2.4 圆的方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学2.4圆的方程同步训练 一、单选题： 1.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为(    ) A. B. C. D. 2.过点，的面积最小的圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 3.已知是实数，则“”是“方程表示圆”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知圆经过两点，，且圆心在轴的正半轴上，则圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知动点在边长为的正方形内包含边界运动，且满足，则动点的轨迹长度为(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 7已知某圆圆心在轴上，半径为，且在轴上截得线段的长为，则圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题： 9.已知点，，为坐标原点，则外接圆的标准方程是          ． 10.已知动点到点的距离等于点到点的距离的倍，则点的轨迹方程是          ． 11.一束光线从点出发经轴反射，到达圆上一点的最短路程是          ． 12.已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且，则实数的值为          。 四、解答题： 13已知点，，求 过点，且周长最小的圆的标准方程； 过点，且圆心在直线上的圆的标准方程 14.已知方程表示一个圆． 求的取值范围； 求这个圆的圆心坐标和半径； 求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程． 高二数学2.4圆的方程答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题． 根据圆的基本性质直接求解即可得圆的标准方程． 【解答】 解：方法一直接法 设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为故选A． 方法二数形结合法 根据点到圆心的距离为，作图易知圆心为，故圆的方程为故选A． 方法三验证法 将点代入四个选项，可排除，，又圆心在轴上，所以排除故选A． 2.【答案】  【解析】当圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为，故所求的圆的标准方程为． 3.【答案】  【解析】方程配方得，若方程表示圆，则，解得，则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件． 4.【答案】  【解析】方法一：待定系数法根据题意，设圆的圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为由题意得解得所以圆的标准方程为． 方法二：几何法因为圆经过点，，所以圆的圆心在线段的垂直平分线上．又圆的圆心在轴的正半轴上，所以圆的圆心坐标为，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为． 5【答案】  【解析】【分析】 本题考查关于点、直线对称的圆的方程，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果． 【解答】 解：圆的圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以， 又，当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 6【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆的标准方程及其几何意义，以及与圆相关的轨迹问题，属于中档题． 设，根据题意求得动点的轨迹为以为圆心、为半径的圆的一部分，结合图形分析可知圆心角，即可得结果． 【解答】 解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设， 由，可得， 整理得． 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一部分， 设圆与线段交于点，与线段交于点， 在中，，， 则，故， 所以点的轨迹长度为． 故选：． 7【答案】  【解析】如图，，设，，所以在中，，所以圆心的坐标为或，故所求圆的标准方程为． 8.【答案】 【解析】【分析】 本题考查圆方程的应用，考查直线与圆相交弦长，考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题． 求直线被圆截得的弦长，令，，得到直线与圆有公共点从而求得、的范围；看成原点到圆上的距离的平方即可求解． 【解答】解：实数，满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B.原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． 令，，则两条直线都与圆有公共点， 所以，， 解得，， 所以的最大值为，的最大值为． 故CD正确； 故选AB． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题． 由题知，可得圆心为的中点，半径为，从而写出它的标准方程． 【解答】 解：因为点，，为坐标原点， 所以， 故外接圆的圆心为的中点， 半径为， 所以外接圆的标准方程为． 故答案为：：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查与圆有关的轨迹问题，属于基础题． 设出点的坐标，利用已知距离的关系求得和的方程，即的轨迹方程． 【解答】 解：设，则， 整理得，即动点的轨迹的方程为． 故答案为． 11【答案】  【解析】因为点关于轴的对称点的坐标为，圆心坐标为， 所以光线从点出发经轴反射， 到达圆上一点的最短路程为． 12【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】 解：圆的标准方程为，圆心，半径， ， 圆心到直线：的距离， 即， 即，解得或， 故答案为：或． 13【答案】解当为直径时， 过，的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心， 半径 则圆的标准方程为． 方法一的斜率， 则的垂直平分线的方程是， 即， 又圆心在直线上， 得两直线交点为圆心，即圆心坐标是， 故所求圆的标准方程是． 方法二设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为．  14【答案】解： 二元二次方程表示圆的条件为，由题意得，，，代入得，整理得，即，解得． 对原方程配方得，故圆心坐标为，半径 半径，令，，为开口向下的二次函数，对称轴为，且，因此当时取最大值，故此时圆心横坐标为，纵坐标为，对应圆的标准方程为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $