第二十五章图形的相似单元测试 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

第二十五章图形的相似单元测试 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( ) A. B. C. D. 2.已知= ，则下列等式不成立的是( ) A. = B. 3a=2b C. = D. = 3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，对角线AC，BD相交于点O.若AD=1，BC=3 ， 则 的值为( ) A. B. C. D. 4.如图,AC,BD相交于点O,不能判定△AOB和△DOC 相似的条件是( ) A. AO⋅CO=BO⋅DO B. = C. ∠A=∠D D. ∠B=∠C 5.如图，老师画出的△ABC .下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC 不一定相似的是( ) A B C D 6.如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB，CD 于点E，F.若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB:BC 的值为( ) A. 2 B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E ”是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E ”的位似比为2:1，点P(−6,9)在①号“E”上，则点P 在②号“E”上的对应点Q 的坐标为( ) A. (−3,) B. (−2,3) C. (− ,3) D. (−3,2) 8.如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE 交BA的延长线于点F.若=，AB=3，则AF 的长为 ( ) A. 1 B. C. D. 2 9.如图，将△ABC沿边BC上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′=1，则A′D= ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 10.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系.书中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“如图，今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？” （注:1里=300 步）你的计算结果是：出南门____步而见木( ) A. 205 B. 215 C. 305 D. 315 11.如图，有一块直角三角形余料ABC ，∠BAC=90∘ ，G，D分别是边AB，AC 上的一点，现从中切出一个矩形材料DEFG，其中点E，F 在BC上.若BF=4.5 cm，CE=2 cm，则GF 的长为( ) A. 3 cm B. 2 cm C. 2.5 cm D. 3.5 cm 12.题目：“如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AC=6 ，BC=8，P是Rt△ABC边上不与点A，B，C 重合的一点，欲过点P剪下一个与Rt△ABC 相似的三角形.问有几种不同的剪法？”甲答：当点P在斜边AB 上时有3种不同的剪法.乙答：当点P在边AC 上时有4种不同的剪法.丙答：当点P在边BC 上时有3种不同的剪法.下列判断正确的是 ( ) A. 只有甲、乙两人的答案正确 B. 只有甲、丙两人的答案正确 C. 只有乙、丙两人的答案正确 D. 甲、乙、丙三人的答案都正确 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.如图，已知AD//BE//CF，且AB=4，BC=5，EF=4，则DE= _ __. 14.古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地.如图，将古筝弦抽象为一条线段AB ，若AB=90 cm，支撑点C是AB上靠近点A的一个黄金分割点，则BC= _____________cm .（结果保留根号） 15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，C(1,0).在y 轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则点D 的坐标是 . 16.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90∘ ，AB=6 ，AC=8，P为线段DE的中点.在点D从点B运动到点C的过程中，CP 的最小值是___. 3、 解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分7分）如图，在△ABC 中，DE//BC.若 = ，AE=2，求AC 的长. 18.（本小题满分8分）已知线段a，b满足=，且a+b=34 . (1）求a，b 的值. （2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x 的值. 19.（本小题满分8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,1) ，B(2,3)，C(3,0) . （1）以点O为位似中心，在y轴右侧画△DEF，使它与△ABC 位似，且位似比为2. （2）在（1）的条件下，若M(a,b)为△ABC 边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′ 的坐标为_________. 20.（本小题满分9分）如图，在△ABC中，P是△ABC 的边AB 上的一点.三名同学的说法如下： 小星：若∠ACP=∠B，则可证明△ACP∽△ABC ; 小红：若=，则可证明△ACP∽△ABC ； 小亮：若=，则可证明△ACP∽△ABC . （1）请判断三人的对错：小星____，小红____，小亮____.（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的说法，证明△ACP∽△ABC . 21.（本小题满分9分）如图，小刚家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨的阳光恰好从围墙的最高点A经过窗户的最高点C 射到房间地板上的点F 处，中午的阳光恰好从围墙的最高点A经过窗户的最低点D射到房间地板上的点E 处. 小刚测得窗户距地面的高度OD=0.7 m，窗高CD=1.3 m，并测得OE=0.7 m ，OF=3 m，求围墙AB的高度.（图中C，D，O 三点在同一条直线上） 22.（本小题满分9分）如图，在四边形ABCD中，AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘ ，E为AB 的中点. （1）求证：AC2=AB⋅AD . （2）求证：CE//AD . 23.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E和点F 分别为边AD，AB的中点，连接EF，CF，EF交对角线AC于点G . （1）若AC=8，求AG 的长. （2）如果AB=AC，求证：△AFG∽△ACF . 24.（本小题满分12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究. 【问题发现】 （1）如图1，在等边三角形ABC中，P是边BC上一点，且BP=，连接AP，以AP为边作等边三角形APQ，连接CQ，则CQ 的长为____. 【问题提出】 （2）如图2，在等腰三角形ABC中，AB=BC，P是边BC 上任意一点，以AP为腰作等腰三角形APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠B，连接CQ .试说明：∠B=∠ACQ . 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ADBC中，P是边BC上一点，以AP 为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF 的边长为12，CQ=4，求正方形ADBC 的边长. 参考答案 1-6 ACBBCB 7-12 ACADAA 13. 14. 45-45 15.(0,)或（0,2） 16.4 17.解：∵DE//BC，AE=2，∴ = . ∵ =，∴= . ∴EC=8.∴AC=AE+EC=2+8=10 . 18.（1）a=10，b=24 . （2）解：∵ 线段x是线段a，b的比例中项，∴x2=ab=240 , 解得x=4（负值舍去） 19.（1） （2）(2a,2b) 20.（1）请判断三人的对错：小星_对___，小红__对___，小亮__错__. （2）解：答案不唯一，选择小星的说法：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B ， ∴△ACP∽△ABC . 选择小红的说法：∵∠A=∠A，= ， ∴△ACP∽△ABC . 21. 解：连接CD . ∵DO⊥BF ， ∴∠DOE=90∘ . ∵OE=0.7 m，OD=0.7 m ， ∴∠DEO=45∘ . 又∵AB⊥BF，∴∠BAE=45∘ .∴AB=BE . 设AB=EB=x m ， ∵∠ABF=∠COF=90∘ ,∠AFB=∠CFO ， ∴△ABF∽△COF.∴AB/CO=BF/OF . ∴AB⋅OF=BF⋅OC . ∵OF=3 m，BF=BE+EF=BE+(OF−OE)=x+(3−0.7)=(x+2.3)m ， OC=OD+CD=0.7+1.3=2(m) ， ∴3x=2(x+2.3) ， 解得x=4.6 . 答：围墙AB的高度是4.6 m . 22.（1）解：证明：∵AC平分∠DAB ， ∴∠DAC =∠CAB . 又∵∠ADC =∠ACB=90∘ ， ∴△ADC∽△ACB . ∴=，即AC2=AB⋅AD . （2）解：证明：∵E为AB 的中点， ∴CE=AB=AE.∴∠EAC =∠ECA . 由（1）知∠DAC =∠CAB . ∴∠DAC =∠ECA.∴CE//AD . （3） 23.（1）解：连接BD交AC于点O . ∵ 点E和点F分别为边AD，AB 的中点， ∴EF是△ABD的中位线，AF=FB . ∴EF//BD.∴AG=GO,AF=FB . ∴AG=GO . ∵ 四边形ABCD为平行四边形，AC=8 ， ∴AO=OC=AC=4.∴AG=AO=2 . （2）解：证明：∵F为边AB的中点，∴AF=AB . ∵AB=AC，∴=. 又∵AG=AC，∴= . 又∵∠FAG=∠CAF，∴△AFG∽△ACF . 24.（1） （2）解：∵AB=BC，AP=PQ，∠B=∠APQ ， ∴∠BAC=∠PAQ.∴∠BAP=∠CAQ，△BAC∽△PAQ . ∴=，∴△BAP∽△CAQ . ∴∠B=∠ACQ . （3）解：连接AB .∵ 四边形ADBC是正方形，∴AB/AC=, ∠BAC=45∘ . ∵ 点Q是正方形APEF的对称中心，∴AP/AQ= , ∠PAQ=45∘ . ∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ.∴∠BAP=∠CAQ . ∵==，∴△ABP∽△ACQ . ∴== . ∵CQ=4，∴BP=CQ=8 . 设PC=x，则BC=AC=8+x . 在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2 ，即 122=(8+x)2+x2 ， 解得x1=−4+2,x2=−4−2（舍去）. 学科网（北京）股份有限公司 $