x）的单调递减区间为 　 　 ． 【变式3】（2024秋•山西期中）已知函数f（x）满足f（x+1）． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减． 题型七 利用函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数的单调性结合函数图象会更容易求解参数。 【典例1】 （2025•永州二模）已知函数f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，4] B．（0，4） C．（0，4] D．[0，4） 【变式1】（2025春•桂平市校级期中）已知函数f（x）＝3x2﹣kx+2在[﹣1，2]上具有单调性，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣12]∪[6，+∞） B．（﹣∞，﹣6]∪[12，+∞） C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]∪[3，+∞） 【变式2】（2024秋•南京期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，3] B．（﹣∞，3] C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【变式3】（2024秋•阳江期末）若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，3） B．（1，3] C．（2，3] D．[2，3] 题型八 求函数的最值 解｜题｜技｜巧 求函数最值常见的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典例1】 （2025春•大武口区校级期中）函数f（x）在（﹣∞，2）上的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1】（2021春•诸暨市校级期中）若﹣1＜x＜1，则y有（　　） A．最大值﹣1 B．最小值﹣1 C．最大值1 D．最小值1 【变式2】（2013春•沈河区校级期中）已知函数y的最大值为M，最小值为m，则（　　） A．1 B． C． D．2 【变式3】（2024秋•溆浦县校级期中）已知函数有最大值，则实数a的取值范围为（　　） A．[0，16] B．（﹣∞，16] C．[16，+∞） D．（﹣∞，0]∪[16，+∞） 题型九 判断函数的奇偶性 解｜题｜技｜巧 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 【典例1】 （2024秋•新疆期中）函数的部分图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024秋•天津校级期中）函数y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•汉中期中）设函数，则下列函数为奇函数的是（　　） A．f（x+1）+1 B．f（x+1）﹣1 C．f（x﹣1）﹣1 D．f（x﹣1）+1 【变式3】（2024秋•茅箭区校级期中）定义在R上的f（x）满足：①[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，（∀x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2），②f（x）+f（﹣x）＝0，③f（﹣1）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　） A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} 题型十 根据函数的奇偶性求参数 解｜题｜技｜巧 1理解函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 2根据函数的奇偶性结合函数图象会更容易求解参数。 【典例1】 （2024秋•永宁县校级期中）已知定义在R上的函数，满足f（﹣x）+f（x）＝0，当x≥0时，，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式1】（2024秋•和林格尔县校级期中）设f（x）＝﹣x3+（a﹣2）x2+x是定义在R上的奇函数，则a＝（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣2 【变式2】（2024秋•江西校级期中）设f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2+a﹣1，则f（a）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．4 【变式3】（2024秋•唐山期中）已知函数f（x）＝﹣2x3﹣3x+2，若不等式f（a2﹣1）+f（﹣a﹣5）＞4成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） B．（﹣2，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） D．（﹣3，2） 【变式4】（2024秋•山西期中）已知函数f（x）＝x3+2x+1，若实数m，n满足f（m2）+f（2n2﹣4）＝2，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型十一 求函数的零点 解｜题｜技｜巧 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典例1】 （2017秋•菏泽期中）若关于x的方程x2﹣4|x|+5＝m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　） A．（2，3） B．[2，3] C．（1，5） D．[1，5] 【变式1】（2016春•朔州校级期中）函数y＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣3）的零点为（　　） A．1，2，3 B．1，﹣1，3 C．1，﹣1，﹣3 D．无零点 【变式2】（2024秋•东坡区期中）已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1有零点，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4，且k≠3 D．k≤4，且k≠3 【变式3】（2023秋•皇姑区校级期中）已知函数y＝g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且g（x﹣1）为奇函数，当x＞﹣1时，g（x）＝2x2﹣1，则f（x）＝g（x）﹣1的所有零点之和为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0 【变式4】（2024秋•余姚市校级期中）若函数f（x）＝ax2+4x﹣1在（﹣1，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 　 ． 题型十二 函数零点判定定理的应用 解｜题｜技｜巧 1方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为.2 2 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 3 处理函数零点问题，往往要数形结合。 【典例1】 （2024秋•拱墅区校级期中）方程x3+3x﹣3＝0的解在区间（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【变式1】（2024秋•西城区校级期中）已知函数，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（　　） A． B． C．（1，2） D．（2，4） 【变式2】（2024春•青海期中）函数f（x）＝x3+2x﹣50的零点所在区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 题型十三 二次函数零点的分布问题 解｜题｜技｜巧 两根与的大小比较(以为例) 根在区间上的分布(以为例) 两根分别在区间外 【典例1】 （2024秋•项城市校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+2有两个零点，在区间（﹣1，2）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣4]∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） 【变式1】（2024秋•延庆区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（1，2） 【变式2】（2024秋•沭阳县期中）设m为实数，“二次函数y＝x2﹣2x+m在区间（1，+∞）上有且仅有一个零点”是“m≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】（2024秋•辽宁期中）已知函数f（x）＝x2+2mx+2m+3有一个零点在区间（0，2）内，求实数m的取值范围是（　　） A．m＝﹣1 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1或 D．m＝﹣1或 题型十四 函数性质的综合运用 解｜题｜技｜巧 1 函数图象自身的对称关系 轴对称：若则有对称轴. 中心对称：若函数定义域为且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称。 2 两个函数图象之间的对称关系 （1）若函数定义域为则两函数的图象关于直线对称。 推论1：函数与函数的图象关于直对称。 推论2：函数与函数的图象关于直线对称。 （2）若函数定义域为则两函数与的图象关于点 对称。 3函数的周期性 （1）若，则的周期是. （2）若，则的周期是； （3）若，则的周期是. 4 周期性与对称性拓展： （1） 若函数同时关于直线对称则函数的周期 （2）若函数同时关于点对称，则函数的周期 （3）若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 （4）若偶函数的图像关于直线对称，则为周期函数且 （5）若奇函数的图像关于直线对称，则为周期函数且. 【典例1】 （2024秋•昌江区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）﹣1为奇函数，f（x+2）为偶函数，则f（1）+f（2）+⋯+f（16）＝（　　） A．0 B．16 C．22 D．32 【典例2】（2024秋•靖远县校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），且f（0）≠0，则下列结论正确的是（　　） A．f（0）＝﹣1 B．函数f（x）为奇函数 C．函数f（x）有2个零点 D．f（2x）＝f（x） 【变式1】（2024秋•福建校级期中）已知f（x）为定义在（﹣4，4）上的奇函数，若f（x）在[0，4）上单调递减，则满足不等式f（a+1）+f（1﹣a2）＞0的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•江西期中）若函数f（x）定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）关于点（2，3）成中心对称，则f（1）+f（2）+⋯+f（23）的值是（　　） A．57 B．62 C．69 D．72 【变式3】（2023秋•南京期中）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，f（﹣x）＝f（x+2）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x．则方程4f（x）﹣x+2＝0所有的根之和为（　　） A．6 B．12 C．14 D．10 【变式4】（2025春•株洲校级期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上奇函数，且满足f（x+2）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[2024，2026]时，y＝f（x）的最大值为（　　） A．﹣8 B．﹣1 C．1 D．0 【变式5】（2025春•个旧市校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝0，且f（0）≠0，∀x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则下列说法正确的命题是（　　） ①f（0）＝1； ②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0； ③f（x）关于点（1，0）对称； ④． A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2024秋•安溪县期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”．下列对应关系中，满足从集合M＝{﹣2，0，2}到集合N＝{0，2}的一个函数是（　　） A．y＝x B．y＝|x| C． D．y＝x2 2（2024秋•渭滨区校级期中）函数的定义域为（　　） A．.（1，+∞） B．.[1，+∞） C．.（1，） D． 3（2024秋•沙市区校级期中）已知函数的定义域为[0，+∞），则函数f（x）的值域为（　　） A．[0，+∞） B．[2，+∞） C．[0，] D．[，+∞） 4（2024秋•科左中旗校级期中）下列函数中既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是（　　） A．y＝|x| B． C．y＝x﹣2 D．y＝x3 5（2024秋•抚州期中）若函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 6（2024秋•海淀区校级期中）函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 7（多选）（2024秋•东坡区期中）下列说法正确的是（　　） A．函数和函数是同一个函数 B．若f（x﹣1）＝x，则f（x）＝x+1 C．若函数g（x）的定义域是[﹣2，4]，则函数g（2x）的定义域是[﹣4，8] D．若函数h（x）＝|3x﹣a|在区间[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[3，+∞） 8（多选）（2024秋•凤庆县校级期中）已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域是R B．f（x）的值域是（﹣∞，5） C．若f（x）＝3，则 D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点 9（2024秋•天津期中）已知函数，且f（1）＝10． （1）求a； （2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2024秋•滨海新区校级期中）函数在区间[2，4]上的值域为（　　） A．[﹣3，5] B．[﹣5，3] C．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 2（2024秋•铁东区校级期中）已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝6，则f（10）＝（　　） A．3 B．2 C．6 D．10 3（2024秋•东城区校级期中）已知函数的图象与直线y＝x恰有2个公共点，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣2，﹣1）∪[2，+∞） B．[﹣1，2） C．[﹣2，﹣1] D．[2，+∞） 4（2025春•吉林校级期中）已知函数f（x），g（x）都是定义在R上的函数，f（x﹣1）+2是奇函数，g（x﹣2）是偶函数，且f（x）﹣g（x﹣2）＝3，g（﹣2）＝1，则（　　） A．﹣4052 B．﹣4050 C．﹣1012 D．﹣1010 5（多选）（2024秋•桃源县校级期中）已知函数f（x）＝x，下面有关结论正确的有（　　） A．定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） C．在（﹣2，0）∪（0，2）上单调递减 D．图象关于原点对称 6（2024秋•武进区校级期中）已知函数，若f（x）的值域为[1，5]，则实数c的取值范围是 　　 ． 7（2023秋•临渭区校级期中）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为 　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2024秋•杭州校级期中）已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（5+x），f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 2（2024秋•秦皇岛期中）已知函数f（x）＝x3+x，若正实数a，b满足f（a）+f（b﹣4）＝0，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 3（2024秋•淮安期中）设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣2）＝﹣1，则不等式的解集是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（3，+∞） 4（2023秋•镇海区校级期中）已知f（x）＝﹣x2+2|x|+1，若方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜﹣3 B．m≤﹣2 C．m＜﹣3或m＞﹣2 D．m＝﹣2或m＜﹣3 5（多选）（2024秋•洮北区校级期中）已知偶函数f（x）的定义域为R，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．2f（3）＞f（﹣6） 6（2024秋•中山市校级期中）已知函数f（x）的图象可由函数y＝ax﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f（2）＝16． （1）求a的值； （2）若函数，证明：g（x）+g（1﹣x）＝1； （3）若函数y1＝|f（x）+m|与y2＝|f（﹣x）+m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $