微专题 1.4 有理数的乘方”的理解与拓展（含6种题型） 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

【原卷版】 微专题 “1.4 有理数的乘方”的理解与拓展 【沪教版】五四制中预数学 “1.4 有理数的乘方”，本节核心是有理数乘方的定义、运算与符号规律，是有理数四则运算的延伸；乘方指个相同因数相乘，记作：，是底数，是指数，结果为幂。关键区分：负数、分数作底数时必须加括号，如：与意义、结果完全不同； 运算遵循符号法则：正数的任何次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负；0的正整数次幂为0；计算先定符号，再算绝对值的乘方； 拓展上，乘方是倍数增长的数学表达，生活中细胞分裂、对折纸张均是乘方模型。它衔接后续科学记数法，是幂运算的基础，需强化括号优先级和符号判断，避免混淆底数与符号，建立 “乘方→幂→符号规则” 的完整逻辑，为整式运算筑牢基础。 1.4 有理数的乘方 1、有理数的乘方的定义 求个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方； 一般地，我们将（为正整数）个相同乘数相乘，即，记作：，读作：＂的次方＂。在中，称为指数（当指数为1时可以省略不写）； 【说明】正数的任何次方都是正数；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数； 2、有理数的乘方运算 （1）乘方运算 乘方运算是一种新的运算，可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，即 ； （2）乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次方都是正数； （2）负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数； 【说明】1、一个有理数的偶次方都是非负数，即 （ 为正整数）； 2、1的任何次方都是1；－1的奇次方是－1，偶次方是1； 3、互为相反数的两个非零数的奇次方仍互为相反数，互为相反数的两个非零数的偶次方相等； 3、 及 的区别与联系 区别：三者意义不同，表示个相乘的积；表示个相乘的积的相反数；表示个相乘的积； 联系：为奇数时，，且都与互为相反数为偶数时，，且，都与互为相反数； 4、拓展 当为正整数，、为有理数时： （1） ； （2） ． 题型1、对有理数幂的概念理解 例1、对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、计算的结果是（     ） A． B． C． D． 题型2、求一个有理数的乘方 例3、若，，，则a、b、c的大小关系是（      ） A． B． C． D． 例4、若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例5、下列各式正确的是（      ） A． B． C． D． 例6、如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是多少？ （2）试求出的值． 题型4、有理数乘方逆运算 例7、已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 例8、若，则________． 题型5、有理数乘方运算的符号规律 例9、计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例10、下列说法正确的是（    ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 题型6、有理数乘方的应用 例11、《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 例12、数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1、有理数的乘方 （1）乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算）； （2）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：就是，就是，指数是1时通常省略不写； （3）一个负数或分数的次方，书写时必须把负数或分数用括号括起来； （4）当底数是负数或分数时，要用括号将底数括起来，在底数右上方写指数，指数要写得小一些；注意 意义不同，同样的意义也不相同； （5）任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即 (为正整数)； （6）1的任何次幂都是1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即 2、有理数乘方运算 （1）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； （2）有理数乘方运算的方法： 方法一：按照乘方的定义，先将乘方转化为乘法，再根据乘法法则进行计算； 方法二：根据乘方的符号法则，先确定乘方的符号，再求乘方的绝对值； 3、有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）； 4、【拓展】乘法的小数点移动规律 （1）底数为的乘方：结果为后面带个（小数点向右移动位）； （2）底数为纯小数的乘方：结果为1前面带个（小数点向左移动位）。 1．小明做了以下四道题，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 2．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 4．下列各对数中，互为相反数的是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．在、、、0、、中，非负数有 个 6．将按从小到大的顺序排列是 7．若，则________． 8．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 9．若，，则______． 10．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 11．定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． （1）求的值． （2）若，求的值． 12．已知；；；… （1）请用我们学过的乘法交换律和乘方的意义说明成立． （2）上述性质可以用来进行计算，反之也成立，即． 请应用上述性质计算：． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 微专题 “1.4 有理数的乘方”的理解与拓展 【沪教版】五四制中预数学 “1.4 有理数的乘方”，本节核心是有理数乘方的定义、运算与符号规律，是有理数四则运算的延伸；乘方指个相同因数相乘，记作：，是底数，是指数，结果为幂。关键区分：负数、分数作底数时必须加括号，如：与意义、结果完全不同； 运算遵循符号法则：正数的任何次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负；0的正整数次幂为0；计算先定符号，再算绝对值的乘方； 拓展上，乘方是倍数增长的数学表达，生活中细胞分裂、对折纸张均是乘方模型。它衔接后续科学记数法，是幂运算的基础，需强化括号优先级和符号判断，避免混淆底数与符号，建立 “乘方→幂→符号规则” 的完整逻辑，为整式运算筑牢基础。 1.4 有理数的乘方 1、有理数的乘方的定义 求个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方； 一般地，我们将（为正整数）个相同乘数相乘，即，记作：，读作：＂的次方＂。在中，称为指数（当指数为1时可以省略不写）； 【说明】正数的任何次方都是正数；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数； 2、有理数的乘方运算 （1）乘方运算 乘方运算是一种新的运算，可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，即 ； （2）乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次方都是正数； （2）负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数； 【说明】1、一个有理数的偶次方都是非负数，即 （ 为正整数）； 2、1的任何次方都是1；－1的奇次方是－1，偶次方是1； 3、互为相反数的两个非零数的奇次方仍互为相反数，互为相反数的两个非零数的偶次方相等； 3、 及 的区别与联系 区别：三者意义不同，表示个相乘的积；表示个相乘的积的相反数；表示个相乘的积； 联系：为奇数时，，且都与互为相反数为偶数时，，且，都与互为相反数； 4、拓展 当为正整数，、为有理数时： （1） ； （2） ． 题型1、对有理数幂的概念理解 例1、对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【提示】根据乘方定义即可判断； 【答案】B； 【解析】因为，根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， 所以，底数为，指数为，正确记法为． 【说明】本题考查了有理数幂的概念理解； 例2、计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【提示】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果； 【答案】D； 【解析】由． 【说明】本题考查了多个有理数的乘法运算、有理数幂的概念理解； 题型2、求一个有理数的乘方 例3、若，，，则a、b、c的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【提示】先化简三个数，再比较化简后的数的大小即可解答； 【答案】B； 【解析】因为，，，， 又因为，， 所以，； 【说明】本题综合考查了化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较、一个有理数的乘方运算； 例4、若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可； 【答案】D； 【解析】由，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 【说明】本题考查了求一个有理数的乘方，有理数大小比较、乘方的应用 题型3、有关有理数的乘方运算 例5、下列各式正确的是（      ） A． B． C． D． 【提示】根据乘方的意义和分数的乘法法则即可判断正确选项； 【答案】C； 【解析】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 【说明】本题考查了有理数的乘方运算；通用三步法：① 看底数是否带括号、判断正负；② 根据指数奇偶判断结果符号；③ 计算绝对值的乘方。 例6、如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是多少？ （2）试求出的值． 【提示】（1）根据题意先计算出部分⑥的面积，即可获得答案； （2）利用数形结合的思想，把分数加法和正方形的面积联系起来，通过“正方形的面积减去剩余部分的面积”来简便计算多个分数的和，即可获得答案； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）解：观察图形发现部分①面积为：， 部分②的面积为， 部分③的面积为， …… 所以，部分⑥的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． （2）解：结合题意可知，的值等于正方形面积减去阴影部分面积， 即， 所以的值为． 【说明】本题主要考查了有理数的乘方运算； 题型4、有理数乘方逆运算 例7、已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【提示】逆用同指数幂的除法法则即可解答； 【答案】D； 【解析】因为，， 所以，． 【说明】本题考查了有理数乘方逆运算； 例8、若，则________． 【提示】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则；将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可； 【答案】或3； 【解析】由， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 【说明】本题考查了有理数乘方逆运算； 题型5、有理数乘方运算的符号规律 例9、计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键；先把拆成，再把和合并为，最后算出结果； 【答案】A； 【解析】由原式 ， ． 故选：； 【说明】本题考查了有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律； 例10、下列说法正确的是（    ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 【提示】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数乘方运算法则逐项分析判断即可； 【解析】由，A. 有理数0的平方为0，不是正数，原说法不正确，本选项不符合题意； B. 正数的立方为正数，0的立方为0，负数的立方为负数，原说法不正确，本选项不符合题意； C.因为，，所以，正确，本选项符合题意； D. 为负值，为正值，故，原说法不正确，本选项不符合题意． 故选：C． 【说明】本题考查了有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律；【易错警示】指数为偶数结果为正，指数为奇数结果为负，核心看指数奇偶性。 题型6、有理数乘方的应用 例11、《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【提示】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果； 【答案】C； 【解析】因为，初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 【说明】本题考查了有理数乘方的应用； 例12、数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】根据题意列式计算后逐项判断即可； 【答案】C； 【解析】由①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 【说明】本题考查了有理数乘方的应用； 1、有理数的乘方 （1）乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算）； （2）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：就是，就是，指数是1时通常省略不写； （3）一个负数或分数的次方，书写时必须把负数或分数用括号括起来； （4）当底数是负数或分数时，要用括号将底数括起来，在底数右上方写指数，指数要写得小一些；注意 意义不同，同样的意义也不相同； （5）任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即 (为正整数)； （6）1的任何次幂都是1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即 2、有理数乘方运算 （1）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； （2）有理数乘方运算的方法： 方法一：按照乘方的定义，先将乘方转化为乘法，再根据乘法法则进行计算； 方法二：根据乘方的符号法则，先确定乘方的符号，再求乘方的绝对值； 3、有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）； 4、【拓展】乘法的小数点移动规律 （1）底数为的乘方：结果为后面带个（小数点向右移动位）； （2）底数为纯小数的乘方：结果为1前面带个（小数点向左移动位）。 1．小明做了以下四道题，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】A选项：，该项错误． B选项：，该项错误． C选项：，该项正确． D选项：，计算错误． 2．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 3．下列说法正确的是（    ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D； 【解析】由的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 4．下列各对数中，互为相反数的是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D； 【解析】由、因为，，，两数相等， 所以，不是互为相反数，不符合题意； 、因为，，两数相等， 所以，不是互为相反数，不符合题意； 、因为，，，两数相等， 所以，不是互为相反数，不符合题意； 、因为，，两数绝对值相等，符号相反， 所以，两数互为相反数，符合题意． 5．在、、、0、、中，非负数有 个 【答案】4 【解析】因为，非负数是指大于或等于0的数． ，，，，，是非负数． 所以，符合条件的非负数共有4个． 6．将按从小到大的顺序排列是 【答案】； 【解析】因为，，， 可得最大， 因为， 所以， 由于负数比较大小，绝对值大的数反而小， 所以，即 综上可得， 7．若，则________． 【答案】2； 【解析】因为，，，， 所以，， 所以，， 解得：， 所以，． 8．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】； 【详解】因为，， 所以，． 9．若，，则______． 【答案】； 【解析】由，则， ，则， 所以，． 10．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【提示】根据有理数的乘方解题即可． 【答案】； 【解析】化为十进制数：， 化为三进制数：． 11．定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． （1）求的值． （2）若，求的值． 【提示】本题考查了有理数的混合运算，非负数的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可； （2）先根据非负数的性质求出，，再根据新定义求出，代入所求式子，则根据新定义计算即可； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴ ． 12．已知；；；… （1）请用我们学过的乘法交换律和乘方的意义说明成立． （2）上述性质可以用来进行计算，反之也成立，即． 请应用上述性质计算：． 【提示】（1）根据乘法交换律和乘方的意义进行说明即可； （2）根据（1）中的结论即进行化简计算即可； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）证明： ． （2） ． 第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $