精品解析：山东德州市第五中学2026-2027学年第一学期九年级数学阶段性检测试题

2026-2027学年第一学期九年级数学阶段性检测试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后得到（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 7. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数，当时，y的取值范围为　　 A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大 其中结论正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一元二次方程的解为______． 12. 一个菱形两条对角线长的和是，面积是．菱形的周长_________________． 13. 已知点，，都在抛物线上，则、、由大到小排序：______（用“”连接）． 14. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元． 15. 一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 三、解答题（共8小题，90分） 16. 解一元二次方程 （1） （2） （3） 17. 如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值及点B的坐标； （2）求的面积； 18. 已知关于x的方程有两个实数根和． （1）求实数k的取值范围． （2）若，试求k的值． 19. 如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃． (1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？ (2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由． 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 22. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学阶段性检测试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项的方程进行判断即可得答案． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故A错误； B、方程有一个未知数，的最高次数为，所以方程是一元二次方程，故B正确； C、方程分母中含有未知数，不是一元二次方程，故C错误； D、方程有一个未知数，的最高次数为，所以方程不是一元二次方程，故D错误． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】由抛物线可得，顶点坐标为． 故选：A 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x=1代入方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】x=1代入方程1+k-3=0， k=-1+3=2． 故选择：A． 【点睛】本题考查求一元二次方程中一次项系数，关键是把给的根代入方程后转化为k的方程． 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 用配方法解方程，配方后得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右侧，把含未知数的项留在等号左侧，若二次项系数为，在等式两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧改写为完全平方式． 【详解】解：将常数项移到等号右边，得， 一次项系数为，其一半为，平方后为，等式两侧同时加上，左边变为完全平方式：，化简得． 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴△=＜0， 解得：， 故选项中只有A选项满足， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 7. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 8. 二次函数，当时，y的取值范围为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的画法画出二次函数图象，运用数形结合思想解答即可． 【详解】； 这个二次函数的图象如图： 当时，． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 9. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】令y=0，计算即可求得m的取值范围，并且注意题意二次函数的定义，二次项系数不为0 【详解】是二次函数 则 令y=0，即 解得： 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的关系，计算是解题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大 其中结论正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ，即， 而时，，即， ， 所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 方程的两个根是，， 所以③正确； 根据对称性，由图象知， 当时，，所以④错误； 抛物线的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，所以⑤正确． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 12. 一个菱形两条对角线长的和是，面积是．菱形的周长_________________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为，由菱形的性质可知：，然后根据勾股定理及菱形的性质可求解． 【详解】解：设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为，由菱形的性质可知：， 整理，得， 解得． 当时，； 当时，， ∴这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm． 由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的解法，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程的解法是解题的关键． 13. 已知点，，都在抛物线上，则、、由大到小排序：______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式可得到开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：由抛物线的解析式可得该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴． 14. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元． 【答案】50 【解析】 【分析】设这种台灯应涨价x元，那么就少卖出10x个，根据利润=每个台灯的利润×销售量，可列方程求解． 【详解】设这种台灯应涨价x元, 依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） 40+10=50（元） 答：这种台灯售价定为50元． 故答案是：50元 15. 一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出的值，进而求出平均速度，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴平均速度， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去，此时）， ∴． 三、解答题（共8小题，90分） 16. 解一元二次方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值及点B的坐标； （2）求的面积； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，三角形面积公式； （1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出的值，然后求抛物线与轴的交点坐标，通过解一元二次方程，就可以求出另一个交点坐标； （2）由（1）中的函数解析式求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据点、的坐标求得线段的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴的一个交点为， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， 当时，， 即：， 分解因式，得：， 解得：，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 当时，， 点的坐标为， ， 又，， ， ， 即：的面积是． 18. 已知关于x的方程有两个实数根和． （1）求实数k的取值范围． （2）若，试求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程有两个实数根，则判别式大于等于0，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，根据得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根和， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 又∵， ∴． 19. 如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃． (1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？ (2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由． 【答案】（1）AB的长为5 m；（2）不能围成面积为48 m2的花圃. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设花圃的宽AB为x米，用总长减去三个宽即为的长，则BC=(24−3x)米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）根据题意列出方程，求得AB的长度，然后根据墙的最大可用长度a为10m进行判断． 试题解析：(1)设花圃的宽AB为x米,则BC=(24−3x)米， x(24−3x)=45， 解得： 当x=3时，24−3x=15，不符合题意， 当x=5时，24−3x=9，符合题意， 答：AB的长应为5米. (2)依题意得：x(24−3x)=48， 整理，得 解得x=4. 则BC=24−3×4=14>10， 所以现要围成面积为的花圃，不能行. 20. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 21. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查求二次函数解析式以及二次函数的应用： （1）用待定系数法运用顶点式设出函数解析式，再把代入，求出的值即可； （2）当时，，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为 ， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时， ∴球不能射进球门． 22. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）1或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【小问1详解】 解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， 【小问2详解】 点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． 【小问3详解】 如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 解得． 二次函数的表达式． 【小问2详解】 解：点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为，即． 点两次平移后落在的图象上， ． 整理得． 解得，． ， ． 【小问3详解】 解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为． 对称轴为直线， 当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大． 当时，． 分三种情况： 当时， y随x的增大而减小； 当时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 二次函数的最大值与最小值的差为4， ，解得． 当时，则时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 此时二次函数的最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，则时，y的值最小，为， 当时，y的值最大，即最大值为， 二次函数的最大值与最小值的差为4， ． 解得，． ， 不符合题意，舍去． 综上，n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $