福建三明市宁化县2026-2027学年九年级上学期第一次阶段质量检测数学试题

2026-2027学年上学期第一次阶段质量检测试卷 九年级数学 （试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．一元二次方的一次项系数是（ ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方后，可化为（ ） A． B． C． D． 3．下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（ ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x A． B． C． D． 5．在菱形中，，，则（ ） A． B． C． D． 6．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，可添加的条件是（ ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为（ ） A． B． C．4 D．8 9．张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程可以是（ ） A． B． C． D． 10．如图，四边形和四边形都是正方形，连接，，．若点是线段上的一点，且，，则（ ） A．5 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．已知是方程的根，则_________． 12．一元二次方程的解为_________． 13．如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，交于点，若，，则阴影部分的面积为_________． 14．如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路的宽为，则可列方程为_________． 15．八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗恰好能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长应为_________cm． 16．关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解方程（每小题4分，共8分） （1）； （2）． 18．（本题满分8分）如图，已知菱形中，，分别是，上的点，且． 求证：． 19．（本题满分8分）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20．（本题满分8分）如图，在中，，是中点，连接，分别过点，点作，，交点为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21．（本题满分8分）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 22．（本题满分10分）如图，已知矩形，点为边的中点，连接． （1）尺规作图：在上求作一点，使点关于直线的对称点恰好在线段上（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，，求的长． 23．（本题满分10分）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． （1）请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； （2）若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 24．（本题满分12分）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 例如：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知关于的方程，请求出这个方程的特征数对； （2）已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求和的值； （3）现有“全整根方程”：与“全整根方程”：，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 25．（本题满分14分）已知点为矩形的对角线交点，，射线交于点，射线交于点． （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，若，连接． ①证明：； ②若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $