第26章解直角三角形单元检测卷 2026-2027学年冀教版 数学九年级上册

冀教版2026-2027学年九年级数学上学期 第26章解直角三角形单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 6．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 7．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 8．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 9．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 10．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 12．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．在中，，则是______三角形． 14．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 15．在中，若，，，则_________． 16．如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是_______________________ 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在中，，，．解这个直角三角形． 19．如图，在中，是的中线．若，求的长． 20．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 21．如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 22．消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． (1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． (2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 23．如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 24．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A A D C D D 题号 11 12 答案 C B 1．D 【详解】解：， ， ， ， ． 2．B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 3．C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 4．A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 5．A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 6．A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 7．D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 8．C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 9．D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 10．D 【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得． 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处， ∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴， ∵处在南偏东方向上，， ∴在的北偏西方向， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴， ∴， ∴． 11．C 【分析】通过作辅助线（高线），利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线这一性质，构造出直角三角形，求出的长，进而得到的长；最后在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半来求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是的中点， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．B 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 13．钝角 【分析】先利用绝对值、平方的非负性得到、，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形． 14． 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，即，结合，，代入数值到中即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 15．4或6 【分析】过A作于，在中，由已知条件设，根据勾股定理求出x的值，从而得出，在中，根据勾股定理得出，可得到的长度． 【详解】解：如图，过A作于， 在中，， 设， ， ，即， 解得， ． 在中，， ， 同理可求． 则的值为4或6． 16． 【分析】过点F作于点N，并延长交于点，证明，四边形是矩形，根据正切的定义得到，设，则，利用勾股定理求出，得到，则，利用求出，即可得到的长． 【详解】解：过点F作于点N，并延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．，，. 【分析】利用勾股定理求出的长度，即可求出的正弦，根据的正弦求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，，． ， ， ， ， ， 19．的长为15 【分析】先由，可得的长，再由是的中线，可得的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∵在中，， ∴． 20．(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 21．(1)加宽部分横断面的面积为平方米 (2)完成这一工程需要立方米的土 【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积； （2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则． ∵，则， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； （2）解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 22．(1) (2)解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； （2）略． 23． 【分析】过点作交线段的延长线于点，求出，，根据得到，根据速度等于路程除以时间即可得到该车从点A到点B的平均速度． 【详解】解：过点作交线段的延长线于点， 由题意可得，，， 在中，，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴该车从点A到点B的平均速度为． 24．该风力发电机塔杆的高度为28米． 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $