第二十六章 解直角三角形 单元测试提优卷 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

**基本信息** 冀教版九年级上册解直角三角形单元提优卷，以三角函数定义、实际应用及模型拓展为核心，通过科技（无人机测河宽）、文化（圭表）等真实情境，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角函数定义、网格图形、栏杆旋转等应用|基础巩固，结合几何直观考查空间观念| |填空题|4/12|仰角计算、特殊角三角函数、解三角形|能力提升，体现运算能力与数据意识| |解答题|7/72|K字模型应用、圭表测量、无人机测河宽|创新应用，通过模型意识与推理能力解决实际问题|

冀教版九年级上册 第二十六章 解直角三角形 单元测试提优卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24.则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B． C． D．3 3．的值等于（　　） A． B． C． D． 4． 在中，，则（　　） A． B． C． D．1 5．如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆 A端升高的高度为 （　　） A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米 6． 如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sin α－|＋(－tan β)2＝0，则此三角形的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点 C，乙步行 n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直高度距离 CD可以表示为（　　） A．(m-n)cosα米 B．(m-n)sinα米 C． 米 D．米 11．如图，菱形 ABCD的对角线相交于点 O， ∠BAC=60°，点E， F分别是边AD， BC的中点，连接EF，则 的值为(　　) A． B． C．2 D． 12．如图，矩形ABCD的边AB=5， BC=3， 以点A为中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG， 点B，C，D的对应顶点分别是E，F，G，当点E落在线段CF上时，CD与AE交于点I，CD延长线交 FG于点H，则下列结论一定正确的是(　　) A．∠FCD=30° B．D是线段IH的中点 C． D．A，D，F三点在一条直线上 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 如图，小嘉在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得BC=15m，则树的高度AB为　 　m. （用含α的三角函数表示) 14．计算的结果是　 　． 15．某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米. 16．如图，在四边形 ABDC中， ∠BAC=90°， AB=AC，若 则 cos∠BCD的值为　 　. 三、解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： （1）(π－1)0＋9tan 30°－＋|－3|－； （2）sin 45°－2cos 30°＋. 18．如图，已知中，，过点作，交AB于点． （1）求CD的值； （2）若，求的值． 19．（1） 计算： （2） 已知a、b满足 且a+2b=28， 求a的值. 20．在Rt中，，点E是BC的中点，，垂足为点D.已知AC=9，. （1）求线段AE的长； （2）求sin∠DAE的值. 21．我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度 MN，工作人员操控无人机在 P处测得 M，N两处的俯角分别为α=45°，β=30°，测得无人机离水平地面的高度 PQ为300米，且 Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度 MN为多少米?(参考数据： ≈1.73，结果保留整数). 22．【模型呈现】 （1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=　 　，BC=　 　.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）【模型体验】 如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=　 　； （3）【模型拓展】 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程： （4）【模型应用】 如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度. 23．圭表是中国古代一种重要的天文仪器，由“圭”和“表”两个部分组成．某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作圭表．①同学协同制作了如图1所示的圭表，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长；②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值；③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为（），冬至时太阳光线与水平地面的夹角为（）． （参考数据：，，，，，．） （1）【任务一】求的长度； （2）【任务二】求秋分时，表的影子的长度； （3）【任务三】秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．A 7．A 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 13．15tanα 14．1 15． 16． 17．（1）解：原式＝1＋9×－3＋3＋2＝1＋3－3＋3＋2＝6. （2）原式＝×－2×＋ ＝1－＋－1 ＝0. 18．（1）解：因为，所以， 设CD为3x，则BD为5x，因为， 所以，解得，所以． （2）解：作，垂足为点， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以． 19．（1）解： （2）解：设 则a=3k，b=2k. 由题意得a+2b=3k+4k=28， 解得k=4. 所以a=3k=12. 20．（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴. 21．解：∵PA//QN， ∴∠PNQ=β=30°，∠PMQ=α=45° ∴在Rt△PMQ中， (米). 在Rt△PQN中， (米) ∴(米). 答：这条河的宽度 MN为 219米. 22．（1）DE；AE （2）7 （3）解：理由如下， ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵BE⊥MN， ∴∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， ∵AD⊥MN，∴∠CDA=90°， ∴∠CDA=∠BEC=90°， ∴△CDA∽△BEC， ∵AC=2BC， ∴AD=2CE，CD=2BE， （4）在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC，延长FE交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD的垂线，垂足为N. ∵在矩形ABCD中，AB=14，BC=7， ∴∠EFP=∠DAC=∠EPQ， ∵∠QPF=∠QPE+∠EPF=∠DAC+∠AQP，∠QPE=∠DAC， ∴∠EPF=∠AQP， ∴△AQP∽△FPE，AG=GF， ∴△GAF为等腰三角形，∴AM=MF， 设AM=MF=a，则AF=2a， ∵tan∠DGE=tan∠NGF， ∵DE=4， ∴DG=3，EG=5， ∴AG=GF=10， ∴EF=10-5=5， 设AQ=y，AP=x， ∵△AQP∽△FPE， 即 对称轴为直线. ∴当时， 即当时， 23．（1）解：，， 在中，，， ， 在中，，， （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $