2.4圆的方程同步训练卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4圆的方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若点在圆：外，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知点关于直线对称的点在圆外，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 3.曲线与轴围成区域的面积为(    ) A. B. C. D. 4.若是圆：上任意一点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 5.若方程表示的曲线为一个圆，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 6.若直线始终平分圆，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 8.已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设有一组圆：，下列说法正确的是(    ) A. 这组圆的半径均为 B. 直线平分所有的圆 C. 直线被圆截得的弦长相等 D. 存在一个圆与轴和轴均相切 10.已知点在圆上，点、，则(    ) A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 11.已知圆：及点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆心的坐标为 B. 点在圆外 C. 若点在圆上，则直线的斜率为 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.与圆关于直线对称的圆的标准方程为          ． 13.已知点为圆：上一点，点，当变化时线段长度的最小值为          ． 14.与圆同圆心，且过点的圆的一般方程是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆过点，，且圆心在上． Ⅰ求圆的方程 Ⅱ已知平面内两点，，为圆上的动点，求的最小值． 16.本小题分 求满足下列条件的圆的标准方程： 圆心为且经过坐标原点 圆心为且与直线相切 过点，，且以为直径 经过点，，且圆心在直线上． 17.本小题分 已知方程表示一个圆． 求的取值范围； 求这个圆的圆心坐标和半径； 求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程． 18.本小题分 已知圆经过点，，且圆心在直线上． 求圆的方程 线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 思考在本例中，若点是圆内一点，，为圆上的动点，且，求线段的中点的轨迹． 19.本小题分 已知圆过点，，且圆心在直线上． 求圆的方程 若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程 若为圆上的动点，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4圆的方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若点在圆：外，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题． 结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可． 【解答】 解：由于点在圆：外， 有，解得， 即的取值范围是． 故选：． 2.已知点关于直线对称的点在圆外，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查点、直线间的对称问题、点与圆的位置关系的判定、二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于一般题． 根据题意，求出点的坐标，再结合点与圆的位置关系和方程表示圆的条件，得出的取值范围． 【解答】 解：由题意，设， 则 ，， 点在圆外， ， ， 又， ， ． 故选C． 3.曲线与轴围成区域的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查与圆相关的轨迹问题，属于基础题． 将曲线方程两边平方，可化为，这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，可求面积． 【解答】 解：曲线的方程可化为， 即， 所以这条曲线与轴围成的区域是一个半径的半圆，其面积为． 故选：． 4.若是圆：上任意一点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】的几何意义是点到点的距离的平方．因为点在圆：上，且点在圆外，所以其最大值为故选D． 5.若方程表示的曲线为一个圆，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题． 将二元二次方程列出关于的不等式，求解即可． 【解答】 解：因为方程表示的曲线为一个圆，则，即， 解得或，故选B． 6.若直线始终平分圆，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了圆的方程，也考查了直线与圆的位置关系，也考查了利用二次函数求相关范围最值问题，属于中档题． 由直线与圆的位置关系，得，代入后，转化为二次函数求最小值． 【解答】 解：由题意，得直线恒过圆心， 则，则， 所以， 所以的最小值为． 故选：． 7.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C  【解析】实数，满足方程， ， 对于，，，令，， 则两条直线都与圆有公共点， ，，解得，， 故的最大值为，的最大值为，最小值为，故A，，D正确， 对于，原点到圆心的距离为， 则圆上的点到原点的距离为， ， ， 故的最大值为，故C错误． 8.已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查关于点、直线对称的圆的方程，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果． 【解答】 解：圆的圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以， 又，当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设有一组圆：，下列说法正确的是(    ) A. 这组圆的半径均为 B. 直线平分所有的圆 C. 直线被圆截得的弦长相等 D. 存在一个圆与轴和轴均相切 【答案】AD  【解析】【分析】 由圆的方程求得圆的半径判断；由直线不恒过圆的圆心，判断；求出圆心到直线的距离，判断；求出满足题设的值判断． 本题考查圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是较难题． 【解答】 解：圆：，可得圆心坐标为：，半径为，故A正确； 把代入，得不恒成立，即直线不恒过圆的圆心，故B错误； 圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值， 则直线被圆截得的弦长不相等，故C错误； 若存在一个圆与轴和轴均相切，则，解得，满足条件，故D正确． 故选：． 10.已知点在圆上，点、，则(    ) A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD  【解析】解：圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，选项正确，选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，选项正确． 故选：． 11.已知圆：及点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆心的坐标为 B. 点在圆外 C. 若点在圆上，则直线的斜率为 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查求圆心坐标，点与圆的位置关系，过两点的斜率，点到圆上点的距离 将圆的一般方程转化为标准方程求得圆心坐标判断；求得到圆心的距离判断；将点代入圆的方程，解出，求得过两点的斜率；最后根据点到圆心的距离求得的取值范围。 【解答】 解：将化为，所以圆心的坐标为，故A正确； 因为，两点之间的距离为，所以点在圆外，故B正确； 因为点在圆上，所以，所以，即，所以直线的斜率为，故C错误； 因为圆心，半径，，所以，即，故D正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.与圆关于直线对称的圆的标准方程为          ． 【答案】  【解析】略 13.已知点为圆：上一点，点，当变化时线段长度的最小值为          ． 【答案】  【解析】圆心的坐标为，圆的半径，所以圆心在直线：上，如图， 当且为线段与圆的交点时，线段的长度最小，又点到直线的距离，所以． 14.与圆同圆心，且过点的圆的一般方程是          ． 【答案】  【解析】设所求圆的一般方程为 ， 代入点，可得， 解得，故所求圆的一般方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆过点，，且圆心在上． Ⅰ求圆的方程 Ⅱ已知平面内两点，，为圆上的动点，求的最小值． 【答案】解：Ⅰ，，由中点坐标公式得的中点坐标为， ， 的中垂线方程为：，即， ， ，， 圆的方程为； Ⅱ设， ， 即点到原点的距离的平方， ， ， ．  【解析】本题考查圆的标准方程，与圆有关的最值问题，属于中档题． 先求线段的中垂线方程，圆心不仅在线段的中垂线上，也在上，两方程联立求解圆心坐标，进而得半径，即可得解； 设点坐标，利用两点间距离公式得到，转化为圆有关的最值问题，求，即可得解． 16.本小题分 求满足下列条件的圆的标准方程： 圆心为且经过坐标原点 圆心为且与直线相切 过点，，且以为直径 经过点，，且圆心在直线上． 【答案】解：设圆的半径为，因为圆心为， 且圆经过坐标原点，所以， 所以圆的标准方程为． 设圆的半径为， 因为圆心为且与直线相切，所以． 故所求圆的标准方程为． 设圆心为，半径为， 由题意得即圆心坐标为． 所以， 所以所求圆的标准方程为． 设圆的标准方程为， 依题意得解得 故所求圆的标准方程是． 【解析】略 17.本小题分 已知方程表示一个圆． 求的取值范围； 求这个圆的圆心坐标和半径； 求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程． 【答案】解： 二元二次方程表示圆的条件为，由题意得，，，代入得，整理得，即，解得． 对原方程配方得，故圆心坐标为，半径 半径，令，，为开口向下的二次函数，对称轴为，且，因此当时取最大值，故此时圆心横坐标为，纵坐标为，对应圆的标准方程为．  【解析】略 18.本小题分 已知圆经过点，，且圆心在直线上． 求圆的方程 线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 思考在本例中，若点是圆内一点，，为圆上的动点，且，求线段的中点的轨迹． 【答案】解：设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则 又，所以． 所以直线的方程为． 由得即圆心， 则半径． 所以圆的方程为． 设点， 因为点的坐标为， 所以即 又点在圆上运动， 所以， 即， 整理得， 即所求线段的中点的轨迹方程为． 思考解：设线段的中点为，连接，，图略． 在中，． 又，所以在中，， 所以，即． 因为， 所以线段的中点的轨迹是圆心为，半径为的圆． 【解析】略 19.本小题分 已知圆过点，，且圆心在直线上． 求圆的方程 若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程 若为圆上的动点，求的最小值． 【答案】由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； 设， 则 其中表示到距离的平方， 将代入，即在的内部， 由圆心到的距离为，圆的半径为， 所以到距离的最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $