专题03 反比例函数中k的几何意义与综合应用10大题型63题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题03 反比例函数中k的几何意义与综合应用 基础·固本强基 题型1 直接由 k 求图形面积 题型2 已知面积反求 k 题型3 利用对称性与等积变换求面积 提升·进阶突破 题型4 基础矩形模型（一点两垂直） 题型5 基础直角三角形模型（一点一垂直） 题型6 同支双点三角形模型（两点一垂直 / 两点两垂直） 题型7 跨支 / 双曲线组合模型 拔高·压轴破难 题型8 反比例函数与一次函数综合 题型9 双曲线组合图形面积（k 与 k′ 的差与商） 题型10 综合应用与压轴（分类讨论 / 取值范围） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接由 k 求图形面积（共4小题） 【模型】已知反比例函数解析式（即知 k），求图象上某点对应的矩形或三角形面积。 【步骤】① 读出 |k|；② 矩形面积=|k|，三角形面积=；③ 若为组合图形，用割补法拆分。 【易错】分不清矩形与三角形：矩形|k|，三角形；面积永远取正值。 1．（24-25九年级上·云南保山·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 2．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，反比例函数的图像上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）    A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是_____． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）双曲线 和 如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 题型2 已知面积反求 k（共7小题） 【模型】由图形面积反推比例系数 k。 【步骤】① 由图形面积先求 |k|（矩形面积=|k|，三角形面积=）；② 由图象所在象限（或 k 的符号）定 k 的符号；③ 写出 k。 【易错】只求绝对值不判符号 → 漏解或错号。一三象限 k>0，二四象限 k<0；未给象限时 k 可取两个相反数（双解）。 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 6．（24-25九年级上·山东威海·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点A在反比例函数 的图象上，作轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为 ______． 9．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 10．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，过点作轴于点，点在轴负半轴上，且，连接，若的面积为，则的值为_____． 11．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 题型3 利用对称性与等积变换求面积（共5小题） 【模型】利用双曲线的中心对称、轴对称及“过图象点的直角三角形面积恒为 ”进行等积转化。 【步骤】① 找对称点，确定等面积三角形；② 用已求的 替代目标面积；③ 组合图形用加减。 【易错】把“任意三角形面积”误当作 ——只有顶点含原点、且直角边为垂线段的三角形才是。 12．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 13．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为___________． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 16．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为______．    17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为______． 提升·进阶突破 题型4 基础矩形模型（一点两垂直）（共5小题） 【模型】过双曲线上一点 P(x,y) 作 PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足 A、B，矩形 OAPB 面积为 |k|。 【步骤】①写点坐标；②矩形边长为 |x|、|y|；③。 【易错】矩形面积是 |k|（恒正），不是 k；k<0 时绝不能写成 k。 18．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 19．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 20．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点在反比例函数的图像上，轴，轴，垂足分别为、．若四边形是正方形，且正方形的面积为4，则___________． 21．如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 22．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 题型5 基础直角三角形模型（一点一垂直）（共5小题） 【模型】过双曲线上一点 P(x,y) 作 PA⊥x轴于 A，连 PO，三角形 POA 的面积为 。 【步骤】① 。 【易错】顶点在原点、一条边在坐标轴上的三角形才适用；若三角形顶点不在原点不能直接套公式。 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则________． 24．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 25．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，若的面积为3，则k的值为______． 26．（23-24九年级上·全国·期中）如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为______． 27．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为12，则k的值为_________． 题型6 同支双点三角形模型（两点一垂直 / 两点两垂直）（共12小题） 【模型】A、B 在同一条双曲线同一支上，分别向 x 轴作垂线，垂足 C、D。则两个直角三角形 AOC 与 BOD 面积相等（都等于 ）。若 A、B 连线与坐标轴围成三角形，可用割补法转化为两直角三角形面积之差。 【步骤】先分别作垂线→标出每个直角三角形面积 →用加减、割补求目标面积。 【易错】只能对“过双曲线上点的垂线段”所围的三角形直接用 ；任意三点围成的三角形必须割补转化，不能盲目套公式。 28．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 28．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的正半轴上，点为中点，点，在双曲线上，若正方形的面积为4，则的值为（   ） A．6 B．8 C．3 D．4 30．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 31．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 32．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 33．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 34．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 35．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 36．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 37．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为_________． 38．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____． 39．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 题型7 跨支 / 双曲线组合模型（共7小题） 【模型】两条反比例函数（k 同号或异号）的图象，用平行于 x 轴或 y 轴的直线截取，两交点间的线段与坐标轴围成矩形或三角形，其面积与两 |k| 的差（或和）有关。 【易错】两曲线 k 一正一负时，用“和”；两曲线 k 同号时，用“差”。务必先判断图象所在象限再定加减。 40．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 41．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 43．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 45．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则______． 46．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 拔高·压轴破难 题型8反比例函数与一次函数综合（共6小题） 【模型】一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=交于两点 A、B，求解析式、交点坐标、围成三角形面积及不等式解集。 【步骤】① 用交点坐标代入反比例函数求 k；② 代入一次函数求 a、b；③ 联立方程组求另一交点；④ 求直线与坐标轴交点，用割补或铅垂法算面积；⑤ 解不等式（比较函数值大小看图象高低）。 【易错】解不等式未考虑双曲线两支与断点；求面积未把三角形“割补”成可算的图形；漏掉 x≠0 的定义域。 47．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 48．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 49．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 50．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 51．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 52．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 题型9 双曲线组合图形面积（k 与 k′差与商）（共5小题） 【模型】两条反比例函数图象组合，用平行坐标轴的直线截取，求所围面积。 【步骤】① 判断两图象所在象限，确定 k 的符号；② 平行 x 轴的截线高度为 h，求两交点横坐标差；③ 面积 =（三角形）或求矩形差。 【易错】k 异号时用“和”、同号时用“差”；截点横坐标需由各自解析式分别求出，不能混淆。 53．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 54.如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 55．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则________． 56.函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 57．如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 题型10 综合应用与压轴（分类讨论 / 取值范围）（共6小题） 【模型】把 k 的几何意义与解析式求法、一次函数交点、三角形面积、不等式解集、动态几何综合。 【步骤】① 由几何意义或待定系数求 k；② 求交点、面积；③ 解不等式或讨论取值范围；④ 注意定义域与分类讨论。 【易错】取值范围忘记 x≠0 与双曲线两支的增减分界；面积计算忽略割补；k 的符号判断遗漏。 58.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 60．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， (1)求、的值； (2)若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”，过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ①试判断与的数量关系； ②试求倍数点的坐标 61．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 62．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； (3)点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 63．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． $专题03 反比例函数中k的几何意义与综合应用 基础·固本强基 题型1 直接由 k 求图形面积 题型2 已知面积反求 k 题型3 利用对称性与等积变换求面积 提升·进阶突破 题型4 基础矩形模型（一点两垂直） 题型5 基础直角三角形模型（一点一垂直） 题型6 同支双点三角形模型（两点一垂直 / 两点两垂直） 题型7 跨支 / 双曲线组合模型 拔高·压轴破难 题型8 反比例函数与一次函数综合 题型9 双曲线组合图形面积（k 与 k′ 的差与商） 题型10 综合应用与压轴（分类讨论 / 取值范围） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接由 k 求图形面积（共4小题） 【模型】已知反比例函数解析式（即知 k），求图象上某点对应的矩形或三角形面积。 【步骤】① 读出 |k|；② 矩形面积=|k|，三角形面积=；③ 若为组合图形，用割补法拆分。 【易错】分不清矩形与三角形：矩形|k|，三角形；面积永远取正值。 1．（24-25九年级上·云南保山·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】解：设点P的坐标为， 则，， 把点P的坐标代入函数解析式，得：， 矩形的面积是：， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，反比例函数的图像上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：设， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是_____． 【答案】5 【详解】解：如图， ∵点A在函数的图象上， ∴， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）双曲线 和 如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 【答案】2 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：2． 题型2 已知面积反求 k（共7小题） 【模型】由图形面积反推比例系数 k。 【步骤】① 由图形面积先求 |k|（矩形面积=|k|，三角形面积=）；② 由图象所在象限（或 k 的符号）定 k 的符号；③ 写出 k。 【易错】只求绝对值不判符号 → 漏解或错号。一三象限 k>0，二四象限 k<0；未给象限时 k 可取两个相反数（双解）。 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 【答案】C 【详解】解：设，则， 矩形的面积为4， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东威海·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点C ∵轴 ∴轴 设的解析式为 ∵点B在双曲线上 ∴ ∵点A在双曲线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的解析式是． 故选：D． 7．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵已知是反比例函数上一点， ∴设点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点B的坐标为， ∴，的高为， ∴， 即，即， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 故选：D ． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点A在反比例函数 的图象上，作轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为 ______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴或， 又∵函数图象位于第二象限， ∴． 9．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 10．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，过点作轴于点，点在轴负半轴上，且，连接，若的面积为，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：设，， 轴于点， ，． ， ． 的面积为， ， 即， ． 点在反比例函数（为常数，且，）的图象上， ． 故答案为：． 11．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3 利用对称性与等积变换求面积（共5小题） 【模型】利用双曲线的中心对称、轴对称及“过图象点的直角三角形面积恒为 ”进行等积转化。 【步骤】① 找对称点，确定等面积三角形；② 用已求的 替代目标面积；③ 组合图形用加减。 【易错】把“任意三角形面积”误当作 ——只有顶点含原点、且直角边为垂线段的三角形才是。 12．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 13．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为___________． 【答案】4 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， 或（舍去）， 故答案为：4． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 【答案】 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 16．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为______．    【答案】 【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点， 、两点关于原点对称， ， ， 又是反比例函数上的点，且轴于点， 的面积 ， 的面积 故答案为：． 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点， ∴设，则， ∵垂直于轴于点，垂直于轴于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 提升·进阶突破 题型4 基础矩形模型（一点两垂直）（共5小题） 【模型】过双曲线上一点 P(x,y) 作 PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足 A、B，矩形 OAPB 面积为 |k|。 【步骤】①写点坐标；②矩形边长为 |x|、|y|；③。 【易错】矩形面积是 |k|（恒正），不是 k；k<0 时绝不能写成 k。 18．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形的面积为4， ∴， 根据图象可知，， ∴． 19．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：设点，则点，点， 点． ，在反比例函数， ． ， ． ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． 故选：A． 20．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点在反比例函数的图像上，轴，轴，垂足分别为、．若四边形是正方形，且正方形的面积为4，则___________． 【答案】 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 【答案】 【详解】解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 22．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 题型5 基础直角三角形模型（一点一垂直）（共5小题） 【模型】过双曲线上一点 P(x,y) 作 PA⊥x轴于 A，连 PO，三角形 POA 的面积为 。 【步骤】① 。 【易错】顶点在原点、一条边在坐标轴上的三角形才适用；若三角形顶点不在原点不能直接套公式。 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则________． 【答案】4 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A，轴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于___________． 【答案】 【详解】解：设，则； ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为： 25．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：点A是函数图象上的点，轴，三角形的面积为3， ， ， ∵反比例函数图象经过第二象限， ， ， 故答案为 26．（23-24九年级上·全国·期中）如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为12，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点， ， 四边形为矩形， ， 是的中位线， ， ， ， ， 的面积为12， ， 反比例函数的图象在二、四象限， ， ； 故答案为：． 题型6 同支双点三角形模型（两点一垂直 / 两点两垂直）（共12小题） 【模型】A、B 在同一条双曲线同一支上，分别向 x 轴作垂线，垂足 C、D。则两个直角三角形 AOC 与 BOD 面积相等（都等于 ）。若 A、B 连线与坐标轴围成三角形，可用割补法转化为两直角三角形面积之差。 【步骤】先分别作垂线→标出每个直角三角形面积 →用加减、割补求目标面积。 【易错】只能对“过双曲线上点的垂线段”所围的三角形直接用 ；任意三点围成的三角形必须割补转化，不能盲目套公式。 28．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：， 、、；以此类推，． 观察图形，每个三角形的底为1（横坐标依次增加1），高为对应点的纵坐标． ． ． ． 以此类推，三角形k的面积为． 根据题意，，，，． ． 故选：A． 28．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的正半轴上，点为中点，点，在双曲线上，若正方形的面积为4，则的值为（   ） A．6 B．8 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2，即， ∵点为中点， ∴． 设B点坐标为，则E点坐标， ∵点B、E在反比例函数的图象上， ∴，解得，． 故选B． 30．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意； 由点坐标为，设点，，则， ∴，， ∴，即是一个定值，故③符合题意， 故选：D． 31．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 32．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得， ，，， ， ①正确； 由，得， ②正确； 由，得，即，，， ， ③错误； ， ④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 33．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 35．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【答案】 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【答案】 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，， ， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 37．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为_________． 【答案】 【详解】解：设矩形中，，，则． ， ． ． ∵点在反比例函数上， ． 的面积是24， ． 设F点坐标为，则，即． ． ，解得． ∵E在上，横坐标为a，代入反比例函数，得． 矩形的面积为． ． ． ． 因此，的面积为： ． 故答案为：． 38．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点N，过点F作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵A，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 39．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 题型7 跨支 / 双曲线组合模型（共7小题） 【模型】两条反比例函数（k 同号或异号）的图象，用平行于 x 轴或 y 轴的直线截取，两交点间的线段与坐标轴围成矩形或三角形，其面积与两 |k| 的差（或和）有关。 【易错】两曲线 k 一正一负时，用“和”；两曲线 k 同号时，用“差”。务必先判断图象所在象限再定加减。 40．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 41．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 42．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是5， ， ， 又 图像在第二象限， ． 故选：A． 43．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 44．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 【答案】 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 45．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则______． 【答案】 【详解】解：如图，设与轴交于点， ∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 46．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 【答案】2 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，如下图， ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，即为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴． 故答案为：2 拔高·压轴破难 题型8反比例函数与一次函数综合（共6小题） 【模型】一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=交于两点 A、B，求解析式、交点坐标、围成三角形面积及不等式解集。 【步骤】① 用交点坐标代入反比例函数求 k；② 代入一次函数求 a、b；③ 联立方程组求另一交点；④ 求直线与坐标轴交点，用割补或铅垂法算面积；⑤ 解不等式（比较函数值大小看图象高低）。 【易错】解不等式未考虑双曲线两支与断点；求面积未把三角形“割补”成可算的图形；漏掉 x≠0 的定义域。 47．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：把代入得 ， 则点的坐标是． 把代入得 ， 则反比例函数的解析式是； （2）根据题意得， 解得或， 把代入 得， 则点的坐标是． 48．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 49．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 50．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 51．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 52．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 题型9 双曲线组合图形面积（k 与 k′差与商）（共5小题） 【模型】两条反比例函数图象组合，用平行坐标轴的直线截取，求所围面积。 【步骤】① 判断两图象所在象限，确定 k 的符号；② 平行 x 轴的截线高度为 h，求两交点横坐标差；③ 面积 =（三角形）或求矩形差。 【易错】k 异号时用“和”、同号时用“差”；截点横坐标需由各自解析式分别求出，不能混淆。 53．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 54.如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 【答案】6 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 55．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 56.函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 57．如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 题型10 综合应用与压轴（分类讨论 / 取值范围）（共6小题） 【模型】把 k 的几何意义与解析式求法、一次函数交点、三角形面积、不等式解集、动态几何综合。 【步骤】① 由几何意义或待定系数求 k；② 求交点、面积；③ 解不等式或讨论取值范围；④ 注意定义域与分类讨论。 【易错】取值范围忘记 x≠0 与双曲线两支的增减分界；面积计算忽略割补；k 的符号判断遗漏。 58.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 59．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， （2）解：把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； 点 ， ，， 设点坐标为 ∵， ∴， ∴，解得：， 故点D坐标为，． （3）结论：存在，点的坐标为或， 解：点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 60．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， (1)求、的值； (2)若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”，过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ①试判断与的数量关系； ②试求倍数点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点， ∴把代入得， ∴， 把代入得，解得； （2）解：①由（1）得反比例函数，， ∴， ∴， ∴， ∵过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 过作交于， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴（负值舍去）， ∴点纵坐标为， ∴点横坐标为， ∴． 61．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． （2）解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以 ， (3)解：直线不过定点，理由： 设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点． 62．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； (3)点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为， (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：将点分别代入和得： ，， ，， 反比例函数的解析式为，直线的解析式为， 联立， 解得或， ； （2）如图，过作轴交直线于点，过作轴于直线点， 直线过原点且与双曲线关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， ， 设，则， ， ，， 和的面积相等， ， 解得或或或（舍去）， 点的坐标为或或； （3） ，， ，， 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， 或； 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， ； 当为菱形的对角线时， ，的中点坐标为， ， ，； 综上所述，点的坐标为或或或． 63．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得： ， 整理得：， 解得：，， 另一个交点坐标为， 为米，为米， 米，米． 故答案为：，5，2； （2）不能，理由：当时，直线为， 联立与， 得， 即， 判别式， 无交点，所以不能围出； 通过图象可得：函数 与无交点，所以不能围出； （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得， 即， 判别式， 解得（舍去）， 此时， ∴交点坐标为． $